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24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时）切线的性质与判定一．教学目标（一）学习目标1. 理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．（二）学习重点切线的判定定理和性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．（三）学习难点切线的判定和性质及其运用．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务(1）切线判断定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2）切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O的半径与圆心O到直线l的距离相等时，直线l和圆O相切．③切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2.预习自测（1）下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】因为与圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线，所以A选项错误；当圆心到直线l的距离等于圆半径时，直线和圆相切，所以B选项正确垂直于圆的半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，两个条件缺一不可，C选项中只满足垂直于半径这一个条件，所以C选项错误．D选项中只满足了过半径的外端这一个条件，但在位置关系上未满足直线和半径垂直，所以D选项错误．【答案】B（2）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=．【知识点】切线的性质、直角三角形性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°.【答案】50°【思路点拨】根据切线性质得∠ATB=90°，再根据直角三角形两锐角互余求解．（3）如图，PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=3，OP=6，则∠OPA度数为_____度．【知识点】切线的性质，直角三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线的性质得OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=3，OP=6，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；∵在Rt△OAP中，OA=3，OP=6∴∠OPA=30°【答案】30°（4）如图，半径为3的⊙O与直线AC相切于点B，cm，则OC= ．【知识点】切线性质、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OB得RtΔOBC，再根据勾股定理求OC长度．【解题过程】解：连接OB∵⊙O与直线AC相切于点B，∴∠CBO=90°，OB=3在△CBO中，∠CBO=90°∴=【答案】2（二）课堂设计1.知识回顾直线与圆三种位置关系的判定和性质：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d1）直线l和圆O相离⇔d>r2）直线l和圆O相切⇔d＝r3）直线l和圆O相交⇔d<r【数学思想】数形结合【设计意图】①通过简单作图回顾直线与圆的三种位置关系：②从公共点个数判断，得出切线概念；③从数量关系上体会圆的切线的判别方法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切．2.问题探究探究一：切线的判定定理★▲●活动大胆操作，探究新知如何过⊙O上一点A作圆的切线？（请学生上黑板按要求尺规作图）老师问：在⊙O中，经过半径OA外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离与圆半径什么关系？学生答：相等.老师问：直线与⊙O是什么位置关系？学生答：相切.【设计意图】利用作图让学生体会切线的判定定理中①经过半径的外端，②垂直于半径这两个条件缺一不可；加深对判定的理解，为过渡到学习圆的切线性质做铺垫．知识点归纳：1.切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：经过半径外端点、垂直于半径这两个条件缺一不可．2.切线的判定方法：①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②数量关系：⊙O半径r等于圆心O到直线l的距离为d时，直线l和圆O相切．③切线判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究二：推理论证切线的性质定理★▲●活动集思广益，证明新知老师问：如图：在⊙O中，若作直线l是⊙O的切线，切点为A,那么直线l与半径OA是不是一定垂直？例：已知：OA是⊙O半径,直线l是⊙O的切线，求证：OA⊥直线l证明：（反证法）假设OA⊥直线l不成立，过点O作OP⊥直线l于点P∴OA为Rt△OPA的斜边．又∵OP⊥l于P,∴OP的长就是圆心O到切线l的距离，∴OP的长等于⊙O的半径，即OA=OP,这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾．所以假设OA与l不垂直不成立．【设计意图】用反证法证明切线的性质定理，从命题的题设与结论出发加深对切线性质定理的理解．知识点归纳切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．探究三：切线的判定定理和性质定理的应用★▲●活动①基础性例题例1.下列命题中，假命题是（）A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是假命题．【答案】A练习题：下列说法正确的是（）A.经过半径外端的直线是圆的切线B.若射线与圆有一个交点，则射线是圆的切线C.垂直于半径的直线是圆的切线D.圆的切线垂直于经过切点的半径【知识点】切线的判定定理与性质定理【思路点拨】熟练掌握切线的判定定理与性质【解题过程】根据切线的判定定理：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线．故A选项是错误的；射线与圆有一个交点但不一定垂直于过该点的半径，所以B选项错误．垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故C选项错误．【答案】D【设计意图】考察对切线判定定理和性质定理的理解、记忆．●活动②提升型例题例2. AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B 等于（）A．20°B．25°C．30°D．40°【知识点】切线的性质、直角三角形性质、等腰三角形性质、三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】由切线的性质得：切线垂直于过切点的半径∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA=50°，最后利用同圆的半径相等得等腰三角形进行计算．【解题过程】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∵OC=OB，∴∠B=∠BCO=25°，选B．【答案】B练习：如图，△ABC的边AC经过圆心O，且与⊙O相交于C，D两点，边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（）A．28°B．33°C．34°D．56°【知识点】切线的性质、等腰三角形，直角三角形性质【数学思想】数形结合【思路点拨】运用切线的性质来进行计算或论证，常用辅助线：连接圆心和切点，得直角三角形，再根据直角相关性质求解．【解题过程】解：如图，连结OB，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90°，∴∠AOB=90°﹣∠A=90°﹣34°=56°，∵∠AOB=∠C+∠OBC，∴∠C+∠OBC=56°，而OB=OC，∴∠C=∠OBC，∴∠C=12×56°=28°．故选A．【答案】A【设计意图】运用切线的性质来进行计算或论证●活动③探究型例题例3. 如图：已知△ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，AB与⊙O相切于点D，猜测AC与⊙O有怎样的位置关系？【知识点】切线的判定定理，切线的性质定理，等腰三角形性质，角平分线性质【思路点拨】切线判定方法的常规辅助线：未知切点，作垂线段，证垂线段与半径相等．【解题过程】解：AC是⊙O的切线，理由如下：证明：如图过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵AB=AC，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．练习：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【知识点】切线的性质、等腰三角形性质【思路点拨】已知切点，连半径，运用等腰三角形性质证垂直．【解题过程】解：连接OC∵OA=OB，CA＝CB∴OC⊥AB∵直线AB经过⊙O上的点C∴直线AB是⊙O的切线【设计意图】通过两道证明题，掌握圆的切线证明方法中两种典型的辅助线做法．①切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；②切点已知，连半径，证垂直.3. 课堂总结知识梳理：（1）切线的判定定理:经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）切线的判定方法：（归纳总结）①定义：直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．②切线判断定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．③数量关系：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若d＝r，则直线l和圆O相切．（3）切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．重难点归纳总结：（1）已知切线时常常把切点与圆心相连，利用切线性质解题．（2）切线的判定常规辅助线：切点未知，作垂线段，证垂线段与半径等；切点已知，连半径，证垂直.（三）课后作业基础型自主突破1．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA=．【知识点】切线的性质.勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】先根据切线的性质得OA⊥PA，再根据勾股定理求直角三角形边长．【解答过程】解：∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA，在Rt△OPA中，OP=5，OA=3，∴．【答案】42.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=62°，则∠BOC的度数为（）A．60°B．62°C．31°D．70°【知识点】圆的切线的性质、四边形的内角和、平角定义【数学思想】数形结合【思路点拨】由PA、PB是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和为360°可得到∠AOB，而AC是⊙O的直径，根据互补即可得到∠BOC的度数．【解题过程】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=62°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣62°=118°，又∵AC是⊙O的直径，∴∠BOC=180°﹣118°=62°．故选B．【答案】B3.如图，OA是⊙B的直径，OA=4，CD是⊙B的切线，D为切点，∠DOC=30°，则点C的坐标为．【知识点】切线的性质；直角三角形性质．三角形外角定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接BD得RtΔBDC，根据三角形外角定理可得∠DBC=60°，所以∠DCO=30°,CB=2BD=4即可求出C点坐标．【解题过程】解：连接BD，∵∠DOC=30°，∴∠DBC=60°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4，∴OC=OB+BC=6，∴点C的坐标为（6，0）．【答案】（6，0）4.如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，∠E=30°则线段DE的长为．【知识点】切线的性质，等边三角形的判定、三角形外角定理，等腰三角形判定【数学思想】数形结合【思路点拨】根据切线性质，连接OD得RtΔAOB中∠BOD=60°，又同圆中半径处处相等可证到△COD是等边三角形，DC=OD=3；再根据直角三角形性质求得DE=CE-CD=3【解题过程】解：连接OD ，∵Rt △AOB 的斜边AB 切于点D ，∠B=30°， ∴OD ⊥AB ,OD=3，∠BDO=90°，∠BOD=60° ∵OD=OC=3， ∴△COD 是等边三角形 ∴DC=OD=3∵Rt △EOC ，∠E=30° ∴CE=2OC=6 ∴DE=CE-CD=3 【答案】35.如图：△ABO 中，AO=BO ，C 是底边AB 的中点，若AB=8，OA=5，以点O 为圆心的⊙O 的半径为3，求证：AB 是⊙O 的切线．【知识点】切线的判定定理，等腰三角形性质，勾股定理 【数学思想】数形结合【思路点拨】根据等腰三角形性质得OC ⊥AB ，再根据切线判定定理证明OC 等于圆的半径． 【解题过程】证明：如图：连结OC∵AO=BO ，C 是底边AB 的中点∴OC ⊥AB ，090ACO ?，AC=12AB=4在Rt △ACO 中，090ACO ?，OA=5 ，AC=4 ∴OC=3∵⊙O 的半径为3∴AB经过⊙O的半径OC的外端点且垂直于OC，∴AB是⊙O的切线．6、已知: 在△ABD中，∠BAD= 40°，∠B=10°，⊙O经过点A和点D，圆心O在AB上，⊙O交AB于点C，那么BD是⊙O切线吗？请证明你的结论.【知识点】切线的判定、等腰三角形性质、三角形外角定理、三角形内角和定理【数学思想】数形结合【思路点拨】已知切点，连半径，证垂直．【解题过程】解：BD是⊙O切线，证明如下：证明：连接OD∵OA=OD，∠BAD= 40°∴∠ADO=∠BAD= 40°∴∠DOB= ∠ADO+∠BAD= 80°∵∠B=10°∴△DOB中∠ODB=1800-800-100=900∴OD⊥DB∴直线DB是⊙O的切线能力型师生共研7.如图：AB是⊙O的直径，BC⊥AB，OC//弦AD，求证：CD是⊙O的切线【知识点】切线的判定，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形判定、【数学思想】数形结合【思路点拨】已知点、连半径、证垂直．首先连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．【解题过程】证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线．8、已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；（2）求AF的长．【知识点】直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、勾股定理、垂径定理【思路点拨】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，【解题过程】1）证明：连接OD，∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，∴∠B=∠C=∠ODB=60°，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，∴DF是圆O的切线；（2）∵OB=OD=12AB=6，且∠B=60°，∴BD=OB=OD=6，∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，∵在Rt△CFD中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=12CD=12×6=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，【答案】（1）相切（2）9探究型多维突破9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AC上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E．求证：AC是⊙O的切线；【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠1=∠3，证出DO ∥BC，由平行线的性质得出∠ADO=90°，即可得出结论；【解题过程】证明：连接DO，如图1所示∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DO∥BC，∴∠ADO=90°，即AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线．10．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD的形状，并说明理由．【知识点】切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判定和性质．【数学思想】数形结合==，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，【思维点拨】（1）连接AC，由题意得AD CD CB从而得出∠OCE=90°，即可证得结论；=，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四（2）四边形AOCD为菱形．由AD CB边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【解题过程】解：（1）连接AC，∵点CD是半圆O的三等分点，==，∴AD CD CB∴∠DAC=∠CAB，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC∴∠OCE+∠E=180°，∵CE⊥AD，∴∠OCE=90°，∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）四边形AOCD为菱形．理由如下：，∵AD CB∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形．自助餐1.⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2，则圆O与直线l的位置关系（）A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【知识点】切线的判定【思路点拨】从数量关系上判定圆的切线【解题思路】∵⊙O的半径2，圆心O到直线l的距离为2∴半径与圆心O到直线l的距离相等∴⊙O与直线l相切2. PA为⊙O切线，A为切点，PO交⊙O于点B，OA=4，OP=8，则AB=．【知识点】切线的性质直角三角形性质、等边三角形判定【数学思想】数形结合【分析】根据切线的性质可知，OA⊥PA；Rt△OAP中，已知OA=4，OP=8，直角三角形中300的角所对的直角边等于斜边的一边，所以可得出∠OPA=300，∠POA=600，又因为OA=OB，所以为等边三角形即可求出AB长．【解题过程】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°；在Rt△OAP中，∵OA=4，OP=8∴∠OPA=30°，∴∠POA=90°﹣30°=60°；∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形∴AB=OA=4【答案】43.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D，E，若AC=6cm，AO=，则圆O的半径为_________cm．【知识点】切线的性质，正方形判定定理、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】连接OD、OE，根据已知条件证明四边形CDOE为正方形，得到OD=CD，设OD=x，在Rt△ODA中运用勾股定理建立方程求解．【解题过程】解：连接OD 、OE ，∵AC 、CB 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD=OE又∠ACB=90°，∴四边形CDOE 为矩形，又CD=CE ，∴四边形CDOE 为正方形，∴OD=CD ，设OD=x=CD∵AC=6，∴AD=6-x在Rt △ADO 中,∠ADO=90°，AO=AD=6-x∴222OD AO AD =-(()2226x x =-- 2680x x -+=()()240x x --=∴1224x x ==∴OD=2或4【答案】2或44.如图，⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为4，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是 ．【知识点】切线的性质；垂线段最短【数学思想】数形结合【思路点拨】本题确定PB最小时点P的位置是解题的关键．PB为切线故△OPB是直角三角形．又OB为定值，当OP最小时，PB就最小．根据垂线段最短得OP=4时PB最小．最后根据勾股定理可求解．【解题过程】解：∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∴PB2=OP2﹣OB2，而OB=3，∴PB2=OP2﹣9，即当OP最小时，PB最小，∵点O到直线l的距离为4，∴OP的最小值为4，∴PB【答案】5.已知：如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．【知识点】切线的判定定理、平行线的性质、直角三角形性质、勾股定理【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）已知点，连半径，证垂直即可．要想证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可（2）利用直角三角形和等边三角形的特点来求DE的长．【解题过程】解：（1）连接OD ，则OD=OB ，∴∠B=∠ODB∵AB=AC ，∴∠B=∠C∴∠ODB=∠C∴OD ∥AC∴∠ODE=∠DEC=90°∴DE 是⊙O 的切线（2）连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，AB=8∴∠ADB=90°即AD ⊥BC∵AB=AC ，∠B=30°∴BD=CD∴∠B=∠C=30°Rt △ADB 中，∠B=30°∴AD=12AB =1842?∴=∴CD=BD=Rt △CED 中，∠C=30°CD=∴12DE CD ==【答案】（2）6.如图，□AOBC 的顶点A 、B 、C 在⊙O 上，过点C 作DE ∥AB 交OA 延长线于D 点，交OB 延长线于点E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若OA=1，求阴影部分面积．【知识点】切线的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，扇形面积计算【数学思想】数形结合【思路点拨】（1）连接OC，得到□AOBC是菱形，根据菱形的性质得到OC⊥AB，根据平行线的性质得到OC⊥DE，于是得到结论；（2）由菱形的性质得到BC=OB=OC，推出△BOC是等边三角形，得到∠COB=60°，即可得到结论．【解题过程】解：（1）连接OC，∵四边形AOBC是平行四边形，∵AO=OB，∴□AOBC是菱形，∴OC⊥AB，∵AB∥DE，∴OC⊥DE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵□AOBC是菱形，∴BC=OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠COB=60°，∵OA=OB=OC=1，阴影=260111136026ππ⨯⨯-⨯=．∴S。
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教案1一. 教材分析《直线与圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章第二节的内容，本节课主要探讨直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
通过学习，学生能够理解直线与圆的位置关系，并掌握判定方法，为后续解决实际问题奠定基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对图形的认识和操作能力较强。
但是，对于直线与圆的位置关系的理解和运用还需加强。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索和发现直线与圆的位置关系，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解直线与圆的位置关系，掌握判定方法，能运用直线与圆的位置关系解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：直线与圆的位置关系的判定及其应用。
2.难点：直线与圆的位置关系的理解及运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现直线与圆的位置关系。
2.合作交流法：学生分组讨论，分享学习心得，共同解决问题。
3.实践应用法：教师设计具有实际意义的题目，让学生运用所学知识解决。
六. 教学准备1.课件：制作直线与圆的位置关系的动画演示。
2.学具：为学生准备直线、圆的教具，便于操作和观察。
3.例题：挑选一些典型的例题，用于讲解和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示课件，引导学生观察直线与圆的图形，提问：直线与圆有哪些位置关系？学生回答：相离、相切、相交。
2.呈现（10分钟）教师讲解直线与圆的位置关系的判定方法，并通过动画演示，让学生直观地理解直线与圆的位置关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，分享学习心得，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
2422直线和圆的位置关系切线的判定和性质教学目标: 知识与技能:使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质，能够运用切线的判定方法判断一条直线是否是圆的切线，综合运用切线的判定和性质解决问题，培养学生的逻辑推理能力。
过程与方法:培养学生的观察能力、研究问题的能力、数学思维能力以及创新意识，充分领会数学转化思想。
情感、态度与价值观:通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐，养成动手、动脑的习惯，并养成实事求是的科学态度。
学情分析:学生已经掌握了与圆有关的性质，切线的定义等，九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了探究问题，合作交流、逻辑推理能力等。
教学重难点: 重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用圆的切线的判定和性质解决问题。
难点：能运用圆的切线的判定和性质解决问题。
四、教法与学法分析: 教法：本节课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，根据本节课的内容和学生的认知水平，主要采用“教师引导，学生探究、发现”的教学方法。
学法：使用探究式的学习方法，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。
教学过程: 活动1复习引入1复习点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系。
2、练习：圆的直径是13 cm,如果直线和圆心的距离分别是①4.5 cm；②6.5 cm；③8 cm,那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？3、目前能说明直线是圆的切线的方法有哪些?利用切线的定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d 与r 的关系作判断：当d = r 时直线是圆的切线。
活动2：共同探讨、发现定理动手操作：在纸上画O 0,在O O 上任取一点A ，连结0A ，过A 点作直线I 丄0A 于点A 。
问题1直线I 是否与O 0相切呢?启发学生得出结论：由于圆心 0到直线I 的距离等于半径，即d=r ，因此直线I 一定与圆 相切。
24.2.2直线与圆的位置关系（第2课时）【教学任务分析】
【教学环节安排】
【当堂达标自测题】
一、填空题
1．过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．
2．以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
3．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B为圆心，5为半径的圆与直线AC的位置关系是二、选择题
4．若∠OAB=30°，OA=10cm，则以O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
5．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（）A．8 B．4 C．9．6 D．4．8
6．下列直线是圆的切线的是（）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．垂直于圆的半径的直线D．过圆直径外端点的直线
三、解答题
7.如图24.2.2.2-7，AB是半径⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，且AC=CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长．
图24.2.2.2-7
8．如图24.2.2.2-8，AB是半圆O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的长．
图24.2.2.2-8。
中小学信息技术应用课堂教学展示活动教学设计课题：24.2.2 直线和圆的位置关系（2）切线的判定与性质定理*******初级中学 ****24.2.2直线和圆的位置关系【核心素养】重点培养学生数学抽象和几何直观核心素养。
【知识与技能】1、能判定一条直线是否为圆的切线。
2、会过圆上一点画圆的切线。
3、能根据具体的问题作出合适的辅助线。
【过程与方法】1、通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2、会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．【情感态度与价值观】1、经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力。
2、经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．3、在师生、生生的互动的学习氛围中，锻炼克服困难的勇气，提高数学学习兴趣。
【教学重点】1、探索圆的切线的判定方法，并能运用。
2、应用切线性质解决简单的几何问题。
【教学难点】探索圆的切线的判定方法。
【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教具准备】多媒体课件、平板电脑、畅言教学系统、教具等。
教学活动教学步骤师生活动设计意图复习导入【知识回顾】上课！同学们好，请坐。
在新课开始之前，我们一起来回顾一下上节课所学的知识。
我们知道直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交，那么这三种位置关系对应的图形、交点、圆心与直线间的距离等有么样的关系，我们一起来看一下：PPT展示三种位置关系总结表格。
如何确定一条直线与圆相切呢？引导学生思考：（1）通过定义：（2）根据数量关系：进一步引导学生思考：还有别的判断圆的切线的方法吗？就让我们带着这个疑问，一起走进今天的课堂吧。
由此导入新课。
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.活动一：创设问题情境感受新知【探究一】圆的切线判定定理请看大屏幕，通过图片情境问题让学生猜想如下问题：问题1：下雨天，当你快速转动雨伞时飞出的水珠，以及在砂轮上打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的什么方向飞出？问题2：如何准确的判定刚才猜测的直线就是圆的切线呢？引导学生思考，并进行进一步的探究：探究：作⊙O，在⊙O上任取一点A，连接OA，过点A作直线l⊥OA于点A。
人教版数学九年级上册24.2.2.2《切线的判定和性质》说课稿一. 教材分析《切线的判定和性质》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二个知识点。
本节内容是在学生已经掌握了圆的定义、性质以及圆的基本运算的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍了切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
这些知识对于学生理解和掌握圆的性质，解决与圆有关的问题具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和运算已经有了一定的了解。
但是，对于切线的定义、判定和性质以及切线与圆的位置关系可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生从已知的圆的性质出发，推导出切线的性质，从而帮助学生理解和掌握切线的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论和操作，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系。
2.教学难点：切线的判定和性质的推导过程，以及切线与圆的位置关系的理解。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作学习和动手操作相结合的教学方法。
同时，利用多媒体课件和几何画板等教学手段，帮助学生直观地理解切线的性质和判定。
六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的性质，引导学生思考与圆有关的问题，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现：引导学生从已知的圆的性质出发，观察和思考切线的性质，引导学生发现切线的判定和性质。
3.讲解与示范：讲解切线的定义、判定和性质，以及切线与圆的位置关系，并通过几何画板进行演示。
4.动手操作：让学生利用几何画板或者手工画图，自己尝试作出圆的切线，并判断其性质。
5.小组合作学习：让学生分组讨论，总结切线的性质和判定，以及切线与圆的位置关系。
人教版数学九年级上册24.2.2《直线与圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2.2节《直线与圆的位置关系》是本节课的主要内容。
本节课主要介绍了直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况，并学习了如何判断直线与圆的位置关系以及如何求解圆的弦长和圆心角。
本节课的内容是九年级数学的重要内容，对于学生来说具有较高的难度，需要学生具备较强的逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和几何关系有一定的了解。
但是，对于直线与圆的位置关系的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于数学问题的解决方法还不够丰富，需要通过本节课的学习，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆位置关系的方法。
2.学会求解圆的弦长和圆心角的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.直线与圆的位置关系的理解和判断。
2.圆的弦长和圆心角的求解方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问引导学生思考和探索直线与圆的位置关系。
2.使用几何画板软件，直观展示直线与圆的位置关系，帮助学生理解和记忆。
3.通过例题讲解和练习，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括直线与圆的位置关系的图片和例题。
2.准备几何画板软件，用于展示直线与圆的位置关系。
3.准备相关的中难度的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾平面几何中直线与圆的基本概念，如圆的定义、直线的定义等，为后续学习直线与圆的位置关系打下基础。
2.呈现（10分钟）使用几何画板软件展示直线与圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种情况。
让学生直观地感受直线与圆的位置关系，并为后续学习判断方法和求解方法做准备。
3.操练（15分钟）讲解如何判断直线与圆的位置关系，以及如何求解圆的弦长和圆心角。
24．2.2 直线和圆的位置关系第1课时 直线和圆的位置关系教学目标1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系．2．理解记忆割线、切线、切点等概念．3．能根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系． 预习反馈阅读教材P95～96，完成下列知识探究．1．直线和圆有两个公共点时，直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．2．直线和圆只有一个公共点时，直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．3．直线和圆没有公共点时，直线和圆相离．4．设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则有：直线l 和⊙O 相交⇔d ＜r ；直线l 和⊙O 相切⇔d ＝r ；直线l 和⊙O 相离⇔d ＞r ．例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何种位置关系？请你写出判断过程．(1)r ＝1.5 cm ；(2)r ＝ 3 cm ；(3)r ＝2 cm.【解答】 过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D.∵AB ＝4 cm ，BC ＝2 cm ，∴AC ＝2 3 cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12BC ·AC ，∴CD ＝BC ·AC AB ＝ 3 cm. (1)r ＝1.5 cm 时，相离；(2)r ＝ 3 cm 时，相切；(3)r ＝2 cm 时，相交．【跟踪训练1】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆．当r 满足0<r<125__cm 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 满足r ＝125__cm 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 满足r>125__cm 时，⊙C 与直线AB 相交． 【跟踪训练2】 已知⊙O 的半径为5 cm ，圆心O 到直线a 的距离为3 cm ，则⊙O 与直线a 的位置关系是相交．直线a 与⊙O 的公共点个数是2．例2 已知⊙O 的半径是3 cm ，直线l 上有一点P 到O 的距离为3 cm ，试确定直线l 和⊙O 的位置关系．【解答】 相交或相切．【跟踪训练2】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，若以C 为圆心，r 为半径的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是多少？【点拨】 分相切和相交两类讨论．解：r ＝2.4或3<r ≤4.巩固训练1．已知⊙O 的半径为5，直线l 是⊙O 的切线，则点O 到直线l 的距离是(C)A ．2.5B ．3C ．5D ．102．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意的一点．若以点P为圆心的圆与OC相离，则⊙P 与OB的位置关系是(B)A．相切B．相离C．相交 D．相离或相切3．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作⊙A，则BC与⊙A的位置关系是(C)A．相交 B．相离C．相切 D．不确定4．已知∠AOB＝30°，M为OB上的一点，且OM＝5 cm，以M为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.解：圆心M到OA的距离d＝0.5OM＝0.5×5＝2.5(cm)．(1)r＝2 cm时，d>r，直线OA与⊙M相离；(2)r＝4 cm时，d<r，直线OA与⊙M相交；(3)r＝2.5 cm时，d＝r，直线OA与⊙M相切．第2课时切线的判定和性质教学目标1．探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系．2．能判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．预习反馈阅读教材P97～98，完成下列问题．1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：①切线和圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点，得到半径，那么半径垂直于切线．例题讲解例(教材P98例1)如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．【解答】证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA.∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB.又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．这样，AC经过⊙O的半径OE的外端E，并且垂直于半径OE，所以AC与⊙O相切．【方法归纳】在解决有关圆的切线问题时，常常需要作过切点的半径．【跟踪训练】 如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC.试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．解：直线CD 与⊙O 相切，理由：连接OC.∵C 为BE ︵的中点，∴BC ︵＝CE ︵.∴∠DAC ＝∠BAC.∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠OCA.∴∠DAC ＝∠OCA.∴OC ∥AD.∵AD ⊥CD ，∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径，∴CD 是⊙O 的切线．巩固训练1．在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的任意一点(不包含端点)，以P 为圆心的圆与AB 相切，则AD 与⊙P 的位置关系是(B)A ．相离B ．相切C ．相交D ．不能确定2．如图，A ，B 是⊙O 上的两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB ＝120°，那么当∠CAB 的度数等于60°时，AC 才能成为⊙O 的切线．第2题图 第3题图3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C.若∠A ＝25°，则∠D ＝40°．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，连接DE.求证：直线DF 与⊙O 相切．证明：连接OD.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵OD ＝OC ，∴∠ODC ＝∠C.∴∠ODC ＝∠B.∴OD ∥AB.∵DF ⊥AB ，∴OD ⊥DF.又∵点D 在⊙O 上，∴直线DF与⊙O相切．课堂小结1．有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径；2．“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切．①当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．第3课时切线长定理教学目标1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．预习反馈阅读教材P99～100，完成下列知识探究．1．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长．图中的切线长为PA，PB．2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，图中相等的线段有PA，PB，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，图中相等的角为∠APO＝∠BPO．3．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三边的距离相等．例题讲解例(教材P100例2)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13.求AF，BD，CE的长．【解答】设AF＝x，则AE＝x，CD＝CE＝AC－AE＝13－x，BD＝BF＝AB－AF＝9－x.由BD＋CD＝BC，可得(13－x)＋(9－x)＝14.解得x＝4.因此AF＝4，BD＝5，CE＝9.【跟踪训练】如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE 是正方形；(2)设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求⊙O 的半径r.解：(1)证明：∵BC ，AC 分别与⊙O 相切于D ，E ，∴∠ODC ＝∠OEC ＝∠C ＝90°.∴四边形ODCE 为矩形．又∵OE ＝OD ，∴矩形ODCE 是正方形．(2)由(1)得CD ＝CE ＝r ，∴a ＋b ＝BD ＋AE ＋2r ＝BF ＋AF ＋2r ＝c ＋2r ，解得r ＝a ＋b －c 2. 巩固训练1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径r ＝2．第1题图 第2题图 第3题图2．如图，AD ，DC ，BC 都与⊙O 相切，且AD ∥BC ，则∠DOC ＝90°．3．如图，点O 为△ABC 的外心，点I 为△ABC 的内心．若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝125°．4．如图，△ABC 切⊙O 于D ，E ，F 三点，内切圆⊙O 的半径为1，∠C ＝60°，AB ＝5，则△ABC 的周长为课堂小结1．切线长定理． 2．三角形的内切圆及内心． 3．直角三角形内切圆半径公式．。
