广东省东莞市2020届高三高考数学(文科)二模试题

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2+x-2＜0}，集合B={x|x＞0}，则集合A∪B=（）A. {x|0＜x＜1}B. {x|x＜1}C. {x|-2＜x＜1}D. {x|x＞-2}2.若复数z满足（z+i）（2+i）=5（其中i为虚数单位），则等于（）A. 2+2iB. -2+2iC. 2-2iD. -2-2i3.已知等差数列，，，则（）B. C. D.A.4.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A. 12B. 10C. 8D. 65.已知，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（）A. B. -2 C. D.6.曲线y=在点（-1，-1）处的切线方程为（）A. y=2x+1B. y=2x-1C. y=-2x-3D. y=-2x-27.若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）A. πB. 2πC. 4πD. 16π9.欧拉三角形定义如下：△ABC的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成的三角形称为△ABC的欧拉三角形．已知△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，△ABC的垂心为P，AP，BP，CP的中点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1即为△ABC的欧拉三角形，往△ABC中随机投掷一点，该点落在△PA1B1或△PB1C1内的概率为A. B. C. D.10.已知点F为双曲线的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是（）11.已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，M（x0，y0）为PQ的中点，且y0＞2x0+1，则的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知函数f（x）=2-|x|，若关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，则实数m的取值范围为（）A. [-3，-1）B. （-3，-1）C. [-2，-1）D. （-2，-1）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量与单位向量的夹角为120°，则=______．14.若f（x）=是奇函数，则a=______．15.已知数列{a n}满足，（n∈N*），则{a n}中最大项的值为______．16.已知矩形ABCD，AB=1，，E为AD中点，现分别沿BE、CE将三角形ABE和三角形DCE翻折，使A、D点重合，记为P点，则几何体P-BCE外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求∠B的值；（2）若a=4，，求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，∠BAA1=60°，E是棱BB1的中点，CA=CB=1，F在线段AC上，且AF=2FC．（1）证明：CB1∥面A1EF；（2）若CA⊥CB，面CAB⊥面ABB1A1，求三棱锥C-AA1B的体积19.某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这（）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率．（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”．请根据已知条件完成以下2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：，n=a+b+c+d20.已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．21.已知函数f（x）=ln x-ax2（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤-x恒成立，求a的取值范围．22.已知曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．（1）求曲线C和射线l2的极坐标方程；（2）求△OAB的面积的最小值，并求此时α的值．23.已知函数f（x）=|x-2|-a|x+2|．（1）当a=2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）当x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥x恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x2+x-2＜0}={x|-2＜x＜1}，集合B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞-2}．故选：D．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由（z+i）（2+i）=5，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的首项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.利用等差数列通项公式列出方程组，能求出首项a1．【解答】解：∵等差数列{a n}，a4=9，a8=-a9，∴，解得a1=15，d=-2．故选：D．4.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a 的值，进而可求tanθ的值．【解答】解：∵，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，解得：a=0，或a=4，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a=4，∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．故选：C．6.【答案】A【解析】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=-1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（-1，-1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．欲求在点（-1，-1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵函数图象的两个相邻最高点的距离为=π，∴ω=2，f（x）=sin（2x-）．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，故选：B．由题意利用正弦函数的图象求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的一个单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图知，该几何体为圆锥，设底面圆的半径为r，母线的长为l，则2r+2l=8，即r+l=4；∴圆锥的侧面积为S侧=，（当且仅当r=l时“=”成立）；∴圆锥的侧面积最大值为4π．故选：C．由三视图知该几何体为圆锥，设出底面圆半径和母线长，利用基本不等式求出圆锥侧面积的最大值．本题考查了圆锥的三视图与应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：以BC的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则直线AC：,故直线BP：,令x=0，得，故=,则所求概率为.故选：D．根据题意，设事件A={该点落在△PA1B1或△PB1C1内}，求出事件A的测度，除以△ABC 的面积即可．本题考查了几何概型的概率求法、相似三角形的相关知识、三角形的垂心、新定义欧拉三角形等．本题属于中档题．10.【答案】B【解析】【分析】由题意可得点F（c，0），设点A（0，b），求得直线AF的方程，联立渐近线方程，本题考查了双曲线的方程和性质应用问题，主要是渐近线方程和离心率的求法，是基础题．【解答】解：由题意可得F（c，0），设A（0，b），直线FA的方程为bx+cy-bc=0，与双曲线的渐近线y=-x的交点B横坐标为x=，由=（-1），可得-c=（-1）•，化为c=a，即离心率为e==．故选B．11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查直线斜率的求解，利用直线平行的性质求出中点的轨迹方程以及利用直线的斜率公式是解决本题的关键，是中档题．根据直线平行的性质求出M的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：如图∵直线x+2y-1=0与x+2y+3=0平行，∴点M的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为x+2y+1=0，即点M（x0，y0）满足x0+2y0+1=0，而满足不等式y0＞2x0+1的点在直线y=2x+1的上方，易得直线x+2y+1=0与y=2x+1的交点为（-，-），故问题转化为求射线（不含端点）x0+2y0+1=0（x0＜-）上的点M（x0，y0）与坐标原点（0，0）连线斜率．即的取值范围，故=k OM∈（-，）．故选：C．12.【答案】C【解析】解：令g（x）=x2-x-m-f（x），则g（x）=x2-x+|x|-2-m，∴g（x）=，则g（x）在（-∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，关于x的不等式f（x）≥x2-x-m的解集中仅有1个整数，即g（x）≤0解集中仅有1个整数，∴只需g（x）满足，，即，∴-2≤m＜-1，∴实数m的取值范围为：[-2，-1）．故选：C．构造函数g（x）=x2-x-m-f（x），将问题转化为g（x）≤0解集中仅有1个整数，然后结合函数g（x）的单调性，找出限制条件即可求解．本题主要考查绝对值不等式的解法，构造函数，将问题转化为函数问题是解题的关键，属中档题．13.【答案】【解析】解：据题意得，；∴；∴．故答案为：．根据条件即可得出，，从而可求出，进而可求出．考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式．14.【答案】【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．故答案为：．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．15.【答案】【解析】解：由（n∈N*），得（n∈N*），∴数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，则，则．当n=1时，；当n=2时，a2=-1；当n=3时，．当n≥3时，数列为递减数列，则数列{a n}中最大项的值为．故答案为：．把已知数列递推式两边取倒数，可得数列{}是以为首项，以8为公差的等差数列，求其通项公式，得到数列{a n}的通项公式，利用函数的单调性求解．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，考查数列的函数特性，是中档题．16.【答案】【解析】解：∵AB=1，AD=，E为AD中点，可得∠EPB=∠EPC=90°，∠CPB=90°，∴P-BCE为长方体一角，其外接球直径为长方体的体对角线长，∴2R==，∴R=，∴外接球表面积为4π×=，故答案为：．首先利用数量关系得到三线垂直，而后联想到长方体，外接球直径为长方体体对角线长，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．17.【答案】解：（1）法一：由正弦定理得，∵，∴sin B cos C+cos B sin C-sin C=sin B cos C，∴；∵sin C≠0，∴，∵B∈（0，π），∴.（1）法二：由余弦定理得化简得，∴.∵B∈（0，π），∴.（2）由，得sin C==,在△ABC中，∵，由正弦定理，得，.【解析】本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）结合正弦定理或余弦定理进行化简，进行求解即可．（2）求出sin C的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行计算即可．18.【答案】证明：（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，∵△AGA1～△B1GE，∴==2，∵=2，∴=，∴FG∥CB1，∵CB1⊄面A1EF，FG⊂面A1EF，∴CB1∥面A1EF．解：（2）作O点为AB中点，连结CO，∵CA⊥CB，且CA=CB=1，∴CO⊥面ABA1，∴CO是三棱锥C-AA1B的高，由题意得CO=，AB=，∴三棱锥C-AA1B的体积：=×=．【解析】（1）连结AB1交A1E于点G，连结FG，推导出FG∥CB1，由此能证明CB1∥面A1EF．（2）作O点为AB中点，连结CO，推导出CO⊥面ABA1，CO是三棱锥C-AA1B的高，由此能求出三棱锥C-AA1B的体积．本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为=（7.5×18+12.5×12+17.5×9+22.5×9+27.5×6+32.5×4+37.5×2）≈16.92；所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．（ 2）设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[5，10），[l0，15），[15，20）的女性客户中抽取1人（设为a），2人（设为A，B）4人，（设为c1，c2，c3，c4），从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21种，其中事件A所包含的基本事件为：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6个，则事件A发生的概率P==．32×2则=≈16.667＞10.828．故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关．【解析】（1）根据平均数的公式进行计算即可．（2）利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可．（3）完成2×2列联表，计算K2的值，利用独立性检验的性质进行判断即可．本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2-c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2-12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==-，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=-3，x2=0，所以y1=-1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（-3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．【解析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2-c2求出b的值，即可求出椭圆G的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x-ax2的定义域为（0，+∞），f′（x）=-2ax=，当a≤0，则f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）为增函数；a＞0，令f′（x）=0，解得x=（负的舍去），所以，当x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在（0，）为增函数；当x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）为减函数．综上所述，当a≤0，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞0，f（x）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数；（Ⅱ）f（x）≤-x，即ln x-ax2≤-x，得ln x-ax2+x≤0，得a≥，设g（x）=，g′（x）=（x＞0），g′（x）=0，得x=1．令h（x）=1-2ln x-x，则h（x）=1-2ln x-x在（0，+∞）为减函数，h（1）=0，所以x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）递减，所以g（x）min=g（1）=1，所以a≥1．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，讨论a≤0，a＞0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得ln x-ax2≤-x，得a≥，设g（x）=，求得g（x）的导数，g（x）的单调性，可得最小值，即可得到所求范围．本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值和最值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为（t为参数），得普通方程为4y=x2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得4ρsinθ=ρ2cos2θ，所以曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，[或]过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α．故l2的极坐标方程为；（2）依题意设，则由（1）可得，同理得，即，∴=∵，∴0＜α＜π，∴=≥16，△OAB的面积的最小值为16，此时sin2α=1，得，∴．【解析】（1）由曲线C的参数方程，得普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；由过极点的两射线l1、l2相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且l1的倾斜角为锐角α，能求出l2的极坐标方程．（2）依题意设，则，同理，由此能法语出△OAB的面积的最小值及此时α的值．本题考查曲线、射线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：（1）①当x＜-2时，f（x）=-x+2+2（x+2）=x+6＜2，解得x＜-4，②当-2≤x＜2时，f（x）=-x+2-2（x+2）=-3x-2＜2，解得，③当x≥2时，f（x）=x-2-2（x+2）=-x-6＜2解得x≥2，上知，不等式f（x）＜2的解集为；（2）解法1：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2）=-（a+1）x+2（1-a），设g（x）=f（x）-x，则∀x∈[-2，2]，g（x）=-（a+2）x+2（1-a）≥0恒成立，只需，即，解得，解法2：当x∈[-2，2]时，f（x）=2-x-a（x+2），f（x）≥x，即2-x-a（x+2）≥x，即（x+2）a≤2（1-x），①当x=-2时，上式恒成立，a∈R；②当x∈（-2，2]时，得=恒成立，只需，综上知，．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）解法1：设g（x）=f（x）-x，结合一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可；解法2：分离参数a，得到恒成立，求出a的范围即可．。

广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试（最后一卷）试题 文本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项： 2020.6 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}3,2,1,1,32-=<=B x x x A ，则AB =A. {}2,1,1-B. {}2,1-C.{}32,1， D. {}2,1 2．已知复数12i34iz +=+，i 为虚数单位，则||z = A ．15 B ．5 C ．12 D ．2 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。

若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为A.π3B. π4C.π5D. π6 4.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，满足92,6543==+a a a ，则7S =A.235 B. 21 C.249 D. 28 5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在3195±内，则称这批轮胎基本合格。

已知这批轮胎的宽度分别为200194190196195，，，，，则这批轮胎基本合格的概率为A.52 B. 53 C.54 D. 107 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。

如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线E 的离心率为A.4 B. 3D. 7.已知α为锐角，53cos =α，则=-)24tan(απA. 21B. 31C.2D. 38.已知函数()xx a f x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为A B ．ln 2 C ．2 D ．2ln 2 9.已知C B A ,,三点不共线，且点O 满足031216=--，则A.312+=B.312+-=C.312-=D.312--=10.已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，C B c B c C b 2,3,6cos cos ===+， 则C cos 的值为A.53 B.43 C.33 D.2311.在三棱锥BCD A -中,ABD △与CBD △均为边长为2的等边三角形,且二面角C BD A --的平面角为︒120,则该三棱锥的外接球的表面积为A.π316 B.π7C.π328D.π812.已知函数()2xf x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ C.0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,02e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为14.设等比数列{}n a 前n 项和n S ，满足87,4132==S a ，则公比q 为 15.若非零向量b a,满足a b 4=，a b a ⊥)2(-，则a 与b 的夹角为 16．在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，2,AB AD ==，CB CD ==，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）（有答案解析）2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（?R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，若中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，则中间⼀组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某⼏何体的三视图如图所⽰，三个视图都是半径相等的扇形，若该⼏何体的表⾯积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基⽶德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利⽤“逼近法”得到椭圆的⾯积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离⼼率为，⾯积为12π，则椭圆C的⽅程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内⾓A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知⾼为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球⾯上，若⼆⾯⾓的正切值为4 ，则（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的⽅程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件，则的最⼤值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最⼤值为12，则f（x）的最⼩值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离⼼率为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等⽐数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底⾯ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平⾯ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国⾼速公路继续执⾏“节假⽇⾼速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出⾏的⾼峰情况，在某⾼速公路收费站点记录了⼤年初三上午9：20～10：40这⼀时间段内通过的车辆数，统计发现这⼀时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直⽅图如下图所⽰，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进⾏分析，现采⽤分层抽样的⽅法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由⼤数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（µ，σ2），其中µ可⽤这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可⽤样本的⽅差近似代替（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表），已知⼤年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（µ，σ2）则P（µ-σ＜T≤µ+σ）=0.6827，P（µ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（µ-3σ＜T≤µ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，求a的取值范围．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建⽴极坐标系，已知曲线C的极坐标⽅程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直⾓坐标⽅程；（2）过曲线C上⼀动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂⾜分别为M，N，求|PM|+|PN|的最⼤值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈恒成⽴，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则?R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（?R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进⾏求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利⽤交集补集的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：∵==，∴．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间⼀组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间⼀组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直⽅图的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．4.答案：B解析：解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从⽽得出k=-3，从⽽可求出，从⽽可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.答案：A解析：解：将三视图还原可知该⼏何体为球体的，S=3×+=，r=，⼏何体的体积为：=．故选：A．⾸先把⼏何体的三视图进⾏转换，进⼀步利⽤表⾯积公式的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：三视图和⼏何体的转换，⼏何体的体积公式和⾯积公式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．6.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆简单性质的应⽤,考查转化思想以及计算能⼒,属于基础题.利⽤已知条件列出⽅程组，求出a，b，即可得到椭圆⽅程．【解答】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆⽅程为：．故选A．7.答案：B解析：解：在△ABC中，∵b=2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B=2sin A cosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sin B=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三⾓形的内⾓和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三⾓形的内⾓和定理在解三⾓形中的综合应⽤，属于基础题．8.答案：D解析：解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，⼆项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第⼀个因式是2x2，则第⼆个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第⼀个因式是-5，则第⼆个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进⾏求解即可．本题主要考查⼆项式定理的应⽤，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cos x为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三⾓函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三⾓函数图象的识别和判断，利⽤周期性求出ω以及利⽤特殊值进⾏验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.答案：C解析：【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成⽴问题，属于中档题．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成⽴得k在（0，+∞）上恒成⽴，求出右侧函数的最⼤值即可得出k的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成⽴，∴k在（0，+∞）上恒成⽴，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x=2时，g（x）取得最⼤值g（2）=，则k，故选：C．11.答案：A解析：【分析】本题考查正三棱柱的⾼与其外接球半径的⽐值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．设棱锥底⾯边长为a，由已知把a⽤含有H的代数式表⽰，再由球的性质利⽤勾股定理求得．【解答】解：设P在底⾯ABC的射影为E，则PE为正三棱锥的⾼，D为AB的中点，连结PD，设正三⾓形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由题意可得：，⼆⾯⾓的平⾯⾓为，由⼆⾯⾓P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP=OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．12.答案：A解析：解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有⼀个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈（0，1），f（x）=t有⼀个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x2=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t ln t-1＞0，故g（t）在[1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利⽤导数求解．本题考查了函数与⽅程思想、数形结合思想，属于中档题．13.答案：解析：解：设z=，则z的⼏何意义为可⾏域内的点与原点连线的斜率，作出不等式组对应得平⾯区域如图：由图可知OA的斜率最⼤，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最⼤值为．故答案为：．本题主要考查线性规划求最值，是基础题．设z=，作出不等式组对应得平⾯区域，利⽤z的⼏何意义即可得到结论．14.答案：解析：解：由tanβ=2，得tan2β==，⼜tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代⼊得答案．本题考查三⾓函数的化简求值，考查两⾓和的正切与⼆倍⾓的正切，是中档题．15.答案：2解析：解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由⼆次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了⼆次型函数值域的求法，属中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是渐近线⽅程和离⼼率的求法，考查⽅程思想和运算能⼒，属于中档题．设出双曲线的焦点，求得⼀条渐近线⽅程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离⼼率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．17.答案：解：（1）依次成等⽐数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成⽴，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．解析：（1）运⽤等⽐数列的中项性质，令n=1，可得⾸项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等⽐数列中项性质和数列的递推式的运⽤，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能⼒，属于基础题．18.答案：证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平⾯ABCD，∴PD⊥AB，⼜DE∩PD=D，∴AB⊥平⾯PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平⾯APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平⾯PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设⼆⾯⾓A-PE-C的平⾯⾓为θ，由图知θ为钝⾓，∴cosθ=-=-=-．∴⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值为-．解析：（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从⽽AB⊥平⾯PDE，进⽽AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD 的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查⼆⾯⾓的余弦值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．19.答案：解（1）证明：将y=kx+3代⼊x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从⽽d1d2=|x1|?|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从⽽k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成⽴，则直线PM的倾斜⾓与直线PN的倾斜⾓互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代⼊x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成⽴；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成⽴，进⽽可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联⽴直线与抛物线⽅程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.答案：解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直⽅图和分层抽样的⽅法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这⼀区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得µ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．解析：（1）将直⽅图中每个⼩长⽅形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样⽐为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直⽅图估计出⽅差，再结合（1）求出的期望，得到µ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超⼏何分布，正态分布等知识，阅读量⼤，审清题意是关键，属于中档题．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最⼩值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最⼩值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最⼩值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应⽤，考查推理能⼒和运算求解能⼒，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利⽤分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利⽤导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，⼜直线ρcosθ=-1的直⾓坐标⽅程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最⼤值为6+．解析：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，⽤三⾓函数的性质求得最⼤值．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成⽴，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最⼩值为3-k；⼜不等式对x∈恒成⽴，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．解析：本题考查了不等式恒成⽴应⽤问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应⽤问题，是中档题．（1）k=4时，利⽤分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利⽤绝对值不等式的性质求出f（x）的最⼩值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．。

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1,2,3答案：B先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（ ） A ．15BC ．12D．2答案：B利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：12123434i i z z i i ++=====++．故选：B ． 点评：本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷． 复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )ABC ．3πD ．4π答案：A由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：2π的扇形，其面积11(222S l r π=⋅=⋅=.点评：本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（ ） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．710答案：D可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P =. 故选：D. 点评：本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．324B ．233C 2D ．22答案：A求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．7．已知α为锐角，3cos5α=，则tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2 D．3答案：A由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos2α∴=sin 2α=sin12tan 22cos 2ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 点评：本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） AB ．2C ．2ln 2D ．ln 2答案：D先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D 点评：本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--答案：A由向量的线性运算化简． 解：∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ． 点评：本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A B ．4C ．3D ．2答案：D由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin bcBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =，c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =．故选：D ． 点评：本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π答案：D如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D点评：本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2xea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.答案：3根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+= 本题正确结果：3 点评：本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：3π 设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 点评：本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16．在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.答案：8:3π根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯=， 三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为83π故答案为：8:3π点评：本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．答案：（1）2n n a =；（2）222nn +-. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2n nb 的通项公式，进一步可求得数列{}nb 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n n b ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n nn S +∴=-. 点评：本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BC BD ==142BCD S BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCDBCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△， AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDEE BCD V V --=，即1833CDE S h ⋅=，8242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2. 点评：本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 频数(]15,202 (]20,258（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=； （2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）， 8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=； （2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）1[,)e+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．答案：（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -，圆心P 到直线MN 的距离为d =，MN ∴===， 原点到直线MN 的距离为h =因此，OMN 的面积为1132255OMN S MN h =⋅=⨯=△.点评：本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. （1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 解：（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-． 35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立， 当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立， 当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立， 即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-． 点评：本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省东莞市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(3−x)>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (1,+∞)2.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则z⋅z=()A. 12i B. −14C. 14D. 123.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为()A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3=3+a1，则S9的值为()A. 15B. 27C. 30D. 405.某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为()A. 25B. 35C. 710D. 456.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为√2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线E的一部分，且双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线E的离心率为()．A. 2√33B. √2C. √3D. 27.已知α为锐角，cosα=√55，则tan(π4+2α)=()A. −17B. −43C. −3D. −28.已知函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，若曲线在点T(x0,f(x0))处的切线斜率为32，则x0的值为()A. ln2B. 2ln2C. 2D. √29. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则( )．A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 10. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c =2a ，bsinB −asinA =12asinC ，则cos B 等于( )A. 34B. 23C. 13D. 1211. 在三棱锥P −ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，PA =PB =√7，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 16πB.49π4C.65π16D.65π412. 曲线f (x )=xe x (a <b <1)，则( )A. f(a)=f(b)B. f(a)<f(b)C. f(a)>f(b)D. f(a),f(b)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知变量x 、y 满足{x −y −2⩽0x +2y −5⩾0y −2⩽0，则2x +y 的最大值为_________．14. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 15. 若|a ⃗ |=√2,|b ⃗ |=2且(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a⃗ 与b ⃗ 的夹角是______ ． 16. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =4，AB =AC =2√3，BC =6，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的半径为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1，(1)证明：数列{a n +12}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =2n−12a n +1，求数列{b n }的前n 项和S n18.已知：梯形ABCD，AB//DC，AB=AD=2，DC=4，∠A=60°，将△ABD沿BD折起至△PBD的位置，使PC=4．(1)求证：平面PBD⊥平面BCD；(2)求点B到平面PCD的距离，19.为全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45]频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；附：P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.已知斜率为1的直线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，当直线过焦点F时，△AOB的面积为2√2．(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C上任意一点M做切线交抛物线C的准线于点N，问y轴上是否存在定点P，使得PM⊥PN？若存在，求出P；若不存在，说明理由．21.已知f(x)=e x+alnx−ax．x(1)若a<0，讨论函数f(x)的单调性；)e x−x≥0在上恒成立，求b的取值范围．(2)当a=−1时，若不等式f(x)+(bx−b−1x22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosα(α为参数)，在以坐标原点O为极y=1+2sinα上，且点P到极点O的距离为4．点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.已知f(x)=|ax+1|，a∈R．(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x≤1}，求实数a的值；)时，不等式f(x)≤2−|2x−1|恒成立．求实数a的取值范围．(2)若x∈(0,12-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={x|x(3−x)>0}={x|0<x <3}， B ={x|x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，故A ∩B =(1,3)． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 则该圆锥的底面圆半径为r =1，母线长为l =2， ∴它的侧面积为S 侧面=πrl =2π． 故选：A ．由题意知圆锥的底面圆半径和母线长，计算它的侧面积即可． 本题考查了圆锥的侧面积公式应用问题，是基础题．4.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3=3+a1，∴2(a1+2d)=3+a1，可得a1+4d=3=a5．=9a5=27．则S9=9(a1+a9)2故选B．5.答案：C解析：本题考查古典概型，列出基本事件，找出满足题意的即可．本题的基本事件有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,190，200)，(195,194，200)(196,190，194)，(196,190，200)，(196,194，200)，(190,194，200)十种情况，．满足轮胎基本合格的事件有7个，故这批轮胎基本合格的概率为710故选C．6.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于一般题．求得圆锥的高，可得矩形ABCD的对角线长，即有AC，BD的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：两个圆锥的底面半径为r=1，母线长均为l=√2，可得圆锥的高为ℎ=√l2−r2=1，四边形ABCD为矩形，对角线AC，DB的长为√4+4=2√2,ABCD为正方形，可得直线AC，BD的夹角为45°，由双曲线E的两条渐近线分别平行于AC，BD，由双曲线的渐近线方程为y=±bax，即有ba=1，则e=ca=√1+1=√2．故选B．7.答案：A解析：解：∵α为锐角，cosα=√55，∴sinα=2√55∴tanα=sinαcosα=2∴tan2α=2tanα1−tan2α=−43∴tan(π4+2α)=1+tan2α1−tan2α=1−431+43=−17故选A．先利用同角三角函数关系，计算sinα，tanα，从而可得tan2α，即可求得结论．本题考查同角三角函数关系，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：本题考查了导数的几何意义和函数的奇偶性性质，属于中档题．由偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，可得a=1，求出导数，设出切点，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标．解：∵函数f(x)=e x+ae−x为偶函数，∴f(−x)=f(x)，即e−x+ae x=e x+ae−x，∴(e x−e−x)(a−1)=0，∴a=1，。

化州市2020年第二次高考模拟考试 数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案DADBCBBBCCDB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)45(14) 1 (15) 21 (16) 34 三、解答题：本大题共7小题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2sin 3B A =，所以23b a =．所以3a =------------------------------2分 所以222222()33cos 22323b b ac b B b ac b +-+-===． -----------------6分（Ⅱ）因为2a =，所以3b c ==又因为3cos 3B =，所以6sin 3B =．----------------------------8分 所以116sin 23222ABCS a c B =⋅⋅=⨯=． --------------12分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）取AO 中点为E ，连,DE BE ，如图因为,AD DO AB BO ==， 所以,DE AC BE AC ⊥⊥，且=DE BE E ， -------------------3分又DE BE ⊆，平面BDE ，EODCBA所以AC ⊥平面BDE ， ------------------------------4分 又因为BD ⊆平面BDE ，所以AC BD ⊥。

------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE AC ⊥，又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面=ABC AC ， 所以DE ⊥平面ABC ，所以三角形BDE 为直角三角形， ------------------------------7分又因为,ADO ABO ∆∆为等腰直角三角形，斜边AO =所以=4BO DO =，DE =BE = 所以在Rt BDE ∆中，可得4BD =， 所以BDO ∆是边长为4的等边三角形，取DO 中点为F ，连BF ，可知BF =，-------------------------9分所以将BDO ∆绕DO 旋转一周，所得旋转体是以2为高的两 个公共底面的圆锥。

数学答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题题号123456789101112答案D B C C D A B B A D C A二．填空题13．314．221或（答对一个2分）15．3π16．π338三、解答题17.（本小题满分12分）（1）由1211+=++n n n n b b a ，取1=n ，得121122+=b b a ，解得42=a （1分）取2=n ，得122233+=b b a ，解得83=a （2分）∵数列}{n a 是等比数列∴2,22123====qa a a a q （4分）（算对一个1分）∴求数列{}n a 的通项公式为n n n qa a 211==-（5分）（2）由（1）得n n n qa a 211==-，则12211+=++n n n nb b ，即12211=-++n n n n b b （6分）∴数列}2{n n b 是首项为21，公差为1的等差数列（7分）（评分细则：一定要详细写是怎样的数列，若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分）∴数列n n b b n n=⨯-+=1)1(221，n n n b 2=（8分）设}{n b 的前n 项和为n S 则n n n S 2...23222132++++=，14322...2322212++++=n n n S （9分）则111322212211)21(121221...2121212++++-=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+++=n n n n n n n n n S （11分）（评分细则：写对两式相减之后的结果或相减之后的求和公式即给1分，不重复给分）∴nn n S 222+-=（12分）18.（本小题满分12分）（1）证明：由已知可得BD BC ==BC BD CD BC BD ⊥∴=+∴,222（1分）//FC EA ，且AE ⊥面ABCD ，ABCD ⊥面（2分）BC ABCD ⊂面，BD FC ∴⊥（3分）FC BC C = ，BC BCF ⊂面，FC BCF ⊂面（4分）（步骤不全，本得分点不给分）∴BD BCF ⊥面（5分）BD BDF ⊂且面，所以BDF BCF ⊥面面（6分）（2）解法一：EA AD EA CD⊥⊥，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂平面EAD ，AD ⊂平面EAD ，EA AD A = EAD CD 平面⊥∴（7分）（步骤不全，本得分点不给分）又ED ⊂平面EAD ，CD DE∴⊥即三角形ECD 为直角三角形（8分）设点B 到平面ECD 的距离为h ,BCD E CDE B V V --=∴，即BCD CDE S AE S h ∆∆⋅⋅=⋅3131（9分）1212BCD CDE AE CD AD AE S h S CD DE ∆∆⋅⋅⋅⋅∴===⋅⋅分）（算式对结果错得1分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）解法二：//AB CD ，AB ⊄面ECD ，CD ⊂面ECD ，所以//AB 面ECD则点B 到平面ECD 的距离等于点A 到平面ECD 的距离，（7分）过A 作DE AM ⊥，垂足为M ，EA ⊥ 面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，CD ⊂面ABCDCDEA AD EA ⊥⊥∴，AD CD AB AD CD AB ⊥∴⊥,,// 又EA ⊂面EAD ，AD ⊂面EAD ，EA AD A = CD ∴⊥面EAD （8分）又AM ⊂面EAD ，CD AM ∴⊥又DE AM ⊥，ED ⊂平面ECD ，CD ⊂平面ECD ，ED CD D = ECD AM 平面⊥∴，则AM 为点A 到平面ECD 的距离（9分）（上述证明过程可适当简化）2AD AE == ，EA AD ⊥2=∴AM ，即A 到平面ECD 的距离为2，（11分）∴点B 到平面ECD 的距离为 2.（12分）（解法二的给分要点为：写出距离的平行转移得1分，作出并证明AM 为点面距离得2分，计算出AM 得2分，回答所求结果1分）19.（本小题满分12分）（1）估计新设备所生产的产品优质率为%70%100100152530=⨯++（1分）估计旧设备所生产的产品优质率为%55%100)02.003.006.0(5=⨯++⨯（2分）（评分细则：上面两步如果都没有换成百分比数过程对扣1分）（2）（评分细则：只要发现1个错误扣1分，扣完即止）（4分）由列联表可得，841.38.410010012575)70455530(20022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k （6分）非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200（评分细则：每一部分各1分，若没有具体代入数据计算过程答案算对给1分，观测值比较错误且前面过程无错误给1分；观测值算错过程对也给1分）∴有95%的把握认为产品质量高低与新设备有关。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则A. 4B. 2C.D.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为A. B. C. D.4.若x，y满足约束条件，则的最大值是A. 9B. 7C. 3D. 65.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.8.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.9.已知数列满足，且，设，记数列的前n项和为，则A. B. C. 2019 D.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B. ，C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记等比数列的前n项和为，若，，则公比______．14.已知向量，，且向量与的夹角为，则______．15.对于任意实数a，b，定义，函数，，，若函数有两个零点，则k的取值范围为______．16.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；若，且AB边上的高等于，求sin C的值．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求三棱锥的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1．求曲线C的方程；曲线C任意一点处的切线不含x轴与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数在点处的切线方程；若函数的极小值为，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，即，所以．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可．本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.答案：A解析：解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，小青不站在两边的概率为．故选：A．基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为，，解得，圆锥的高，该圆锥的体积为：．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，由内接圆柱的体积为，求出，从而圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，又由，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及分析可得：等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.答案：B解析：解：数列满足，整理得：，所以：，故，由于且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．故：，所以．设，所以．所以．故选：B．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：A解析：解：椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，可得：，解得，，所以：椭圆方程为：．故选：A．利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．12.答案：B解析：解：当时，，显然此时函数的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程有唯一解，即函数与函数的图象有唯一交点，当时，如图，函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项D；当时，如图，由二次函数的性质可知，函数的开口向下，且a越大，函数的开口越小，由图可知，此时函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当，由余弦函数的周期性可知，此时函数的零点不唯一，当时，问题等价于函数与函数的图象有唯一交点，分及三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.答案：或2解析：解：由，，，化为：．解得或2．故答案为：或2．由，，可得：，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：，，，．故答案为：2．根据向量的坐标即可求出，进而求出的值，进而得出的值，从而得出．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：因为单调递减，单调递增，且，故，作出函数的图象如下：函数有两个零点等价于函数与直线图象有2个交点，由图可知，；故答案为：．根据题意得到解析式为，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.答案：解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故答案为：．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.答案：解：，，由正弦定理可得，，，，解得，．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理，可得，在中，根据正弦定理，可得．解析：利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，，可得cos A，进而可求A的值．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理可得BC，在中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：四边形ABCD是菱形，，O是AC的中点，，，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，，平面ABCD．解：由四边形ABCD是菱形，，得和都是等边三角形，，是BD的中点，，在中，，在中，，取BC的中点F，连结DF，则，在中，，在中，由余弦定理得，，，，，，三棱锥的体积．解析：推导出，，从而平面PAC，，推导出，由此能证明平面ABCD．取BC的中点F，连结DF，则，由余弦定理得，，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；根据题目所给数据得到如下的列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由列联表可知：，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，天，估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．解析：根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，曲线C的方程为：；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，代入得：，由得，整理得：，故切线m的方程可写为，分别令，得点M，N的坐标为，，，，，即为定值0．解析：利用抛物线的定义可得曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线C的方程；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，与抛物线方程联立，利用得到，故切线m的方程可写为，进而求出点M，N的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：，，则，，又，所求切线方程为，即；函数的定义域为R，，当时，对任意都成立，在R上递减，此时无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，在递减，在递增，当时，取得极小值，，即，令，则，，，在上递增，又，．解析：将代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；分及两种情形讨论，当时显然不合题意，当时，利用导数可求得当时，取得极小值，进而得解．本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。

2020年广东省东莞市高考文科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设集合A＝[1，2]，B＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）
A．[1，2]B．（﹣1，3）C．{1}D．{1，2}
2．若复数满足i•z＝﹣1﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知向量，，且两向量夹120°，则＝（）A．1B ．C ．D ．
5．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B ，且（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，，且时，f （x）＝log2（﹣3x+1），则f（2020）＝（）
A．4B．log27C．2D．﹣2
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2020年广东省东莞市高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<3x}，B ={−1,1，2，3}，则A ∩B =( )A. {−1,1，2}B. {−1,2}C. {1,2，3}D. {1,2} 2. 已知复数z =1+2i3+4i ，i 为虚数单位，则|z −|=( )A. 15B. √55C. 12D. √223. 在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( ) A. √5π B. √6π C. 3π D. 4π 4. 设等差数列{a n }前n 项和S n ，满足a 3+a 4=6，2a 5=9，则S 7=( )A. 352B. 21C. 492D. 285. 某轮胎公司的质检部要对一批轮胎的宽度(单位：mm)进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在195±3内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195，196，190，194，200，则这批轮胎基本合格的概率为( )A. 25B. 35C. 45D. 7106. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则双曲线Γ的离心率为( )A. 3√24B. 2√33C. √2D. 2√27. 已知α为锐角，cosα=35，则tan(π4−α2)=( )A. 12B. 13C. 2D. 38. 已知函数f(x)=e x +ae x 为偶函数，若曲线y =f(x)的一条切线与直线2x +3y =0垂直，则切点的横坐标为( ) A. √2 B. 2 C. 2ln2 D. ln29. 已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 10. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +ccosB =6，c =3，B =2C ，则cos C 的值为( )A. √35B. √34C. √33D. √3211. 在三棱锥A −BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A −BD −C 的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A.163π B. 7π C.283π D. 8π12. 已知函数f(x)=e |x|−ax 2，对任意x 1<0，x 2<0，都有(x 2−x 1)(f(x 2)−f(x 1))<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. (−∞,−e2]C. [0,e2]D. [−e2,0]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −1≥0x −y ≤0x +y −2≤0，则目标函数z =2x +y 的最大值为______．14. 设等比数列{a n }前n 项和S n ，满足a 2=14,S 3=78，则公比q 为______．15. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=4|a ⃗ |，(2a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______．16. 在三棱锥A −BCD 中，AB ⊥AD ，AB =2,AD =2√3，CB =CD =2√2，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，三棱锥A −BCD 外接球的体积与三棱锥A −BCD 的体积之比为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }满足b 1=b 2=12，b 3=38，a n+1b n+1=2n b n +1．(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．18. 已知几何体ABCDEF 中，AB//CD ，FC//EA ，AD ⊥AB ，AE ⊥面ABCD ，AB =AD =EA =2，CD =CF =4．(1)求证：平面BDF ⊥平面BCF ； (2)求点B 到平面ECD 的距离．19. 为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(15,45]以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(15,30]以内的产品为合格品．旧设备所生产的质量指标值频数 (15,20] 2 (20,25] 8 (25,30] 20 (30,35] 30 (35,40] 25 (40,45]15 合计100(2)优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表()95%非优质品 优质品 合计新设备产品 旧设备产品 合计(3)已知每件产品的纯利润y(单位：元)与产品质量指标t 的关系式为y ={2,30<t ≤451,15<t ≤30.若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.已知点O(0,0)、点P(−4,0)及抛物线C：y2=4x．(1)若直线l过点P及抛物线C上一点Q，当∠OPQ最大时求直线l的方程；(2)问x轴上是否存在点M，使得过点M的任一条直线与抛物线C交于点A、B，且点M到直线AP、BP的距离相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21.已知f(x)=e x+alnx−ax．x(1)若a<0，讨论函数f(x)的单调性；)e x−x≥0在[1,+∞)上恒成立，求b的取值范围．(2)当a=−1时，若不等式f(x)+(bx−b−1x22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|x 2<3x}={x|0<x <3}， B ={−1,1，2，3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数和复数的模，属于基础题． 由复数代数形式的乘除运算化简，进而求得答案． 【解答】解：因为复数z =1+2i3+4i =(1+2i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=11+2i 25，故z −=1125−225i ，所以|z −|=√(1125)2+(−225)2=√55，故选B ．3.【答案】A【解析】解：根据题意知：圆锥的高为2，圆锥的底面半径为1， 所以圆锥的底面周长为2π，圆锥的母线长为√12+22=√5， 所以圆锥的侧面展开面的面积为S =12×2π×√5=√5π．故选：A ．首先求出圆锥的母线的长和圆锥的底面周长，进一步利用侧面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：圆锥的侧面的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 4.【答案】C【解析】解：因为等差数列{a n }满足a 3+a 4=6，2a 5=9， 所以{2a 1+5d =62(a 1+4d)=9，解可得a 1=12，d =1，则S 7=7×12+7×62×1=492．故选：C ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查概率的求法，考查古典概型，考查运算求解能力，是基础题．若从这批轮胎中随机选取3个，列出基本事件，找出满足至少有2个轮胎的宽度在195±3内的基本事件，利用古典概型即可求解． 【解答】解：若从这批轮胎中随机选取3个，有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,190，200)， (195,194，200)，(196,190，194)，(196,190，200)，(196,194，200)，(190,194，200)， 共10个基本事件，满足至少有2个轮胎的宽度在195±3内的有(195,196，190)，(195,196，194)，(195,196，200)，(195,190，194)，(195,194，200)，(196,190，194)，(196,194，200)， 则这批轮胎基本合格的概率为P =710．故选：D ． 6.【答案】A【解析】解：设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系． 根据题意可设双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y =±√24x ，由ba =√24，得离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=3√24． 故选：A ．设与平面α平行的平面为β，以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据渐近线方程求得ba =√24，得离心率e =ca=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=3√24． 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题． 7.【答案】B【解析】解：因为α为锐角，所以sinα=45，则tanα=43， 故tanα=2tanα21−tan 2α2=43，解得tan α2=12(−2舍去)所以tan(π4−α2)=tan π4−tanα21+tan π4tanα2=1−121+12=13，故选：B ．根据条件利用正切的二倍角公式先求得tan α2=12，再利用两角差的正切公式即可求出答案 本题考查三角函数求值，考查二倍角公式、两角和差的三角函数公式，属于基础题． 8.【答案】D【解析】【试题解析】解：因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(−x)，即e x +ae x =e −x +ae x ，则a =1， 所以f(x)=e x +e −x ，则f′(x)=e x −e −x ． 设切点得横坐标为x 0， 则f′(x 0)=e x 0−e −x 0=32． 解得e x 0=2， 所以x 0=ln2． 故选：D ．根据函数为偶函数可得a 的值，进而表示出切线的斜率，列出方程f′(x 0)=e x 0−e −x 0=32，解出x 0即可． 本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，涉及函数奇偶性的应用，方程思想等，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：因为点O 满足16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ； 即：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ⇒OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； 故选：A ．把已知条件整理即可求解结论．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题． 10.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可得b =6cosC ，利用两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得a =2c =6，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 【解答】解：∵c =3，B =2C ，∴sinB =sin2C =2sinCcosC ，∴由正弦定理bsinB =csinC ，可得b2sinCcosC =csinC ，可得b =6cosC ， ∵bcosC +ccosB =6=2c ，由正弦定理可得sinBcoC +sinCcosB =2sinC ， 可得sin(B +C)=sinA =2sinC ，可得a =2c =6， ∴cosC =a 2+b 2−c 22ab =36+36cos 2C−92×6×6cosC，可得cos 2C =34，∵c <a ， ∴C 为锐角， ∴解得cosC =√32．故选：D ． 11.【答案】C【解析】解：由题意如图所示：由△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A −BD −C 的平面角为120°，设E 为BD 的中点，可得∠AEC =120°，CE =√32⋅2=√3，设P ，G 分别为△ABD ，△BCD 的外接圆的圆心，CG =23CE =2√33，EG =13CE =√33， 过P ，G 分别作两个半平面的垂线，交于O ，则可得O 为该三棱锥的外接球的球心，连接OC ，OE ，则OC 为外接球的半径，可得△OPE≌△OGE ，可得∠OEC =60°，而∠OGE =90°，所以OG =√3EG =1，在△OGC 中：R 2=OC 2=OG 2+CG 2=12+(2√33)2=73，所以外接球的表面积S =4πR 2=28π3，故选：C ．取BD 的中点E ，因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A −BD −C 的平面角为120°，所以△ABD ，△BCD 的外接圆的圆心P ，G 分别在AE ，CE 上，过P ，G 分别作两个半平面的垂线，交于O ，可得O 为三棱锥的外接球的球心，且可得∠OEC =60°，由等边三角形的边长为2，可得EG ，G 及OG 的值，进而求出外接球的半径OC 的值，再求出外接球的表面积．本题考查三棱锥的外接球的半径与三棱锥的棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题． 12.【答案】A【解析】解：由题意可知函数f(x)是(−∞,0)上的单调递减函数， 且当x <0时，f(x)=e −x −ax 2,f′(x)=−1e x−2ax =−2axe x +1e x≤0，据此可得：2axe x +1≥0，即a ≤−12xe x 恒成立，令g(x)=xe x (x <0)，则g′(x)=e x (x +1)，据此可得函数g(x)在区间(−∞,−1)上单调递减，在区间(−1,0)上单调递增，函数g(x)的最小值为g(−1)=−1e ，则(−12xe x )min =e2， 据此可得：实数a 的取值范围是(−∞,e2]．故选：A ．由题意将原问题转化为函数单调性的问题，利用导函数的符号结合题意确定实数a 的取值范围即可． 本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，恒成立问题的处理方法等知识，属于中等题．13.【答案】3【解析】解：由题意作出其平面区域，将z =2x +y 化为y =−2x +z ，z 相当于直线y =−2x +z 的纵截距， 则由{x −y =0x +y −2=0解得，x =1，y =1；故z =2x +y 的最大值是2×1+1=3， 故答案为：3．由题意作出其平面区域，将z =2x +y 化为y =−2x +z ，z 相当于直线y =−2x +z 的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．14.【答案】12或2【解析】解：由题意可得{ a 2=a 1q =14S 3=a 1(1+q +q 2)=78，可得1+q+q 2q =72， 整理可得2q 2−5q +2=0，解得q =2或12， 故答案为：2或12．根据等比数列的通项公式喝求和公式即可求出．本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于基础题．15.【答案】π3【解析】解：由|b ⃗ |=4|a ⃗ |≠0，且(2a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，所以(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ =0， 所以a ⃗ ⋅b ⃗ =2a ⃗ 2=2|a ⃗ 2|； 所以scosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b⃗ |=2|a ⃗ 2||a ⃗ |×4|a ⃗ |=12； 又θ∈[0,π]，所以a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ=π3． 故答案为：π3．根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可．本题考查了平面向量的数量积与夹角公式应用问题，是基础题．16.【答案】8√33π【解析】解：如图，∵AB ⊥AD ，AB =2,AD =2√3，∴BD =√AB 2+AD 2=4， 又CB =CD =2√2，∴BC 2+CD 2=BD 2． 可得△BCD 是以∠BCD 为直角的直角三角形，当三棱锥A −BCD 的体积最大时，平面ABD ⊥平面BCD ，在△BCD 内，三角形的外心为BD 的中点E ，E 又是△ABD 的外心， ∴E 为三棱锥A −BCD 外接球的球心，则外接球的半径R =12BD =2． ∴V 球=43πR 3=32π3；CE =√(2√2)2−22=2，CE ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD =BD ， ∴CE ⊥平面ABD ．又S △ABD =12×2×2√3=2√3． ∴V A−BCD =13×2√3×2=43√3．∴三棱锥A −BCD 外接球的体积与三棱锥A −BCD 的体积之比为32π343√3=8√33π． 故答案为：8√33π． 由题意画出图形，可知当三棱锥A −BCD 的体积最大时，平面ABD ⊥平面BCD ，证明三角形BCD 为直角三角形，得到BD 的中点E 为三棱锥A −BCD 外接球的球心，分别求出三棱锥A −BCD 外接球的体积及三棱锥的体积，作比得答案．本题考查多面体外接球体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)数列{a n }是等比数列，数列{b n }满足b 1=b 2=12，b 3=38，a n+1b n+1=2n b n +1，当n =1可得a 2b 2=2b 1+1，即有a 2=2×(1+1)=4，n =2时，a 3b 3=4b 2+1，即有a 3=83×(2+1)=8， 可得等比数列{a n }的公比为2，且a n =4⋅2n−2=2n ；(2)由a n+1b n+1=2n b n +1，即2n+1b n+1=2n b n +1，可得{2n b n }为首项为1，公差为1的等差数列，可得2n b n =1+n −1=n ， 则b n =n ⋅(12)n ，即有{b n }的前n 项和为S n =1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+n ⋅(12)n ，12S n =1⋅(12)2+2⋅(12)3+3⋅(12)4+⋯+n ⋅(12)n+1， 相减可得12S n =12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n −n ⋅(12)n+1 =12(1−12n )1−12−n ⋅(12)n+1，化简可得{b n }的前n 项和为2−(n +2)⋅(12)n ．【解析】(1)可令n =1，n =2，可得a 2，a 3，由等比数列的通项公式可得公比，即可得到所求通项公式； (2)将原等式变形，结合等差数列的定义和通项公式可得b n =n ⋅(12)n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：由已知得BD=BC=2√2，∴BD2+BC2=CD2，∴BD⊥BC，∵FC//EA，且AE⊥面ABCD，∴FC⊥面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，∴BD⊥FC，∵FC∩BC=C，∴BD⊥平面BCF，∵BD⊂面BDF，∴平面BDF⊥平面BCF．(2)解：∵AE⊥面ABCD，∴EA⊥AD，EA⊥CD，∵AB//CD，AD⊥AB，∴CD⊥AD，∵EA⊂平面EAD，∴CD⊥平面EAD，∵ED⊂平面EAD，∴CD⊥DE，∴△ECD为直角三角形，设点B到平面ECD的距离为h，则V B−CDE=V E−BCD，∴13×ℎ×S△CDE=13×AE×S△BCD，∴ℎ=AE⋅S△BCDS△CDE =AE×12×CD×AD12×CD×DE=2×44√2=√2，∴点B到平面ECD的距离为√2．【解析】(1)推导出BD⊥BC，FC⊥面ABCD，BD⊥FC，从而BD⊥平面BCF，由此能证明平面BDF⊥平面BCF．(2)设点B到平面ECD的距离为h，由V B−CDE=V E−BCD，能求出点B到平面ECD的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，估计新设备所生产的产品优质率为30+25+15100×100%=70%，估计旧设备所生产的产品优质品率为5×(0.06+0.03+0.02)×100%=55%；非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由表中数据，计算K2=200×(30×55−70×45)2100×100×75×125=4.8>3.841，所以有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”．(3)因为新设备所生产的产品优质率为70%，所以每台新设备每天所生产1000间产品中，估计有1000×70%=700件优质品，有1000−700=300件合格品，所以每台新设备每天生产的产品纯利润为700×2+300×1=1700(元)，买一台新设备需要80万元，则80×10000÷1700≈471(天)，所以估计至少需要生产471天才可以收回设备成本．【解析】(1)根据频率分布表和直方图分别计算新、旧设备所生产的产品优质率； (2)根据已知图表数据填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论；(3)计算每台新设备每天产品的纯利润，求出至少需要生产多少天才能收回设备成本．本题考查了频率分布直方图与频率分布表的应用问题，也考查了独立性检验应用问题，是中档题． 20.【答案】解：(1)当过P 点与抛物线相切时，即Q 为切点时，∠OPQ 最大，显然切线的斜率存在且不为0，设过P 的切线方程为：x =my −4，联立切线与抛物线的方程：{x =my −4y 2=4x ，整理可得：y 2−4my +16=0，则△=16m 2−4×16=0，解得：m =±2，所以∠OPQ 最大时求直线l 的方程为：x =±2y −4， 即x +2y +4=0，或x −2y +4=0；(2)假设存在这样的M 满足条件，设M(n,0)，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等， 所以M 为∠APB 的角平分线上的点，所以∠APM =∠BPM ，所以k AP +k BP =0，设过M 的直线方程为：x =ty +n ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与抛物线的方程：{x =ty +ny 2=4x ，整理可得：y 2−4ty −4n =0，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4n ，k AP +k BP =y 1x1+4+y 2x 2+4=y 1(x 2+4)+y 2(x 1+4)(x 1+4)(x 2+4)=y 1(ty 2+n+4)+y 2(ty 1+n+4)(x 1+4)(x 2+4)=2ty 1y 2+(n+4)(y 1+y 2)(x 1+4)(x 2+4)=0，所以2ty 1y 2+(n +4)(y 1+y 2)=0，即2t ⋅(−4n)+(n +4)⋅4t =0，整理可得t(n −4)=0，所以不论t 为何值，n =4时都符合条件，所以x 轴上存在M(4,0)使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等．【解析】(1)要使∠OPQ 最大时，则过P 的直线与抛物线相切，设过P 的切线方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线方程；(2)假设存在，由点M 到直线AP 、BP 的距离相等可得M 在∠APB 的角平分线上，所以∠APM =∠BPM ，即k AP +k BP =0，设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再求k AP +k BP 的表达式，使其值为0，可得t(n −4)=0恒成立，与t 值无关时，n =4，即求出定点M 的坐标．本题考查直线与抛物线相切时的方程的求法，及角平分线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)， ∵f′(x)=(x−1)(e x −ax)x 2,a <0，∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在(0,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增．(2)当a =−1时，f(x)+(bx −b −1x )e x −x =b(x −1)e x −lnx ， 由题意，b(x −1)e x −lnx ≥0在[1,+∞)上恒成立①若b ≤0，当x ≥1时，显然有b(x −1)e x −lnx ≤0恒成立；不符题意． ②若b >0，记ℎ(x)=b(x −1)e x −lnx ，则ℎ′(x)=bxe x −1x ． 显然ℎ′(x)在[1,+∞)单调递增，当b ≥1e 时，当x ≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(1)=be −1≥0，∴x ∈[1,+∞)时，ℎ(x)≥ℎ(1)=0， 当0<b <1e ，ℎ′(1)=be −1<0， ℎ′(1b )=e 1b−b >e −1>0，∴存在x 0>1，使ℎ′(x 0)=0．当x ∈(1,x 0)时，ℎ′(x)<0，x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0， ∴ℎ(x)在(1,x 0)上单调递减；在(x 0,+∞)上单调递增， ∴当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，不合题意 ， 综上所述，所求b 的取值范围是[1e ,+∞)．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)通过讨论b 的范围，求出函数的单调性求出函数的单调区间，确定b 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，属于较难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2． 设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ，由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =2=5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5×√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3， 解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀，则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年广东省东莞市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）题号一总分得分一、选择题（本大题共16小题，共48.0分）1.已知集合A={x|x2-4＜0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. {-2，-1，0，1，2}B. {0，1，2}C. {-1，0，1}D. {0，1}2.设（x，y∈R，i为虚数单位），则|x-yi|=（）A. 1B.C.D.3.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A. B. y=-3x3 C. D. y=x|x|4.若等比数列{a n}满足，则其公比为（）A. 9B. ±9C.D.5.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出2只，则恰有1只测量过该指标的概率为（）A. B. C. D.6.某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A. 该企业2018年原材料费用是2017年工资金额与研发费用的和B. 该企业2018年研发费用是2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和C. 该企业2018年其它费用是2017年工资金额的D. 该企业2018年设备费用是2017年原材料的费用的两倍7.若tanα=2，则=（）A. 或B.C. 或D.8.设F1，F2为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第二象限，若△MF1F2为等腰三角形，则△MF1F2的面积为（）A. B. C. 3 D.9.已知函数y=sin ax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log a（x-b）的图象可能是（）A. B.C. D.10.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α（α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD），用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为（）A. B. C. D.11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知，AA1⊥平面ABC，D为AC的中点，则异面直线AB1与BD所成角的大小为（）A. 00 C. 600 D. 90012.已知，且直线x=x1，x=x2分别为y=f（x）与y=f（x）-sin x的对称轴，则f（x1-x2）的值为（）A. 1B. ±1C. ±2D. 213.已知函数f（x）=（x2+x+1）e x，则f（x）在x=0的切线方程为（）A. x+y+1=0B. x-y+1=0C. 2x-y+1=0D. 2x+y+1=014.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（）A. 1B. -1C. 3D. -315.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，则此数列前30项和等于（）A. 810B. 840C. 870D. 90016.在△ABC中，AB+AC=8，BC=4，D为BC的中点，当AD长度最小时，△ABC的面积为（）A. B. 4 C. D.2020年广东省东莞市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）答案和解析【答案】1. C2. C3. D4. A5. B6. B7. D8. D9. A10. A11. B12. C13. C14. A15. B16. D【解析】1. 解：∵A={x|-2＜x＜2}，B={-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}．故选：C．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：∵，∴x=y=1，∴|x-yi|=|1-i|=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x，y的值，然后利用复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：对于选项A，函数为偶函数，即A不符合题意；对于选项B，函数y=-3x3为减函数，即B不符合题意；对于选项C，函数在定义域内不单调，即C不符合题意；对于选项D，函数y=x|x|为奇函数，且，因为y=x2在[0，+∞）上单调递增，y=-x2在（-∞，0）上单调递增，且y=x2与y=-x2在x=0处函数值都为0，所以y=x|x|在定义域内是增函数，即D符合题意．故选：D．根据函数单调性和奇偶性的概念与特征，以及基本初等函数的图象与性质，逐一判断每个选项即可．本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质以及函数单调性、奇偶性的特征是解题的关键，考查学生灵活运用知识的能力和逻辑推理能力，属于基础题．4. 解：设等比数列{a n}公比为q，又等比数列{a n}满足，∴，∴．故选：A．直接利用等比数列的递推关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5. 解：设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取2只的所有取法有：{a，b}，{a，c}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，B}，{b，A}，{c，A}，{c，B}，{A，B}，共10种，其中恰有1只做过测试的取法有6种，所以恰有1只做过测试的概率为p═=，故选：B．设其中做过测试的3只兔子为a，b，c，剩余的2只为A，B，则从这5只兔子中任取2只，利用列举法能求出恰有1只做过测试的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t．对于选项A，该企业2018年原材料费用为0.3×2t=0.6t，2017年工资金额与研发费用的和为0.2t+0.1t=0.3t，故A错误；对于选项B，该企业2018年研发费用为0.25×2t=0.5t，2017年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和为0.2t+0.15t+0.15t=0.5t，故B正确；对于选项C，该企业2018年其它费用是0.05×2t=0.1t，2017年原工资金额是0.2t，故C 错误；对于选项D，该企业2018年设备费用是0.2×2t=0.4t，2017年原材料的费用是0.15t，故D错误．故选：B．先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题．7. 解：∵tanα=2，∴，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．8. 解：设F1为左焦点，可知，∴MF1=2a-4=2×3-4=2，∴．故选：D．设F1为左焦点，分析可知，MF1=2a-4=2×3-4=2即可求解．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．9. 解：由函数y=sin ax+b（a＞0）的图象可得0＜b＜1，，∴，故函数y=log a（x-b）是定义域内的减函数，且过定点（1+b，0），故选：A．根据函数y=sin ax+b（a＞0）的图象求出a、b的范围，从而得到函数y=log a（x-b）的单调性及图象特征，从而得出结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，对数函数的单调性以及图象特征，属于基础题．10. 解：设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为，由，得离心率．故选：A．设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据渐近线方程求得，得离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．11. 解：如图，取A1C1中点E，连接EB1，AE，易证BD∥B1E，∴∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．设AA1=x，则，D为AC的中点，∴，∵AA1⊥平面ABC，在Rt△ABB1中，，在Rt△AA1E中，；在△AB1E中，，，，∴，得△AB1E为等腰直角三角形，则∠AB1E=45°，故选：B．取A1C1中点E，连接EB1，AE，易证BD∥B1E，可得∠AB1E为异面直线AB1与BD所成的角．设AA1=x，证明△AB1E为等腰直角三角形，即可求得异面直线AB1与BD所成角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．12. 解：因为，，因为直线x=x1，x=x2分别为y=f（x）与y=f（x）-sin x的对称轴，所以，所以．故选：C．由已知结合正弦函数的对称性可分别求解函数的对称轴，代入即可求解．本题主要考查了正弦函数的对称轴的求解，属于基础试题．13. 解：由题意f（0）=1，可知切点坐标为（0，1），又因为f'（x）=（x2+3x+2）e x，所以切线的斜率k=f'（0）=2，所以f（x）在x=0的切线方程为y-1=2x，即切线方程为2x-y+1=0，故选：C．根据条件可求出切点（0，1），切线斜率为2，则可表示切线方程本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，正确求出函数导数是关键，属于中档题．14. 解：由M为BC的中点，得（三角形中线结论），故，所以λ=2，μ=-1，即λ+μ=1．故选：A．由已知结合三角形中线性质及平面向量基本定理即可求解．本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题．15. 【分析】本题考查等差数列的前n项公式和通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题．在等差数列{a n}中，由a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，知a1+a30=56，再由S30=15（a1+a30），能求出此数列前30项和．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=3，a28+a29+a30=165，∴3（a1+a30）=168，∴a1+a30=56，∴此数列前30项和为S30=15（a1+a30）=15×56=840，故选：B．16. 解：在△ABC中，设AB=x，AC=y，AD=m，∠ADB=θ，则∠ADC=π-θ，在△ABD中，由余弦定理得：m2+4-4m cosθ=x2（1），在△ACD中，由余弦定理得：m2+4-4m cos（π-θ）=y2，即m2+4+4m cosθ=y2（2），由（1）（2）得：2m2+8=x2+y2，又x+y=8，所以2m2+8=（8-y）2+y2=2y2-16y+64，所以m2=y2-8y+28，所以当y=4时，m的最小值为，即AD长度的最小值为，此时AB=AC=BC=4，△ABC是等边三角形，易得其面积为．故选D．另解：由BC=4，AB+AC=8，则点A在以B，C为焦点，焦距2c=4，长轴长2a=8的椭圆上运动，易知当点A运动到短轴端点时，AD最短为，此时AD⊥BC，．故选：D．法一：由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值；法二：由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，要注意解法二中椭圆定义的灵活应用．。