人教九年级数学24.2.2圆的切线的判定与性质

第1页 共3页 第2课时 圆的切线

目标：

1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．

2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．

重点

探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．

难点

探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．

活动1 动手操作

要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？

活动2 探索切线的判定定理

1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现此问题和上节课所学内容的联系吗？

3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语言描述：

文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．

几何语言描述：如上图，∵OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C.

引导学生观察下面两个图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．

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4．讲解教材

例1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本模式．

活动3 性质定理

1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．假设半径OA与l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质有________＜________，∴直线l与⊙O________.这就与已知直线l与⊙O相切矛盾，∴假设不正确．因此，半径OA与直线l垂直．

第2课时 切线的判定与性质

要点感知1 切线的判定定理：经过半径的外端并且______的直线是圆的切线.

预习练习1-1 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为______.

要点感知2 切线的性质定理：圆的切线______过切点的半径.

预习练习2-1 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC=70°，则∠A等于( )

A.15° B.20° C.30° D.70°

知识点1 切线的判定

1.下列说法中，正确的是( )

A.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线

C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线

2.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°.

求证：CD是⊙O的切线.

3.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切.

知识点2 切线的性质

4.如图，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=3，则⊙O的半径是( )

A.5 B.4 C.4.5 D.3.5

5.(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A=30°，则∠C的大小是( )

A.30° B.45° C.60° D.40°

6.(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B=______.

7.(济南中考)如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16.求OA的长.

8.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB的长为( )

A.4 B.4 C.2 D.2

人教版九年级数学上册24.2.2切线的判定和性质说课稿

一、教材分析

（一）内容概述

本节课的内容是“人教版九年级数学上册24.2.2切线的判定和性质”。本节课是九年级数学上册第二章“圆”中的重要组成部分，位于圆的几何性质的学习之后，是对圆的性质的进一步探讨。主要知识点包括：

1. 切线的概念：理解切线与圆的接触点，以及切线与半径的关系。

2. 切线的判定定理：掌握判断一条直线是否为圆的切线的定理。

3. 切线的性质：理解切线与半径的垂直关系，以及切线长定理。

4. 切线定理的应用：运用切线定理解决实际问题。

（二）教学目标

1. 知识与技能：

- 理解切线的定义，掌握切线的判定定理和性质。

- 能够运用切线定理解决实际问题，如求解切线长度、角度等。

- 能够运用切线的性质进行几何证明。

2. 过程与方法：

- 通过观察、分析、归纳等方法，探索切线的判定和性质。

- 通过实例分析，掌握切线定理的应用，培养解决问题的能力。

- 通过小组讨论和合作，提高合作探究和交流表达的能力。

3. 情感态度与价值观：

- 培养学生对圆的几何性质的深入理解，提高对数学的兴趣和好奇心。

- 培养学生的逻辑思维能力，锻炼学生的推理和证明能力。

- 培养学生勇于探索、积极思考、合作交流的良好学习习惯。

（三）教学重难点

1. 教学重点：

- 切线的判定定理和性质的理解和应用。

- 运用切线定理解决实际问题，如求解切线长度、角度等。

- 切线定理在几何证明中的应用。

2. 教学难点：

- 切线判定定理的理解和运用，特别是与圆的半径垂直关系的理解。

- 切线定理在复杂图形中的应用，如求解多边形内切圆的切线长度。

- 学生在运用切线定理进行几何证明时，可能存在的逻辑思维障碍和证明方法的选择困难。

二、学情分析

（一）学生特点

本节课所面向的学生为九年级学生，他们正处于青春期，具有以下特点：

年龄特征：九年级学生年龄大约在14-15岁，思维逐渐从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。

人教版九年级数学上册教案：24.2.2 圆的切线的判定与性质（2）课堂（教案）

一、教学内容

人教版九年级数学上册教案：24.2.2 圆的切线的判定与性质（2）课堂，本节内容主要包括：

1. 探索并掌握圆的切线性质：切线与半径垂直，过圆外一点引圆的切线仅有一条；

2. 学习圆的切线判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

3. 应用切线性质和判定定理解决相关问题，如求切线长度、判断直线是否为圆的切线等；

4. 结合实际例子，运用圆的切线性质解决生活中的问题，如圆的弦长、角度的计算等。

本节课将引导学生通过观察、探索、论证等环节，深入理解圆的切线的判定与性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、核心素养目标

1. 培养学生的直观想象能力：通过观察圆的切线图形，让学生直观感知切线与半径的垂直关系，提高空间想象能力；

2. 培养学生的逻辑推理能力：在学习圆的切线判定定理和性质的过程中，引导学生通过推理、论证，培养逻辑思维和推理能力；

3. 培养学生的数学建模能力：让学生在实际问题中运用圆的切线性质构建数学模型，提高解决实际问题的能力；

4. 培养学生的数学抽象能力：使学生能够从具体实例中抽象出圆的切线判定与性质，理解数学概念的本质，提高数学抽象能力。

本节课将围绕以上核心素养目标，引导学生主动探索、思考，培养具备创新精神和实践能力的数学素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 圆的切线判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。重点在于让学生理解并掌握该定理的内涵，能够准确判断给定直线是否为圆的切线。

- 圆的切线性质：切线与半径垂直，过圆外一点引圆的切线仅有一条。重点在于使学生能够运用性质解决相关问题，如求切线长度、判断直线与圆的位置关系等。

- 实际应用：将切线性质和判定定理应用于解决生活中的实际问题，如计算圆的弦长、角度等。

举例：讲解切线判定定理时，可以通过具体图形和示例，如圆心为O，半径为r，直线L到圆心的距离为r，证明L是圆的切线。

人教版数学九年级上册24.2.2“切线的判定定理和性质定理” （第二课时）教学设计

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切线的判定定理与性质定理

24.2.2“切线的判定定理与性质定理” （第二课时）教学设计

课题：切线的判定定理与性质定理.

教学目标：

1.理解切线的判定定理与性质定理；

2.会用切线的判定定理与性质定理解决简单问题.

教学重点：切线的判定定理与性质定理.

教学难点：理解切线的判定定理和用反证法证明切线的性质定理.

教学过程：

一、提出问题，导入课题.

问题1：我们这一章主要研究了什么图形？请大家看图1，你

能过圆上的点A画出⊙O的什么线？

师生活动：学生思考，并动手画一画，然后教师借助几何画板演示，过点A的无数条直线中，有圆的割线、切线，割线可以画出无数条，而圆的切线只有一条.

教师追问：在这些线中，你最喜欢哪条或者哪几条，为什么？ 2019年10月

滨州市初中数学教学

研讨会观摩课教案

图1 人教版数学九年级上册24.2.2“切线的判定定理和性质定理” （第二课时）教学设计

2 / 5 根据学生回答灵活处理，如果学生说出：过圆心的那条、切线，教师继续追问：为什么喜欢这两条？这两条直线有什么关系？当学生说出因为它们的位置关系特殊，教师指出：往往特殊的图形具有丰富的性质和广泛的应用，更值得重点研究. 例如：研究两条直线位置关系时，我们重点研究了“垂直”、“平行”，研究三角形我们重点研究了特殊的“等腰三角形”、“直角三角形”，研究四边形我们重点研究了“平行四边形”、“特殊的平行四边形”.因此我们本节课重点研究这条特殊的直线“切线”.（板书：切线）

设计意图：通过问题，引导学生回顾上节课学过的直线与圆的位置关系，为本节课学习切线的判定定理和性质定理作好铺垫.

二、由旧知得出新知，探索切线的判定定理

问题2：在生活中，有许多直线和圆相切的实例，你能

举出几个吗？

师生活动：引导学生思考，课件展示图片，下雨天快速转到雨伞时飞出的水珠，砂轮上打磨工件时飞出的火星，都存在着直线与圆相切的现象.

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圆的切线有哪些性质

答：圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

切线的性质主要有五个：

(1)切线和圆只有一个公共点；

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径；

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．

切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．

圆的切线性质与判定

圆是平面上具有特殊性质的图形，它有着多种有趣的性质与判定方法。其中，圆的切线性质是一项重要的研究内容，具有广泛的应用价值。本文将从圆的切线的定义开始，逐步介绍圆的切线的性质与判定方法。

一、圆的切线定义

切线是一条直线，与圆的某一点相切，且与圆在该点处的切点处于圆的内部。切点即为切线与圆的交点，切线与半径的夹角为直角。圆的切线是圆与切点处切线共线的直线。

二、圆的切线性质

1. 切线与半径的关系

在圆上，以切点为顶点的切线与半径垂直。

2. 切线长度

圆的切线长度等于切点到圆心的距离的两倍。

3. 切线的唯一性

一个圆上的切线最多只能有两条，并且与该圆在切点处共线。

4. 外切线与内切线

若一条直线与圆有且仅有一个公共切点，则称该直线为圆的外切线；若一条直线与圆有两个公共切点，则称该直线为圆的内切线。 5. 切线相交性质

若两条切线与圆的切点不同，则这两条切线相交于圆的外部；若两条切线与圆的切点相同，则这两条切线相交于圆的内部。

三、圆的切线判定方法

1. 分析法

根据切线的定义，通过分析问题中的圆与切点的位置关系，可以判断出切线的存在与否。

2. 考察斜率法

假设切点的坐标为(x1, y1)，圆心的坐标为(a, b)，可以根据斜率公式计算切线的斜率，若斜率存在且符合条件，则该直线为圆的切线。

3. 使用代数方程法

对于已知的圆方程和直线方程，可以通过联立方程求解的方式来得到切线方程。通过判断解的情况，可以判定直线与圆的关系。

四、应用举例

1. 圆的切线应用于建筑设计中，可以帮助确定柱体或钟表的刚性支撑结构。

2. 在地理测量学中，圆的切线可以用于研究山脉的坡度和高度。

3. 圆的切线应用于计算机图形学中，用于控制曲线与圆弧的形状和运动轨迹。 总结：

圆的切线性质与判定是一个重要且有趣的数学问题，它具有广泛的应用领域。通过切线的定义和性质，我们可以了解切线在圆上的位置关系和特点。掌握圆的切线判定方法，可以应用于实际问题的求解和分析中。在各个领域中，圆的切线都发挥着重要的作用，为相关领域的研究和应用提供了有力的支持。

一、切线的性质及判定1．切线的性质2．切线的判定3． 切线长和切线长定理切线的性质及判定（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；（）圆中证明角相等的方法：①同角（或等角）余角相等；爱智康 2018/06/121122⇒ABABMAB⊥l⇒ABAB⊥lABM⇒AB⊥lABMAB1231212②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；④平行线出同位角或内错角相等；⑤全等或相似三角形中的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。（）给出圆的切线，作辅助线，连接过切点的半径，则半径垂直于切线．爱智康 2018/06/123

圆的切线与切圆的性质与判定

圆是几何学中的基本概念，它是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。圆具有许多独特的性质和特点，其中之一就是切线和切圆的性质。本文将详细探讨圆的切线以及切圆的性质和判定。

一、切点及切线的定义和性质

1. 切点的定义：对于给定的圆和平面上的一个点，如果这个点与圆上的某一点重合时，我们称这个点和这个圆相切，并把它们的重合点称为切点。

2. 切线的定义：过圆上一点的所有直线中，与该圆只有一个公共点的直线称为切线。

3. 切点与切线的性质：

a) 切线与半径的关系：切线垂直于半径，并且切点和圆心之间的线段与切线垂直。

b) 切线之间的关系：如果两个切点重合，那么这两条切线互相垂直。

c) 切线上的弧度关系：切线上的两个弧度相等。

d) 直径与切线的关系：以切点为端点的切线与过切点的直径互相垂直。

二、切圆的性质与判定 1. 切圆的性质：

a) 切圆的直径与切点垂直。

b) 圆的切线与切圆的切点在一条直线上。

c) 切圆和切圆所在的切线的切点互相垂直。

d) 切点与切圆所在的切线的任意两个切点构成的三角形是等腰三角形。

2. 切圆的判定：

a) 通过切点作圆的半径，并作与原圆作垂直的线，这条垂线与圆的交点即为切圆的圆心。

b) 切圆的半径与原圆的半径相等。

三、切线和切圆的应用

1. 圆的切线和切圆的性质在几何证明和计算中具有重要的应用价值。

a) 运用切线和切圆的性质可以证明等腰三角形的性质，从而解决相关的问题。

b) 在圆的几何计算中，切线和切圆的性质可以用于求解圆的切线长度、切点坐标等相关问题。

2. 圆的切线和切圆的性质在工程和科学领域也有广泛的应用。

a) 在建筑设计中，切线和切圆的性质可以应用于拱门和圆顶的构建。 b) 在物理学中，切线和切圆的性质可以解释光的传播和反射等现象。

切线的判定和性质

在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。

先来说说切线的定义。简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。

那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。

第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。

第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。

第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。

接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。 切线的性质可是非常重要和有用的。首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。

其次，切线垂直于经过切点的半径。这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。

还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。

切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。

再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。比如在车床上加工一个圆形的零件，刀具与零件的接触线就应该是切线，这样才能保证加工出来的零件符合要求。