广东省2012届高三全真模拟卷数学理5.

2012届高三理科数学考前模拟训练一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,|2,,0,2,4A B x x a a A C ===∈=则（ ） A ．AB C = B ．A B C ⊃ C ．A B C = D ．A B C ⊂2．已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D 3．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（ ）A.0B.12 C .32D.9 4．α为锐角是sin cos 1αα+>的（ ）A ．充分不必要条件BC ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率（ ） A. 23 B. 34 C . 56 D. 796．设(132)nx y -+的展开式中含y 的一次项为01()n n a a x a x y +++，则01a a +n a ++=（ ）A ．(2)nn -- B ．(2)nn - C ．12n n -- D ．1(2)n n ---7．已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为（ ）ABC ． 2 D8．如果函数()f x x =()0a >没有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．()0,1()2,+∞ C ．()0,1()2,+∞ D．(()2,+∞二．填空题: （本大题共7小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分30分．） （一）必做题（11～13题）9．设a 为实数，12122,1,z a i z ai z z =-=-++若为纯虚数，则12z z = _ __。

数学（理科）试题A 第 1 页 共 4 页试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2012.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为A ．2-B ．1-C ．0D ．22．已知全集U =R，函数y =A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合B ，则集合()U A B = ðA ．()2,1--B ．(]2,1--C ．(),2-∞-D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12π，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12D ．244．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定数学（理科）试题A 第 2 页 共 4 页5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ⨯=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，则⨯a b 的值为A ．8-B ．6-C ．8D ．67．在△ABC 中，60ABC ∠=，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为 A ．16 B ．13 C ．12 D ．238．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为A ．252B ．216C ．72D ．42二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．10．已知()211d 4kx x +⎰2≤≤，则实数k 的取值范围为 ． 11．已知幂函数()22657m y m m x-=-+在区间()0,+∞上单调递增，则实数m 的值为 ．12．已知集合{}1A x x =≤≤2，{}1B x x a =-≤，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为 ．13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．512122图2图1 俯视图 正(主)视图侧(左)视图数学（理科）试题A 第 3 页 共 4 页（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，3OP =cm ，弦CD 过点P ，且13CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t =+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()tan 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求9f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）设3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABC P -中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，1AD =，3CD =，PD =．（1）证明△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5PACD图3数学（理科）试题A 第 4 页 共 4 页19．（本小题满分14分）等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()252123n n n b a n n +=++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（本小题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（3）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu rg ≤15，求2212S S -的取值范围．21．（本小题满分14分）设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．·5·2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）一、选择题：二、填空题：9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,213．35，1014． 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ tantan 341tan tan34ππ+=ππ-2==-4分 （2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()tan α=+πtan 2α==．…………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=，②由①、②解得21cos 5α=．……9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-10分 所以cos 4απ⎛⎫- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ 22⎛=+⨯= ⎝⎭12分 17．（本小题满分12分） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，解得3a =.………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.………3分方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦.…5分 （3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……6分这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有情况如下表：·6·所以的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.………………………………………8分由表可得1(0)16P X==，2(1)16P X==，1(2)16P X==，4(3)16P X==，2(4)16P X==，3(6)16P X==，1(8)16P X==，2(9)16P X==.所以随机变量X的分布列为：随机变量X的数学期望为121423012346161616161616EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯6817164==.…12分18．（本小题满分14分）（1）证明略（2）过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则APH∠为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABCS AC BE∆=⨯⨯=9分因为PD=，所以13P ABC ABCV S PD-∆=⨯⨯133=⨯=．………………10分由（1）知PBC∆为直角三角形，BC=PB=所以△PBC的面积11322PBCS BC PB∆=⨯⨯==．…………11分因为三棱锥A PBC-与三棱锥P ABC-的体积相等，即A PBC P ABCV V--=，即133AH⨯⨯=AH=．……………………12分在Rt△PAD中，因为PD，1AD=，所以2AP==．…………………………13分………………10分·7·因为3sin 2AH APH AP ∠===AP 与平面PBC14分 19．（本小题满分14分）（1）解： {}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．……………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．……………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭111(21)2(23)2n n n n -=-++．………………………10分 所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232nn =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．……………………………14分 20．（本小题满分14分）（1）解双曲线C 的方程为2214y x -=．………………………3分 （2）设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩……………………………5分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k-=+．6分 同理可得，21244k x k +=-．……………7分 所以121x x ⋅=．………………8分（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），·8·则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．……………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．……………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =．设21t x =，则14t <≤，221245S S t t -=--．设()45t t f t =--，则()()()222241t t f t t t-+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．……………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………14分 21．（本小题满分14分）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1x x e ϕ'=-．……………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥．即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．……………………………3分·9·（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．……………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，……………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．……………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +． 由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．…………………………8分 （3）先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．………………………9分 再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++ ． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………10分以下用数学归纳法证明不等式（*）：·10·①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．…………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， 12分 所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立．。

2012届广东省高考数学模拟试题〔理科〕本试卷共4页，21小题，总分值150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１．已知a ∈、b 、c R ，则命题“假设a>b,则ac>bc 恒成立”的否认是 A ，假设a ≤b,则ac>bc 恒成立 B, 假设a ≤b,则ac ≤bc 恒成立 C 假设a>b,则ac>bc 恒成立 D,假设a>b,则ac>bc 恒成立2，设a,b 为两条直线，βα，为两个平面，以下四个命题，正确的命题是〔 〕A,假设a,b 与α所成的角相等，则a ∥b B,假设a ∥，αb ∥β，α∥β则a ∥b C,假设βα⊂⊂b a ，，a ∥b 则α∥β D,假设a ⊥α,b ⊥β,α⊥β则a ⊥b ３．数列}{n a 的通项公式是)(11+∈++=N n n n a n ，假设前n 项和为10，则项数n为〔 〕A ，121B ，120C ，99D ，114，如果一个空间几何体的正视图和侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为〔 〕A ，π3B ，π3C ，π39 D,π33 5．函数1log 1log )(22+-=x x x f 假设1)2()(21=+x f x f (其中21,x x 均大于2)，则)(21x x f 的最小值 ( ) A, 53 B, 32 C,54 D,455-6,假设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-0001x y x y x ，则yx z 23+=的最大值为〔 〕A,9 B,1 C, 3 D,07，设函数2()(21)||1f x x a x =+++的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围〔 〕。

广东省广州市2012届高三下学期一模调研交流数学（理）试题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟．参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，办是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R ，集合A={x|l<x ≤3}，B={x|2≤x ≤4}，C={x|3<x ≤4}，则 A ．A=(C u B)∩C B. B=(C u A)∩C C. C=(C u A)∩B D. C=A ∩B 2．复数iiz +-=22（i 是虚数单位）的虚部是 A ．i 54 B ．i 54- C ．54D ．54-3．函数)0(11log )(2=/-+=x xxx f 的图象在 A. 一、三象限 B ．二、四象限 C. 一、二象限 D. 三、四象限4．己知{a n }（n ∈N*）为等差数列，其公差为-2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，则{a n }的首项a 1=A ．14B ．16C ．18D ．205．已知命题p:“sin αa=sin β，且cos α=cos β”，命题q:“α=β”。

则命题p 是命题q 的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C ．充要条件 D.既不充分与不必要条件 6．如图1，正方体ABCD-A'B'C'D'中，M 、E 是AB 的 三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、 MN 的中点，则四棱锥A'-EFGH 的侧视图为7．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量),1,1(),2,2(=--=b n m 则和共线的概率为A ．181 B ．121 C ．91D ．1258．定义A*B 、B*C 、C*D 、D*A 的运算结果分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、 (4)，那么下图中的(M)、(N)所对应的运算结果可能是A. B*D 、 A*DB. B*D 、 A*CC. B*C 、 A*DD. C*D 、 A*D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题(9～13题)9．dx x e x ⎰-+11)2(＝ ．10．已知),23,21(),1,3(21=-=e e 若,,)3(2122e t e k b e t e a ⋅+⋅-=⋅-+=若b a ⊥，则实数k 和t 满足的一个关系式是 ，t t k 2+的最小值为____．．11．在△ABC 中，若A=75°，B=45°，AB =6， 则AC=12.已知点A(-l ，1)和圆C:,4)7()5(22=-+-y x 从点A 发出的一束光线经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是__ ．13.如图2所示的程序框图，其输出结果为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 是△ABC 的 外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，72=CD ，AB=BC=3，则AC= ．15．（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点)32,3(),3,1(ππB A ，O 是极点，则△AOB 的面积等于三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 己知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2cos 2cos sin 2)(（其中b>0，ω>0）的最大值为2，直线x=x 1、x=x 2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x l -x 2|的最小值为2π(1)求b ，ω的值；(2)若32)(=a f ，求)465sin(a -π的值．17．（本小题满分14分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况， 将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

2011—2012学年度下学期高三年级联考试题(理科数学)本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x∈R |x<5-2}，B={1，2，3，4)，则(C R A) B=( ) A ．{1，2，3，4} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx ，②y=22sin xcosx ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(-4π，0)成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x=-4π成轴对称C ．两个函数在区间(-4,4ππ)上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈2,121,02x xx x ,则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43B ．54C ．65D ．674、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A ．(24+83)cm 2B ．24πcm 2C ．314cm 2D ．318cm 2 5、下列四个命题中，正确的是( )A ．已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P （ξ>2）=0.2 B ．设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位C ．已知命题p ：∃x∈R，tanx=1；命题q ：∀x∈R，x 2-x+1>0．则命题“p ∧﹁q ”是假命题 D ．已知直线l 1：ax+3y-1=0,l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是 ba =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，第二个数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题 的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入( )A ．i≤30?；p=p+i-1B ．i≤29?；p=p+i+1C ．i≤31?：p=p+iD ．i≤30?；p=p+i7、已知k ∈AB Z ,=(k,1),AC =(2,4)，若AB ≤10,则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A ．74 B ．73 C ．72 D ．718、设函数f(x)的定义域为R ，若存在常数M>0使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立，则称函数f(x)为F 函数．现给出下列函数①f(x ）=x 2，②f(x)=122+-x x x③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1x 2均有212)()(21x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为( )A.① ② ③B.② ④C. ② ③D.③ ④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题 （9～13题） 9、i 是虚数单位，ii -12的共轭．．复数的数是________ 10、若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+5402y x y x ，则s=y-x 的最小值为________11、已知(xx 321⋅-)n 展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n ，且满足16<a k +a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=221x -alnx (a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f /(x)在[1，2]上存在零点(f /(x)为f(x)的导函数)，则a 的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程 是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，则MN 的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相 垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆0交于F ， 若∠CFE=α()2,0(πα∈)，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（广东卷）数学（理科）考生注意事项： 1．答题前，务必在试题卷､答题卡规定填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名､座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整､笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．､草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交．说明：若对数据适当的预处理，可避免对大数字进行运算．第Ⅰ卷一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（ ）A ．4 B ．4- C ．4+4iD ．2i2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A （ ）A ．()1,-+∞B ．()+∞,0C ．()1,+∞D ．()2,+∞3．已知直线0=++C By Ax （其中0,222≠=+C C B A ）与圆422=+y x 交于N M ,，O 是坐标原点，则OM ·ON =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．24．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左､右焦点分别为1F ､2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交与A B ､两点，若△AB F 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ） A ．323- B ．323+ C ．225+D ．225-5．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R ∈x ，都有)3()1(+=-x f x f ，当∈x [4，6]时，12)(+=x x f ，函数)(x f 在区间[20]-，上的反函数)(1x f -， 则)19(1-f 的值为（ ）A ．15log 2B ．3log 232-C ．3log 52+D ．3log 212-- 6．已知数列}{n a 前n 项和为)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ，则312215S S S -+的值是（ ）A ．13B ．-76C ．46D ．767．如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π8．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．38C 种B ．38A 种C ．39C 种D ．311C 种第Ⅱ卷二､填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．若函数2xf x e x a =--（）在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是________________10．设6)12()(+=x x f ，则)(x f y =的导函数)(x f y '=展开式中2x 的系数为11．若实数y x 、满足⎪⎩⎪⎨⎧+-≥≥≥-b x y x y y x 02且y x z +=2的最小值为3，则实数=b ____________12．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米/时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时________13．某县农民均收入服从μ=500元，σ=20元的正态分布，则此县农民年均收入在500元到520元间人数的百分比为________．（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为32841x ty t t ==++⎧⎨⎩（t 为参数），则在曲线C 上横坐标为1的P 处的切线方程为_____________15．（几何证明选讲选做题）如图，圆的两条弦AC ､BD 相交于P ，弧A B B C C D D A ､､､的度数分别为6010590105︒︒︒︒､､､，则PAPC=_____________三､解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明､证明过程和演算步骤） 16．（本题满分为12分）第1小题6分，第二小题3分，第3小题3分 已知),cos 2,(sin ),cos ,cos 35(x x b x x a ==设函数23()||.2f x a b b =⋅++ （1）当[,]62x ππ∈，求函数)(x f 的的值域； （2）当[,]62x ππ∈时，若)(x f =8， 求函数()12f x π-的值；（3）将函数 y f x =（）的图象向右平移12π个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y g x =（）的图象，求函数()g x 的表达式并判断奇偶性．17．（本小题满分13分）第1小题4分，第2小题9分在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中，A ､B 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队B 队最后所得总分分别为ξ､η，且3ξη+=．（1）求A 队得分为1分的概率；（2）求ξ的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．18．（本小题满分13分）第1小题4分，第2小题4分，第3小题5分在正三角形ABC 中，E ､F ､P 分别是AB ､AC ､BC 边上的点，满足AE ：EB=CF ：FA=CP ：PB=1：2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连结11A B A P ､（如图2）（1）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（2）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小； （3）求二面角B-A 1P-F 的余弦值．19．（本小题满分14分）第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分 定义在11-（，）上的函数)(x f ， （i ）对任意x ，∈y （-1，1）都有：)1()()(xyy x f y f x f ++=+；（ii ）当∈x （-1，0）时，0)(>x f ，回答下列问题． （1）判断)(x f 在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数)(x f 在（0，1）上的单调性，并说明理由； （3）若21)51(=f ，试求)191()111()21(f f f --的值．20．（本小题满分14分）第1小题8分，第2小题6分假设A 型进口车关税税率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A 型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．（1）已知与A 型车性能相近的B 型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B 型车的价格不高于A 型车价格的90%，B 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元?（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1．8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B 型车一辆?21．（本小题满分14分）第1小题7分，第2小题7分已知1F ､2F 分别为椭圆1C ：)0(12222>>=+b a bx a y 的上､下焦点，其中1F 也是抛物线2C ：y x 42=的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且351=MF ．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P （1，3）和圆O ：222b y x =+，过点P 的动直线l 与圆O 相交于不同的两点A ，B ，在线段AB 取一点Q ，满足：→→-=PB AP λ，→→=QB AQ λ（0≠λ且1±≠λ）．求证：点Q 总在某定直线上．2012年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题答案（广东卷）数学（理科）一、选择题1-5 BBADB 6-8 BCA 二．填空题 （一）必做题9．()+∞-,2ln 22 10．480 11．4912．2．5小时 13．3415．％ （二）选做题14．510x y --=15三．解答题16．（本小题满分13分） 解：（1）23()||2f x a b b =⋅++2223cos 2cos 4cos sin 2x x x x x =++++25cos 5cos 2x x x =++ 1cos 252522x x +=+⋅+ 5sin(2)56x π=++；由67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得， 1)62sin(21≤+≤-∴πx5,()[,10].622x f x ππ∴≤≤时函数的值域为（2）3()5sin(2)58,sin(2)665f x x x ππ=++=+=则， 67622,26πππππ≤+≤≤≤x x 得；所以4cos(2),65x π+=-()12f x π-=5sin 255sin(2)57.66x x ππ=+=+-+=+（3）由题意知()5sin(2)5()6f x xg x π=++→5sin[2())555sin 2126x x ππ=-++-=，所以()5sin 2g x x =；()5sin(2)5sin 2()g x x x g x -=-=-=-，故()g x 为奇函数．17．（本小题满分13分）（1）设A 队得分为1分的事件为0A ， ∴023*********()357357357105P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （2）ξ的可能取值为3 ， 2 ， 1 ， 0 ；022312(3)()357105P P A ξ===⨯⨯=， 22412323340(2)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,23412413341(1)357357357105P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 13412(0)357105P ξ==⨯⨯=， ∴ξ的分布列为：于是 0123105105105105105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ∵ 3ξη+=， ∴ 1583105E E ηξ=-+=． 由于E E ηξ>， 故B 队比A 队实力较强．18．（本小题满分13分）解：（1）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2， 而∠A=600，∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD ． 在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， ∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE ． 又BE ∩EF=E ，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP ．（2）在图2中，∵A 1E 不垂直于1A B ，∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线． 又A 1E ⊥平面BEP ， ∴A 1E ⊥BP从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1BP 内的射影（三垂线定理的逆定理）． 设A 1E 在平面A 1BP 内的射影为A 1Q ，且A 1Q 交BP 于点Q ，则 ∠EA 1Q 就是A 1E 与平面A 1BP 所成的角， 且BP ⊥A 1Q ．在EBP ∆中，∵0260BE BP EBP ==∠=，， ∴EBP ∆是等边三角形，BE EP ∴=．又A 1E ⊥平面BEP ，∴11A B A P =，∴Q 为BP 的中点，且EQ=3， 又A 1E=1，在Rt △A 1EQ ，tan ∠EA 1Q=31=EA EQ ，∴∠EA 1Q=600． 所以直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为600．（3）在图3中，过F 作FM ⊥A 1P 于M ，连结QM ，QF ．∵01,60CF CP C ==∠=． ∴FCP ∆是正三角形，∴PF=1． 又112PQ BP PF PQ ==∴=，． ① ∵1A E BEP ⊥平面，EQ EF ==3，∴11A F A Q =，∴11,A FP AQP ≌ 从而∠A 1PF=∠A 1PQ ． ② 由①②及MP 为公共边知，FMP QMP ≌， ∴090QMP FMP ∠=∠=，且MF MQ =， 从而∠FMQ 为二面角1B A P F --的平面角．在1Rt A QP 中，11121AQ A F PQ A P ===∴，， ∵MQ ⊥A 1P ， ∴MQ=55211=⋅P A PQ Q A ， ∴MF =552． 在FCQ ∆中，12FC QC ==，，060C ∠=，由余弦定理得QF =在FMQ ∆中，cos FMQ ∠ =872222-=⋅-+MQ MF QF MQ MF ． 所以二面角1B A P F --的余弦值是78-． 19．（本小题满分14分）解析：（1）令0)0(0=⇒==f y x ，令y=-x ，则)(0)()(x f x f x f -⇒=-+ )()(x f x f ⇒-=在（-1，1）上是奇函数．（2）设1021<<<x x ，则)1()()()()(21212121x x x x f x f x f x f x f --=-+=-， 而021<-x x ，0)1(01102121212121>--⇒<--⇒<<x x x x f x x x x x x ．即当21x x <时， )()(21x f x f >．∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）由于)31()52115121()51()21()51()21(f f f f f f =⨯--=-+=-， )41()111()31(f f f =-，)51()191()41(f f f =-， ∴1212)51(2)191()111()21(=⨯==--f f f f ． 20．（本小题满分14分）解：（1）2007年A 型车价为32+32×25%=40（万元）设B 型车每年下降d 万元，2002，20032007年B 型车价格为：（公差为-d ） 1a ，2a ……6a ∴6a ≤40×90% ∴46-5d ≤36 即 d ≥2故每年至少下降2万元（2）2007年到期时共有钱5%)8.11(33+⨯>33（1+0．09+0．00324+……）=36．07692>36（万元） 故能够买降价后的B 型车一辆｡21．（本小题满分14分）解：（1）由2C ：y x 42=知1F （0，1），设)0)((00,0<x y x M ，因M 在抛物线2C 上，故 0204y x = ① 又351=MF ，则3510=+y ②， 由①②解得32,36200=-=y x 椭圆1C 的两个焦点1F （0，1），)1,0(2-F ，点M 在椭圆上，有椭圆定义可得212MF MF a +=+-+--=22)132()0362(22)132()0362(++-- 4=∴,2=a 又1=c ，∴3222=-=c a b ，椭圆1C 的方程为：13422=+x y ｡ （2）设),(),,(),,(2211y x Q y x B y x A ，由→→-=PB AP λ可得：)3,1()3,1(2211---=--y x y x λ， 即 121213(1)x x y y λλλλ-=-⎧⎨-=-⎩⑤⑥由→→=QB AQ λ可得：),(),(2211y y x x y y x x --=--λ， 即1212(1)(1)x x x y y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩⑦⑧⑤×⑦得：x x x )1(222221λλ-=-⑥×⑧得：)1(3222221λλλ-=-y y两式相加得)3)(1()()(2222222121y x y x y x +-=+-+λλ又点A ，B 在圆322=+y x 上，且1±≠λ，所以32121=+y x ，32222=+y x即33=+y x ，所以点Q 总在定直线33=+y x 上。

广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（四）理科数学广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)理科数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是( A ) A．(?UM∩?UN)∩S B．(?U(M∩N))∩S C．(?UN∩?US)∪M D．(?UM∩?US)∪N 解析：由韦恩图可知，阴影部分所表示的是M与N的并集的补集与S的交集，故选A.2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)i为“等部复数”则实数a的值为( A )A．－1 B．0 C．1 D．2解析：复数z＝(1＋ai)i＝－a＋i，由题设得a＝－1.选A.－－3.已知函数f(x)＝1＋logax(a>0，且a≠1)，f1(x)是f(x)的反函数．若f1(x)的图象过点(3,4)，则a等于( D )3A.2 B.3 C.3 D．2解析：反函数图象过点(3,4)，则原函数图象过点(4,3)，有3＝1＋loga4，得a＝2.选D. 14.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( D )nA．1＋n＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．2＋lnn3n解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)＝2＋ln2＋ln＋?＋ln ＝2＋lnn.2n－1选D.5.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是( C )①α∥β，m?α，n?β，则m∥n; ②若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，m?α，则m⊥β；④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α A．3 B．2 C．1 D．0 解析：只有④正确，故选C.x1＋y16.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( B )x2＋y22255A. B．－ C. D．－ 3366解析：由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉知，cos〈a，b〉＝－1，x1y1x1＋y122即a与b反向，所以a＝－b，所以＝＝＝－.3x2y2x2＋y23第 1 页共 9 页7.如图P，Q，R，S为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( C )A．8种 B．12种 C．16种 D．20种解析：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C14＝4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：P—Q—R—S，S—R—Q—P，这样的两个排列A44对应一种建桥方法，因此有＝12种方法；2根据分类计数原理知道共有4＋12＝16种方法．选C. 8.给出下列3个命题：①函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(1＋x)的图象关于直线x＝1对称；②若奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则y＝f(x)的周期为2a；③已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则以A为定义域，以B为值域的函数有8个．在上述3个命题中，所有不正确命题的序号是( A ) ．．．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③解析：①是错的．如f(x)＝x2时，y＝(x－1)2与y＝(x＋1)2的图象不关于直线x＝1对称；π②是错的．如y＝sinx是奇函数，图象关于x＝对称，但y＝sinx的周期不是π；③是错的．以2A为定义域，以B为值域的函数只有6个．二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．) (一)必做题(9～13题)9.下图是一个算法的流程图，若输入a＝－1，b＝2，则最后输出的结果是x0(b≠0)的程序框图，若输入a＝－1，b＝2，可得输出x0)，则焦点是F(－，0)．2因为点A(－3，n)在抛物线上，且|AF|＝5，n＝6p??故?，解得p＝4，故抛物线方程为y2＝－8x. p22???－3＋2?＋n＝512.抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数η的期望和方差为别是50200， .(前空3分，后空2分) 327445解析：η～B(30，p)，其中p＝1－×＝，66955054200所以Eη＝30×＝，Dη＝30××＝.93992713.如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C 点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，则△DEF的面积为 96 .解析：平面α∥平面β，所以AB∥DF，AC∥DE，所以∠CAB＝∠EDF.PA＋AD7在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，PA34同理DE＝AC.714所以S△DEF＝DF·DEsin∠EDF＝S△ABC＝96.23 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题．) 14.(坐标系与参数方程选做题)?x＝t＋t过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线?1y＝t－?t的长为 217 .第 3 页共 9 页1相交于A、B两点，则线段AB?解析：直线的参数方程为?1y＝?2s化为x2－y2＝4.x＝－3＋3s2?(s为参数)，曲线?1y＝t－?t1x＝t＋t(t为参数)可以将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，所以s1＋s2＝63，s1s2＝10. 所以|AB|＝|s1－s2|＝?s1＋s2?2－4s1s2＝217.15.(几何证明选讲选做题)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，则PA的长为153. 2解析：因为DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，所以EC＝9. 因为CE∶BE＝3∶2，所以BE＝6.DEEC由DE2＝EF·EC，得＝，又∠DEF＝∠DEC，所以△DEF∽△CED，EFDE所以∠ECD＝∠EDF，又∠APE＝∠ECD，所以∠APE＝∠EDF， AEEF所以△APE∽△FDE，所以＝，所以CE·EB＝AE·DE＝EF·EP，EPDE27所以9×6＝4×EP，解得EP＝.21545所以PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.221545153由切割线定理得：PA2＝PB·PC，所以PA2＝×，所以PA＝. 222三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)11ππ1已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0。

试卷类型：B广州市2012届高三年级调研测试数 学（理科） 2011.12参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则()U A B ð等于A ．∅B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,0,1,2-2．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于 A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是A ．24B ．48C ．60D ．72 5．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．106．在正四棱锥V A B C D -中，底面正方形A B C D 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线V A 与BD 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π； ②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称 B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中4x 的系数为 (用数字作答).10．向面积为S 的三角形ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于3S 的概率是 ．11．已知程序框图如右，则输出的i = ．12．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_____．13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题） 如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD C E ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则A D 的长为 ． 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则O A （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为 ．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，在A B C ∆中，点D 在B C 边上，33A D =，5sin 13B A D ∠=，3cos 5A D C ∠=．（1）求sin A B D ∠的值；（2）求BD 的长．开始1S =结束3i =100?S ≥i 输出2i i =+*S S i=是否ADECBOABCD17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：y社区数量x居民素质1分2分 3分 4分 5分 社 区 服 务1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 10 9 3 4分 a b6 0 1 5分113（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率； （2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y 的均值（即数学期望）为16750，求a 、b 的值．18.（本小题满分14分）已知正方形A B C D 的边长为2，AC BD O = ．将正方形A B C D 沿对角线B D 折起，使A C a =，得到三棱锥A B C D -，如图所示． （1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面；（2）当二面角A B D C --的大小为120时，求二面角A B C D --的正切值．ABCDO19．（本小题满分14分）设椭圆222:12x yM a+=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a ax l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+()2n ≥．（1）设1n n n b a a λ+=+，是否存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123xf x ax x ax =++--()a ∈R ．（1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x b f x x--=有实根，求实数b 的最大值．广州市2012届高三年级调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．10 10．59 11．9 12．1- 13. 22 14．1 15．2三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5A D C ∠=，所以24sin 1cos 5A D C A D C ∠=-∠=．…………………………………………………………2分因为5sin 13B A D ∠=，所以212cos 1sin 13B A D B A D ∠=-∠=．…………………………………………………………4分因为A B D A D C B A D ∠=∠-∠， 所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin AD C BAD AD C BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分 （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin B D A D B A DA B D=∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）题号 1 2 34 5 6 78答案 D D A B A D C B的社区数量为24个．………………………………………………………………………2分 设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=．所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分（2）由表可知“居民素质”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a +个、()4b +个、15个、15个、9个．…………………………………………………………6分 所以“居民素质”得分y 的分布列为：y 12 3 4 5p504+a504+b50151550509……………………………………8分因为“居民素质”得分y 的均值（数学期望）为16750，所以501675095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯b a ．…………………………………10分即25a b +=．因为社区总数为50个，所以4750a b ++=．解得1a =，2b =．…………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：根据题意，在A O C ∆中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222AC AO CO =+，所以CO AO ⊥.………………………………………………………2分因为A C B D 、是正方形A B C D 的对角线，所以A O B D ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为BD CO O = ，所以AO BCD ⊥平面.………………………………………………………………………………4分 （2）解法1：由（1）知，C O O D ⊥，如图，以O 为原点，O C ，O D 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -，…………………………………………………………5分则有()0,0,0O ，()0,2,0D ，()2,0,0C ，()0,2,0B -．设()00,0,A x z ()00x <，则()00,0,OA x z = ，()0,2,0O D =．………………………………6分又设面ABD 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0.O A O D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即010110,20.x x z z y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ABD Oyz所以10y =，令10x z =，则10z x =-． 所以()00,0,z x =-n ．………………………8分 因为平面BC D 的一个法向量为(0,0,1)=m ，且二面角A B D C --的大小为120 ，………………………………………………………………9分 所以1cos ,cos 1202== m n ，得20203x z =．因为2=OA ，所以22020=+z x ． 解得26,2200=-=z x ．所以26,0,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………………10分 设平面ABC 的法向量为()222,,x y z =l ，因为()26,2,,2,2,022BA BC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则0,0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ l l ，即222222620,22220.x y z x y ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩ 令21x =，则3,122=-=z y ．所以(1,1,3)=-l ．…………………………………………………………………………………12分 设二面角A B C D --的平面角为θ，所以2315cos cos ,511(3)θ====++l m．……………………………………………13分所以6tan 3θ=．所以二面角A B C D --的正切值为63．…………………………………………………………14分解法2：折叠后在△ABD 中，B D A O ⊥，在△BC D 中，BD C O ⊥．……………………………5分所以A O C ∠是二面角A B D C --的平面角，即120AOC ∠=．………………………………………6分在△A O C 中，2==CO AO ，所以6AC =．………………………………………………………………………………………7分A B CDOHK如图，过点A 作C O 的垂线交C O 延长线于点H ， 因为BD C O ⊥，B D A O ⊥，且CO AO O = ，所以B D ⊥平面A O C ．…………………………………………………………8分 因为AH ⊂平面A O C ，所以BD AH ⊥．又C O A H ⊥，且CO BD O = ，所以A H ⊥平面BC D ．……………………………………9分 过点作A 作A K B C ⊥，垂足为K ，连接H K ，因为B C A H ⊥，AK AH A = ，所以B C ⊥平面AH K ．…………………………………10分 因为H K ⊂平面AH K ，所以B C H K ⊥．所以A K H ∠为二面角A B C D --的平面角．……………………………………………………11分 在△A O H 中，60AOH ∠= ，2AO =，则62AH =，22O H =，所以232222C H C O O H =+=+=．………………………………………………………12分在R t △C H K 中，45HCK ∠= ，所以232==CH HK ………………………………………13分在R t △AH K 中，tan A K H ∠=362326==KHAH ．所以二面角A B C D --的正切值为63．…………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）由题设知，22,02aA a ⎛⎫⎪-⎝⎭，()212,0F a -，………………………………1分由112OF AF +=0 ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-22222222a a aa ．……………………………………3分解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+yxM ．…………………………………………………………4分（2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分()()N F N P N F N P =--⋅-…………………………………………………7分2221NP NF NP =-=- ．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分 因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．……………………………12分因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，2NP 取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()P E P F x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分1010101()()()(4)x x x x y y y y =---+--- 222201011044x x y y y y =-+-+- 22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分 因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅ 200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[2,2]y ∈-，所以当01y =-时，()m in11P E P F ⋅= ．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分 由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=kx ．………………………………………………………7分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以00221,211kPE x y k k ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭ ，00221,211kPF x y k k ⎛⎫=---+- ⎪++⎝⎭ ……………………………………………………9分 所以11)1(21)2(1)2(112020202220220++-=--+=+--++-=⋅y y x kk y kx PF PE ．……………………………………………………10分 因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =， 由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =． 不妨设，()0,3E ，()0,1F ．……………………………………………………12分 因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =-- ，()00,1PF x y =--．所以2220000432(1)11P E P F x y y y ⋅=+-+=-++．因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =． ①……………………………………1分由11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+，得35a =，411a =．所以1213b a a λλ=+=+，23253b a a λλ=+=+，343115b a a λλ=+=+，………………2分 所以()()()2533115λλλ+=++，解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………3分 当1λ=时，1n n n b a a +=+，11n n n b a a --=+，且1214b a a =+=，有()1111122n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+++===++()2n ≥．………………………………………………4分当2λ=-时，12n n n b a a +=-，112n n n b a a --=-，且12121b a a =-=， 有()11111222122n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+--===---()2n ≥．…………………………………………5分所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分 方法2：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列， 设1n n b q b -=()2n ≥，……………………………………………………………………………………1分 即()11n n n n a a q a a λλ+-+=+，……………………………………………………2分即()11n n n a q a q a λλ+-=-+．………………………………………………………………………3分 与已知112n n n a a a +-=+比较，令1,2.q q λλ-=⎧⎨=⎩………………………………………………………4分解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………5分 所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分（2）解法1：由（1）知111422n n n n a a -+++=⨯=()1n ≥，……………………………………7分当n 为偶数时，()()()()1234561n n n S a a a a a a a a -=++++++++ …………………………8分 2462222n=++++ …………………………………………………………9分()22414124143nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．…………………………………………………10分当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++ ………………………………11分351222n =++++ …………………………………………………………12分()1228141125143n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--．……………………………………………13分故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数. (14)分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．解法2：由（1）知()1121n n n a a ++-=-()1n ≥，…………………………………………………7分所以()11111112222n n n n n nn a a +++++-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭()1n ≥，……………………………………………………8分当2n ≥时，31121212132122222222n n n nn n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111122111111226212n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．因为11122a =也适合上式，……………………………………………………………………………10分所以2n na =11111262n -⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1n ≥． 所以()11213n n n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………11分则()()()()()()12323411222211113nn n S +⎡⎤=+++++-+-+-++-⎣⎦，………………12分 ()()()()()111412131211nn ⎡⎤----⎢⎥=+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………13分()()21112432nn +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．……………………………………………14分解法3：由（1）可知，()111142,211.n n n n n n a a a a -+-+⎧+=⨯⎪⎨-=⨯-⎪⎩…………………………………………………7分 所以()11213n n n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………8分 则()()()()()()()()12345112121212121213n n n n n S -+⎡⎤=-+++-+++++-++-⎣⎦ ，……9分 当n 为偶数时，()2345112222223n n n S +=++++++ ………………………………………10分()()241211243123nn +-=⨯=--．……………………………………………11分当n 为奇数时，()23451122222213n n n S +⎡⎤=++++++-⎣⎦ ………………………………12分()()2412111253123nn +⎡⎤-⎢⎥=⨯-=--⎢⎥⎣⎦．………………………………………13分 故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221af x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……………1分因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………………………2分即22041a a a -=+，解得0a =．……………………………………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．……………………………4分 （2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．…………………5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a符合题意．………………………………………………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >， 所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．…………………………………7分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，……………………………8分因为0a >所以1114a-<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可，因为()3g =24610a a -++≥，解得31331344a -+≤≤．……………………………………………………………9分因为0a >，所以31304a +<≤．综上所述，a 的取值范围为3130,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．………………………………………………………10分 （3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x--=可化为，xb x x x =-+--)1()1(ln 2．问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．…………………………………………………………11分 以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x x =+->，则xx x x xx h )1)(12(211)(-+=-+=' ，…………………………………………………………12分所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数，当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，…………………………………………13分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x xx--'=+-=-．当1706x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在170,6⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增； 当176x +>时，()0p x '<，所以()p x 在17,6⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；因为()10p =，故必有1706p ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭， 因此必存在实数02117,6x e ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭使得0'()0g x =， 00,()0x x gx '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减； 当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增； 当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10,ln 04x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =．因此当1x =时，b 取得最大值0. ………………………………………………………14分。