圆中的计算垂径定理
教学设计
【内容分析】
垂径定理及其推论是圆的性质部分非常重要的定理。垂径定理为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在中考考点上属于高频考点。垂径定理的学习无论从知识上，还是从学生能力的培养及学习信心的提升都起着重要的作用。
【学情分析】
学生是我自己所任教班级的学生，整体学习能力薄弱，中下生若多。他们在初三上学期已经完成垂径定理的学习，在运用定理方面仍不够灵活、熟练，又因为圆的知识点长时间运用，遗忘率很高。学生的基础弱，遇到不懂的题目，容易放弃，他们的自信心明显不足，大部分学生口头语言表达能力较弱，自我探索解题思路欠缺，分析问题需要老师引导。目前，有大部分学生，肯在老师的引导下，努力解题，由被动转向主动学习。
【教学目标】
1.进一步熟悉垂径定理及其推论的应用；
2.通过教学，提高学生分析基本图形、添加适当的辅助线探索解题思路的能力；通过
把实际问题转化一个数学问题，了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问
题的能力；
3.通过练习，总结常用解题方法，渗透方程、构造直角三角形等数学思想；
4. 学会与同学交流合作，培养团队精神，体验学习过程中成功的快乐，增强学习数学
的信心和热情。
【教学重点】
1.垂径定理及其推论的灵活运用；
2.定理应用过程的方法提炼和计算能力的训练提升。
【教学难点】
添加辅助线和把实际问题转化成数学问题，并用定理及其推论解决问题。
【任务分析】
学生中下面较广，知识点掌握不牢固，遗忘率很高。通过感知基础图形，动手画变式图形，达到巩固垂径定理，从而用垂径定理解决圆中有关计算。
【教学策略】
引入采用启发、类比，教学过程采用变式训练、分组训练、数学建模。
【教学过程】
一、引入
1.确定垂径定理基本图形
师：我们今天复习的内容是圆。（老师在黑板上画圆）
CD不垂直于AB CD⊥AB于点E CD∥AB 图（1
）图（2）图（3）
利用图（1）与图（2）图形结构的对比，确定垂径定理基本图形。
师：图（2），是垂径定理的基本图形。这就是今天我们复习的主角——垂径定理。
根据图（2），同学们来说一下垂径定理图中有那些相等的量。
条件：①AB是直径；②AB⊥CD
结论：③CE=DE；④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD.
让学生自行用数学符号语言表述这一结论(垂径定理)，最后提炼出垂径定理的文字表述——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
注意：定理中的两个条件缺一不可——过圆心的直线，垂直于弦．
师：垂径定理体现了直径、弦、弧三者之间的关系，
直径①AB是直径；②AB⊥CD
弦（非直径的弦）③CE=DE
弧④④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD
例如：条件：①AB是直径；②CE=DE
结论：③AB⊥CD；④弧AC=弧AD；⑤弧BC=弧BD
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5个条件，①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣
弧。（当以②、③为题设时，“弦”不能是直径。），知道2个条件，从而得到另外3个条件成立，我们简称垂径定理——“知二推三”。
2．垂径定理应用
1. 在⊙O 中， CD=8，圆心O 到CD 的距离（即弦心距）为3，则半径长为 5
2.在⊙O 中，半径OC=5，弦CD 的长为8，则OE= 3
3. 在⊙O 中，半径OC=5，OE= 3，则弦CD 的长为 8
垂径定理的简单运用后，圆中半径、弦心距及弦长三者有何关系？ r 2
=d 2
+（
2
l ）2 半径2=圆心距2+（21弦长）
2 根据此公式，在l ，r ，d 三个量中，知道任何两个量就可以求出第三个量。
设计意图：利用变式训练，加深学生对定理本质的了解，总结规律，培养学生的归纳总结能力。
利用垂径定理求直径(半径)、弦或弦心距的长度
1. 如图（1），在⊙O ，AB ⊥CD 于P ，弦CD=16 ，OP=6，则半径的长是 ．
析解：连接OD ,因为AB ⊥CD 于P ， 所以由垂径定理可得8162
1
21=⨯==
DC DP . 在Rt △DOP 中，由勾股定理可得OD=10
图（1）
2. 如图（2），⊙O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于
析解：连接OA ,因为OC AB ⊥于C ， 所以由垂径定理可得AC =
11
8422
AB =⨯=. 在Rt △AOC 中，由勾股定理可得
OC =2222543OA AC -=-= 图（2）
3. 如图（3），⊙O 的半径为20，︒=∠120AOB ，则弦AB= S △AOB = 解析：过点O 作OC ⊥AB 于C ，
则AC=BC ，∠AOC=∠BOC=60°．
C
O
A
B
E
C
D
Ｂ
Ａ ·
O
Ｂ
Ａ
·
O
∴∠OAC=30O OC=
102
1
=AO 根据勾股定理 3=AC 或 在Rt △AOC 中，sin60°=AO
AC
∴AC=AOsin60°=2×323= 图（3） ∴AB=32 ∴S △AOB =31010322
1
21=⨯⨯=⋅OC AB
4. 如图（4），AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，如果AB=10，CD=8，那么AE 的长为______． 解析：∵ AB=10，∴⊙O 的半径为5，
根据垂径定理可知DE=
42
1
=CD 在Rt △DOE 中，∠DEO=90°，OD=5，DE=
CD 2
1
=4， 根据勾股定理得：OE=3，则求得的AE=2．
图（4）
5. 如图（4）， AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，如果CD=8，AE=2，那么OE 的长为 解析：设OD=x ，则OE=x-2，
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB,CD=8，∴DE=4
根据勾股定理 42+(x-2)2=x 2
解得x=5, ∴OE=3
6. 如图（5）AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB ⊥CD ，垂足为E ，连接OC ，若
cosC=
5
4
,CD=8，则OE= 解析：∵ AB 为直径，AB ⊥CD ， ∴ CE=DE
∵ CD=8 ∴ CE ＝
42
1
=CD ∵ cosC=54
∴ 5
4cos ==CO CE C
∴ CO=5
∴ OE= 3 图（5）
设计意图：熟悉常用的辅助线方法：连半径，作弦心距，与弦的一半构造直角三角形，利用勾
股定理求解或方程思想等解决问题。
已知：直径，弦长，弦心距，拱高四者知其二，既可以根据勾股定理求出另外的两个量。
