九年级数学下册第24章圆24.4第2课时切线的性质和判定练习课件37

综合能力提升练
13.如图,有两个同心圆,大圆的弦AB和CD相等.AB切小圆于点E,那么CD是小圆的切接OE,过点O作OF⊥CD,垂足为F. ∵AB切小圆于点E,∴OE⊥AB, ∵AB=CD,∴OF=OE,∴CD是小圆的切线.
综合能力提升练
14.如图所示,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点B作BD⊥CD,垂足为D,连接BC,BC平 分∠ABD. 求证:CD为☉O的切线. 证明:∵BC平分∠ABD, ∴∠OBC=∠DBC, ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB, ∴∠OCB=∠DBC, ∴OC∥BD, ∵BD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD为☉O的切线.
第2课时 切线的性质与判定
知识要点基础练
知识点1
知识点2
切线的性质 1.如图,A,B是☉O上的两点,AC是☉O的切线,∠B=70°,则∠BAC等( C )
A.70° B.35° C.20° D.10° 2.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=2 cm,☉A与BC相切于点D,则☉A的半径长 为 2 cm.
知识要点基础练
知识点1
知识点2
6.如图,已知△ABC内接于☉O,AB为直径,过点A作直线EF,要使EF是☉O的切线,只需添 加的一个条件是 答案不唯一,如①AB⊥FE;②∠BAC+∠CAE=90°;③∠C=∠FAB . ( 写出一个即可 )
综合能力提升练
7.菱形的对角线相交于点O,以点O为圆心,以点O到菱形一边的距离为半径的☉O与菱 形其他三边的位置关系是( C ) A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 8.( 深圳中考 )如图,直尺、60°的直角三角板和光盘如图摆放,60°角与直尺交于A 点,AB=3,则光盘的直径是( D )
在 Rt△PBM 中,PB= ������������2 -������������2 = 综上所述,BP 的长为 3 或 4 3.

BO＝12，当⊙O 的半径 OC＝__1630__时，AB 与⊙O 相切．
9．(6 分)如图，点 C 是⊙O 的直径 AB 延长线上的一点， 且有 BO＝BD＝BC.求证：CD 是⊙O 的切线．
解：证明：连接 OD，∵BO＝BD＝BC，∴△BOD 为等 边三角形，∴∠DOB＝∠DBO＝60°，又∵BD＝BC，∴∠C ＝∠BDC，又∵∠DBA＝∠C＋∠BDC，∴∠BDC＝30°，∴ ∠C＋∠BDO＝90°，∴OD⊥DC，∴CD 是⊙O 的切线
初中数学课件
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•24．4 直线与圆的位置关系 •第2课时 切线的性质与判定
1．切线性质：圆的切线垂直于经过__切点__的半 径．
2．切线判定：经过半径__外端__并且垂直于这条 半径的__直线__是圆的切线．
切线的性质
1．(4 分)(2015·潍坊)如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长 线交过点 B 的⊙O 的切线于点 C，如果∠ABO＝20°，第 13 题
图)
13．如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，
MN 与⊙O 相切，切点为 A，若∠MAB＝30°，则∠B＝__60°
__．
三、解答题(共 36 分) 14．(10 分)如图，半径 OA⊥OB，P 是 OB 延长线上一 点，PA 交⊙O 于点 D，过 D 作⊙O 的切线 CE 交 PO 于 C 点．求证：PC＝CD.
A．70° B．50° C．45° D. 35°
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(4 分)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直 径的⊙O 与 BC 相切于点 B，则 AC 等于( C )
A. 2 B. 3 C．2 2 D．2 3

利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件，缺一 不可: (1)直线经过半径的外端；(2)直线与这半径垂直.
已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出 圆的切线？
.O . Al
第一步：连接OA； 第二步：过A点作OA的垂线l.
归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
.O
几何符号表达：∵直线l切⊙O于点A， A
l
∴OA⊥l
反证法证明切线的性质
如图，直线CD与⊙O相切，求证：⊙O的半径OA
与直线CD垂直.
证明：（1）假设AB与CD不垂直，过
B
点O作一条直线垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM＜OA，即圆心到直线CD的
O
距离小于⊙O的半径，因此，CD与⊙O
有公共点，连半径，证垂直； 无公共点，作垂直，证半径.
经过半径的外端并 判定定理 →且垂直于这条半径
的直线是圆的切线
切线的性 质定理
→
圆的切线垂直于 经过切点的半径
→
有切线常作辅助线： 见切线，连切点，得垂直.
∴△OBD≌△OCE(AAS),
∴OD=OE . ∴AC与⊙O相切.
方法二：
证明：连接OA,OD,作OE⊥AC 于E . ∵ ⊙O与AB相切于E, ∴OD⊥AB.
又∵△ABC为等腰三角形，
O是底边BC的中点，
B
A D
1
O
E C
∴AO平分∠BAC,
∴OD=OE ，即OE是⊙O半径.
∴AC是⊙O的切线. 方法总结：无交点，作垂1 ， ∴ AB⊥l2，
∴ l1∥l2.
l2

C
例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线.
提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 OC⊥AB 即可.
证明：连接 OC，如图.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
O
∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB.
∵ OC 是⊙O 的半径，
数量关系法
d = r，则相切
判定定理
经过半径外端点并 且垂直于这条半径 的直线是圆的切线
证切线时常用辅 助线添加方法： ①有公共点，连 圆心，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径
O
AN
B M
典例精析 例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边
AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O
上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 ( A ) A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，如图. ∵⊙O 与边 AB 相切于点 D， ∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°. ∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°. ∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
F
又∵ ∠CAE =∠B， ∴ ∠D = ∠CAE.
A
OD
∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF.
B
∴ EF 是 ☉O 的切线.
E
C 图2
切线的 性质
切线的 判定
性质定理
圆的切线垂 直于经过切
有 1 个公共点 点的半径
d=r
有切线时常用辅助 线添加方法： 见切线，连切点， 得垂直
定义法 1 个公共点，则相切

o AM l
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
要点归纳
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：
∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA.
o
A
l
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
例题讲授 例3 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
P
3. 如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如 果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为 60° 时,AC才能 成为☉O的切线.
A O
第2题
第3题
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
4. 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2， ∠APO=30° ，求⊙O的半径.
解：连接OA，则OA为⊙O的半径， 因为PA是⊙O的切线， 所以OA⊥AP， 又∠APO＝30°，OP＝2， 所以OA＝1 OP＝1，
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
归纳总结
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共 点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条 直线的距离等于半径(即d=r) 时，直线与圆相切.
l r d
l
3.判定定理：经过半径的外端并且 垂直于这条半径的直线是圆的切线.
随堂演练
1. 如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为
圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 ( B )
A.2.3 B.2.4 C.2.5
D.2.6
24.2.2 第2课时 切线的判定和性质
2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12, 则PA与☉O的位置关系是 相切 .

例2
有切线时常用辅助线添加方法
(1)见切点，连半径，得垂直.
切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
灿若寒星
当堂练习
1.判断下列命题是否正确.
⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （× ） ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （× ）
我们学习过哪些判 断切线的方法？
dr
相交 两个交点 d＜r
r d
相切 一个交点
d=r 灿若寒星
∟
r d
相离 没有交点
d＞r
问题2如图，若直线AT是 ⊙O 的切线，A 为切点，那么 AT
和半径OA是不是一定垂直？请说明理由.
反证法：假设AT与OA不垂直，
则过点O作OM⊥AT,垂足为M.
根据垂线段最短，得OM＜OA， 即圆心O到直线AT的距离d＜R， ∴直线AT与⊙O 相交，
只要证明AB⊥OC即可.
O
证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线. ∴ AB⊥OC. ∵OC是☉O的半径,
∴ AB是☉O的切线.
A
C
B
灿若寒星
方法归纳
证切线时辅助线的添加方法 (1)有交点，连半径,证垂直;
(2)无交点，作垂直,证半径.
例1
⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线.
（√ ）
⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ √ ）
⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（√ ）
灿若寒星
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？

A
P
23
5. 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边 BC于P， PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. 证明：连接OP，如图. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴PE为⊙O的切线.
又∵BC为⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中， ∴△ACB≌△APO.
C
O
B
P
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
9
(2) 若AP ＝ 3 ，求⊙O的半径． 解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ 3 ， ∴ AO＝1， 即⊙O的半径为1.
A C O B P
证明：∵AB =AC，∠ABC =45°，
例4 已知：直线 AB 经过 ☉O 上的点 C，并且OA=OB，
CA = CB. 求证：直线AB是☉O的切线.
提示：由于AB过☉O上的点C，所以连接 OC，只要证明OC⊥AB即可. 证明：连接OC，如图. ∵ OA＝OB，CA＝CB， ∴△OAB是等腰三角形，OC⊥AB. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. O
①有公共点，连半径，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径.
28
O A
4
l
证明：当直线 l与⊙O相切时，切点为A，连接OA. 这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB， 因为点B在⊙O外，所以OB >OA. 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的， 故OA⊥l. O
l
A
B
于是我们可以得到： 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
5

【答案】60
6．[中考·连云港]如图，AB 是⊙O 的弦，点 C 在过点 B 的切线 上，且 OC⊥OA，OC 交 AB 于点 P，已知∠OAB＝22°，则 ∠OCB＝________°.
【点拨】如图，连接 OB， ∵BC 是⊙O 的切线，∴OB⊥BC， ∴∠OBA＋∠CBP＝90°. ∵OC⊥OA，∴∠A＋∠APO＝90°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22°，∴∠APO＝∠CBP＝68°. ∵∠APO＝∠CPB，∴∠CPB＝∠CBP＝68°， ∴∠OCB＝180°－68°－68°＝44°.
(2)若 DE＋EA＝8，AF＝16，求⊙O 的半径．
解：如图，过点 O 作 OH⊥AF 于点 H，则 AH＝12AF＝8，∠ODE ＝∠DEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形 ODEH 是矩形， ∴OD＝EH，OH＝DE.
设 AE＝x.∵DE＋AE＝8， ∴ OH＝ DE＝ 8－ x， OA＝ OD＝HE＝ AH＋AE＝ 8＋ x， 在 Rt△AOH 中，由勾股定理，得 AH2＋OH2＝OA2，即 82＋(8－x)2 ＝(8＋x)2，解得 x＝2， ∴OA＝8＋2＝10. ∴⊙O 的半径标系内，以原点 O 为圆心，1 为半
径作圆，点 P 在直线 y＝ 3x＋2 3上运动，过点 P 作该圆
的一条切线，切点为 A，则 PA 的最小值为( )
A．3
B．2
C． 3
D． 2
【点拨】如图，PA 切⊙O 于点 A，直线 y＝ 3x＋2 3与 x 轴交 于点 C，与 y 轴交于点 D， 当 x＝0 时，y＝ 3x＋2 3＝2 3，则 D(0，2 3)， 当 y＝0 时， 3x＋2 3＝0， 解得 x＝－2，则 C(－2，0)， ∴CD＝ 22＋（2 3）2＝4.

能力提升练 作 OH⊥CD 于 H，∵12OH·CD＝12OC·OD，∴OH＝2×24 3＝ 3. 连接 OA，OP，∵PA 为⊙O 的切线，∴OA⊥PA， ∴PA＝ OP2－OA2＝ OP2－1， 当 OP 的值最小时，PA 的值最小，而 OP 的最小值为 OH 的长， ∴PA 的最小值为 （ 3）2－1＝ 2.
能力提升练
【点拨】如图①，当⊙P 与 CD 相切时，设 PC＝PM＝x. 在 Rt△PBM 中， ∵PM2＝BM2＋PB2， ∴x2＝42＋(8－x)2，解得 x＝5， ∴PC＝5，BP＝BC－PC＝8－5＝3.
能力提升练
如图②，当⊙P 与 AD 相切时． 设切点为 K，连接 PK，则 PK⊥AD， 四边形 PKDC 是矩形， ∴PM＝PK＝CD＝8. 在 Rt△PBM 中，PB＝ PM2－BM2＝ 82－42＝4 3. 综上所述，BP 的长为 3 或 4 3. 【答案】3 或 4 3
能力提升练 14．[安徽模拟]如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的
⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，交 AC 于点 E，AC 的反向延长线交⊙O 于点 F. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；
能力提升练
证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， 又∵OD 是半径，∴DE 是⊙O 的切线．
【答案】34°
基础巩固练
5．[中考·安徽]如图，菱形 ABOC 的边 AB，AC 分别与⊙O 相切 于点 D，E.若点 D 是 AB 的中点，则∠DOE＝________°.
基础巩固练 【点拨】如图，连接 OA， ∵四边形 ABOC 是菱形，∴BA＝BO. ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB. ∵点 D 是 AB 的中点，∴直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线， ∴OA＝OB，∴△AOB 是等边三角形． ∴∠AOD＝12∠AOB＝30°，同理，∠AOE＝30°， ∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝60°. 【答案】60

①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形； ③PO＝AB；④∠PDB＝120°. 其中，正确的有( ) A A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
夯实基础
4．如图，AB 是⊙O 的直径，线段 BC 与⊙O 的交点 D 是 BC 的中点，DE⊥AC 于点 E，连接 AD，则下列结论中 正确的个数是( D ) ①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B； ③OA＝12AC；④DE 是⊙O 的切线． A．1 B ．2 C ．3 D ．4
夯实基础
2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使 过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是( A ) A．∠EAB＝∠C B．∠EAB＝∠BAC C．EF⊥AC D．AC是⊙O的直径
夯实基础
3．如图，点P在⊙O的直径BA的延长线上，PC与⊙O相切， 切点为C，点D在⊙O上，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
夯实基础
证明：如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B. ∵PN与⊙O相切于点A，∴OA⊥PN. 又∵点O在∠MPN的平分线上，OB⊥PM， ∴OB＝OA.∴点O到直线 PM的距离等于⊙O的半径． ∴PM为⊙O的切线．
整合方法
9．【2020·湘潭】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为 直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点 E.
整合方法
(1)求证：△ABD≌△ACD； 证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝∠ADB＝90°. 在 Rt△ ABD 和 Rt△ ACD 中，AADB＝＝AACD，， ∴Rt△ ABD≌Rt△ ACD(HL)．
整合方法
(2)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由． 解 ： 直 线 DE 与 ⊙ O 相 切 ． 理 由 如 下 ： 如图，连接OD.