数学九年级上册专题24.7 圆的切线的判定与性质-重难点题型(人教版)(学生版)

专题24.7 圆的切线的判定与性质--重难点题型

【人教版】

【知识点1 切线的判定】

（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

（2）切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．

【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】

【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．

【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．

【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．

【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．

（1）求证：ED＝EC；

（2）求证：AF是⊙O的切线．

【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】 【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．

【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）

A．以OA为半径的圆 B．以OB为半径的圆

C．以OC为半径的圆 D．以OD为半径的圆

【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；

【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．

（1）求证：AD是圆O的直径；

（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．

【题型3 切线判定（定义法）】

【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；

（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；

（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．

其中正确的说法个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（ ）

A．与圆有公共点的直线

B．到圆心的距离等于半径的直线

C．到圆心的距离大于半径的直线

D．到圆心的距离小于半径的直线

【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是 ．（填序号）

【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，PA和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且PA＝PB，求证：PB是⊙O的切线．

【知识点2 切线的性质】

（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径

（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【题型4 切线的性质（求长度问题）】

【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD＝5，求AC的长．

【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC中，AC＝BC＝2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（ ）

A．1 B．2√33 C．2 D．2√55

【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D的切线DE⊥AC于点E．（1）求证：AB＝AC；

（2）若AB＝10，BD＝8，求DE的长．

【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接BC，F为BC的中点，连接FO并延长交⊙O于点D，过点D的切线与CA的延长线交于点E．

（1）求证：四边形CEDF是矩形；

（2）若AC＝OA＝2，求AE的长．

【题型5 切线的性质（求半径问题）】

【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C．

（1）若∠ADE＝28°，求∠C的度数；

（2）若AC＝2√3，CE＝2，求⊙O半径的长．

【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O上三点A，B，C，∠ABC＝15°，切线PA交OC延长线于点P，AP=√3，则⊙O的半径为（ ）

A．√33 B．√32 C．√3 D．3

【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，作OF⊥AD于点E，交CD于点F．

（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；

（2）若BD＝8，EF＝2，求⊙O的半径．

【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O中，AB为直径，P为射线AB上一点，过点P作⊙O的切线，切点为点C，D为弧AC上一点，连接BD、BC、DC．

（1）如图1，求证：∠D＝∠PCB；

（2）如图2，若四边形CDBP为平行四边形，BC＝5，求⊙O的半径．

【题型6 切线的性质（求角度问题）】

【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．

（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；

（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．

【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（ ）

A．120° B．60° C．90°或120° D．60°或120°

【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．

（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．

【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．

（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；

（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．