新人教版九年级数学上圆的概念与垂径定理

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圆的概念与垂径定理

知识点一、圆的定义

1、圆的第一定义:

在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A 所形成的图形叫做圆.

这个固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以O点为圆心的圆记作:⊙O,读作圆O.

2.战国时期的《墨经》中对圆的定义是:圆,一中同长也.

3.圆的第二定义:

由圆的定义可知:

(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长(即半径r);在一个平面内,到圆心的距离等于半径长的点都在圆上.因此,圆是在一个平面内,所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形.

:一个是圆心,另一个是半径,其中,注意:由圆的概念可知:○1“圆”指的是“圆周”,即一条封闭的曲线,而

不是圆面。

○2确定一个圆取决于两个因素:圆心和半径。

例题1

○1经过P点的圆有无数个;

○2以P为圆心的圆有无数个;

○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个;

○4以p为圆心,以3cm为半径的圆有无数个。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

知识点二、圆的有关概念

1.弦:

连结圆上任意两点间的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.并且直径是同一圆中最长的弦.

2. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A,C为端点的弧记作»AC,

读作圆弧AC或弧AC.

3.圆的直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.

ABC叫做优弧)

4.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧;(如图所示¼

小于半圆的弧叫做劣弧.(如图所示)»AC或»BC叫做劣弧.5.半径相等的两个圆叫做等圆.反过来,等圆的半径相等;在同圆或等圆中,能够完全重合的弧叫做等弧。

例题2:下列命题中,正确的个数是()。

○1直径是圆中最长的弦;○2弧是半圆;○3过圆心的直线是直径;○4半圆不是弧。

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

例题3:下列几个命题中,正确的是()

·

B C

D

O

M 第2题图

A .两条弧的长度相等,那么他们是等弧 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等

巩固练习.

如下图,(1)若点O 为⊙O 的圆心,则线段__________是圆O 的半径;线段________是圆O 的弦,其中最长的弦是______;______是劣弧;______是半圆.

(2)若∠A =40°,则∠ABO =______,∠C =______,∠ABC =______. 综合讲练.

讲练1:如图,在同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于C ,D 两点. (1)求证:∠AOC =∠BOD ;

(2)试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系,并证明你的结论.

讲练2:如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB ,CD 的延长线交于E ,若AB =2DE ,∠E =18°,求∠C 及∠AOC 的度数.

知识点三、垂直于弦的直径(垂径定理)

说明:①圆的对称轴是直径所在的直线,而不是直径本身. ②圆有无数条对称轴.

2.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ∵⊙O 中CD 是直径、AB 是弦,且CD ⊥AB 于M ,

∴AM =BM ,»»AC BC =,»»AD BD =. 你能试着证明吗?

说明:①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段;

②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦

的距离等

问题中,垂径定理常常和勾股定理结合使用,

即:(弦的一半)2+(圆心到弦的距离)2=(半径)2. 例1 如图,直线与两个同心圆分别交于图示的各点,则正确的是 A .MP 与RN 的大小关系不定 B.MP=RN C.MP <RN D.MP >RN

例2 如图,AB 是⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于D 点,且AB =6cm ,OD =4cm ,求DC 的长 【课堂操练】

1.如图,⊙O 的直径CD ⊥AB ,∠AOC =50°,则∠CDB 大小

为( ) A 、25° B 、30° C 、40° D 、50°

2.如图,在直径AB =12的⊙O 中,弦C D ⊥AB 于M ,且M 是半径OB 的中点,求弦C D 的长(结果保留根号).

3.如图,⊙O 的直径CD =10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB ⊥CD ,垂足为M ,

OM :OC =3:5,求AB 的长

推论1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

推论2:平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧。

推论3:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

问:你能分别用符号语言描述吗?请试着表示!

概念理解:

1.下面四个命题中正确的一个是()

A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径B.平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2.下列命题中,正确的是().

A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心

C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧

跟踪练习:

1、.如图,CD为⊙O的直径,AB⊥CD于E,DE=8cm,CE=2cm,则AB=______cm.

1题图

2.如图,⊙O的半径OC为6cm,弦AB垂直平分OC,则AB=______cm,∠AOB=______.

2题图

3.如图,AB为⊙O的弦,∠AOB=90°,AB=a,则OA=______,O点到AB的距离=______.

3题图

4.如图,⊙O的弦AB垂直于CD,E为垂足,AE=3,BE=7,且AB=CD,则圆心O到CD的距离是______.

4题图

5.如图,P为⊙O的弦AB上的点,PA=6,PB=2,⊙O的半径为5,则OP=______.

5题图

6.如图,⊙O的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,则⊙O的半径等于______cm.

6题图

综合讲练: