2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题

2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试

题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，则集合

（）

A．B．C．D．

2. 已知，其中为虚数单位，则（）

A．B．1 C．3 D．

3. 已知向量,满足，,且与的夹角为，则

（）

A．1 B．3 C．D．

4. 已知数列为等差数列，为其前项和，，则

（）

A．B．C．D．

5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）

整个互联网行业从业者年龄分布饼状图90后从事互联网行业者岗位分布图

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多

D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%

6. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）

A．B．C．D．

7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么

的值为（）

A．B．-3 C．3

D．

8. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）

A．B．C．D．

9. 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A．B．C．

D．

10. 设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：

①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；

③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．

其中，一定正确的是（）

A．①②③B．①③C．①④D．③④

11. 已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（）

A．B．12

C．

D．13

12. 已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且

，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A．B．C．D．

二、填空题

13. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研

究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为6，则输出的值为

_______．

14. 已知，则___________

15. 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．

16. 已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式

的解集为_____．

三、解答题

17. 已知数列中，且

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求数列的前项和．

18. 如图，在中，内角所对的边分别为，且

．

（1）求角A的大小；

（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．

19. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．

（1）若点是的中点，求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

20. 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一

（小

时）

频数

100 100 200 200 350 50

（车

次）

区间的概率．

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：

男女合计

不超过6

30

小时

6小时以上20

合计100

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；

（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024

21. 已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求的单调性；

（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数

，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．

22. 在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为

．

（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．