初三圆垂径定理

数学-初三-圆的相关概念与垂径定理精锐教育1对1辅导讲义学员姓名： 学科教师： 年级： 辅导科目：主题：圆基本概念与垂径定理授课时间：学习目标1、掌握圆的相关基本概念2、运用垂径定理解决问题教学内容1、 圆是如何确定的？大小怎么判定？2、 圆中有哪些概念？3、 垂径定理如何应用？【知识梳理1】圆的确定定理 同圆或等圆中半径相等1.点与圆的位置关系圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

点P 与圆心的距离为d ，则点P 在直线外⇔r d >；点P 在直线上⇔r d =；点P 在直线内⇔r d <。

【例题精讲】例1.如图，圆O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH =9，P 、Q 、R 为l 上的三点.PH =9，QH =12，RH =15，请分别说明点P 、Q 、R 与圆O 的位置关系.【试一试】1.矩形ABCD 中，AB ＝8，35BC =，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）．(A) 点B 、C 均在圆P 外； (B) 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； (C) 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外； (D) 点B 、C 均在圆P 内．2.如图所示，已知ABC ∆，90ACB ∠=，12AC =，13AB =，CD AB ⊥于点D ，以C 为圆心，5为半径作圆C （ ）A .点D 在圆内，B A 、在圆外 B .点D 在圆内，点B 在圆上，点A 在圆外C .点B 、D 在圆内，A 在圆外 D .点D 、B A 、都在圆外2.过三点的圆1.不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

例2.如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.【试一试】1.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商定去的一块玻璃片应该是（）A.第①快B.第②快C.第③快D.第④快2.三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角：顶点在圆心的角。

3.1圆的概念与性质M1一.感知圆的世界圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.观察车轮，你发现了什么？二、圆的概念如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．O A从画圆的过程可以看出：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．圆的两种定义：动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形．为什么车轮是圆的？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．三．与圆有关的概念弦：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦；经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A 、B 为端点的弧记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧（如图中的AC ）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的ABC ）叫做优弧.圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆（即半径相等的两个圆）叫做等圆。

在同圆或等圆中能够完全重合的两条弧叫做等弧。

练一练1.如何在操场上画一个半径是5m 的圆？说出你的理由首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆。

垂径定理垂径定理是数学几何（圆）中的一个定理，它的通俗的表达是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

数学表达为：如右图，直径DC 垂直于弦AB ，则AE=EB ，劣弧AD 等于劣弧BD ，等弧CAD= 优弧CBD。

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

一条直线，在下列5 条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论。

称为知二推三1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦（不是直径）4.垂直于弦5.经过圆心数学证明编辑如图，在⊙ O 中，DC 为直径，AB 是弦，AB ⊥DC 于点E，AB、CD 交于E，求证：AE=BE ，弧AC= 弧BC ，弧AD= 弧BD证明图示连接 OA 、 OB 分别交⊙ O 于 点 A 、点 B∵OA 、OB 是⊙O 的半径∴ OA=OB∴△ OAB 是等腰三角形∵AB ⊥DC∴ AE=BE ，∠ AOE= ∠BOE （等腰三角形的三线合一 性 质）∴弧 AD=弧 BD ，∠AOC= ∠BOC ∴弧 AC= 弧 BC推导定理 编辑 推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦 , 并且平原本命题，其中 CD 垂直于直线 AB分这条弦所对的两段弧。

几何语言：因为 DC 是直径， AE=EB ，所以直径 DC 垂直于弦 AB ，劣弧 AD 等于劣弧 BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论二：弦的 垂直平分线 经过圆心 ,并且平分这条弦所对的弧。

几何语言： 因为 DC 垂直 AB ，AE=EB ，所以 DC 是圆的直径， 劣弧 AD 等于劣弧BD ，优弧 ACO= 优弧 BCO推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦 弧。

推论四：在同圆或者 等圆 中 ,两条平行弦所夹的弧相等。

韦达定理韦达定理( Viete theorem )为 解析几何 中的一个定理，说明了一元 n 次方程中根和 系数 之 间的关系。

垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。

【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。

垂径定理垂径定理是解决几何问题中常用的一个定理，它和“垂直”有关。

垂径定理的全称是“垂直于直径的半径必垂直于圆”。

垂径定理的内容简单而明确，但它却具有重要的意义和应用价值。

本文将从垂径定理的定义、证明以及几个典型的应用来介绍垂径定理，并解释为什么它在解决几何问题中具有重要意义。

首先，我们来了解一下垂径定理的定义。

垂径定理主要是指：如果在一个圆上，有一个半径垂直于直径，那么这个半径和这个直径在圆上的交点之间的弧长就是90度。

换句话说，半径与直径的交点和圆上的其他点之间的弦垂直。

这是垂径定理的基本内容。

接下来，让我们来看一下垂径定理的证明。

首先，我们假设在一个圆上，有一个半径OA垂直于直径BC，如下图所示。

这是一个坐标证明的图。

为了简化问题，我们可以假设圆的半径为1。

因此，点O的坐标就是(0，1)，点B的坐标就是(-1，0)，点C 的坐标就是(1，0)。

我们知道，在直角三角形中，直角的两条边的斜率乘积为-1。

我们可以计算出OA的斜率为-1，而BC的斜率为0，因此满足垂径定理的条件。

我们可以继续应用几何知识来证明垂径定理。

根据半径垂直于弦的定义，我们知道OA垂直于BC。

根据直径的定义，我们知道BC就是圆的直径。

因此，根据垂直定理，我们可以得出结论，OA是圆的半径，它与直径BC垂直。

接下来，我们将介绍几个典型的应用垂径定理的例子。

例1：证明对称圆上的两条弦垂直在一个圆上，有两条弦AB和CD，且AB与CD以圆心为中点。

我们需要证明这两条弦互相垂直。

根据问题的设定，我们知道AB和CD以圆心O为中点。

因此，OA 等于OC，OB等于OD。

根据垂径定理的定义，OA垂直于AB，OC垂直于CD。

进一步观察，我们可以发现OA和OC重合，因为它们都是圆的半径，长度相等，方向相同。

同理，OB和OD重合。

因此，根据重合线段垂直定理，我们可以得出结论，AB垂直于CD。

例2：证明正方形的对角线相互垂直在一个正方形中，连接两个相对顶点的线段被称为对角线。

初三数学学科精讲精练--垂径定理【知识点】1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.直线与圆：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的一条弧；（5）平分弦所对的另一条弧.这五者只要具备其中两个，就可以推出另外三个，即“知二推三”.垂径定理是由（1）（2）→（3）（4）（5），推论是由（1）（3）→（2）（4）（5）.由（2）（3）→（1）（4）（5）即垂直平分弦的直线必过圆心，并且平分弦所对的两条弧，尤其在找三角形的外接圆等作图题中经常运用.【典型例题】1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=8，AE=2，求⊙O的半径．【考点】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=4，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=2x−，根据勾股定理得：222+=，CE OE OC即222+−=，x x4(2)解得x=5，所以⊙O的半径为5．2.如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．（【考点】此题考查了勾股定理，垂径定理和含30度角的直角三角形．有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法．【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AB=10，∴AO=OB=OD=5，∵OE：AE=2：3，∴OE=2cm．∵∠AEC=30°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=1（cm）；∴2226−=，OD OF∵OF⊥CD，∴CD=2DF=463.如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD ⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．【考点】该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解答是关键．【解答】解：（1）∵OD⊥BC，∴BD=DC=1BC=0.5，2由勾股定理得：OD2=OB2﹣BD2，而OB=2，∴15．（2）存在，DE的长度不变．∵∠AOB=90°，OA=OB=2，∴AB2=22+22，∴AB=22∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴BD=DC，AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=12．24.一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．【考点】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【解答】解：（1）作半径OD⊥AB于C，连接OB，由垂径定理得：BC=1AB=0.3，2在Rt△OBC中，22−OB BCCD=0.5﹣0.4=0.1，此时的水深为0.1米；（2）当水位上升到圆心以下时,水面宽0.8米则，水面上升的高度为：0.3﹣0.2=0.1米；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：0.4+0.3=0.7米，综上可得，水面上升的高度为0.1米或0.7米．【练习】1.如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM，PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M，N，若⊙O的半径长度为2，则MN的长为．2.已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED=60°，DE=OE=2．求：（1）CD的长；（2）⊙O的半径．3.如图，在半径为23的扇形AOB 中，∠AOB=120°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=4时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．4.赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB 约为40米，主拱高CD 约10米，（1）如图1，尺规作图，找到桥弧所在圆的圆心O （保留作图痕迹）；（2）如图2，求桥弧AB 所在圆的半径R ．【练习解析】1.解：MN 的长没有变化；理由如下，如图所示，延长PN 交圆于点E ，延长PM 交圆于点F ，连接EF 、OE 、OF ，作OH ⊥EF 于H ． 根据垂径定理，PN=NE ，PM=MF ，∴//MN EF 且12MN EF =， ∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，∴∠P=60°，120EOF ∠=︒,∴弦EF 的长为定值，MN 的长也为定值，在Rt △EOH 中，易知∠EOH=60°，∠OEH=30°∵OE=2，∴OH=1 22213−=∴EF=23 ∴132MN EF =， 32.解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∴DF=CF ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴EF=1．∴CF=DF=DE+EF=3．∴CD=6．（2）连接OC ．在△OEF 中，∵∠OFE=90°，∠OEF=60°，OE=2，∴223OE EF −在△OFC 中，∵∠OFC=90°，CF=3，OF=，∴2223OF CF += 3.解：（1）∵OD ⊥BC ，∴122BD BC ==， ∴2222(23)222OD BO BD =−−=（2）存在，DE 是不变的，理由是：如图，连接AB ，过点O 作AB 的垂直平分线，与AB 交于点F ，与弧AB 交于点M ，则OM 平分∠AOB 与弧AB ，∴∠AOF=60°，在Rt △AOF 中，∵60,23AOF OA ∠=︒= ∴33AF =， ∴AB=2AF=6，由垂径定理可知，点D 、E 分别是BC 和CA 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴132DE AB ==． 4.解：（1）如图1所示；（2）连接OA ．如图2．由（1）中的作图可知：△AOD 为直角三角形，D 是AB 的中点，CD=10， ∴AD=12AB=20． ∵CD=10，∴OD=R ﹣10．在Rt △AOD 中，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=202+（R ﹣10）2．解得：R=25．即桥弧AB 所在圆的半径R 为25米．。

几何中的圆的切线垂径定理几何学中的圆是一个常见的图形，它在很多问题中都扮演着重要的角色。

而切线和垂径则是在处理圆相关问题时经常遇到的概念。

在这篇文章中，我们将探讨几何中的圆的切线垂径定理。

圆的切线是指与圆相切的直线，它与圆的切点处于圆上。

在几何学中，圆的切线有很多性质和定理。

其中，切线垂径定理是讲述圆的切线和半径之间的关系的定理之一。

首先，让我们明确圆的半径和直径的概念。

圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

而直径则是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。

直径的长度是圆的半径长度的两倍。

在圆中，切线是与圆相切且只有一个交点的直线。

切线与半径的关系通过切线垂径定理得以描述。

这个定理主要讲述了切线与半径的垂直关系。

根据切线垂径定理，与圆上一点相切的切线垂直于从圆心到切点的半径。

也就是说，切线和半径是相互垂直的。

这个定理为我们解决一些与圆相关的几何问题提供了便利。

在实际问题中，我们可以利用切线垂径定理来求解一些几何问题。

例如，当需要确定切线的方向与某个点的位置关系时，我们可以根据切线垂径定理判断切线和半径是否垂直，从而确定切线的方向。

另外一个应用场景是求解两个圆相切问题。

当我们需要确定两个圆的切点以及切点与切线的关系时，可以利用切线垂径定理来推导解决方案。

此外，切线垂径定理还可以应用于证明一些有关圆的定理和性质。

通过运用这个定理，我们可以建立一些关于切线和半径的关系，并且进一步推导出其他相关的结论。

总结起来，几何中的圆的切线垂径定理是讲述切线与半径之间的垂直关系的定理。

这个定理在解决圆相关的几何问题中提供了便捷和应用的可能性。

无论是在实际问题中求解切线方向还是证明圆的定理，切线垂径定理都有着重要的作用。

通过运用这个定理，我们可以更好地理解圆的性质和特点，进一步拓展几何学的知识。

本文简要介绍了几何中的圆的切线垂径定理。

在实际问题中，切线垂径定理可以用于求解切线方向和圆的切点问题，也可以用于证明其他的圆的性质和定理。