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九年级圆垂径定理知识点圆垂径定理是数学中的一个重要定理，它是研究圆的性质和应用的基础。
本文将详细介绍九年级圆垂径定理的相关知识点，帮助你更好地理解和应用这一定理。
一、圆垂径定理的概述圆垂径定理是指：在一个圆中，如果一条直径垂直于另一条弦，那么它一定是这条弦的垂直平分线。
二、圆垂径定理的证明为了证明圆垂径定理，我们可以采用几何证明和代数证明两种方法。
1. 几何证明假设圆的中心为O，半径为r，直径AB垂直于弦CD。
我们需要证明AO = BO。
首先，连接AC和BC，并设AC = x，BC = y。
根据圆的性质，我们知道AO = r，BO = r，AC = BC = r。
又因为AO垂直于CD，所以∠ACO = ∠BCO = 90°。
由三角形的性质可知，AO² = AC² - CO²，BO² = BC² - CO²。
代入已知条件，我们可以得到r² = x² - CO²，r² = y² - CO²。
通过这两个等式，我们可以得到x² - CO² = y² - CO²，即x² = y²。
进而，我们可以得知x = y，即AC = BC。
所以，根据直角三角形的特性，AO = BO，也就是说AO = BO = r。
因此，根据圆的定义，我们可以得出圆垂径定理的结论。
2. 代数证明我们也可以采用代数方法证明圆垂径定理。
设圆的方程为x² + y² = r²（其中，O为坐标原点）。
直径AB垂直于弦CD，且AB的斜率k存在。
根据直线的斜率公式，可以得到直线AB的方程为y = kx。
将直线AB的方程代入圆的方程中，我们可以得到x² + (kx)² =r²。
简化这个方程，可以得到x² + k²x² = r²。
3.3垂径定理分层练习考查题型一利用垂径定理求线段长1.（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若8AD CD ，6OD ，则BD 的长为()A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据垂径定理的推论得OB AC ，再根据勾股定理得22228610OA AD OD ，即可求出答案．【解答】解：8AD CD ∵，OB AC ，在Rt AOD 中，22228610OA AD OD ，10OB ，1064BD ．故选：B ．2.（2023•和县二模）如图，点C 是O 的弦AB 上一点．若6AC ，2BC ，AB 的弦心距为3，则OC 的长为()A．3B．4C．11D．13【分析】根据垂径定理可以得到CD的长，根据题意可知3OD ，然后根据勾股定理可以求得OC的长．【解答】解：作OD AB于点D，如图所示，由题意可知：6OD ，BC ，3AC ，2AB，8，AD BD4，2CD2222，3213OC OD CD故选：D．3.（2022秋•齐河县期末）如图，OCD ，3OE ，则BD的直径AB 弦CD于点E，连接BD．若8的长为()A10B．23C．17D．25【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，根据勾股定理求出OD，求出BE，再根据勾股定理求出BD即可．【解答】解：连接OD ，AB CD ∵，AB 过圆心O ，8CD ，4CE DE ，90OED DEB ，3OE ∵，2222345OD OE DE ，5OB OD ，532BE OB OE ，由勾股定理，得2222242025BD BE DE ，故选：D ．4.（2022秋•泗洪县期末）如图，O 的半径为5，弦8AB ，OC AB ，垂足为点P ，则CP 的长等于()A ．2B ．2.5C ．3D ．4【分析】如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，根据CP OC OP ，计算求解即可．【解答】解：如图，连接AO ，由垂径定理得，142AP AB ，由题意知5OA OC ，由勾股定理得，223OP OA AP ，2CP OC OP ，故选：A ．考查题型二利用垂径定理求半径、直径长5.（2022秋•金城江区期末）如图，线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，若AB 长为16，DE 长为4，则O 半径是()A ．5B ．6C ．8D ．10【分析】连接OB ，由垂径定理可得8BE AE ，设O 半径为r ，结合题意可得4OE r ，在Rt OBE 中，由勾股定理可得222OE BE OB ，然后代入求值即可获得答案．【解答】解：如下图，连接OB ，∵线段CD 是O 的直径，CD AB 于点E ，16AB ， 1116822BE AE AB ，设O 半径为r ，即OB OD r ，又4DE ∵，4OE OD DE r ，在Rt OBE 中，可有222OE BE OB ，即222(4)8r r ，解得10r ，O 半径是10．故选：D ．6.（2023秋•聊城期中）如图，AB ，CD 是O 的两条平行弦，且4AB ，6CD ，AB ，CD 之间的距离为5，则O 的直径是()A 13B ．213C ．8D ．10【分析】作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，由垂径定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM AB 于M ，延长MO 交CD 于N ，连接OB ，OD ，设OM x ，122MB AB ，132DN CD ，222OB OM MB ∵，2222OB x ，222OD ON DN ∵，222(5)3OD x ，OB OD ∵，224(5)9x x ，3x ，223413OB ，13OB ，O 直径长是213故选：B ．7.（2023秋•福州期中）如图，已知O 的弦8AB ，半径OC AB 于D ，2DC ，则O 的半径为．【分析】设O 的半径为R ，则2OD R ，先根据垂径定理得到4AD BD ，再利用勾股定理得到222(2)4R R ，然后解方程即可．【解答】解：设O 的半径为R ，则2OD R ，OC AB ∵，142AD BD AB ，90ODA ，在Rt AOD 中，222(2)4R R ，解得5R ，即O 的半径为5．故答案为：5．考查题型三弦心距8.（2022秋•台山市期末）如图，O 的半径为2，弦23AB ，则圆心O 到弦AB 的距离为()A ．1B 2C 3D ．2【分析】过O 作OC AB 于C ，连接OA ，根据垂径定理求出AC ，再根据勾股定理求出OC 即可．【解答】解：过O 作OC AB 于C ，连接OA ，OC AB ∵，OC 过圆心O ，23AB 3AC BC 90OCA ，由勾股定理得：22222(3)1OC OA AC ，即圆心O 到弦AB 的距离为1，故选：A ．9.（2022秋•凤阳县期末）如图，在O 中，OC AB 于点C ．若O 的半径为10，16AB ，则OC 的长为()A ．4B ．5C ．6D ．8【分析】如图，连接OA ．利用垂径定理，勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OA ．OC AB ∵，182AC CB AB ，10OA ∵，90ACO ，22221086OC OA AC ，故选：C ．考查题型四最值10.（2022秋•济源期末）如图，O 的半径为102，弦AB 的长为162，P 是弦AB 上一动点，则线段OP长的最小值为()A ．10B ．82C ．5D ．62【分析】过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，根据垂径定理得到8AH BH ，再利用勾股定理计算出OH ，然后根据垂线段最短求解．【解答】解：过O 点作OH AB 于H ，连接OB ，如图，111628222AH BH AB ，在Rt BOH 中，2222(102)(82)62OH OB BH ，线段OP 长的最小值为62．故选：D ．11.（2023秋•淮滨县期中）如图，O 的直径为10，弦AB 的长为8，点P 在AP 上运动，则OP 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP AB 时，OP 的值最小．连接OA ，在直角三角形OAP 中由勾股定理即可求得OP 的长度．【解答】解：当OP AB 时，OP 的值最小，则142AP BP AB ，如图所示，连接OA ，在Rt OAP 中，4AP ，5OA ，则根据勾股定理知3OP ，即OP 的最小值为3，故选：B ．12.（2023秋•鼓楼区校级期中）如图，M 的半径为4，圆心M 的坐标为(6,8)，点P 是M 上的任意一点，PA PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最大值为()A ．13B ．14C ．12D ．28【分析】由Rt APB 中2AB OP 知要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，据此求解可得．【解答】解：连接PO ，PA PB ∵，90APB ，∵点A 、点B 关于原点O 对称，AO BO ，2AB PO ，若要使AB 取得最大值，则PO 需取得最大值，连接OM ，并延长交M 于点P ，当点P 位于P 位置时，OP 取得最大值，过点M 作MQ x 轴于点Q ，则6OQ 、8MQ ，10OM ，又4MP r ∵，10414OP MO MP ，221428AB OP ；故选：D ．考查题型五利用垂径定理求面积13.（2023•铜梁区校级一模）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O 于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，65AB ，则ODE 的面积为()A ．9B ．15C 952D ．95【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出OD ，再根据三角形面积公式进行计算即可．【解答】解：AE ∵是O 的直径，90ABE ，AB OC ∵，OC 是O 的半径，12AD BD ABOA OE ∵，OD 是ABE 的中位线，12OD BE ，由于3DE DO ，可设OD x ，则3DE x ，2BE x ，在Rt BDE 中，由勾股定理得，222BD BE DE ，即222(2)(3)x x ，解得3x 或3x （舍去），即3OD ，S △12DOE OD BD 132故选：C ．14.（2023•肇源县一模）如图，O 的半径是2，直线l 与O 相交于A 、B 两点，M 、N 是O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若45AMB ，则四边形MANB 面积的最大值是()A ．22B ．4C ．2D ．82【分析】过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，根据圆周角定理推出OAB 为等腰直角三角形，求得222AB OA 【解答】解：过点O 作OC AB 于C ，交O 于D 、E 两点，连接OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ，如图，45AMB ∵，290AOB AMB ，OAB 为等腰直角三角形，222AB OA ，MAB NAB MANB S S S ∵四边形，当M 点到AB 的距离最大，MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时，NAB 的面积最大，即M 点运动到D 点，N 点运动到E 点，此时四边形MANB 面积的最大值 11111224222222DAB EAB DAEB S S S AB CD AB CE AB CD CE AB DE 四边形．故选：C ．15.（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，AB 是O 的弦，半径OC AB 于点D ，连接AO 并延长，交O于点E ，连接BE ，DE ．若3DE DO ，5AB ，则ODE 的面积为()A ．58B ．554C ．5D ．52【分析】根据垂径定理，得出52AD BD ，再根据直径所对的圆周角为直角，得出90ABE ，再根据平行线的判定，得出//OD BE ，再根据中位线的判定，得出OD 为ABE 的中位线，再根据中位线的性质，得出2BE OD ，再根据勾股定理，得出222BD BE DE ，解出得到52OD ，根据12ODE S OD BD 即可求解．【解答】解：OC AB ∵，5AB ， 52AD BD ，AE ∵是O 的直径，90ABE ，OC AB ∵，//OD BE ，O ∵为AE 的中点，OD 为ABE 的中位线，2BE OD ，3DE DO ∵，在Rt ABE 中，222BD BE DE ∵， 2225494OD OD ，解得：52OD， 25BE OD ，11555522228ODE S OD BD ．故选：A ．考查题型六垂径定理的应用16.（2023秋•长葛市期中）如图，圆弧形桥拱的跨度24AB 米，拱高8CD 米，则拱桥的半径为()A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米【分析】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O连接OA ．根据垂径定理，得12AD m ，设圆的半径是r m ，根据勾股定理，得22212(8)r r ，解得13r ．故选：C ．17.（2022秋•郾城区期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB 宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米，若水面下降1米，则此时水面的宽度为()A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【分析】以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，根据三线合一定理可得OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，再根据勾股定理即可求出半径；水面下降为EF ，连接OE ，根据水面下降1米，可得3OG m ，再根据勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，以O 为圆心，连接OC 、OA 、OB ，由题意可得，D 为弧AB 的中点，AOD BOD ，OA OB ∵，OD AB ，AC BC ，设OD r ，则1OC OD CD r ，在Rt AOC 中，222OA OC AC ，132AC AB ，22(1)9r r ，解得：5r ，主桥拱所在圆的半径5m ；由题意得，水面下降为EF ，连接OE ，∵水面下降1米，1413()OG OC m ，则2222534()EG OE OG m ，28EF EG m ，即水面的宽度为8m ．故选：D ．18.（2023•滕州市二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且O 被水面截得弦AB 长为4米，O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是()A ．1米B ．2米C ．(35) 米D ．(35) 米【分析】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得122AD BD AB（米)，再由勾股定理得5OD （米)，然后求出CD 的长即可．【解答】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：3OA OC 米，OC AB ，122AD BD AB （米)，90ADO ，2222325OD OA AD （米)，(35)CD OC OD 米，即点C 到弦AB 所在直线的距离是(35) 米，故选：C ．1.（2022秋•沈河区校级期末）如图所示，在O 中，AB 为弦，OC AB 交AB 于点D ，且OD DC ．P为O 上任意一点，连接PA ，PB ，若O 的半径为3，则PAB S 的最大值为()A ．34B ．33C ．332D ．334【分析】连接OA ，如图，利用垂径定理得到AD BD ， AC BC ，再根据OD DC 可得到132OD OA ，所以32AD ，由勾股定理，则3AB ．PAB 底AB 不变，当高越大时面积越大，即P 点到AB 距离最大时，APB 的面积最大．则当点P 为AB 所在优弧的中点时，此时13122PD PO OD，APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连接OA ，如图，OC AB ∵，AD BD ，OD DC ∵，1322OD OA ，2232AD OA OD ，23AB AD ．当点P 为AB 所对的优弧的中点时，APB 的面积最大，此时333322PD PO OD．APB 的面积的最大值为：11339332224AB PD ．故选：A ．2.（2023•碑林区校级模拟）如图，已知CD 为O 的直径，CD AB 于点F ，AE BC 于点E ．若AE 过圆心O ，1OA ．则四边形BEOF 的面积为()A 3B 3C ．3D 3【分析】根据垂径定理求出AF BF ，CE BE ， AD BD，求出2AOD C ，求出2AOD A ，求出30A ，解直角三角形求出OF 和BF ，求出OE 、BE 、BF ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：如图，连接OB ，CD ∵为直径，CD AB ，AD BD ，2AOD C ，CD AB ∵，AE BC ，90AFO CEO ，AOF COE ∵，OA OC ，()AFO CEO AAS ，C A ，2AOD A ，90AFO ∵，30A ，1AO ∵，1122OF AO ，332AF OF ，同理32CE ，12OE ，CD AB ∵，AE BC ，CD 、AE 过O ，由垂径定理得：32BF AF ，32BE CE ， 四边形BEOF 的面积11311332222224BFO BEO S S S．故选：B ．第21页共21页3.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m ，拱高约为7m ，则赵州桥主桥拱半径R 约为()A ．20mB ．28mC ．35mD ．40m【分析】设主桥拱半径R ，根据垂径定理得到372AD，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，37AB m ，7CD m ，设主桥拱半径为R m ，(7)OD OC CD R m ，OC ∵是半径，OC AB ，137()22AD BD AB m ，在RtADO 中，222AD OD OA ，22237((7)2R R ，解得15652856R．故选：B ．。
