人教版九年级数学上册 24.2.2 圆的切线的性质及判定综合运用培优 (无答案)

24.2.2圆的切线的判定与性质

一．教学目标

1.知识技能

（1）掌握切线的判定定理与性质

（2）应用切线的判定定理证明直线为圆的切线，灵活掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法.

2.能力目标

（1）培养学生动手操作能力

（2）培养学生观察，探索，分析，总结，推理论证的能力

3.情感态度

通过多媒体的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。

二．教学重点与难点

1.重点：切线的判定定理与性质

2.难点：圆的切线证明问题中辅助线的添加方法

三．教学过程

（一）复习提问：

1.直线和圆有几种位置关系？

圆的半径r与圆心到直线l的距离d有怎样的数量关系？

2.直线和圆相切有哪几种方法?

我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来不方便，也不好操作，为此，我们还要学习切线的判定定理. 想一想：已知⊙O的半径为5OA，直线AB上有一点M，若5OM，那么直线AB与⊙O的位置关系是什么？

（二）新课讲解

1.同学们在纸上画一个⊙O和圆上一个点A，根据所学的知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？

请同学回答是怎么画的，依据是什么？由此你能得到什么结论？

（多媒体演示画图的过程）

2.归纳切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

注意两个条件：（1）经过半径的外端

（2）和半径垂直

3.反过来，直线l是⊙O的切线，切点为A，那么切线l是否与半径OA一定垂直呢？

教师分析：直接证明比较困难，可用反证法，假设切线l与OA不垂直。

经过圆心O作lOB

∴ OB

∴直线l与⊙O相交

这与题目条件直线l为⊙O的切线相矛盾.

∴lOA

归纳切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径。

4.师生共同分析得出： 一条直线满足：（1）过圆心 （2）过切点 （3）垂直于切线

由其中的任意两条可推出第三条结论

（三）例题讲解

例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且CBCAOBOA,

24.2.2第二课时切线的判定和性质

1．下列命题中，真命题是（ ）

A．平分弦的直径垂直于弦

B．垂直平分弦的直线平分这条弦所对的弧

C．在同圆中，相等的弦所对的弧也相等

D．经过半径一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

2．如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（ ）

A．∠A＝50°，∠C＝40°B．∠B﹣∠C＝∠A

C．AB2+BC2＝AC2D．⊙A与AC的交点是AC中点

3．如图，«Skip Record If...»是⊙O的直径，«Skip Record If...»交⊙O于点«Skip Record

If...»，«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»，下列说法不正确的是（ ）

A．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线B．若«Skip Record If...»，

则«Skip Record If...»是⊙O的切线C．若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»是⊙O的切线D．若«Skip Record If...»是⊙

O的切线，则«Skip Record If...»

4．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接

OD．若∠C＝46°，则∠AOD的度数为（ ）

A．44°B．88°C．46°D．92°

5．如图，菱形ABCD的两边与⊙O分别相切于点A.C，点D在⊙O上，则∠B的度数

是（ ）A．45°B．50°C．60°D．65°

6．如图，«Skip Record If...»为⊙O的直径，弦«Skip Record If...»于点E，直线l切⊙O

于点C，延长«Skip Record If...»交l于点F，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，

则«Skip Record If...»的长度为（ ）

人教版九年级数学上册教案：24.2.2 圆的切线的判定与性质（2）课堂（教案）

一、教学内容

人教版九年级数学上册教案：24.2.2 圆的切线的判定与性质（2）课堂，本节内容主要包括：

1. 探索并掌握圆的切线性质：切线与半径垂直，过圆外一点引圆的切线仅有一条；

2. 学习圆的切线判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

3. 应用切线性质和判定定理解决相关问题，如求切线长度、判断直线是否为圆的切线等；

4. 结合实际例子，运用圆的切线性质解决生活中的问题，如圆的弦长、角度的计算等。

本节课将引导学生通过观察、探索、论证等环节，深入理解圆的切线的判定与性质，并能够运用所学知识解决实际问题。

二、核心素养目标

1. 培养学生的直观想象能力：通过观察圆的切线图形，让学生直观感知切线与半径的垂直关系，提高空间想象能力；

2. 培养学生的逻辑推理能力：在学习圆的切线判定定理和性质的过程中，引导学生通过推理、论证，培养逻辑思维和推理能力；

3. 培养学生的数学建模能力：让学生在实际问题中运用圆的切线性质构建数学模型，提高解决实际问题的能力；

4. 培养学生的数学抽象能力：使学生能够从具体实例中抽象出圆的切线判定与性质，理解数学概念的本质，提高数学抽象能力。

本节课将围绕以上核心素养目标，引导学生主动探索、思考，培养具备创新精神和实践能力的数学素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 圆的切线判定定理：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。重点在于让学生理解并掌握该定理的内涵，能够准确判断给定直线是否为圆的切线。

- 圆的切线性质：切线与半径垂直，过圆外一点引圆的切线仅有一条。重点在于使学生能够运用性质解决相关问题，如求切线长度、判断直线与圆的位置关系等。

- 实际应用：将切线性质和判定定理应用于解决生活中的实际问题，如计算圆的弦长、角度等。

举例：讲解切线判定定理时，可以通过具体图形和示例，如圆心为O，半径为r，直线L到圆心的距离为r，证明L是圆的切线。

第2课时 切线得判定与性质

1．掌握判定直线与圆相切得方法，并能运用直线与圆相切得方法进行计算与证明．

2．掌握直线与圆相切得性质，并能运用直线与圆相切得性质进行计算与证明．

3．能运用直线与圆得位置关系解决实际问题．

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆型得木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体得半径吗？

二、合作探究

探究点一：切线得判定

【类型一】判定圆得切线

如图，点D在⊙O得直径AB得延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O得切线．

证明：连接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O得切线．

方法总结：切线得判定方法有三种：①利用切线得定义，即与圆只有一个公共点得直线是圆得切线；②到圆心距离等于半径得直线是圆得切线；③经过半径得外端，并且垂直于这条半径得直线是圆得切线．

探究点二：切线得性质

【类型一】利用切线进行证明和计算

如图，PA为⊙O得切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.

(1)求证：△ACB≌△APO；

(2)若AP＝3，求⊙O得半径．

(1)证明：∵PA为⊙O得切线，A为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC为⊙O得直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.

(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝3，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O得半径为1.

【类型二】切线得性质与判定得综合应用

如图，AB是⊙O得直径，点F、C是⊙O上得两点，且AF︵＝FC︵＝CB︵，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF得延长线于点D，垂足为D.

人教版数学九年级上册 24.2.2 切线的性质与判定（教案）

一、教学内容

人教版数学九年级上册 24.2.2 切线的性质与判定：

1. 理解并掌握切线的定义；

2. 掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线；

3. 掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；

4. 学会运用切线的性质解决有关切线长度、角度等问题；

5. 能够运用切线的判定解决实际问题，如求直线与圆的位置关系。

二、核心素养目标

1. 培养学生的直观想象能力，通过观察和操作，让学生感知切线与圆的关系，形成对切线概念的直观认识；

2. 提升学生的逻辑推理能力，通过探索切线的判定和性质，学会运用逻辑推理方法解决问题；

3. 增强学生的数学建模能力，使学生能够运用切线的性质和判定解决实际问题，建立数学模型；

4. 培养学生的数学运算能力，让学生在解决切线相关问题时，熟练运用相关公式和定理，提高解题效率；

5. 培养学生的数据分析能力，通过对实际问题的研究，学会收集、整理和分析数据，为解决问题提供依据。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 切线的定义：明确切线是与圆只有一个公共点的直线，强调切点在圆上。

- 切线的判定定理：掌握经过半径外端且垂直于半径的直线为圆的切线，理解垂直与半径的关系。

- 切线的性质：理解并掌握圆的切线垂直于过切点的半径，以及切线与圆的相切关系。

- 实际问题中的应用：学会将切线的性质和判定定理应用于解决直线与圆的位置关系问题。

举例解释：

(1) 通过图形演示和实际操作，让学生理解切线的定义，强调切线与圆只有一个交点。

(2) 通过具体例题，如给定一个圆和一点，让学生画出经过该点且为圆的切线，从而加深对切线判定定理的理解。

(3) 通过分析切线与过切点的半径的垂直关系，让学生明白切线的性质，并能够应用这一性质解决相关问题。

2. 教学难点

- 切线判定定理的理解：学生可能难以理解为什么经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。

导学提纲

课题 24.2.2 第2课时 切线的判定与性质 主备人

课型 新授课 课时安排 1 总课时数 1 上课日期

学习目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.

2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.

3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.

学习重难点 重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.

难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.

教·学过程 札记 导学提纲

一．导

1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？

2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？

二．思

阅读课本完成探究一

探究点1：切线的判定定理

问题1 已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？

思考 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系？二者位置有什么关系？

要点归纳：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 导学提纲

方法总结：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.

要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：

1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；

2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；

3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

例1 如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC.

求证：AC是☉O的切线.

方法总结：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.

例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

导学提纲

方法总结：当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.

人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系2

24．2．2直线和圆的位置关系(第二课时)

知识点

1．切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

2．切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径．

3．证明切线的方法

（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”．

（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．

一、选择题

1．下列说法中，正确的是（）

A．垂直于半径的直线是圆的切线

B．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线

C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线

D．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

2．如图，AB与⊙O切于点B，AO=6cm，AB=4cm，则⊙O的半径为（）

A

．B

．C

．cm D

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第2课时 切线的判定与性质

要点感知1 切线的判定定理：经过半径的外端并且______的直线是圆的切线.

预习练习1-1 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为______.

要点感知2 切线的性质定理：圆的切线______过切点的半径.

预习练习2-1 如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC=70°，则∠A等于( )

A.15° B.20° C.30° D.70°

知识点1 切线的判定

1.下列说法中，正确的是( )

A.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线 B.经过半径外端的直线是圆的切线

C.经过切点的直线是圆的切线 D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线

2.如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°.

求证：CD是⊙O的切线.

3.如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切.

知识点2 切线的性质

4.如图，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，PB=3，则⊙O的半径是( )

A.5 B.4 C.4.5 D.3.5

5.(邵阳中考)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A=30°，则∠C的大小是( )

A.30° B.45° C.60° D.40°

6.(永州中考)如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB=30°，则∠B=______.

7.(济南中考)如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16.求OA的长.

8.如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB的长为( )

A.4 B.4 C.2 D.2

lOABAD图2OC图6DOCAB《切线的判定与性质》

一、自主学习

1、回忆：怎样由圆心到直线的距离d和半径r的数量关系来判断直线与圆相切？

2、思考：已知点A为⊙O上的一点，如何过点A作⊙O的切线呢？ 连接________，过A点作OA的________

3、阅读教材，归纳出切线的判定定理： 经过_________并且_______这条半 径的的直线是圆的切线 。

4、这个判定定理结合右图，用数学语言该怎样表示呢？

5、请你总结一下圆的切线的判定方法。

6、如图2，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：CD是⊙O的切线。

7、阅读教材的“思考”。

切线的性质定理：圆的切线______过_____的半径

（1）切线的性质有：∠切线和圆只有_____个公共点；

∠切线和圆心的距离等于____；

∠圆的切线_____过切点的半径．

（2）如图1，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，则∠D=______

(3)、如图6，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D，AB=6，BC=8，则BD的长是______

8、性质定理和判定定理是什么关系？_______________.提升：经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过_____；经过圆心且垂直于圆的切线的直线必经过______（3）一条直线若满足：①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的任意两个条件，一定能得出第三个.

9、阅读例1,。添加辅助线的常用方法。

（1）当已知一条直线是圆的切线时，常连接_____和____，得到半径，那么半径_____于切线；

（2）要证明直线l是圆O的切线，若直线l经过圆O上一点A，则连接________， 证__________；若直线l与圆O的公共点不确定，常_________，证____________。

10、如图，AB是∠O的直径，BC切∠O于B，AC交∠O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与∠O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．

第 1 页 杭后六中 九 年级 数学 科目课堂教学设计

课题 24.2.2切线的判定和性质（2） 时间 2019.8 教师 二次备课

相关课程标准内容:

掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。

教材内容/学情分析：

直线和圆相切是直线和圆的位置关系中特殊并且重要的一种，圆的切线是连接直线型与曲线型的重要桥梁，是研究三角形内切圆、切线长定理和正多边形与圆的关系的基础．

切线的判定定理与性质定理揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即，切线过半径外端并与这条半径垂直．两个定理互为逆命题．切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法．

学习目标：

1.能释义圆的切线的概念。

2.能证明切线的判定定理、性质定理及其推论。

3.能描述用三角尺过圆上一点画圆的切线的方法，会用此方法画切线。

教学重点难点：

【重点】切线的判定定理、性质定理以及运用它们解决问题.

【难点】运用切线的性质和判定解决问题.

教学过程教学环节 教学内容 教学策略 预设时间

导入:

复习提问:

1.点和圆的位置关系有几种?

[过渡语] 下面,我们来研究直线和圆相切的情况.

一、切线的判定定理

共同探究1:

思考:如图所示,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l的距离是多少?直线l与☉O有什么位置关系?

教师引导:

1.圆心O到直线l的距离是 ,与☉O的半径的大小关系是 ,所以直线l与☉O的位置关系是 .

2.该命题的已知条件是 ,结论是 ,用语言叙述该命题为 . 第 2 页 设计 3.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线?

(过该点作半径的垂线.)

4.如何证明一条直线是圆的切线?

(过半径的外端点,且垂直于这条半径.)

5.你能举出生活中直线与圆相切的实例吗?

【课件1】 切线的判定定理:

圆

一、圆的基本性质

1、圆的对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；不在同一直线上的三点确定一个圆。⊙O

2、圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3、圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论1、①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；

推论2、圆的两条平行弦所夹的弧相等；

5、弧、弦、圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等；

6、同弧上的圆周角与圆心角之间的关系：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

二、与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系：

点到圆心的距离大于半径：点在圆外；

点到圆心的距离等于半径：点在圆上；

点到圆心的距离小于半径：点在圆内；

2、直线与圆的位置关系：

直线与圆无公共点为相离；

直线与圆有两个公共点为相交，这条直线叫做圆的割线；

直线与圆有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

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【学习目标】 九年级数学上册

第 24 章《圆》知识点梳理

1. 理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，

探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

2. 了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

3. 了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

4. 了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；

5. 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；

通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角

1. 圆的定义

(1) 线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2. 圆的性质

(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心 2 / 41 1 2 n 是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

24.1.1圆（教案）九年级上册初三数学（人教版）

一、教学内容

24.1.1圆（教案）九年级上册初三数学（人教版）

1. 圆的定义与基本性质：半径、直径、圆周率π；

2. 圆的方程：圆的标准方程（x-a）² + (y-b)² = r²，一般式方程x² + y² + Dx + Ey + F = 0；

3. 圆的切线与割线：切线的判定定理、切线方程的求法；

4. 圆的弧、弦、圆心角：圆心角、弧和弦的关系；

5. 圆与三角形、四边形的综合应用：相交、相切情况下圆与三角形、四边形的性质及计算。

直接输出：

二、核心素养目标

1. 培养学生的空间观念和几何直观，通过圆的相关概念和性质，加深对平面几何图形的理解和认识；

2. 提升学生运用符号表达几何关系的能力，通过圆的方程和切线方程的推导与应用，强化代数与几何的结合；

3. 增强学生的逻辑思维和推理能力，通过圆与三角形、四边形的综合应用问题，学会运用严谨的逻辑推理解决问题；

4. 培养学生的创新意识和解决问题的能力，鼓励在解决实际问题时，运用所学知识发现新方法，形成自己的见解。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 圆的定义及其基本性质：理解半径、直径、圆周率π的基本概念，强调圆的对称性和半径的等距性。

- 圆的方程：熟练掌握圆的标准方程和一般式方程的转换和应用，理解方程中各个参数与圆的几何性质之间的联系。

- 圆的切线与割线：掌握切线的判定定理，学会求圆的切线方程，了解割线与圆的位置关系。

- 圆的弧、弦、圆心角：理解并掌握圆心角、弧和弦的关系，特别是圆周角定理及其应用。

- 圆与三角形、四边形的综合应用：将圆与三角形、四边形的性质结合起来，解决实际问题，如相交、相切情况下的计算。

举例解释：

- 在圆的方程中，重点讲解如何从圆的标准方程推导到一般式方程，并通过实际例题让学生掌握如何从给定的信息中找出圆的方程。

- 在切线与割线的教学中，强调切线垂直于半径的定理，并通过实际作图让学生直观感受切线与圆的关系。

第3课时 切线长定理

教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。

教学重点：理解切线长定理。

教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。

教学过程：

一、复习引入：

1．切线的判定定理和性质定理．

2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？

二、合作探究

1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理

（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？

从上面的操作及圆的对称性可得：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

（2）几何证明．

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

3、三角形的内切圆

思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？

三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆

三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——

（1）图中共有几对相等的线段

（2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____

例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=1810,求⊙O的半径。

三、巩固练习

1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点

九年级上册数学复习圆的知识点归纳

人教版九年级上册数学复习圆的知识点归纳

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。以下是店铺整理的人教版九年级上册数学复习圆的知识点归纳，仅供参考，大家一起来看看吧。

1、圆的有关概念：

（1）、确定一个圆的要素是圆心和半径。

（2）

①连结圆上任意两点的线段叫做弦。

②经过圆心的弦叫做直径。

③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。

⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。

⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。

⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点；直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。

⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。

2、圆的有关性质

（1）定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90。90的圆周角所对的弦是圆的直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

圆

一、知识回顾

圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²

圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）

二、知识要点

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念：

1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；

固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内  dr  点C在圆内；

2、点在圆上  dr  点B在圆上；

3、点在圆外  dr  点A在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离  dr  无交点；

2、直线与圆相切  dr  有一个交点；

3、直线与圆相交  dr  有两个交点； rddCBAO

drd=rrd

四、圆与圆的位置关系

外离（图1） 无交点  dRr；

外切（图2） 有一个交点  dRr；

相交（图3） 有两个交点  RrdRr；

内切（图4） 有一个交点  dRr；

内含（图5） 无交点  dRr；

图1rRd 图3rRd