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《圆》课堂笔记一、基本概念1.圆：所有点到定点的距离等于定长的点的集合。
定点称为圆心，定长称为半径。
2.弦：连接圆上任意两点的线段。
最长的弦是直径。
3.弧：圆上两点之间的部分。
弧分为优弧和劣弧。
4.圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角。
5.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。
二、圆的性质1.圆的对称性：圆关于经过圆心的任意直线对称。
2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。
3.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
反之，如果两弦相等，那么它们所对的圆心角也相等，所对的弧也相等。
4.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
5.切线性质：切线垂直于过切点的半径。
切线与圆心的距离等于圆的半径。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
6.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补。
三、重要公式和定理1.圆的周长公式：C = 2πr（r为半径）。
2.圆的面积公式：S = πr²（r为半径）。
3.扇形面积公式：S = (nπr²) / 360（n为圆心角度数，r为半径）。
4.圆锥侧面积公式：S = πrl（r为底面半径，l为母线长）。
5.圆的切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
6.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
7.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
8.圆心角、弧、弦的关系推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
9.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
10.切线性质推论：圆的切线垂直于过切点的半径。
人教版数学九年级上册24.1.2《垂径定理》教学设计2一. 教材分析《垂径定理》是人教版数学九年级上册第24章第1节的内容，本节课主要介绍圆中的垂径定理。
垂径定理是指：圆中，如果一条直线垂直于直径，那么这条直线平分这条直径，并且平分直径所对的圆周角。
教材通过生活中的实例引入垂径定理的概念，然后通过证明和应用来巩固这个定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念和性质，如圆的周长、直径、半径等。
同时，学生也掌握了平行线和相交线的性质。
但是，学生对于圆中的垂径定理可能比较难以理解和证明，因此需要通过生活中的实例和图形的直观展示，帮助学生理解和掌握这个定理。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解和掌握圆中的垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的几何思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.教学重点：理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决相关问题。
2.教学难点：垂径定理的证明和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入垂径定理，激发学生的学习兴趣。
2.演示法：通过图形的直观展示，帮助学生理解和证明垂径定理。
3.问题驱动法：通过提出问题和解决问题，引导学生主动探索和学习。
4.小组合作学习：鼓励学生分组讨论和合作，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体教学设备、圆规、直尺、黑板等。
2.教学素材：教材、课件、练习题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示生活中的实例，如自行车轮子、时钟等，引导学生观察和思考圆中的垂径定理。
让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示垂径定理的定义和性质，通过图形的直观展示，让学生理解和掌握垂径定理。
同时，引导学生思考如何证明这个定理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论和合作，尝试证明垂径定理。
初中数学中，垂径定理是一个常见且重要的命题和定理，它在解决相关几何问题中起到了关键的作用。
下文将从垂径定理的概念入手，深入解析其原理和应用，并列举一些相关的例题，以便读者更加深入地理解和掌握这一重要定理。
一、垂径定理的概念垂径定理是指：如果在一个圆上，直径的两端连接圆上任意一点，那么这两条线段所夹的角都是直角。
简而言之，垂径定理可以理解为描述直径和圆上一点所构成的角是直角的规律。
二、垂径定理的证明1. 引理：直径是任意一点的最短距离。
这是基本的几何定理，无需证明。
2. 证明：设在圆上有直径AB，圆上的一点C。
连接AC和BC两条线段。
假设∠ACB不是直角，而是锐角或钝角。
那么，以AC为直径作圆，由于ACB不是直角，必定有另一个点D在圆上，使得∠ADB是锐角或钝角。
根据引理，AD+DB要小于或等于AE+EB，而AE+EB等于AB，所以AD+DB小于或等于AB，这与AD+DB等于AB矛盾。
由此可知，∠ACB必须是直角。
三、垂径定理的应用垂径定理在实际问题中有着广泛的应用。
通过运用垂径定理，我们可以解决许多与圆相关的问题，如圆的切线问题、直线与圆的位置关系问题等。
1. 圆的切线问题由垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此连接切点和圆心的线段垂直于切线。
这一性质是圆的切线问题得以解决的基础。
2. 直线与圆的位置关系问题利用垂径定理，可以判断直线与圆的位置关系。
当直线与圆相切时，由于切点和圆心连线垂直于切线，可根据垂径定理得出直线与圆相切的结论。
四、垂径定理的例题1. 已知AB是⊙O的直径，C,D是圆周上的两点，AC与BD相交于E，割⊙O的弦AE与BE的关系为（）A. AE=BEB. AE>BEC. AE<BED. 无法确定解析：根据垂径定理可知，连接圆上点和圆心构成的线段为直径，因此以AE为直径的⊙O必定经过B点，以BE为直径的⊙O必定经过A 点，所以EA=EB。
2. 如图，在直径AB上取一点C，过点C作弦CD，与⊙O交于点E，连接AE、EB，若CD与AB垂直，求证：AC=CB。
OA BE FCD课前回顾1、垂径定理的概念及其推论：2、回顾练习：如图：AB 是的直径，CD 是弦，过A 、B 两点作CD 的垂线，垂足分别为E 、F ，若AB=10，AE=3，BF=5，求EC 的长。
知识点一、圆心角1、圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数之间的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
4、圆心角定理推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，其余各组量都相等。
例题讲练例题一、概念理解1．______________的______________叫做圆心角． 2．如图，若长为⊙O 周长的nm，则∠AOB =____________．与圆有关的角——圆心角、圆周角3．在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _____________________．4．在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么_____________________．5. 求证：在同圆或等圆中，两条弦相等，那么它们的弦心距也相等。
例题二、基础应用6．已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB=CD．求证：∠AOC=∠DOB．7．已知：如图，P是∠AOB的角平分线OC上的一点，⊙P与OA相交于E，F点，与OB 相交于G，H点，试确定线段EF与GH之间的大小关系，并证明你的结论．8．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数．例题三：综合应用9．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AMC．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定10．如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想．11．如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．CAB1、圆周角的定义：顶点在圆上，两条边与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆的概念与垂径定理
知识点一、圆的定义
1、圆的第一定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆．
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆O．
2．战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．
3．圆的第二定义：
由圆的定义可知：
(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
：一个是圆心，另一个是半径，其中，注意：由圆的概念可知：○1“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而
不是圆面。
○2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。
例题1
○1经过P点的圆有无数个；
○2以P为圆心的圆有无数个；
○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个；
○4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
知识点二、圆的有关概念
1．弦：
连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．
2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作»AC，
读作圆弧AC或弧AC．
3．圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
ABC叫做优弧）
4．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示¼
小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）»AC或»BC叫做劣弧．5．半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。
例题2：下列命题中，正确的个数是（）。
○1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆；○3过圆心的直线是直径；○4半圆不是弧。
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
例题3：下列几个命题中，正确的是（）
·
B C
D
O
M 第2题图
A ．两条弧的长度相等，那么他们是等弧 B. 等弧只有在同圆中存在 C. 度数相等的弧的长度相等 D. 等弧的长度相等
巩固练习．
如下图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径；线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
(2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______． 综合讲练．
讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点． (1)求证：∠AOC =∠BOD ；
(2)试确定AC 与BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论．
讲练2：如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数．
知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）
说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身． ②圆有无数条对称轴．
2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ∵⊙O 中CD 是直径、AB 是弦，且CD ⊥AB 于M ，
∴AM ＝BM ，»»AC BC =，»»AD BD =． 你能试着证明吗？
说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；
②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦
的距离等
问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，
即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2． 例1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是 A ．MP 与RN 的大小关系不定 B.MP=RN C.MP ＜RN D.MP ＞RN
例2 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，求DC 的长 【课堂操练】
1．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠CDB 大小
为（ ） A 、25° B 、30° C 、40° D 、50°
2．如图，在直径AB ＝12的⊙O 中，弦C D ⊥AB 于M ，且M 是半径OB 的中点，求弦C D 的长（结果保留根号）.
3．如图，⊙O 的直径CD ＝10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，
OM ：OC ＝3：5，求AB 的长
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！
概念理解：
1．下面四个命题中正确的一个是（）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
2．下列命题中，正确的是（）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心
C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧
跟踪练习：
1、．如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．
1题图
2．如图，⊙O的半径OC为6cm，弦AB垂直平分OC，则AB=______cm，∠AOB=______．
2题图
3．如图，AB为⊙O的弦，∠AOB=90°，AB=a，则OA=______，O点到AB的距离=______．
3题图
4．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，且AB=CD，则圆心O到CD的距离是______．
4题图
5．如图，P为⊙O的弦AB上的点，PA=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
5题图
6．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
6题图
综合讲练：
A
C
D B
A
B
C
D
E
M
N
O
讲练1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．
讲练2．已知：如图，试用尺规将它四等分．
讲练3．已知：⊙O的半径为25cm，弦AB=40cm，弦CD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
讲练4．已知：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．
(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；
(2)若CD=4cm，求AP＋PB的最小值．
随堂练习：
1．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．
2、如图，AB、AC为⊙O的两条弦，D、E分别为»AB、»AC中点，求证：
AM=AN.
3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以
点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、
E，求AB和AD的长。
4、如图，已知：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，CD
CE⊥
交AB于E，CD
DF⊥交AB于F．求证：BF
AE=．
5、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。
6．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB 于点C，交弦AB于点D。
已知：AB=24cm，CD=8cm （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径.
7、如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，C
A B
D
E
O A
P
B
C
CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？。
