人教版九年级上§24.2.2直线和圆的位置关系----切线的判定
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人教九年级数学上册《切线的判定和性质》课件
(1)证明：连OA，则OA⊥AP，∵MN⊥AP，∴MN∥OA，∵OM∥AP， ∴四边形ANMO是矩形，∴OM＝AN
(2)解：连OB，则OB⊥BP，∵OA＝MN，OA＝OB，OM∥AP，∴OB ＝MN，∠OMB＝∠NPM.∴Rt△OBM≌Rt△MNP，∴OM＝MP，设 OM＝x，则NP＝9－x，在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，∴x＝5， 即OM＝5
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.2 直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定和性质
1．切线的判定定理：__经__过__半__径__的__外__端__并__且__垂_直___于_这__条__半__径____的直线 是圆的切线． 2．切线的性质定理：圆的切线__垂__直__于__过__切__点__的__半__径________．
第3题图
第4题图
知识点1 切线的判定
5．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以直角边AB为直径的 ⊙O交斜边BC于点D，OE∥BC交AC于点E，求证：DE是⊙O的切线．
证明：连接OD，∵OA＝OD＝OB， ∴∠B＝∠BDO，又∵OE∥BC， ∴∠AOE＝∠B，∠BDO＝∠DOE，∴∠DOE＝ ∠AOE ， ∴△AOE≌△DOE(SAS) ， ∴∠ODE ＝ ∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切线
人教版九年级数学上册24.2.2直线和圆的位置关系切线的判定教学设计
5.预习作业：预习下一节课内容，了解圆的弦、弧和圆周角的基本概念，为课堂学习做好准备。
"预习是提高学习效率的好方法。请同学们提前预习下一节课的内容，了解圆的弦、弧和圆周角，为课堂学习打下基础。"
五、作业布置
为了巩固同学们对直线和圆位置关系、切线判定方法的理解，以及提高解题能力，特布置以下作业：
1.课后习题：请同学们完成课本第24.2.2节后的练习题，特别是与切线判定相关的问题。通过这些题目，希望同学们能够加深对切线判定方法的理解，并掌握解题技巧。
"请同学们认真完成课后习题，特别是第1、3、5题，它们将帮助你们巩固切线的判定方法。"
1.学生在空间想象力方面的差异，部分学生可能对直线和圆的位置关系理解不够深入，需要通过直观教具和实际操作来加强感性认识。
2.学生在逻辑推理和数学表达方面能力参差不齐，需要针对不同层次的学生进行有针对性的指导，提高他们分析问题和解决问题的能力。
3.学生在团队合作和交流方面有待加强，可通过小组讨论、课堂互动等形式，培养学生的合作精神和沟通能力。
-利用多媒体教学资源，如PPT、数学软件等，增强教学的互动性和趣味性。
-提供丰富的课外学习资源，如数学网站、在线课程等，鼓励学生自主探索和学习。
-结合学校教学条件，使用教具模型、实物操作等，增强学生的实践体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.回顾与导入：通过提问方式复习上一节课所学的圆的性质，如圆的半径、直径、周长和面积等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
-设计分层教学活动，针对不同水平的学生提供不同难度的练习和指导，确保每个学生都能在原有基础上得到提升。
-结合实际情境，让学生体会数学知识的实用性和生活化。
2.教学步骤：
"预习是提高学习效率的好方法。请同学们提前预习下一节课的内容，了解圆的弦、弧和圆周角，为课堂学习打下基础。"
五、作业布置
为了巩固同学们对直线和圆位置关系、切线判定方法的理解，以及提高解题能力，特布置以下作业：
1.课后习题：请同学们完成课本第24.2.2节后的练习题，特别是与切线判定相关的问题。通过这些题目，希望同学们能够加深对切线判定方法的理解，并掌握解题技巧。
"请同学们认真完成课后习题，特别是第1、3、5题，它们将帮助你们巩固切线的判定方法。"
1.学生在空间想象力方面的差异，部分学生可能对直线和圆的位置关系理解不够深入，需要通过直观教具和实际操作来加强感性认识。
2.学生在逻辑推理和数学表达方面能力参差不齐，需要针对不同层次的学生进行有针对性的指导，提高他们分析问题和解决问题的能力。
3.学生在团队合作和交流方面有待加强，可通过小组讨论、课堂互动等形式，培养学生的合作精神和沟通能力。
-利用多媒体教学资源，如PPT、数学软件等，增强教学的互动性和趣味性。
-提供丰富的课外学习资源，如数学网站、在线课程等，鼓励学生自主探索和学习。
-结合学校教学条件，使用教具模型、实物操作等，增强学生的实践体验。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.回顾与导入：通过提问方式复习上一节课所学的圆的性质，如圆的半径、直径、周长和面积等基本概念，为新课的学习做好铺垫。
-设计分层教学活动，针对不同水平的学生提供不同难度的练习和指导，确保每个学生都能在原有基础上得到提升。
-结合实际情境，让学生体会数学知识的实用性和生活化。
2.教学步骤：
人教版九年级数学上册直线和圆的位置关系精品ppt课件
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
归纳分析
例1与例2的辅助线、证法有何不同?
〖例1〗已知：直线AB经过 ⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
〖例2〗已知：O为∠BAC平分上
人教版九年级数学上册直线和圆的位 置关系 精品ppt 课件
判 断×
×
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） ×
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过l 半径的rO 端点与半径垂直rO的直线l 是圆的切线rO（
l）
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线垂直于这条半径。
O.
那过点O可作OB⊥ l 于点B,
则OA为直角三角形的斜边，
AB l
OB的长就是圆心0到切线l的距离,即OA=OB，
这与“直角三角形的斜边大于直角边”相矛盾，
所以半径OA与切线 l 不垂直的假设不成立。
那半径OA与切线 l 垂直成立。
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
切线的判定与性质
直线和圆相切
．
O
切
切点 A
线
利用切线的定义: 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d与r的关系作判断: 当d＝r时直线是圆的切线。
24.2.2直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质 课件2024-2025学年人教版数学九上
直线名称
圆心到直线距离
d>r
1个 切点 切线 d=r
2个 交点 割线 d<r
知识回顾 我们可以从哪些角度来判断一条直线和圆相切呢？
or d
A
l
1 定义法：直线和圆只有一个公共点.
2 数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d＝r.
还有其它的方法能判断直线和圆相切吗？
探索新知
在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天你快速转动 雨伞时飞出的水珠，在砂轮上打磨工件时飞出的火星，
要证明OF=OE.
证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ， E
A F
O 是BC 的中点．
∴AO 平分∠BAC，
B
又OE ⊥AB ，OF⊥AC.
O
C
∴OE ＝OF.
∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC.
都是沿着圆的切线方向飞出的
探索新知
思考 在☉O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l与☉O有怎样的位置关系呢？
o r l 切线
A 圆心O到直线l的距离＝ 半径 r
要点归纳
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线.
几何语言：
探索新知
思考 已知一个圆☉O和圆上的一点A，如何过这个点A作出圆的切线？
作法： （1）连接OA； （2）过点A作OA的垂线l，
l 即为所作的切线.
l
探究新知
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说 明为什么？
O.
A
(1) (1)不是，因为没有垂直.
人教版九年级数学上册第24章第2节《切线长定理》优质课件
(1)PA=P；
连接AB以后，
(2)OA⊥PA,OB⊥PB；
还能得到哪些
(3)OP平分∠AOB和∠APB；
信息？
(4)OP垂直平分AB.
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、 A
F，你能得到哪些信息？
E
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.
D .O
(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
C
BF
课后作业
1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续. 从探究切线长定理开始，通过如何作一个三角形的 内切圆，引出三角形的内切圆和三角形内心的概念， 经历这些探究过程，能使学生掌握图形的基本知识 和基本技能，并能解决简单的问题.
解：设△ABC的内心为O，连接OA、OB、 O则CS.△1122AABABCB=·rSB△12CBAOCAB·r+CS12r△ABC12Ol·rCr.+S△AOC
拓展延伸
7.如图，AB、BC、CD分 别与⊙O相切于E、F、G 三点，且AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm，求BC的 长.
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，
A
CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC,可得
E
F.
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂演练
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，
CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=11cm，BC=14cCm，CA=13cm，则
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
∴∠BCD=30°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,
即OC⊥CD.
又∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.
图24-2-15
探 得 锦囊 究 证切线时辅助线的添加方法
与
应 ①有交点,连半径,证垂直; 用 ②无交点,作垂直,证半径.
探
活动2 理解并掌握切线的性质定理
究 [猜想证明]
是 相切 ,理由: 当圆心到直线的距离等于该圆的半径时,直线
就是圆的一条切线 .
图24-2-14
探 究
2.已知一个圆和圆上的一点,如何过这个点画出圆的切线,能
与 画几条?
应
用 解:首先连接圆上这点和圆心得半径,再过圆上这点作半径的垂
线,这条垂线就是圆的切线.能画一条.
探 究
[概括新知]
与 切线的判定定理:经过半径的 外端 并且 垂直于 这条半
数学 九年级上册 人教版
第 二
圆
十
四
第2课时 切线的判定和性质
章
-
第2课时 切线的判定和性质
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 理解并掌握切线的判定定理
究 与
[问题情境]
应 1.如图24-2-14,在☉O中,经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,
用
则圆心O到直线l的距离是 OA的长 ;直线l和☉O的位置关系
检 (C)
测
A.25°
B.35°
C.40°
D.50°
图24-2-19
课 2.如图24-2-20,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的
堂
小 圆与AB相切,则☉C的半径为 ( B )
24.2.2.2直线和圆的位置关系 课件人教版数学九年级上册
(1)求证：直线DE与⊙0相切； (2)若⊙0的直径是10,∠A=45°,
求CE的长.
解： (1)连接OD 交BC 于点F,如图， ∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC, ∵DE//BC.∴OD⊥DE
∵OD 是⊙0的半径.直线DE与⊙0相切；
【知识技能类作业】选做题：
(2)∵AC 是⊙0的直径，且AB=10,
直线和圆的位置关系
一、切线的定义 二、切线的判定 三、切线的性质
【知识技能类作业】必做题：
1.下列命题中，真命题是( )
A. 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 B. 经 过 半 径 外 端 的 直 线 是 圆 的 切 线 C. 经 过 切 点 的 直 线 是 圆 的 切 线 D. 圆 心 到 某 直 线 的 距 离 等 于 半 径 ， 那 么 这 条 直 线 是 圆 的 切 线
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB.
∴∠OPB=∠C.
. ∴OPIIAC. ∵PE⊥AC,∴PE⊥OP.
∴PE 为 0O 的切线.
【综合拓展类作业】
4 .如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的○0与 BC相切于点M.求证：CD与oO 相切 .
证明：连接OC.
∵OA=OB,CA=CB,
∴OC 是等腰△OAB 底边AB 上的中线
∴AB1OC.
∵OC 是○O 的半径， ∴AB 是○ O 的切线.
证切线时常见的添加辅助线的方法
不知公共点
作垂直，证半径
『
已知公共点
连半径，证垂直
【知识技能类作业】必做题：
1.如图 ，oO 与AB相切于点A,BO 与 0 0交于点C, ∠BAC=27°, 则∠B等于( A )
人教版九年级上册课件切线的判定和性质
A
l2
O
B
l1
例3 已知：如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的
弦AB是小圆的切线，点P为切点.
求证：AP＝BP.
证明：连接 OP.
O
∵AB 是小圆的切线，
A
P
B
∴OP⊥AB.
在大圆中，由垂径定理，得 AP＝BP.
【思想方法】圆的切线垂直于过切点的半径，所以 作过切点的半径得到垂直是常用的辅助线作法.
∴ OE也是半径
第5°2课,∠A时=2切1°线分3的0′判，析定则与直：性线质A已B和☉知O相条切吗件？ 中没有明确直线与圆是否有公共点，可过圆心作这条直线
的垂线段，再证明垂线段的长等于半径. 证明：连接OD ，OA, 过O 作OE ⊥AC，垂足为E .
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
证明：连接OD ，OA, 过O 作OE ⊥AC，垂足为E .
综合练习
已知：△ABC 为等腰三角形，AB =AC，O 是底边 BC 的 中点，腰 AB 与☉O 相切于点 D.
求证： AC 是☉O 的切线．
A D
B
O
C
证明：连接OD ，OA, 过O 作OE ⊥AC，垂足为E . ∵AB与☉O相切于D ， ∴OD ⊥ AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点．
3.判定定理：经过半径的外端且垂 直线CD是☉O的切线吗？请说明理由．
∵直线l是☉O 的切线，A是切点，
垂直于切线的直线必经过圆心
O
直于这条半径的直线是圆的切线.
A
l
小试牛刀
B
1.如图， AB是☉O的直径，ABT=45°，
O
AT=AB. AC是☉O的切线吗？
人教版数学九年级上册：24. 切线的判定定理 课件
切线（×）
O l
r
A
O r
O l
●
O
l
r
┐
l
A
A
AБайду номын сангаас
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线 EF，AB为直径,还需添加的条A件B是⊥＿E＿F＿＿＿.使 得EF是⊙O的切线。
F
O
B
A
C
E
定理应用：
例1、如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB, 求证：AT 是⊙O的切线.
证明: ∵ ∠1 = 45°，AT=AB
定理应用：
例3、 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作 ⊙O。求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
E C
无交点，作垂直，证半径
归纳： 例2与例3的证法有何不同?
O AC B
DB
A
O
E C
(1)有交点，连半径,证垂直. (2)无交点, 作垂直,证半径.
练习1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
圆心到直线距
离d与半径r的 d < r d = r d > r
关系（数量）
O
l
O
d
l
点A叫半径OA的外端
作半径OA
经过点A作直线
无数条
O
·A
相交 相切
与圆O的位置关系
1、判断： 两个条件缺一不可
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×）
(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
人教版九年级上册
O l
r
A
O r
O l
●
O
l
r
┐
l
A
A
AБайду номын сангаас
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线 EF，AB为直径,还需添加的条A件B是⊥＿E＿F＿＿＿.使 得EF是⊙O的切线。
F
O
B
A
C
E
定理应用：
例1、如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB, 求证：AT 是⊙O的切线.
证明: ∵ ∠1 = 45°，AT=AB
定理应用：
例3、 如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作 ⊙O。求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
E C
无交点，作垂直，证半径
归纳： 例2与例3的证法有何不同?
O AC B
DB
A
O
E C
(1)有交点，连半径,证垂直. (2)无交点, 作垂直,证半径.
练习1、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
圆心到直线距
离d与半径r的 d < r d = r d > r
关系（数量）
O
l
O
d
l
点A叫半径OA的外端
作半径OA
经过点A作直线
无数条
O
·A
相交 相切
与圆O的位置关系
1、判断： 两个条件缺一不可
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（×）
(2)与半径垂直的的直线是圆的切线（×）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的
人教版九年级上册
24.2.2切线的判定和性质+课件++2024—2025学年人教版数学九年级上册
• 2.通过1所得结论及证明过程，你能否发现其它的结论，如果有， 请你写出并予以证明。
∴直线AB与⨀O相交
这与已知“直线AB与⨀O相切”矛盾
③∴假设不成立，所以直线AB⊥OC
O
CH
B
步骤： ①连接圆心和切点（半径） ∵直线与圆相切 ∴直线⊥半径
随堂练习
如图，PO平分∠MPN，⨀O与PM相切于点A。
求证：PN是⨀O的切线。
①连接OA ∵⨀O与PM相切于点A。 ∴OA⊥PM (切线垂直于过切点的半径）
O
O
O
A
B
A
B
在等腰三角形OAB中，∠OAB=∠OBA=α 当交点A、B无限逼近时，α越大。
A(B)
当交点A、B重合时，α=90° 此时直线与圆有一个交点
3、过圆外一点A作圆的切线，能半径
判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线 是圆的切线。
直线和圆相切—切线的判定
过点D作DF⊥AB于点F，连接OF。 求证：DF是⨀O的切线。
B
①∵直径BC
∴连接BD，∠BDC=90° ∴BD⊥AC ②∵在等边△ABC中 ∴BD是底边AC上的中线
③∵点O、C分别是BC、AC的中点
O
F
C
D
A
知交点→连接
∴连接OC，OC是△BCA的中位线
∴OC∥BA
∴∠ODF=∠AFD
④∵DF⊥AB
∴∠AFD=90° ∴∠ODF=90° ∴DF是⨀O的切线
随堂练习 如图，半径为r的硬币沿直线无滑动的滚动一周，
求：圆心经过的距离是多少？
提示：硬币与地面相切 ∵硬币与地面相切，不妨设滚动前圆心为O,切点为A ∴OA⊥地面
同理滚动一周后，O’A’⊥地面 ∴OA平行且等于O’A’ ∴四边形OAA’O’是矩形 ∴OO’=AA’。AA’为硬币的周长（化曲为直） ∴圆心经过的距离等于圆的周长2πr
∴直线AB与⨀O相交
这与已知“直线AB与⨀O相切”矛盾
③∴假设不成立，所以直线AB⊥OC
O
CH
B
步骤： ①连接圆心和切点（半径） ∵直线与圆相切 ∴直线⊥半径
随堂练习
如图，PO平分∠MPN，⨀O与PM相切于点A。
求证：PN是⨀O的切线。
①连接OA ∵⨀O与PM相切于点A。 ∴OA⊥PM (切线垂直于过切点的半径）
O
O
O
A
B
A
B
在等腰三角形OAB中，∠OAB=∠OBA=α 当交点A、B无限逼近时，α越大。
A(B)
当交点A、B重合时，α=90° 此时直线与圆有一个交点
3、过圆外一点A作圆的切线，能半径
判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线 是圆的切线。
直线和圆相切—切线的判定
过点D作DF⊥AB于点F，连接OF。 求证：DF是⨀O的切线。
B
①∵直径BC
∴连接BD，∠BDC=90° ∴BD⊥AC ②∵在等边△ABC中 ∴BD是底边AC上的中线
③∵点O、C分别是BC、AC的中点
O
F
C
D
A
知交点→连接
∴连接OC，OC是△BCA的中位线
∴OC∥BA
∴∠ODF=∠AFD
④∵DF⊥AB
∴∠AFD=90° ∴∠ODF=90° ∴DF是⨀O的切线
随堂练习 如图，半径为r的硬币沿直线无滑动的滚动一周，
求：圆心经过的距离是多少？
提示：硬币与地面相切 ∵硬币与地面相切，不妨设滚动前圆心为O,切点为A ∴OA⊥地面
同理滚动一周后，O’A’⊥地面 ∴OA平行且等于O’A’ ∴四边形OAA’O’是矩形 ∴OO’=AA’。AA’为硬币的周长（化曲为直） ∴圆心经过的距离等于圆的周长2πr
精品【人教版】初三九年级数学上册《24.2.2 直线和圆的位置关系——相交、相切、相离》课件
知识点
1 直线与圆的位置关系的判定
问 题（一）
(1)如图（1），如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一 条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关 系？由此你能得出直线和 圆的位置关系吗？
知1－导
（2）如图（2），在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆.在纸上 移动钥匙环，你能发现在移动钥匙环的过程中，它与直线l的公
（2）直线和圆相切 d=r；
（3）直线和圆相交 d＜r.
1.必做: 完成教材P101T2 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相离 D．与x轴相切，与y轴相交
（来自《典中点》）
知1－练
2 已知⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm， 则直线l与⊙O的公共点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．无法确定
（来自《典中点》）
3
圆的直径是13 cm,如果圆心与直线的距离分别是： （1）4.5 cm；（2）6.5 cm；（3）8 cm. 那么直线和圆分别是什么位置关系？有几个公共点？
（来自教材）
知2－导
知识点
2
直线与圆的位置关系的性质
O l
O A
O
l
A
B
l
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切． 这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点． 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． 这条直线叫做圆的割线，公共点叫直线和圆的交点．
知2－导
总 结
1. 直线和圆相离→d＞r； 2. 直线和圆相切→d=r； 3. 直线和圆相交→d＜r.
人教版九年级上册课件 24.2.2 直线和圆的位置关系 (共60张PPT)
4、当 r 满足 ________ 时, ⊙C与线段AB只有一个公共点.
4
D
C
A
3
想一想?
当r满足__r_=__2_.4__c_m__ 或__3_c_m__<_r_≤__4_c_m_ 时,⊙C与
线段AB只有一个公共点.
B
在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
练习2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则
圆心到直线的距离d的取值范围是 d>5 .
练习3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l
的距离为8,则r的取值范围是 r>8 .
例题2：
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是 _相__离__,⊙A与Y轴的位置关系是__相__切__。
3 、若A是⊙O上一点， 则直线AB与⊙O相切 。( × )
4 、若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与 ⊙O 相交或相离。………（ × ）
.O
.A
.C
运用：
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
l
·O
·O
l
·O
l
相离 （4）
相交 （5）
相切
·O
相交
l
？·O
l
（5）
？·O
l
··
练习一
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O 的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切 线，求这两条切线的夹角及切线长．
E O
F
1 2P
切线长定理的拓展 A
4
D
C
A
3
想一想?
当r满足__r_=__2_.4__c_m__ 或__3_c_m__<_r_≤__4_c_m_ 时,⊙C与
线段AB只有一个公共点.
B
在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3cm，BC=4cm， 以C为圆心，r为半径作圆。
（A）相交 （B）相切 （C）相离 （D）相切或相交
练习2:已知圆的半径等于5,直线l与圆没有交点,则
圆心到直线的距离d的取值范围是 d>5 .
练习3:直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l
的距离为8,则r的取值范围是 r>8 .
例题2：
已知⊙A的直径为6，点A的坐标为 （-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是 _相__离__,⊙A与Y轴的位置关系是__相__切__。
3 、若A是⊙O上一点， 则直线AB与⊙O相切 。( × )
4 、若C为⊙O外的一点，则过点C的直线CD与 ⊙O 相交或相离。………（ × ）
.O
.A
.C
运用：
1、看图判断直线l与 ⊙O的位置关系
（1）
（2）
（3）
l
·O
·O
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相离 （4）
相交 （5）
相切
·O
相交
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（5）
？·O
l
··
练习一
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O 的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切 线，求这两条切线的夹角及切线长．
E O
F
1 2P
切线长定理的拓展 A
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
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A O E C
随时清点知识是我们胜 利的法宝噢
闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同? 闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?
D O A E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点, (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 如果已知直线经过圆上一点 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
●
O
┐
A
l
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 过半径的外端的直线是圆的切线（ 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 与半径垂直的直线是圆的切线（ 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
O l r A O r l A
●
O l r A
连接OC， 连接OC，只要证明 OC AB⊥OC 即可。 ⊥ ＿＿＿ 即可。
ห้องสมุดไป่ตู้
O
例题讲解（ ） 例题讲解（2） 已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D, 平分线上一点 为圆心，OD为半径作 为半径作⊙ 以O为圆心，OD为半径作⊙O。 B D 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC，垂足为E。 证明： OE⊥AC，垂足为E AO平分 BAC， 平分∠ ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OE＝ ∴ OE＝OD OD是 ∵ OD是⊙O的半径 OE是 ∴ OE是⊙O的半径 AC是 的切线。 ∴ AC是⊙O的切线。
A
1、已知：P为⊙O外 已知： 一点， OP为直径 一点，以OP为直径 作圆交⊙ 作圆交⊙O于A、B 两点，连接PA、PB 两点，连接PA、 那么PA、PB是 那么PA、PB是⊙O 的切线吗？ 的切线吗？
●
O
●
P
B
超级挑战
如图, ABC中 如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC AB为直径的 交边BC 为直径的⊙ 于P， BP=PC, PE⊥AC于E。 PE⊥AC于 求证:PE :PE是 的切线。 求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP OP。 证明：连结OP。 A AB为直径 ∵ AB为直径 O OB=OA，BP=PC， ∴ OB=OA，BP=PC， OP∥AC。 ∴OP∥AC。 B P PE⊥AC， 又∵ PE⊥AC， PE⊥OP。 ∴PE⊥OP。 PE为 的切线。 ∴PE为⊙0的切线。
F O A C E B
例题讲解（ ） 例题讲解（1） 已知：直线AB经过⊙ 上的点C 已知：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB,CA=CB AB经过 求证：直线AB AB是 的切线。 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC(如图) OC(如图 证明：连结OC(如图)。
OAB中 OA＝OB,CA＝ ∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝CB, AB⊥OC。 ∴ AB⊥OC。 A B C ∵直线AB经过⊙O上的点C 直线AB经过⊙ 上的点C AB经过 分析：由于AB AB过 分析：由于AB过 AB是 的切线。 ∴ AB是⊙O的切线。 ⊙O上的点C，所以 上的点C
O
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A
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精彩源于发现
请你总结一下：圆 请你总结一下： 的切线的判定有几 种方法？ 种方法？
知识清单： 知识清单： 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ 如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 到圆心的距离等于半径 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线； 切线；(d=r) (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 过半径外端点且和半径垂直的 是圆的切线； 是圆的切线；
圆的切线判定定理： 圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端； 垂直于过该点半径； 条件： 经过半径的外端 (2)垂直于过该点半径 经过半径的外端； 垂直于过该点半径；
符 号 语 言 表 达
经过⊙ 上 ∵l⊥OA，且l 经过⊙O上 ⊥ ， 的A 点 ∴直线l是⊙O的切线 直线 是 的切线
请 你 参 加
1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较 、矩形的两边长分别为 和 ， 长一边为直径作半圆， 长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半 圆相切的线段最多有（ 圆相切的线段最多有（ D ） A、0条 A、0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条 B、 1条 C、 2条 D、 3条
ABC内接于 过点A 2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直 EF，AB为直径 为直径, 线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿ 使得EF EF是 的切线。 ＿＿.使得EF是⊙O的切线。
E C
谈谈今天的收获
判定切线的方法有哪些？ 1. 判定切线的方法有哪些？
直线l 直线 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线
2. 证明圆的切线常用辅助线作法： 证明圆的切线常用辅助线作法： 连半径， ⑴连半径，证垂直 作垂直， ⑵作垂直，证半径
探究： 探究： 已知⊙O ，过点P你能作出它的一条切 已知⊙ 过点 你能作出它的一条切 线吗？你是怎样判断这条直线是⊙ 的 线吗？你是怎样判断这条直线是⊙O的 切线的？ 切线的？
O
PQ是⊙O的切线 是 的切线
Q
P
过点P作 在⊙O中， 作任一条半径 ，过点 作 中 作任一条半径OP， PQ⊥OP ⊥
§24.2.2直线和圆的位置关系 24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线的判定 -----切线的判定
库尔勒市第四中学 孙丽丽
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞 出的方向是什么方向？ 出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向？ 么方向？
生 活 中 的 数 学 下雨天转动雨伞时飞出的水， 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
随时清点知识是我们胜 利的法宝噢
闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同? 闯关练习1与闯关练习2的证法有何不同?
D O A E A C B C O B
(1)如果已知直线经过圆上一点, (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 如果已知直线经过圆上一点 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为：连半径,证垂直。 简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 则过圆心作直线的垂线段为辅助线, 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
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1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 过半径的外端的直线是圆的切线（ 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 与半径垂直的直线是圆的切线（ 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ） 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（
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连接OC， 连接OC，只要证明 OC AB⊥OC 即可。 ⊥ ＿＿＿ 即可。
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例题讲解（ ） 例题讲解（2） 已知： BAC平分线上一点，OD⊥AB于 已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D, 平分线上一点 为圆心，OD为半径作 为半径作⊙ 以O为圆心，OD为半径作⊙O。 B D 求证： AC相切 相切。 求证：⊙O与AC相切。 证明：过O作OE⊥AC，垂足为E。 证明： OE⊥AC，垂足为E AO平分 BAC， 平分∠ ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB OE＝ ∴ OE＝OD OD是 ∵ OD是⊙O的半径 OE是 ∴ OE是⊙O的半径 AC是 的切线。 ∴ AC是⊙O的切线。
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1、已知：P为⊙O外 已知： 一点， OP为直径 一点，以OP为直径 作圆交⊙ 作圆交⊙O于A、B 两点，连接PA、PB 两点，连接PA、 那么PA、PB是 那么PA、PB是⊙O 的切线吗？ 的切线吗？
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超级挑战
如图, ABC中 如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC AB为直径的 交边BC 为直径的⊙ 于P， BP=PC, PE⊥AC于E。 PE⊥AC于 求证:PE :PE是 的切线。 求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP OP。 证明：连结OP。 A AB为直径 ∵ AB为直径 O OB=OA，BP=PC， ∴ OB=OA，BP=PC， OP∥AC。 ∴OP∥AC。 B P PE⊥AC， 又∵ PE⊥AC， PE⊥OP。 ∴PE⊥OP。 PE为 的切线。 ∴PE为⊙0的切线。
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例题讲解（ ） 例题讲解（1） 已知：直线AB经过⊙ 上的点C 已知：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB,CA=CB AB经过 求证：直线AB AB是 的切线。 求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC(如图) OC(如图 证明：连结OC(如图)。
OAB中 OA＝OB,CA＝ ∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝CB, AB⊥OC。 ∴ AB⊥OC。 A B C ∵直线AB经过⊙O上的点C 直线AB经过⊙ 上的点C AB经过 分析：由于AB AB过 分析：由于AB过 AB是 的切线。 ∴ AB是⊙O的切线。 ⊙O上的点C，所以 上的点C
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请你总结一下：圆 请你总结一下： 的切线的判定有几 种方法？ 种方法？
知识清单： 知识清单： 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？ 如何判定一条直线是已知圆的切线？ (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 到圆心的距离等于半径 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线； 切线；(d=r) (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 过半径外端点且和半径垂直的 是圆的切线； 是圆的切线；
圆的切线判定定理： 圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端； 垂直于过该点半径； 条件： 经过半径的外端 (2)垂直于过该点半径 经过半径的外端； 垂直于过该点半径；
符 号 语 言 表 达
经过⊙ 上 ∵l⊥OA，且l 经过⊙O上 ⊥ ， 的A 点 ∴直线l是⊙O的切线 直线 是 的切线
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1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较 、矩形的两边长分别为 和 ， 长一边为直径作半圆， 长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半 圆相切的线段最多有（ 圆相切的线段最多有（ D ） A、0条 A、0条 B、 1条 C、 2条 D、 3条 B、 1条 C、 2条 D、 3条
ABC内接于 过点A 2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直 EF，AB为直径 为直径, 线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿ 使得EF EF是 的切线。 ＿＿.使得EF是⊙O的切线。
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判定切线的方法有哪些？ 1. 判定切线的方法有哪些？
直线l 直线 与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线 l是圆的切线 是圆的切线
2. 证明圆的切线常用辅助线作法： 证明圆的切线常用辅助线作法： 连半径， ⑴连半径，证垂直 作垂直， ⑵作垂直，证半径
探究： 探究： 已知⊙O ，过点P你能作出它的一条切 已知⊙ 过点 你能作出它的一条切 线吗？你是怎样判断这条直线是⊙ 的 线吗？你是怎样判断这条直线是⊙O的 切线的？ 切线的？
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PQ是⊙O的切线 是 的切线
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过点P作 在⊙O中， 作任一条半径 ，过点 作 中 作任一条半径OP， PQ⊥OP ⊥
§24.2.2直线和圆的位置关系 24.2.2直线和圆的位置关系
-----切线的判定 -----切线的判定
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1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞 出的方向是什么方向？ 出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向？ 么方向？
生 活 中 的 数 学 下雨天转动雨伞时飞出的水， 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．