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一、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 二、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD 三、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==DBABA∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
精锐教育1对1辅导讲义学员： 学科教师：年级： 辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学容1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？2、 圆中有哪些概念？3、 垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理 同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线⇔r d <。
【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P ； (C) 点B 在圆P 、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P ．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=o，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）A .点D 在圆，B A 、在圆外 B .点D 在圆，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2. 过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的接三角形。
例2.如图，作出»AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。
AODBCAO（一） 圆的相关概念及垂径定理一、知识梳理（一）圆的有关概念1.圆的基本概念：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径；圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长(半径r)；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）； 以O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”2.圆的对称性及特性：(1)圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴; (2)圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.(3)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
4．弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 5.直径：经过圆心的弦叫直径。
注：圆中有无数条直径6.圆弧：(1)圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”以A,B 两点为端点的弧.记作AB ⋂,读作“弧AB”. (2)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。
如弧AD. (3)小于半圆的弧叫做劣弧,如记作AB ⋂(用两个字母). 7．圆心角：顶点在圆心，两边和圆相交的角叫做圆心角。
说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。
（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。
（二）弦、弧、弦心距、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，弦、弧、弦心距、圆心角四组量中只要有一组量相等，则其余三组量也相等。
（三）和圆有关的角：1、圆周角：顶点在圆上，它的两边和圆还有另一个交点的角叫做圆周角。
2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
圆的认识及垂径定理【知识导图】知识梳理知识点一 圆的认识（弦，弧）1、什么叫弦？直径与弦的关系？弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径.2、什么叫弧？什么叫优弧？什么叫劣弧？什么是等弧？弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧，能够完全重合的两条弧叫等弧.3、圆的对称性质？作为轴对称图形，其对称轴是？圆即是轴对称图形也是中心对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.知识点二 垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：，⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD.分析：要证，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、BM AM=BM AM =OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在和中∴∴∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．∴⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理推论：1、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论扩展推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2、垂径定理及其推论可概括为OAM Rt ∆OBM Rt ∆⎩⎨⎧==OM OM OB OA OBM Rt OAM Rt ∆≅∆BM AM=考点解析类型一圆的认识（弦、弧）【例题1】下列五个命题：（1）平分弦的直径必垂直于弦（2）圆是轴对称图形，对称轴是直径（3）圆中两点之间的部分叫做弧（4）长度相等的两条弧叫等弧（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径其中真命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】（1）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，故原命题是假命题，（2）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题是假命题，（3）圆上两点之间的部分叫做弧，故原命题是假命题，（4）能够完全重合的两条弧叫等弧，故原命题是假命题，（5）直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径，原命题是真命题，其中真命题有1个．故选；A．【总结与反思】本题考查圆的相关概念及垂径定理，理解概念及定理即可解决，要求学生掌握圆的相关概念及垂径定理内容。
第一节：圆的有关性质一、两个定义二、两个元素三、三个区域；四、四个概念：五；两种圆：六、两条性质：辅助线的作法：作出半径，作出直径练习： .求证：直径是圆中的最大的弦。
已知：AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD 不经过点O 。
求证：AB >CD发生性定义：一条线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形，就叫做圆同圆或等圆中的半径或直径相等 描述性定义：到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形叫做圆 圆心---- 决定位置半径---- 决定大小 圆的内部 d< r圆上 d=r圆的外部 d>r 弦----直径 弧----半圆---优弧-----劣弧弦心距 弓形-----弓高 同心圆：:圆心相同，半径不等的两个的圆 等圆 ：圆心不同，半径不等的两个圆 .同圆或等圆中，直径是半径的2倍。
·ADC B第二节：垂径定理一．圆的轴对称性：二．如图所示，根据圆的轴对称性体会，当直径AB 垂直CD 时，找出图中相等的线段，相等的弧，是不是轴对称呢？三．垂径定理：几何推理语言：垂径定理的推论：几何推理语言：三．垂径定理的应用：1.定理的基本图形是：2.常见的辅助线的作法：（思路）（1）作弦心距 ―― 过点O 作OD ⊥AB 于D ―― 使用垂径定理。
（2）连出半径 ―― 构成直角三角形 ―― 使用勾股定理。
3．习题类型：A.证明题B.计算题C.作图题。
4.练习题：1．在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直的两条弦， AB ＝8cm ，AC ＝6cm 求⊙O 的半径OA 的长？ABAB DODA B·OABDCA P ODC E O AD B 2. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？3. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。
4.如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，求弦CD 的长。
垂径定理及其20个推论垂径定理及其20个推论是几何学中的基本定理，它描述了圆与其内接三角形的关系。
下面是垂径定理及其20个推论的详细解释：垂径定理：在一个圆中，任意一条直径与其上的任意一条弦垂直。
推论1：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的两个直角三角形互为相似三角形。
推论2：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边等于圆的半径。
推论3：在一个圆中，以圆心为端点的直径为直角边的直角三角形的斜边的平方等于两直角边的乘积。
推论4：在一个圆中，任意两条垂直的弦所对的弧互补。
推论5：在一个圆中，两条交叉的弦所对的四个弧互补。
推论6：在一个圆中，一条弦和其所对的弧上的两个角互补。
推论7：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论8：在一个圆中，两条相交弦所对的角相等。
推论9：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弧所对的角。
推论10：在一个圆中，一个角的对角互补角等于其所对的弦所对的弧所对的角。
推论11：在一个圆中，两条相交弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论12：在一个圆中，两条相交弦所对的角互补。
推论13：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等。
推论14：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等。
推论15：在一个圆中，两个相对的角所对的弦相等于圆的半径。
推论16：在一个圆中，两个相对的角所对的弦互等于圆的半径。
推论17：在一个圆中，两个相对的角所对的弦的平方等于两个相对角的余弦的差的平方。
推论18：在一个圆中，一条弦所对的角等于其所对的弧所对的角。
推论19：在一个圆中，一条弦所对的角互补。
推论20：在一个圆中，一条弦所对的角是其所对的弧的一半。
几何中的圆的切线垂径定理几何学中的圆是一个常见的图形，它在很多问题中都扮演着重要的角色。
而切线和垂径则是在处理圆相关问题时经常遇到的概念。
在这篇文章中，我们将探讨几何中的圆的切线垂径定理。
圆的切线是指与圆相切的直线，它与圆的切点处于圆上。
在几何学中，圆的切线有很多性质和定理。
其中，切线垂径定理是讲述圆的切线和半径之间的关系的定理之一。
首先，让我们明确圆的半径和直径的概念。
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。
而直径则是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径的长度是圆的半径长度的两倍。
在圆中，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。
切线与半径的关系通过切线垂径定理得以描述。
这个定理主要讲述了切线与半径的垂直关系。
根据切线垂径定理，与圆上一点相切的切线垂直于从圆心到切点的半径。
也就是说，切线和半径是相互垂直的。
这个定理为我们解决一些与圆相关的几何问题提供了便利。
在实际问题中，我们可以利用切线垂径定理来求解一些几何问题。
例如，当需要确定切线的方向与某个点的位置关系时，我们可以根据切线垂径定理判断切线和半径是否垂直，从而确定切线的方向。
另外一个应用场景是求解两个圆相切问题。
当我们需要确定两个圆的切点以及切点与切线的关系时，可以利用切线垂径定理来推导解决方案。
此外，切线垂径定理还可以应用于证明一些有关圆的定理和性质。
通过运用这个定理，我们可以建立一些关于切线和半径的关系，并且进一步推导出其他相关的结论。
总结起来，几何中的圆的切线垂径定理是讲述切线与半径之间的垂直关系的定理。
这个定理在解决圆相关的几何问题中提供了便捷和应用的可能性。
无论是在实际问题中求解切线方向还是证明圆的定理，切线垂径定理都有着重要的作用。
通过运用这个定理，我们可以更好地理解圆的性质和特点，进一步拓展几何学的知识。
本文简要介绍了几何中的圆的切线垂径定理。
在实际问题中，切线垂径定理可以用于求解切线方向和圆的切点问题，也可以用于证明其他的圆的性质和定理。
《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ⇒d r <⇒ 点C 在圆内；
2、点在圆上 ⇒d r =⇒ 点B 在圆上；
3、点在圆外 ⇒d r >⇒ 点A 在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r >⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r =⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r <⇒有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒无交点 ⇒d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点⇒d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点⇒R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点⇒d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-；
五、垂径定理
图1
A
图2
图4
图5
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
B
D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒180B D ∠+∠=︒
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
B
A
B
A
O
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =
PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ⋅=⋅
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥，
∴2
CE AE BE =⋅
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =⋅
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅
十二、两圆公共弦定理
D
B
A
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ∆
中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和 。
十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
l
O
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
C 1
D 1。
