广东省东莞市高三上学期期末数学试卷(理科)

2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．（5分）设集合S＝，T＝{x|23x﹣1＜1}，则S∩T＝（）A．∅B．C．D．2．（5分）已知复数z满足：z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则p的值为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.84．（5分）已知向量＝（l，1），＝（2，x），⊥（﹣），则实数x的值为（）A．﹣2B．0C．1D．25．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．1﹣B．3+C．2+D．47．（5分）二项式的展开式的常数项为（）A．±15B．15C．±20D．﹣208．（5分）在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，则log2b1+log2b2+…+log2b9＝（）A．6B．7C．8D．99．（5分）过点（0，1）且倾斜角为的直线l交圆x2+y2﹣6y＝0于A，B两点，则弦AB 的长为（）A．B．2C．2D．410．（5分）已知直线y＝kx+l与曲线y＝lnx相切，则k＝（）A．B．C．e D．e211．（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）＝0，当x＞0时f（x）+xf'（x）＞0恒成立，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围为（）A．（0，l）∪（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）∪（0，1）C．（1，+∞）∪（﹣1，0）D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）12．（5分）圆锥SO（其中S为顶点，O为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1．则圆锥SO与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A．9：32B．8：27C．9：22D．9：28二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．（5分）设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a＝3，C＝，△ABC 的面积为3，则边c＝15．（5分）实数x，y满足，且z＝3x﹣y，则z的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin x•cos2x（x∈R），则f（x）的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）己知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求的值．18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B+b＝2c．（1）求角A的大小：（2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，点M是PC上的一个动点，P A＝AB，∠DAB＝．（1）当PC⊥DM时，求证：PC⊥BM；（2）当P A∥平面MBD时，求二面角P﹣BD﹣M的余弦值．20．（12分）如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费Y（万元）的几组对照数据：（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程＝x+；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？参考公式：＝，＝﹣．21．（12分）己知函数，函数g（x）＝xf（x）+2x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x l）一g（x2）的最小值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；（2）设过点的直线l'交曲线C1于A，B两点，且AB的中点为P，求直线l'的斜率．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2|﹣2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．【解答】解：；∴．故选：D．2．【解答】解：由z•（1+i）＝2，得z＝，∴|z|＝．故选：B．3．【解答】解：假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则X～B（10，p），∴EX＝10p＝6，解得p＝0.6．∴p的值为0.6．故选：C．4．【解答】解：；∵；∴；∴x＝0．故选：B．5．【解答】解：函数f（x）＝，可得：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）＝＜0，故排除B，C故选：D．6．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱．故：V＝．故选：A．7．【解答】解：项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r ＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为＝15，故选：B．8．【解答】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，，所以：b5＝2则：b1•b9＝b2•b8＝b3•b7＝b4•b6＝4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，＝log2（b1•b2…b8•b9），＝log2（4•4•4•4•2），＝9，故选：D．9．【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角为且过点（0，1），则直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0，圆x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，圆心为（0，3），半径r＝3，则圆心（0，3）到直线l的距离d＝＝1，则弦AB的长为2×＝4；故选：D．10．【解答】解：∵y＝lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝（x﹣m）．即y＝x+lnm﹣1，∵直线y＝kx+1与曲线y＝lnx相切，∴＝k，且lnm﹣1＝1，即lnm＝2，则m＝e2，则k＝．故选：A．11．【解答】解：由题意可设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，∴则当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝xf（x）在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：∵不等式f（x）＞0⇔＞0，∴或，由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．12．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，圆锥的外接球的半径为R，由于圆锥SO的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl＝2πr2，所以，l＝2r，则圆锥SO的高为，所以，圆锥SO的外接球的直径为，∴，圆锥SO的体积为，它的外接球的体积为，因此，圆锥SO与它外接球的体积比为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．【解答】解：由随机变量X～N（1，δ2），可得μ＝1，又P（X＞2）＝，∴P（0＜X＜1）＝．故答案为：．14．【解答】解：∵a＝3，C＝，△ABC的面积为3＝ab sin C＝＝，∴b＝4，∴c＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z＝3x﹣y平移到点A时，z＝3x﹣y取最小值，∴当x＝﹣4，y＝﹣1时，z＝3x﹣y取最小值为：﹣11．故答案为：﹣11．16．【解答】解：f（x）＝sin x cos2x＝sin x（1﹣2sin2x）＝sin x﹣2sin3x，设t＝sin x，则t∈[﹣1，1]，∴f（t）＝﹣2t3+t，t∈[﹣1，1]，∴f′（t）＝﹣6t2+1，令f′（t）＝0，解得t＝±，当x∈[﹣1，﹣），（，1]时，f′（t）＜0，则函数f（t）单调递减，当x∈（﹣，）时，f′（t）＞0，则函数f（t）单调递增，∵f（1）＝﹣2+1＝﹣1，f（﹣）＝1﹣，∴f（x）的最小值为f（1）＝﹣1，故答案为：﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．故：，解得：a1＝4，d＝4，故：a n＝4+4（n﹣1）＝4n．（2）由于：a n＝4n，所以：，所以：，故：＝＝．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos B+b＝2c，∴由正弦定理可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C，∴可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C＝2sin（A+B）＝2sin A cos B+2cos A sin B，∴sin B＝2cos A sin B，…2分∵sin B≠0，∴cos A＝，…4分∵A∈（0，π），∴A＝…6分（2）在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，AB＝＝1，…8分∵D为AC的中点，∴AC＝2AD＝4，…9分在△ABC中，BC2＝42+12﹣2×＝13，…11分∴BC＝…12分19．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，DB⊂底面ABCD，∴P A⊥BD．又底面ABCD为菱形，连接AC交BD于O，∴AC⊥BD，∵AC∩P A＝A，AC⊂面P AC，P A⊂面P AC，∴BD⊥面P AC．BD⊥PC．又PC⊥DM，DM∩BD＝D，∴PC⊥面MBD，∴PC⊥BM．解：（2）由（1）得BD⊥面P AC，∴PO⊥BD，OM⊥BD，PO⊂面PBD，MO⊂面BDM．∴∠POM就是二面角P﹣BD﹣M的平面角，cos＝sin∠POA＝．∴二面角P﹣BD﹣M的余弦值为．20．【解答】解：（1）根据表中所给数据可得：，，，．∴，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）由（1）得：当x＝10时，，即技术改造后，使用10年的维修费用为8.1万元．相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．21．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝，由f′（x）＜0，解得：x＞e，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜e．∴f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）∵g（x）＝xf（x）+2x2＝lnx+2x2+bx，∴g′（x）＝．令g′（x）＝0，得4x2+bx+1＝0，由于△＝．设方程两根分别为x1，x2，则．＝＝＝．设，则，∵0＜x1＜x2，∴t＝∈（0，1），又b，∴，∴．整理得：12t2﹣145t+12≥0，解得t或t≥12．∴t∈（0，]．h′（t）＝＜0．∴h（t）在（0，]上单调递减．则．故g（x l）﹣g（x2）的最小值是．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，∵直线l的极坐标方程为，∴直线l的普通方程为y＝x，联立，解得或，∴直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（，）．（2）依题意，设直线l′的参数方程为（α为倾斜角，t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝1，整理，得：t2+（cosα+sinα）t﹣＝0，∵AB的中点为P，∴t1+t2＝0，∴cosα+sinα＝0，即tanα＝﹣1，∴直线l'的斜率为﹣1．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|﹣2，令f（x）≥0，①当x≤﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣2）﹣2＝﹣5≥0，矛盾；②当﹣1＜x＜2时，（x+1）+（x﹣2）﹣2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）﹣（x﹣2）﹣2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣2≥0，|x+a|﹣|x﹣2|≥2，……（7分）因为，|x+a|﹣|x﹣2|≤|x+a﹣x+2|＝|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤﹣4，所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．……（10分）。

广东东莞18-19高三上年末质量检测卷--数学（理）数学〔理〕考生注意：本卷共三大题，总分值150分，时问120分钟、不准使用计算器 参考公式：假设事件A 与事件B 相互独立，那么P 〔AB 〕=P 〔A 〕P 〔B 〕、 【一】选择题〔本大题共8小题，每题5分，总分值40分、每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确、请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑、〕1、假设a 实数，1(2)ai i i +=-，那么a 等于〔〕 A 、2B 、-1C 、1D 、-22、假设函数21()cos ()2f x x x R =-∈，那么()f x 是〔〕 A 、最小正周期为2π的奇函数B 、最小正周期为π的奇函数C 、最小正周期为2π的偶函数D 、最小正周期为π的偶函数 3、学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)〔单位：元〕，其中支出在[)30,50〔单位：元〕的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，那么n 的值为〔〕 A 、100B 、120C 、130D 、390 4、等差数列{}na 中，192a =-,352a =-,那么该数列前n 项和n S 取得最小值时n 的值是〔〕 A 、4B 、5C 、6D 、75、设m 、n 是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，那么m a ⊥的—个充分条件是A 、m//n,n //β,αβ⊥B 、,n //β,α//βmC 、m//n ，n β⊥,α//βD 、m n ⊥,n β⊥,αβ⊥6、甲、乙两位选手进行乒乓球竞赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，竞赛结束，每局竞赛没有平局，每局甲获胜的概率为35，那么竞赛打完3局且甲取胜的概率为〔〕A 、18125B 、36125C 、925D 、18257、2018翼装飞行世界锦标赛在张家界进行，某翼人 空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15 分钟内的速度()v x 与时间x 的关系，假设定义“速度差函数”()u x 为时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，那么()u x 的图像是〔〕８、设集合{}012,,S A A A =，在S 上定义运算⊕：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j+被3除的余数，{},1,2,3i j ∈，那么使关系式0()i j i A A A A ⊕⊕=成立的有序数对(,)i j 总共有〔〕A 、１对B 、２对C 、３对D 、４对 【二】填空题〔此题共30分，每题5分〕 〔一〕必做题９、函数()f x =的定义域为Ｍ，()ln g x x =的定义域为Ｎ，那么MN ＝、10、变量x,y 满足120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩那么z x y =+的最小值是.11、如右图所示的算法流程图中，第3个输出的数是.12、实数0a >，0b >，(,1)A a ，(2,)B b ，(4,5)C 为坐标平面上的三点，假设AC BC ⊥，那么ab 的最大值为. 13、设0(sin cos )wa x x dx =+⎰，那么二项式61()ax x-的展开式中常数项是.〔二〕选做题〔第14、15题，考生只能从中选做一题〕14、〔坐标系与参数方程选做题〕直角坐标系xOy 中，圆C 的参数议程是cos 1sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩〔θ为参数〕，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，那么圆心C 的极坐标是。

广东东莞2019年高三上学期年末教学质量检测数学理试题（扫描版）东莞2018-2018学年度第一学期高三调研测试理科数学参考答案【一】选择题〔每题5分，总分值40分.〕题号 1 2 3 4 56 7 8 答案 A D A B CBDC【二】填空题〔每题5分，总分值30分、〕9、{|01}x x <<10、211、712.24913.160-14、)6,2(π15.︒150【三】解答题〔本大题共6小题，总分值80分.〕 16.〔本小题总分值12分〕 解：〔1〕因为2()sin sin()cos 2f x x x xπ=++2sin cos cos x x x =+…………1分1=[sin 21cos 2]2x x ++…………3分1)242x π=++.…………4分 因此，当1)42sin(=+πx ，即πππk x 2242+=+，)(8Z k k x ∈+=ππ时，()f x 取得最大值，…………5分其最大值为12.…………6分 〔2〕由1)(=A f 得，121)42sin(22=++πA ，即22)42sin(=+πA .……7分 在ABC ∆中，因为),0(π∈A ，因此)49,4(42πππ∈+A .又22)42sin(>=+πA ，因此4342ππ=+A ，4π=A .………9分又因为712A B π+=，因此3B π=.………10分 在△ABC 中，由sin sin a b A B=及b =sin 2sin b A a B ===.…………12分17、〔本小题总分值12分〕解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件A ，“该教师选择计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =、…………1分〔1〕任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是1()()0.60.250.40.750.45P P AB P AB =+=⨯+⨯=、…………4分〔2〕任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是0()=()()0.40.250.1P P AB P A P B ==⨯=、…………5分因为每个人的选择是相互独立的，因此3人中选择不参加培训的人数ξ服从二项分布(30.1)B ，，…………6分 且33()0.10.9k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，…………8分 即ξ的分布列是…………10分因此，ξ的期望是10.24320.02730.0010.3E ξ=⨯+⨯+⨯=、…………12分 〔或ξ的期望是30.10.3E ξ=⨯=、〕18.〔本小题总分值14分〕解：〔1〕过点B 作BH AC ⊥于点H ，连接SH .…………1分 因为SO ABC ⊥平面，BH ABC ⊂平面， 因此BH SO ⊥.…………2分又因为BH AC ⊥，SOAC O =，因此BH SAC ⊥平面，即BSH ∠确实是直线SB 与平面SAC 所成角.…………3分 在ABC ∆中，因为AB BC ⊥，4AC =，2BC =， 因此60ACB ∠=︒，2sin 60BH =︒=.…………4分 在Rt BSH ∆中，因为4SB =，因此sin BH BSH SB ∠==即直线SB 与平面SAC…………5分〔2〕由〔1〕知，几何体SABC 的正视图中，111B A S ∆的边HC AC AH B A -==11，而160cos 2==o HC ，因此311=B A .…………6分又111B A S ∆的边11A B 上的高等于几何体SABC 中SO 的长，而4===AC SC SA ，因此=SO 7分因此111132S A B S ∆=⨯⨯=…………8分 〔3〕存在.…………9分证明如下：如图，连接BO 并延长交弧AC 于点M ，在底面内，过点A 作AP BM ⊥交弧AC 于点P .………10分因此SO ABC⊥平面. 而AP ABC ⊂平面，因此AP SO ⊥.…………11分又因为AP BM ⊥，SO BM O =，因此AP SOB ⊥平面，从而AP SB ⊥.…………12分又因为2AO OC BC ===，因此有60AOM BOC ACB ∠=∠=∠=︒，因此60AOM POM ∠=∠=︒，120AOP ∠=︒，…………13分即点P 位于弧AC 的三等分的位置，且120AOP ∠=︒.…………14分19、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕当14x ≤<时，合格的元件数为26x x -，…………1分利润2222()2662x x x T x x =--=-；…………3分当4x ≥时，合格的元件数为325325()1212x x x x -+-=-+，…………4分利润3253259252()++12124T x x x x x =-+--=--（），…………6分综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润22,142925+,44x x x T x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩…………7分〔2〕当14x ≤<时，222x T x =-,对称轴2=x ，如今利润T 的最大值max (2)2T T ==.……9分 当4x ≥时，222299(3)(3)'1=0x x x T x x x -+-=-+=<，…………10分 因此925+4T x x =--在),4[+∞上是减函数，…………11分 如今利润T 的最大值max (4)0T T ==，…………12分综上所述，当2x =时，T 取最大值2,…………13分即当日产量定为2〔万件〕时，工厂可获得最大利润2万元.…………14分 20、〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕由k e =得()x f x e ex =-，因此()x f x e e '=-、…………1分令0)('=x f ，得0=-e e x ，解得1=x 、由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，当x 变化时，()f x '、()f x 的变化情况如下表：…………2分因此当x =1时，()f x 有极小值为0，无极大值、…………3分 〔2〕由()x f x e kx x =-∈R ，，得()x f x e k '=-、 ①当0k ≤时，那么()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立， 如今()f x 的单调递增，递增区间为)∞+∞(-，、…………4分②当0k >时，由()0,x f x e k '=->得到ln x k >， 由()0,x f x e k '=-<得到ln x k <，因此，0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、…………6分综上，当0k ≤时，()f x 的单调递增区间为)∞+∞(-，；当0k >时，()f x 的单调递增区间是(ln ,)k +∞；递减区间是(,ln )k -∞、………7分 〔3〕解法一：①当0k =时，()x f x e =0>，对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分②当0k <时，由〔2〕知，()0x f x e k '=->对R x ∈恒成立，函数()f x 在]4,(-∞上单调递增，又(0)=10f >，11()10,k f e k=-<…………9分x因此函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………10分 〔假设说明取绝对值特别大的负数时，()f x 小于零给1分〕③当0k >时，令()x f x e k '=-0=，得k x ln =，且()f x 在(,ln )k -∞上单调递减，在(ln ,)k +∞上单调递增，()f x 在k x ln =时取得极小值，即()f x 在]4,(-∞上最多存在两个零点、〔ⅰ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点，那么ln 4(ln )(1ln )0(4)0k f k k k f <⎧⎪=-<⎨⎪≥⎩，解得4(,]4e k e ∈；…11分〔ⅱ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点，那么(4)0f <或ln 4(ln )0k f k ≤⎧⎨=⎩，解得4(,)4e k ∈+∞或e k =；…………12分 〔ⅲ〕假设函数()f x 在]4,(-∞上没有零点，那么ln 4(4)0k f >⎧⎨>⎩或(ln )(1ln )0f k k k =->，解得(0)k e ∈，、…………13分综上所述，当4(,]4e k e ∈时，()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分解法二：()x f x e kx x =-∈R ，、当0k =时，()x f x e =0>对R x ∈恒成立，因此函数()f x 在]4,(-∞上无零点、………8分当0k ≠时，kx e x f x -=)(在]4,(-∞上的零点就是方程x e kx =在]4,(-∞上的解，即函数x e y = 与kx y =在]4,(-∞上的交点的横坐标、…………9分 ①当0k <时，如图1，函数x e y =与kx y =只在0-∞（，）上 有一个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有一个零点、…………10分 ②当0k >时，假设x y e y kx ==与相切时，如图2，设切点坐标为),(00x e x ，那么00/|,x x x x y e e ===即切线的斜率是0,x k e =因此000x e e x x ⨯=，解得410<=x ，即当k e =时，x y e y kx ==与只有一个交点,函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点1=x ；…………11分由此，还能够明白，当0k e <<时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………12分当kx y =过点),4(4e 时，如图3，44e k =， 因此44e e k <≤时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上有两个交点，即函数()f x 在]4,(-∞上有两个零点；44e k >时，x y e y kx ==与在]4,(-∞上只有一个 交点，即函数()f x 在]4,(-∞上只有一个零点、…………13分 综上所述，当4(,]4e k e ∈时，函数()f x 在]4,(-∞上有2个零点；当4(,+)(,0)4e k ∈∞-∞或e k =时，函数()f x 在]4,(-∞上有1个零点； 当[0)k e ∈，时，函数()f x 在]4,(-∞上无零点、…………14分21、〔本小题总分值14分〕解：〔1〕因为0>na ，n n n a S a -=22，①当1=n 时，11212a S a -=，解得11=a ；…………1分当2≥n 时，有11212----=n n n a S a ，② 由①-②得，111212)()(2----+=---=-n n n n n n n n a a a a S S a a 〔2≥n 〕.而0>n a ，因此11=--n n a a 〔2≥n 〕，即数列}{n a 是等差数列，且n a n =.…………2分又因为 21n n b b=+，且0>n b ，取自然对数得n n b b ln 2ln 1=+，由此可知数列}ln {nb 是以1ln ln 1==e b 为首项，以2为公比的等比数列，因此11122ln ln --=⨯=n n n b b ，………4分因此12-=n eb n .…………5分〔2〕由〔1〕知，12ln -⋅==n n n n n b a c ，…………6分因此1221)2()2()1()2(3)2(211--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T ，③n n n n n T )2()2()1()2(3)2(2)2(121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=⨯- ，④由③-④得n n n n T 2222112⨯-++++=-- ，…………7分因此12)1(+-=n n n T .…………8分〔3〕由n a n =，n n n a S a -=22得22n n S n +=， 由)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（可得 )1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（， 即使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1()1()1(412)15+--<<--n n n T S n n n λ（恒成立等价于使得关于任意*N n ∈且2≥n ，不等式)1(21)1522+<<-+-+n n n n n n λ（恒成立.…………10分251)551,2122111211n n n n n n n n n -==≤=-++-+++--（当时取最大值是.……11分〔或用导数求25(1)()1x f x x x -=+-在[1)∞，+上的最大值.〕令22()(1)n g n n n +=+，由⎩⎨⎧+≤-≤)1()()1()(n g n g n g n g 可得212322(1)(1)22(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ++++⎧≤⎪+-⎪⎨⎪≤⎪+++⎩，化简得：2111122n n n n ⎧≤⎪⎪+-⎨⎪≤⎪+⎩，解得23n ≤≤,因此当23n =或时，()g n 取最小值，最小值为8(2)(3)3g g ==,…………13分因此2λ=时，原不等式恒成立.…………14分。

2019届广东省东莞市高三上学期期末调研测试数学（理）试题一、单选题1．设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】,集合，则故选：D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2．已知复数满足（为虚数单位），则（）A．2 B．C．D．【答案】B【解析】先利用复数的商的运算化简复数z，然后对复数z取模即可.【详解】则，故选：B【点睛】本题考查复数的四则运算和复数的模的运算，属于基础题.3．假设东莞市市民使用移动支付的概率都为，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知是其中10位市民使用移动支付的人数，且，则的值为（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】由已知得X服从二项分布，直接由期望公式计算即可.【详解】由已知条件每位市民使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足X～B（10，p），=6,则p=0.6故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求法，属于基础题.4．已知向量，，若，则实数的值为（）A．-2 B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】由题得，解方程即得解.【详解】因为，由，得，解得x=2，故选D.【点睛】(1)本题主要考查向量的坐标运算，考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)如果=,=，则||的充要条件是.5．函数的图像大致为()A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4【答案】A【解析】由三视图可得该几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，由正方体体积减去圆柱体积的即可得到答案.【详解】由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，正方体的棱长为1，圆柱的体积为，所以几何体体积为；故选：A．【点睛】本题考查三视图还原几何体，考查柱体体积公式的计算，考查空间想象能力和计算能力.7．二项式的展开式的常数项为（）A．B．15 C．D．【答案】B【解析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0，即可得到常数项.【详解】二项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r＝2，∴展开式的常数项是＝15，故选：B．【点睛】本题考查二项展开式的运用，考查求特定项的系数，熟练运用公式求解即可.8．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由等比数列的性质可得a5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知,由等比数列的性质可得，又等比数列各项为正数，b5＞0，可得b5＝2．则＝log2（b1b2•…•b9）＝log2＝9．故选：D．【点睛】本题考查等比数列的性质（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】写出直线l的方程，求圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即,∵圆，∴圆心（0，3），半径r=3，圆心到直线l：的距离d==1，∴直线被圆截得的弦长l=2=．故选：D．【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．10．已知直线与曲线相切，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点坐标，求出曲线在切点处的切线方程,然后和已知切线方程y=kx+1对应系数相等，即可得到k值.【详解】∵y＝lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝（x﹣m），即y＝x+lnm﹣1，∵直线y＝kx+1是曲线的切线，∴＝k，且lnm﹣1＝1，即lnm＝2，则m＝e2，则k＝．故选：A．【点睛】本题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．设出切点坐标是解决本题的关键．11．已知奇函数的导函数为，且，当时恒成立，则使得成立的的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意构造函数g（x）＝xf（x），结合条件可得到函数g（x）的单调性和奇偶性，结合函数g（x）的单调性、奇偶性画出函数的大致图象，由图象可得x的取值范围．【详解】由题意设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），∴当x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：∵不等式f（x）＞0⇔，∴或，由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，由函数的奇偶性、单调性解不等式，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于综合题．12．圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,圆锥的高为h=,则圆锥的体积为,设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=,BD=r,在直角三角形BOD中，由勾股定理得,即,展开整理得R=所以外接球的体积为,故所求体积比为故选：A【点睛】本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题.二、填空题13．设随机变量，且，则_____．【答案】【解析】由已知确定曲线关于x＝1对称，可知P（X＜1）＝，利用P（X＞2）得P（X＜0），可求P（0＜X＜1）．【详解】随机变量X～N（1，σ2），可知随机变量服从正态分布且X＝1是图象的对称轴，可知P（X＜1）＝，又可知P（X＜0）＝，则P（0＜X＜1）＝﹣＝．故答案为：．【点睛】本题考查正态分布的简单性质的应用，属于基本知识的考查．14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，的面积为，则边____．【答案】【解析】由三角形的面积可求得边b，然后利用余弦定理即可得到c边.【详解】已知，S=,解得b=4,由余弦定理abcosC=9+16-2解得c=故答案为：【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式的应用，属于基础题.15．实数，满足，且，则的最小值为_____．【答案】-11【解析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】画约束条件可行域如图：目标函数z＝3x﹣y可化为y＝3x﹣z，即斜率为3，截距为﹣z的动直线，数形结合可知，当动直线过点C时，z最小由得C（﹣4，-1）∴目标函数z＝3x﹣y的最小值为z＝-12+1＝-11．故答案为：-11【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16．已知函数，则的最小值为____．【答案】-1【解析】令t=sinx,转为关于t的函数，求导，判断单调性，由函数单调性求最值即可.【详解】函数)=sinx-2,令t=sinx则h(t)=t-2,h’(t)=1-6=0,则t=,可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最小值是h(或h(1),h(1)=-1<h(,故函数的最小值为-1，故答案为：-1【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查换元法并利用导数求函数最值问题，考查计算能力.三、解答题17．已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求的值.【答案】（1） (2)【解析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，可得首项和公差，即可求出通项；（2）求出等差数列的前n项和公式，然后利用裂项相消求和法即可得到结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知条件可知，解得：，.所以.（2）因为所以【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和公式的应用，考查裂项相消求和法的应用，属于基础题.18．如图，在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求角的大小；（2）若边上的中线的长为，且，求的长.【答案】（1） (2)【解析】(1)将已知条件利用正弦定理和两角和差公式进行化简，即可得到角A；（2）直角三角形ABD中，由角A和BD长，可得AD和AB和AC长，在三角形ABC中，由余弦定理即可得BC长.【详解】（1）由正弦定理可得，∴∵，∴，∴∵∴.（2）在中，，∵为的中点，∴，在中，，∴【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，属于基础题.19．如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，底面，点是上的一个动点，，.（1）当时，求证：；（2）当平面时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】(1)由已知可得PA可证平面，所以，可证平面，从而得到证明；（2）连接交于，当平面时，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求平面和平面PBD的法向量，利用两个法向量的数量积计算即可得结果.【详解】（1）因为底面，平面，所以又为菱形，连接交于，所以.又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面所以.（2）法一：因为平面，平面，平面平面，从而，平面，又因为.以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，，，，设平面的法向量为因为，，由，，得，令，则，.设平面的法向量为，因为平面，可设，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，从而法二：因为在平面中，在平面中，，从而为二面角的平面角，【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查利用空间向量解决二面角的问题，考查空间想象能力和计算能力.20．如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限和所支出的维修费（万元）的几组对照数据：（年）（万元）参考公式：，.（1）若知道对呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）对照公式，计算相应数据，即可得到线性回归方程；（2）将x＝10，代入方程，即可求得结论．【详解】（1）根据所给表格数据计算得，，，，∴，，所以，关于的线性回归方程为.（2）由（1）得，当时，，即技术改造后的10年的维修费用为8.1万元，相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元.【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数，函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值.【答案】(1) 函数的增区间为；的减区间为(2)【解析】(1)对函数求导，解得单调递减区间，解得单调递增区间；（2）由，是函数的两个极值点，由韦达定理可知，，，然后用表示出，令，构造新函数判断单调性，由单调性求最值即可.【详解】（1）由题意知，的定义域为.，当时，解得；当时，.所以函数的增区间为；的减区间为（2）因为，从而令，得，由于，设方程两根分别为，由韦达定理可知，，设，则因为，所以，又，所以，所以整理得，解得或.所以，所以在单调递减，故的最小值是【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值，极值问题，考查构造函数处理问题的方法，综合性较强.22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线公共点的极坐标；（2）设过点的直线交曲线于，两点，且的中点为，求直线的斜率.【答案】(1) 直线与曲线公共点的极坐标为， (2)-1【解析】(1)写出直线l和曲线的直角坐标方程，然后联立求交点坐标，化成极坐标即可;(2)写出直线的参数方程代入曲线中，利用弦中点参数的几何意义即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为联立方程，解得或所以，直线与曲线公共点的极坐标为，（2）依题意，设直线的参数方程为（为倾斜角，为参数），代入，整理得：.因为的中点为，则.所以，即.直线的斜率为-1.【点睛】本题考查直线和圆的参数方程，考查参数的几何意义的应用，属于基础题型.23．选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围.【答案】(1) (2) ，或.【解析】（1）利用零点分段法，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；（2）不等式有解，即,利用绝对值三角不等式可得f(x)最大值，从而得到a的范围.【详解】（1）当时，，令，①当时，，，矛盾.②当时，，，所以，.③当时，，，所以.综上所述，不等式的解集为.（2）由题意得：，有解，因为，，所以，，于是，，或，所以，，或.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查利用绝对值三角不等式求最值问题，属于基础题型.。

广东省东莞市市高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是 ( )．A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3参考答案：【知识点】函数单调性的应用.恒成立问题. B3【答案解析】C 解析：，：解得，所以选C.【思路点拨】导数法确定函数在区间上单调递增的条件.2. 中有一条对称轴是，则最大值为（）A. B. C. D.参考答案：B方法一；当时，平方得：求得得方法二：因为对称轴为所以可知此时的导函数值为0所以所以所以最大值注意；给三角函数求导也是一种办法，将三角函数求导后原三角函数的对称轴处的导函数都为03. 集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩(?U T)等于()A．{1，4，5，6}B．{1，5}C．{4} D．{1，2，3，4，5}参考答案：B4. 在R上是奇函数，.( )A.-2B.2C.-98D.98参考答案：A略5. 若为虚数单位，则（）A． B． C．D ．参考答案：C6. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B． C.10 D．参考答案：C略7. 在下列命题中，正确命题的个数是（）①两个复数不能比较大小；②复数z=i﹣1对应的点在第四象限；③若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则实数x=±1；④若（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，则z1=z2=z3．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A【考点】虚数单位i及其性质；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】举反例说明①错误；求出复数z=i﹣1对应的点的坐标说明②错误；由（x2﹣1）+（x2+3x+2）i的实部等于0且虚部不等于0说明③错误；举反例说明④错误．【解答】解：对于①，若两个复数都是实数，则可以比较大小，命题①错误；对于②，复数z=i﹣1对应的点的坐标为（﹣1，1），位于第二象限，命题②错误；对于③，（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数，则，解得x=1，命题③错误；对于④，若z1﹣z2=i，z2﹣z3=1，则（z1﹣z2）2+（z2﹣z3）2=0，命题④错误．∴正确命题的个数是0．故选：A．8. 已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数2 D．－2参考答案：A9. 某几何体的正视图和侧视图均如右图，则该几何体的俯视图不可能有是参考答案：D因为该几何体的正视图和侧视图是相同的，而选项D的正视图和和侧视图不同。

2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知复数12i2i z +=-，则z =（ ）A iB. i-C.D. 2. 已知集合{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，则()Z A B ⋃=ð（ ）A. {}4,Z x x k k =∈ B. {}42,Z x x k k =+∈C. {}2,Zx x k k =∈ D. {}21,Zx x k k =+∈3. 已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A. 9 B. 7C. 5D. 34. 函数()1ln a x xf x =+的图象不可能是（ ） B.A. D.C.5. 在等比数列{}n a 中，1234511a a a a a ++++=，34a =，则1234511111a a a a a ++++=（ ）A.3132B. 3132-.C.1116D. 1116-6. 已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A.45 B.35C. 45-D. 35-7. 以抛物线C 的顶点O 为圆心的单位圆与C 的一个交点记为点A ，与C 的准线的一个交点记为点B ，当点A ，B 在抛物线C 的对称轴的同侧时，OA ⊥OB ，则抛物线C 的焦点到准线的距离为（ ）A.B.C.D.8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）A 36B. 32C. 28D. 24二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+，0ω>，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 对称轴相同 B. ()f x 与()g x 周期相同C. ()()f x g x 的最大值是2ωD. ()()f x g x 不可能是奇函数10. 已知圆1C ：()2221x y ++=，圆2C ：()2234x y -+=，P ，Q 分别是1C ，2C 上的动点，则下列结论正确的是（）.A. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为7B. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为8C. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ的长可能为D. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为411. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()3,6是()g x 对称中心C. 2是()f x 的周期D.()221130k g k ==∑12. 如图几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90 得到的，已知点G 是圆弧 CE的中点，点H 是圆弧 DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A. 存在点H ，使得CH ⊥平面BDG B. 不存在点H ，使得平面//AHE 平面BDGC. 存在点H ，使得直线EH 与平面BDGD. 不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13. 双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，则其离心率e =______________．14. 已知向量()1,2a =r，()2,1b =- ，则使()()0a b a b λλ+⋅-< 成立的一个充分不必要条件是______________．的的15. 用试剂a 检验并诊断疾病b ，A 表示被检验者患疾病b ，B 表示判断被检验者患疾病b ．用试剂a 检验并诊断疾病b 的结论有误差，已知()0.9P B A =，()0.8P B A =，且人群中患疾病b 的概率()0.01P A =．若有一人被此法诊断为患疾病b ，则此人确实患疾病b 的概率()P A B =______________．16. 若函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，则a b +=__________，()f x 的最小值为______________．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17. 数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2正方形，PB PD =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）若2PA =，PB BD =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点，求点E 到平面ACF 的距离．19. ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．（1）求B ；（2）若3b =，且D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求2AD DC +的取值范围．20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 的右焦点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点的T ，使得TAB 的内心也在x 轴上？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．21. 某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =⋅⋅⋅）；③记随机变量11n i i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．（1）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（2）该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅），并计算了数据i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．22. 已知函数()()()110ex f a x x a ++=≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()()110ex f x --=有1x 、2x 两个根，且120x x +=，求实数a 的值．2023-2024学年度第一学期教学质量检查高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知复数12i2i z +=-，则z =（ ）A. iB. i-C.D. 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法可化简复数z .【详解】()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5z +++====--+.故选：A.2. 已知集合{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，则()Z A B ⋃=ð（ ）A. {}4,Z x x k k =∈ B. {}42,Z x x k k =+∈C. {}2,Z x x k k =∈ D. {}21,Zx x k k =+∈【答案】C 【解析】【分析】根据并集和补集的定义即可得出答案.【详解】因为{}41,Z A x x k k ==+∈，{}41,Z B x x k k ==-∈，所以{}21,Z A B x x k k ⋃==+∈，所以(){}Z 2,Z A B x x k k ⋃==∈ð.故选：C.3. 已知由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A. 9 B. 7C. 5D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出这四个数的极差与中位数，根据已知条件求出a 的值，然后利用百分位数的定义可求得结果.【详解】由小到大排列的4个数据1、3、5、a ，则5a ≥，这四个数为极差为1a -，中位数为3542+=，因为这4个数据极差是它们中位数的2倍，则124a -=⨯，解得9a =，所以，这四个数由小到大依次为1、3、5、9，因为40.753⨯=，故这4个数据的第75百分位数是5972+=.故选：B.4. 函数()1ln a x xf x =+的图象不可能是（ ） B.A. D.C.【答案】D 【解析】【分析】分0a =，0a >和a<0三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案.【详解】①当0a =时，()1f x x=，此时A 选项符合；②当0a >时，()()1ln ,01ln 1ln ,0a x x xf x a x x a x x x ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，当0x <时，()()1ln f x a x x=-+，因为函数()1ln ,y a x y x=-=在(),0∞-上都是减函数，所以函数()f x 在在(),0∞-上是减函数，的如图，作出函数()1ln ,y a x y x=-=-在(),0∞-上的图象，由图可知，函数()1ln ,y a x y x=-=-的图象在(),0∞-上有一个交点，即函数()f x 在在(),0∞-上有一个零点，当0x >时，()1ln f x a x x =+，则()2211a ax f x x x x='-=-，由()0f x '>，得1x a >，由()0f x '<，得10x a<<，所以函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，当1a =时，11ln 1f a a a a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，故B 选项符合；③当a<0时，()()1ln ,01ln 1ln ,0a x x xf x a x x a x x x ⎧+>⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩，当0x >时，()1ln f x a x x=+，因为函数1ln ,y a x y x==在()0,∞+上都是减函数，所以函数()f x 在()0,∞+上是减函数，如图，作出函数1ln ,y a x y x==-在()0,∞+上的图象，由图可知，函数1ln ,y a x y x==-的图象在()0,∞+上有一个交点，即函数()f x 在在()0,∞+上有一个零点，当0x <时，()()1ln f x a x x =-+，则()2211a ax f x x x x='-=-，由()0f x '>，得1x a<，由()0f x '<，得10x a <<，所以函数()f x 在1,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，当1a =-时，11ln 1f a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 选项符合，D 选项不可能.故选：D.5. 在等比数列{}n a 中，1234511a a a a a ++++=，34a =，则1234511111a a a a a ++++=（ ）A. 3132 B. 3132-C.1116D. 1116-【答案】C 【解析】【分析】设出公比后整体求值即可.【详解】设首项为1a ，公比为q ，易知1234511a a a a a ++++=，34a =，可得22114(1)11q q q q ++++=，解得22411111q q q q +++=+，而13452221111111111(1)416a a a q q q a a q ++++=++++=，故选：C 6. 已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A.45 B.35C. 45-D. 35-【答案】A 【解析】【分析】由两角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算即可得.【详解】πtantantan 1π242tan 2π241tan tan 1tan 242ααααα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-⋅-，即1tan 23=α，由222222228cos sin 14922cos cos sin 10225tan 2ta cos si n n 22219ααααααααα--=-====++，故选：A.7. 以抛物线C 的顶点O 为圆心的单位圆与C 的一个交点记为点A ，与C 的准线的一个交点记为点B ，当点A ，B 在抛物线C 的对称轴的同侧时，OA ⊥OB ，则抛物线C 的焦点到准线的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，得到三角形全等，故2p BM ON ==，从而求出,82p p B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据勾股定理列出方程，求出p =，得到答案.【详解】设抛物线方程为()220y px p =>，由题意得1OA OB ==，2p ON =，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ，因为OA ⊥OB ，所以90AON BOM ∠+∠=°，又90AON OAN ∠+∠=︒，所以BOM OAN ∠=∠，则OAN ≌OBM ，故2p BM ON ==，令2p y =得，224p px=，解得8p x =，故,82p p B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由勾股定理得22182p p ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得p =故抛物线C .故选：D8. 如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（ ）A. 36B. 32C. 28D. 24【答案】C【解析】【分析】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b ，设正四棱台的高为h ，可得出2132113abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出2a h 的值，即可求得该正四棱台的体积.【详解】设每个直三棱柱高为a ，每个四棱锥的底面都是正方形，设每个四棱锥的底面边长为b ，设正四棱台的高为h ，因为每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则2132113abh b h ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得222222336a b h a h b h a h =⋅=⨯=，可得212a h =，所以，该正四棱台的体积为24341121628V a h =+⨯+⨯=+=.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 已知函数()()cos f x x ωϕ=+，0ω>，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 对称轴相同 B. ()f x 与()g x 周期相同C. ()()f x g x 的最大值是2ωD. ()()f x g x 不可能是奇函数【答案】BC 【解析】【分析】求导得出()g x ，利用三角函数性质直接判断AB ；结合二倍角公式判断C ；结合二倍角公式及正弦函数性质判断D【详解】由题意知()()cos f x x ωϕ=+，所以()()()sin g x f x x ωωϕ=-'=+，对A ：()()cos f x x ωϕ=+的对称轴为πx k ωϕ+=，k ∈Z ，解得πk x ψω-=，k ∈Z ；()()sin g x x ωωϕ=-+的对称轴为ππ2x k ωϕ+=+，k ∈Z ，解得ππ2k x ψω+-=，k ∈Z ，所以()f x 与()g x 的对称轴不相同，故A 错误；对B ：()()cos f x x ωϕ=+的周期为2πT ω=，()()sin g x x ωωϕ=-+的周期为2πT ω=，所以()f x 与()g x 的周期相同，故B 正确；对C ：()()()()()cos sin sin 222f xg x x x x ωωωϕωϕωϕ=-++=-+，因为()[]sin 221,1x ωϕ+∈-，所以()()()sin 22,222f x g x x ωωωωϕ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对D ：当22πk ϕ=，k ∈Z ，()()()sin 22sin 222f xg x x x ωωωϕω=-+=-，所以()()()()()sin 2sin 222f xg x x x f x g x ωωωω--=--==-，此时()()f x g x 为奇函数，故D 错误；故选：BC.10. 已知圆1C ：()2221x y ++=，圆2C ：()2234x y -+=，P ，Q 分别是1C ，2C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为7B. 当12//C P C Q 时，四边形12C C QP 的面积可能为8C. 当直线PQ 与1C 和2C 都相切时，PQ 的长可能为D. 当直线PQ 与1C 和2C 4【答案】ACD 【解析】【分析】对于AB ：设()120,πPC C θ∠=∈，可得梯形12C C QP 的面积为15sin 2θ，进而分析判断；对于CD ：根据切线性质结合对称性分析求解.【详解】圆1C ：()2221x y ++=的圆心()12,0C -，半径11r =；圆2C ：()2234x y -+=的圆心()23,0C ，半径12r =；可知121253C C r r =>=+，可知两圆外离，对于选项AB ：设()120,πPC C θ∠=∈，因为12//C P C Q ，可知梯形12C PQC 的高为12sin 5sin C C θθ⋅=，所以四边形12C C QP 的面积为()115155sin 12sin 222θθ⨯⨯+=≤，可知四边形12C C QP 的面积可能为7，不可能为8，故A 正确，B 错误；对于选项CD ：设直线PQ 与x 轴的交点为M ，根据对称性可知：如图，因为12,PC PM QC QM ⊥⊥，可知12//PC QC ，则112212MC PC MC QC ==，可知25MC C =，所以PQ PM ==如图，因为12,PC PM QC QM ⊥⊥，可知12//PC QC ，则112212MC PC MC QC ==，可知1121533MC C C ==，所以34PQ PM =；故CD 正确；故选：ACD.11. 已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若2x =是()g x 的对称轴，且()24g =，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()3,6是()g x 的对称中心C. 2是()f x 的周期D.()221130k g k ==∑【答案】BD 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()()=f x f x -，判断A ；结合已知条件变形得到(2)(4)12g x g x -++=，判断B ；利用赋值法求得()()20f f ≠，判断C ；根据条件得到的()g x 周期为4，对称中心为()3,6，从而得到函数值即可求解，判断D.【详解】对于A ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以(2)(2)g x g x -=+，又因为()()25f x g x +-=，所以()()25f x g x -++=，故()()=f x f x -，即()f x 为偶函数，故A 错误；对于B ，因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得(2)(4)12g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点(3,6)中心对称，故B 正确；对于C ，因为()()25f x g x +-=，()24g =，则()045f +=，即()01f =；因为()()47g x f x --=，则()427f --=，即()23f -=-，则()()223f f =--=；显然()()20f f ≠，所以2不是()f x 的周期，故C 错误；对于D ，因为2x =是()g x 的对称轴，所以(6)(2)g x g x -=-，又因为(2)(4)12g x g x -++=，即()()612g x g x +-=，则()()212g x g x +-=，所以()()212g x g x ++=，所以()()22g x g x +=-，即()()4g x g x =+，所以()g x 周期为4，因为()g x 周期为4，对称中心为()3,6，所以()36g =，当4x =时，代入()()47g x f x --=，即()()407g f -=，所以()48g =，所以()()408g g ==，又2x =是()g x 的对称轴，所以()()136g g ==，所以()()2215646864130k g k ==⨯+++++=∑，故D 正确，故选：BD.12. 如图几何体是由正方形ABCD 沿直线AB 旋转90 得到的，已知点G 是圆弧 CE的中点，点H 是圆弧 DF上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A. 存在点H ，使得CH ⊥平面BDGB. 不存在点H ，使得平面//AHE 平面BDGC. 存在点H ，使得直线EH 与平面BDGD. 不存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，设2AD =，以点A 为坐标原点，AD 、AF 、AB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】由题意可将图形补全为一个正方体ADMF BCNE -，如图所示：不妨设2AD =，以点A 为坐标原点，AD 、AF 、AB 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,0,2B、()2,0,2C 、()2,0,0D 、()0,2,2E 、()0,2,0F，)2G ，设点()2cos ,2sin ,0H αα，其中π02α≤≤，对于A 选项，假设存在点H ，使得CH ⊥平面BDG ，()2cos 2,2sin ,2CH αα=--，()2,0,2DB =-，)BG =，则)44cos 40cos 10CH DB CH BG ααα⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可得sin 1cos 0αα=⎧⎨=⎩，因π02α≤≤，则π2α=，即当点H 与点F 重合时，CH ⊥平面BDG ，A 对；对于B 选项，由A 选项可知，平面BDG 的一个法向量为()2,2,2FC =-，假设存点H ，使得平面//AHE 平面BDG ，则CF AH ⊥，CF AE ⊥，则4cos 4sin 0440FC AH FC AE αα⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可得tan 1α=，又因为π02α≤≤，解得π4α=，即当点H 为 DF的中点时，面//AHE 平面BDG ，B 错；对于C 选项，若存在点H ，使得直线EH 与平面BDG，则直线EH 与平面BDG=，且()2cos ,2sin 2,2EH αα=--，所以，cos ,EH FC EH FC EH FC ⋅==⋅3sin 24sin 30αα-+=，因为函数()3sin 24sin 3fααα=-+在π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象是连续的，且()030f =>，π43102f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，为在所以，存在0π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f α=，所以，存在点H ，使得直线EH 与平面BDG，C 对；对于D 选项，设平面CEH 的法向量为(),,n x y z =，()2,2,0CE =- ，()2cos 2,2sin ,2CH αα=--，则()2202cos 12sin 20n CE x y n CH x y z αα⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,1,sin cos 1n αα=+-，假设存在点H ，使得平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，则1cos ,3n FC n FC n FC ⋅===⋅ ，可得()2sin cos 11αα+-=，即sin cos 11αα+-=±，可得sin cos 0αα+=或sin cos 2αα+=，因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ44α≤+≤πsin 14α⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以，πsin cos 4ααα⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，故当π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程sin cos 0αα+=和sin cos 2αα+=均无解，综上所述，不存在点H ，平面BDG 与平面CEH 的夹角的余弦值为13，D 对.故选：ACD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13. 双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为y =，则其离心率e =______________．【解析】【分析】结合渐近线的定义与离心率定义即可得.【详解】由题意可得b a =，则c e a ======14. 已知向量()1,2a =r，()2,1b =- ，则使()()0a b a b λλ+⋅-< 成立的一个充分不必要条件是______________．【答案】0λ=（答案不唯一）【解析】【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为11λ-<<的一个充分不必要条件进而求解.【详解】因为()1,2a =，()2,1b =- ，所以()2,21a b λλλ+=-+ ，()2,21a b λλλ-=+-，所以()()()()222441550a b a b λλλλλ+⋅-=-+-=-< ，解得11λ-<<，所以使()()0a b a b λλ+⋅-<成立的一个充分不必要条件是0λ=.故答案为：0λ=（答案不唯一）15. 用试剂a 检验并诊断疾病b ，A 表示被检验者患疾病b ，B 表示判断被检验者患疾病b ．用试剂a 检验并诊断疾病b 的结论有误差，已知()0.9P B A =，()0.8P B A =，且人群中患疾病b 的概率()0.01P A =．若有一人被此法诊断为患疾病b ，则此人确实患疾病b 的概率()P A B =______________．【答案】123【解析】【分析】利用条件概率公式求出()P AB 、()P AB 的值，可得出()P B 的值，再利用条件概率公式可求得()P A B 的值.【详解】由条件概率公式可得()()()0.010.90.009P AB P A P B A ==⨯=，()()110.80.2P B A P B A =-=-=，由条件概率公式可得()()()0.990.20.198P AB P A P B A ==⨯=，所以，()()()0.0090.1980.207P B P AB P AB =+=+=，所以，()()()0.00910.20723P AB P A B P B ===.16. 若函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，则a b +=__________，()f x 的最小值为______________．【答案】 ①. 34②. 36-【解析】【分析】由函数的对称性可知，方程20x ax b ++=的两根分别为4x =-、6x =-，利用韦达定理可求得a 、b 的值，可得出a b +的值，变形可得出()()()224412f x x xxx =++-，令244t x x =+≥-，利用二次函数的基本性质求出()()12h t t t =-在4t ≥-时的最小值，即可得出函数()f x 的最小值.【详解】因为函数()()()222x xxax b f x =-++的图象关于2x =-对称，令()0f x =，可得220x x -=，可得0x =或2x =，由对称性可知，方程20x ax b ++=的两根分别为4x =-、6x =-，由韦达定理可得()()4646a b --=-⎧⎨-⨯-=⎩，可得1024a b =⎧⎨=⎩，所以，()()()()()()221024246f x x x x x x x x x =-++=-++，则()()()()()()()()()4462246f x x x x x x x x x f x --=------+=-++=，所以，函数()()()()246f x x x x x =-++的图象关于直线2x =-对称，则34a b +=，因为()()()224412f x x xxx =++-，令()224244t x x x =+=+-≥-，令()()()221212636h t t t t t t =-=-=--，所以，()()min 636h t h ==-.故答案为：34；36-.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是注意到方程220x x -=有两个根，利用()f x 的对称性求得20x ax b ++=有对应的两个根，从而求得,a b ，由此得解.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17. 数列{}n a 前n 项积为n T ，且满足()()1122n T n n =++．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()1ln nn n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）2n n a n += （2）21ln21n n S n +=+【解析】【分析】（1）分1n =和2n ≥两种情况，结合n T 与n a 之间的关系分析求解；（2）由（1）可得()21ln nn n b n+=-，结合分组求和法运算求解.【小问1详解】因为()()1122n T n n =++，若1n =，则113a T ==；若2n ≥，则()()()111222112nn n nn n T n a T n T n n -+++====+；的且13a =符合2n n a n+=，综上所述：数列{}n a 的通项公式2n n a n+=.【小问2详解】由（1）可知：()21lnnn n b n+=-，可得()()12213212422n n n n b b b b b b b b S b -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+35214622ln ln ln ln ln ln 1321242n n n n ++⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()1ln 21ln 1ln21n n n n +=-+++=+，所以21ln21n n S n +=+.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PB PD =．（1）证明：平面PAC ⊥平面（2）若2PA =，PB BD =，点E ，F 分别为PB ，PD 的中点，求点E 到平面ACF 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由AC BD ⊥，O 为AC 和BD 的中点，PO BD ⊥，得BD ⊥平面PAC ，可证得平面PAC ⊥平面PBD ；（2）证明PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为原点，建立空间直角坐标系，向量法求点到平面的距离.【小问1详解】连接,AC BD ，AC 与BD 相交于点O ，连接PO ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，则AC BD ⊥，O 为AC 和BD 的中点，PB PD =，则PO BD ⊥，,PO AC ⊂平面PAC ，PO AC O = ，BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面PBD ，所以平面PAC ⊥平面PBD【小问2详解】四边形ABCD 是边长为2的正方形，PB PD BD ===，2PA =，222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，则有PA AB ⊥，PA AD ⊥，以A 为原点，,,AP AB AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,2C ，()1,1,0E ，()1,0,1F ，()0,2,2AC = ， ()1,0,1AF = ，设平面ACF 的一个法向量为(),,n x y z =，则有220n AC y z n AF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1,1y z ==-，即()1,1,1n =- .()1,1,0AE = ，点E 到平面ACF的距离n AE d n⋅=== .19. ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．（1）求B ；（2）若3b =，且D 为△ABC 外接圆劣弧AC 上一点，求2AD DC +的取值范围．【答案】（1）π3（2）(3,6)【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理化简得222a c b ac +-=，得到1cos 2B =，即可求解；（2）设ACD α∠=，得到π3CAD α∠=-，得到π,sin()3AD CD αα==-，得出26cos AD DC α+=，进而求得2AD DC +的取值范围.【小问1详解】解：因为22cos a c b C -=，由余弦定理得222222a b c a c b ab +--=⋅，整理得222a cb ac +-=，可得2221cos 22a cb B ac +-==，又因为(0,π)B ∈，可得π3B =.【小问2详解】解：由圆内接四边形性质，可得2π3D ∠=，设ACD α∠=，则π3CAD α∠=-，在ADC △中，由正弦定理得sin sin sin(60)AC AD CD D αα====∠-所以π,sin()3AD CD αα==-，所以π2sin()6cos 3AD DC ααα+=+-=，因为π03α<<，可得1cos (,1)2α∈，可得6cos (3,6)α∈，所以2AD DC +的取值范围为(3,6).20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），连接C的四个顶点所得四边形的面积为，且离心率．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 的右焦点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问x 轴上是否存在定点T ，使得TAB 的内心也在x 轴上？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212x y +=（2）存在；()2,0T 【解析】【分析】（1）根据题意中几何关系及离心率可以求出,a b 的值，从而求解.（2）设出直线l 方程1x my =+，然后与椭圆联立，根据TAB 的内心在x 轴上，可得0AT BT k k +=并结合根与系数的关系，从而求解.【小问1详解】由题意得222ab ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.【小问2详解】因为直线l 过右焦点()1,0F 且斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222210m y my ++-=，()()()2222421880m m m ∆=-+-=+>恒成立，所以12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，设x 轴上存在定点(),0T t 使得TAB 的内心在x 轴上，则直线TA 和TB 关于x 轴对称，所以直线TA 和TB 的倾斜角互补，所以0AT BT k k +=，即12120AT BT y yk k x t x t+=+=--，所以()()12210y x t y x t -+-=，即()()1122110y my t y my t +-++-=，整理得()()1212210my y t y y +-+=，即()2221222120222m t m t m m m m ---⨯+-⨯=⨯=+++，即()220m t -=对所有m ∈R 恒成立，所以2t =，所以存在定点()2,0T 符合题意.【点睛】方法点睛：根据TAB 的内心在x 轴上得到直线TA 和TB 的倾斜角互补，即0AT BT k k +=，再由直线与椭圆联立后利用根与系数关系得到相应的等式，从而求解.21. 某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ∈N ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =⋅⋅⋅）；③记随机变量11ni i X X n ==∑，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．（1）已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；（2）该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅），并计算了数据i x （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）37M N =，15x =；（ⅱ）15【解析】【分析】（1）根据题意结合期望、方差的性质分析证明；（2）（ⅰ）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式运算求解；（ⅱ）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可.【小问1详解】由题可知i X （1i =，2，…，n ）均近似服从完全相同的二项分布，则()()()12n E X E X E X ==⋅⋅⋅=，()()()12n D X D X D X ==⋅⋅⋅=，()()()()111111111n n ni i i i i i E X E X E X E X nE X E X n n n n ===⎛⎫⎛⎫====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，()()()()1111122211111n n i ni i i i i D X D X D X D X nD X D X n n nn n===⎛⎫⎛⎫====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑，所以()()1E X E X =，()()11D X D X n=.【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知1~50,M X B M N ⎛⎫⎪+⎝⎭，则1X 的均值()150M E X M N =+，1X 的方差()150M ND X M N M N=⨯⋅++，所以25010.5()()MN D X n M N n ==+，解得37M N =或73M N =，由题意可知：0M N ≤<，则01MN≤<，所以37M N =，()()15015M x E X E X M N====+；（ⅱ）由（ⅰ）可知：0.3MM N=+，则()150,0.3X B :，则()()50150C 0.310.3,0,1,2,,50mmm PX m m -==⋅⋅-=⋅⋅⋅，由题意可知：()()()()50491150505051115050C 0.310.3C 0.310.3C 0.310.3C 0.310.3k k k k k k k k k k k k --++----⎧⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎨⋅⋅-≥⋅⋅-⎪⎩，解得14.315.3k≤≤，且*k ∈N ，则15k =，所以1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值为15.【点睛】关键点睛：本题关键是利用二项分布求期望和方差，以及利用期望和方差的性质分析求解.22. 已知函数()()()110ex f a x x a ++=≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若方程()()110ex f x --=有1x 、2x 两个根，且120x x +=，求实数a 的值．【答案】（1）答案见解析 （2）1a =【解析】【分析】（1）求得()1e x axf x +-'=，分0a >、0a <两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）将原方程转化为()()110exa x x +--=，再将1x 、2x 分别代入其中，得到1a =±，然后讨论1a =、1a =-时，判断方程()()110exa x x +--=根的个数，再构造函数，求导，进而即可求解.【小问1详解】解：函数()()()110e x a x f x a ++=≠的定义域为R ，()()111e ex x a a x ax f x ++-+==-'.当0a >时，由()0f x '>可得0x <，由()0f x '<可得0x >，此时，函数()f x 的增区间为(),0∞-，减区间为()0,∞+；当0a <时，由()0f x '>可得0x >，由()0f x '<可得0x <，此时，函数()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.综上所述，当0a >时，函数()f x 的增区间为(),0∞-，减区间为()0,∞+；当0a <时，函数()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【小问2详解】解：由()()11e x a x f x ++=，则方程()()11110e ex a x x ++--=的两根分别为1x 、2x ，等价于方程()()110exa x x +--=的两根分别为1x 、2x ，所以，()()111110ex a x x +--=，①，()()122110ex a x x +--=，②，因为120x x +=，将21x x =-代入②式可得()()111110ex a x x --+---=。

2022-2023学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷1. 设集合A ={x|x ≥1}，B ={x|x 2−x −2<0}，则A ∪B =( ) A. {x|x >−1} B. {x|x ≥1} C. {x|−1<x <1}D. {x|1≤x <2}2. 已知复数z 满足：z ⋅i =1+i(i 为虚数单位)，则|z|=( ) A. √22 B. 1C. √2D. 23. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 3B. 4C. 15D. 214. 如图，某公园需要修建一段围绕绿地的弯曲绿道(图中虚线)与两条直道(图中实线)平滑连续(相切)，已知环绕绿地的弯曲绿道为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A. y =14x 3−x B. y =14x 3−x 2−x C. y =−14x 3+xD. y =−14x 3+x 2+x5. 已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点，P 为抛物线上任意一点，O 为坐标原点，若|PF|=3，则|OP|=( )A. 2√2B. 3C. 2√3D. √176. 甲，乙，丙，丁四人在足球训练中进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过3次传球后乙恰接到1次球的概率为( )A. 1427 B. 59 C. 1627 D. 17277. 已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为5√3，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为( )A. 4√3πB. 32√3πC.123√3π2D. 108π8. 已知实数a ，b 满足e a +a =b +lnb +1，则下列选项中一定正确的是( ) A. b >e a B. b <e a C. b <a +1 D. b >a +19. 已知二项式(1+√x)2023，则下列结论正确的是( ) A. 该二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等 B. 该二项展开式中不含有理项 C. 该二项展开式中的常数项是1D. 该二项展开式中含x 的项系数是2023×202210. 已知f(x)满足f(x)=f(x +2π)，且f(x)在(0,π2)上单调递增，则f(x)可以是( ) A. f(x)=sinx +cosx B. f(x)=sinx −cosx C. f(x)=sinxcosx D. f(x)=sinxcosx11. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则下列结论正确的是( )A. 直线B 1C 与直线AF 垂直B. 直线A 1G 与平面D 1EF 平行C. 平面D 1EF 与平面A 1B 1CD 垂直D. 点C 和点A 1到平面D 1EF 的距离相等 12. 已知直线l ：y =kx +m 与椭圆x 22+y 2=1交于A ，B 两点，点F 为椭圆的右焦点，则下列结论正确的是( )A. 当m =k 时，存在k ∈R 使得|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4B. 当m =k 时，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2C. 当k =1时，存在m ∈R 使得|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4D. 当k =1时，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为213. 已知函数f(x)=a2x −1+12是奇函数，则a =______.14. 设f(x)=cos2x的导函数为f′(x)，若ℎ(x)=f(x)+f′(x)关于(a,0)对称，则tan2a=______.15. 已知点P为直线y=√5上一动点，过点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A、B，且∠APB≥90∘，则动点P的轨迹的长度为______.16. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中记载了“三角垛”．如图，某三角垛最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径相等，且相邻的球都外切，记由球心A，B，C，D构成的四面体的体积为V1，记能将该三角垛完全放入的四面体A1−B1C1D1的体积为V2，则V1的最大值为______.V217. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且对于任意的n∈N∗都有3S n=2a n+1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记数列{a n}的前n项中的最大值为M n，最小值为m n，令b n=M n+m n，求数列{b n}的前202项和T20.18. 已知在锐角△ABC中，M是BC的中点，且AB=4，AC=2.(1)求sin∠BAMsin∠MAC的值；(2)若cos∠MAC=√64，求△ABC的面积．19. 如图，AB为半球M的直径，C为AB⏜上一点，P为半球面上一点，且AC⊥PC(1)证明：PB⊥PC；(2)若AC=AM=2，PB=√6，求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值．20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为p(0<p≤0.4)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q(0<q<1)，且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．(1)在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936；(2)若p+q=1，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．21. 已知F1(−2,0)，F2(2,0)为双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，点(2,√33)在双曲线E上，O为坐标原点．(1)求双曲线E的标准方程；(2)若不与坐标轴平行的动直线l与双曲线E相切，分别过点F1，F2作直线l的垂线，垂足为P，Q，求△OPQ面积最大值．22. 已知函数f(x)=(x−1)e x−2ax2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设函数g(x)=(x−2)e x+2x−sinx，若对任意的x≥0，f′(x)≥g′(x)恒成立(f′(x),g(x)分别是f(x)，g(x)的导函数)，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵x 2−x −2<0，即(x −2)(x +1)<0，解得−1<x <2， ∴B ={x|−1<x <2}， 则A ∪B ={x|x >−1}， 故选：A.解出集合B ={x|−1<x <2}，根据并集的运算法则，即可得出答案． 本题考查集合的并集运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：z =1+ii =i(1+i)i 2=1−i ，故|z|=√12+(−1)2=√2. 故选：C.通过复数除法得z =1−i ，利用复数模的定义即可得到答案． 本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,t)， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,t −3)， 因为|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，所以(−1)2+(t −3)2=1，解得t =3，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4×3+3×3=21. 故选：D.先由平面向量的线性运算求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再由平面向量模的坐标表示得到关于t 的方程，解之即可利用平面向量数量积的坐标表示求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意设三次函数的解析式为f(x)=ax(x −2)(x +b)， 即f(x)=ax 3+a(b −2)x 2−2abx ，f′(x)=3ax 2+2a(b −2)x −2ab ，∴{f′(0)=−2ab =−1f′(2)=12a +4a(b −2)−2ab =2，解得{a =14b =2， ∴f(x)=14x(x −2)(x +2)=14x 3−x ，故选：A.由图象设函数式为f(x)=ax(x−2)(x+b)，然后求导，利用f′(0)=−1，f′(2)=2求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意F为抛物线y2=4x的焦点，则F(1,0)，且准线方程为x=−1，设P(x P,y P)，由|PF|=3可得x P+1=3，∴x P=2，代入y2=4x得y P2=8，即P(2,±2√2)，故|OP|=√x P2+y P2=√12=2√3.故选：C.根据抛物线定义结合|PF|=3，求得点P的坐标，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；.共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为P=1627故选：C.将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果．本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：要使可放入的铁球的体积的最大，可得几何体的主视图，此时圆F与等腰梯形ABCD 的上底以及两腰相切，则建立如图所示平面直角坐标系，如图所示：一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为5√3，=√3，则B(1,0)，C(6,5√3)，则k BC=5√35∴直线BC 的方程为y =√3(x −1)，即√3x −y −√3=0， 设圆心F(0,t)，体积最大时球的半径为R ，则EF =R ， 则点F 到直线BC 的距离d =|−t−√3|2=5√3−t ，解得t =3√3或t =11√3(不合题意，舍去)，∴R =EF =5√3−3√3=2√3， ∴V =43πR 3=43π×(2√3)3=32√3π， 故选：B.根据题意要使可放入的铁球的体积的最大，可得几何体的主视图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，设圆心坐标为(0,t)，利用圆的性质，列出关于t 的方程，求解即可得出答案．本题考查圆台的结构特征和球的体积公式，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：令f(x)=x +lnx +1，则f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增， ∵e a +a =b +lnb +1，即f(b)=f(e a )−1<f(e a )， ∴b <e a ，A 错误，B 正确；令a =−3，则f(b)=e a +a =e −3−3<0，且f(1)=2>0， ∴0<b <1，此时b >a +1，C 错误；令a =0，则f(b)=e a +a =1，且f(1)=2>1， ∴0<b <1，此时b <a +1，D 错误； 故选：B.构建函数f(x)=x +lnx +1，对A 、B ：根据题意结合f(x)的单调性分析判断；对C 、D ：通过赋值令a =−3和a =0分析判断．本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：二项式(1+√x)2023，展开式中，通项公式为T r+1=C 2023r(√x)r ，该二项展开式中二项式系数和为22023，令x =1各项系数和为(1+1)2023=22023，二项展开式中二项式系数和与各项系数和相等，A 选项正确；由二项式展开式的通项公式可知，r 为偶数时，对应的项为有理项，B 选项错误；该二项展开式中的常数项是T 1=C 20230=1，C 选项正确； 该二项展开式中含x 的项为T 3=C 20232(√x)2=2023×20222x ，系数是2023×20222，D 选项错误． 故选：AC.由二项式定理，结合二项式系数的性质和二项式展开式的通项公式，逐个验证选项． 本题主要考查了二项式定理的性质的应用，属于中档题．10.【答案】BD【解析】解：对于A ，由辅助角公式可得，f(x)=sinx +cosx =√2sin(x +π4)，周期T =2π1=2π. 令−π2+2kπ≤x +π4≤π2+2kπ，解得−3π4+2kπ≤x ≤π4+2kπ，k ∈Z ， 令π2+2kπ≤x +π4≤3π2+2kπ，解得π4+2kπ≤x ≤5π4+2kπ，所以函数在[−3π4+2kπ,π4+2kπ]上单调递增，[π4+2kπ,5π4+2kπ]上单调递减，令k =0，则在[−3π4,π4]单调递增，[π4,5π4]单调递减，故A 不满足题意； 对于B ，由辅助角公式可得，f(x)=sinx −cosx =√2sin(x −π4)，由正弦函数的周期公式可得，T =2π1=2π.令−π2+2kπ≤x −π4≤π2+2kπ，解得−π4+2kπ≤x ≤3π4+2kπ，k ∈Z ，令π2+2kπ≤x −π4≤3π2+2kπ，解得3π4+2kπ≤x ≤7π4+2kπ， 所以函数在[−π4+2kπ,3π4+2kπ],k ∈Z 单调递增，[3π4+2kπ,7π4+2kπ],k ∈Z 单调递减，令k =0，则在[−π4,3π4]单调递增，[3π4,7π4]单调递减，故B 满足题意； 对于C ，由二倍角公式可得，f(x)=sinxcosx =12sin2x ， 由正弦函数的性质可得，最小正周期T =2π2=π，令−π2+2kπ≤2x ≤π2+2kπ，解得−π4+kπ≤x ≤π4+kπ，k ∈Z ， 令π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，解得π4+kπ≤x ≤3π4+kπ，所以函数在[−π4+kπ,π4+kπ],k ∈Z 单调递增，[π4+kπ,3π4+kπ],k ∈Z 单调递减， 令k =0，则在[−π4,π4]单调递增，[π4,3π4]单调递减，故C 不满足题意； 对于D ，由同角商的关系可得，f(x)=sinxcosx =tanx ， 由正切函数的性质可知，最小正周期T =π1=π，满足f(x)=f(x +2π)，且由正弦函数的单调性可知函数在(−π2,π2)单调递增，故D 满足题意． 故选：BD.利用三角恒等变换公式以及正弦、正切函数的图象性质一一判断即可求解．本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数，正切函数的性质，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：如图，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则B 1(2,0,2)，C(2,2,0)，A(0,0,0)，F(2,2,1)，D(0,2,0)， 故B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1)， 由于B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×2+2×2−2×1=2≠0，故B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 不垂直， 即直线B 1C 与直线AF 不垂直，故A 错误， 又A 1(0,0,2)，G(2,0,1)，D 1(0,2,2)，E(2,1,0)，所以A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)，D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−2)，D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)， 设平面D 1EF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{2x −y −2z =02x −z =0，取x =1，解得{y =−2z =2，即n ⃗ =(1,−2,2)，故A 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2−2=0，而A 1G ⊄平面D 1EF ， 所以直线A 1G 与平面D 1EF 平行，故B 正确， 因为A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面A 1B 1CD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b,c)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{2a =02b −2c =0，取b =1，解得{a =0c =1，即m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，因为m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0−2+2=0，所以平面D 1EF ⊥平面A 1B 1CD ，故C 正确，因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，所以点C 到平面D 1EF 的距离为|CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗|=√9=23， 因为A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，则点A 1到平面D 1EF 的距离为|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||n ⃗ |=√9=43， 所以点C 和点A 1到平面D 1EF 的距离不相等，故D 错误． 故选：BC.建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，求出平面平面D 1EF 与平面A 1B 1CD 的法向量，根据空间位置关系的向量方法，可判断A ，B ，C ，利用空间距离的向量求法可判断D. 本题主要考查了利用空间向量判断直线与直线，直线与平面的位置关系，以及利用空间向量求点到平面的距离，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：由x 22+y 2=1得c =√a 2−b 2=√2−1=1，所以椭圆的焦点F(1,0)，联立{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 并整理得(1+2k 2)x 2+4mkx +2m 2−2=0，Δ=16m 2k 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)>0，即1+2k 2>m 2， 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4mk 1+2k2，x 1x 2=2m 2−21+2k2，所以|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16m 2k2(1+2k 2)2−4(2m 2−2)(1+2k 2)(1+2k 2)2=√1+k 2⋅√16k 2+8−8m 21+2k2，对于A ，当m =k 时，l ：y =k(x +1)过椭圆的左焦点(−1,0)，此时|AB|=√1+k 2⋅2√2⋅√1+k 21+2k2=2√2(1+k 2)1+2k2，若|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则由|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB|=4a =4√2，得|AB|=4√2−4， 所以2√2(1+k 2)1+2k2=4√2−4，解得k 2=1+√2，k =±√1+√2，所以存在k =±√1+√2，使得|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故A 正确； 对于B ，当m =k 时，x 1+x 2=−4k21+2k2，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2k =−4k31+2k2+2k =2k1+2k2，所以|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(x 1−1+x 2−1,y 1+y 2)|=√(x 1+x 2−2)2+(y 1+y 2)2=√(−4k21+2k2−2)2+(2k 1+2k2)2=√4(4k 2+1)2+4k 2(1+2k 2)2，令1+2k 2=t ≥1，则2k 2=t −1，则|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√16t 2−14t+2t2=√2t2−14t +16=√2(1t −72)2−172， 因为0<1t ≤1，所以当1t =1，即t =1，k =0时，|FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值2，故B 正确； 对于C ，当k =1时，|AB|=√1+k 2⋅√16k 2+8−8m 21+2k2=43√3−m 2≤4√33<4=|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，此时存在m ∈R 使得|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故C 正确；对于D ，当k =1时，x 1+x 2=−4mk 1+2k2=−4m3，y 1+y 2=x 1+x 2+2m =2m −43m =23m ，所以|FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|(x 1−1+x 2−1,y 1+y 2)|=√(x 1+x 2−2)2+(y 1+y 2)2=√(−43m −2)2+(23m)2=√169m 2+163m +4+49m 2=23√5(m +65)2+95， 因为1+2k 2>m 2且k =1，所以m 2<3，所以−√3<m <√3，所以当m =−65时，|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值2√55<2，故D 不正确．故选：ABC.联立{y =kx +m x 22+y 2=1，消去y 并整理得(1+2k 2)x 2+4mkx +2m 2−2=0，由Δ>0，得1+2k 2>m 2，设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，得到x 1+x 2和x 1x 2，对于A ，当m =k 时，直线l 过左焦点，求出|AB|，由|FA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AB|=4a =4√2以及|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，求出k =±√1+√2，可知A 正确；对于B ，当m =k 时，得到|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4(4k 2+1)2+4k 2(1+2k 2)2，利用换元法可求出|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值2，故B 正确；对于C ，当k =1时，求出|AB|=43√3−m 2≤4√33<4=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可知C 正确；对于D ，当k =1时，求出|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=23√5(m +65)2+95的最小值为2√55<2，可知D 不正确．本题主要考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查了数学运算的核心素养，属于难题．13.【答案】1【解析】解：f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)对任意非零实数恒成立， 所以a 2−x−1+12=−(a 2x−1+12)， 整理可得，a =1. 故答案为：1.根据f(−x)=−f(x)对任意非零实数恒成立，可求出结果． 本题主要考查了奇函数定义的应用，属于基础题．14.【答案】0.5【解析】解：f′(x)=−2sin2x ，所以ℎ(x)=cos2x −2sin2x =√5cos(2x +φ)， 其中cosφ=√55，sinφ=2√55，tanφ=2， 因为函数ℎ(x)关于(a,0)对称，所以2a+φ=π2+kπ，2a=π2+kπ−φ，k∈Z，所以tan2a=tan(π2+kπ−φ)=tan(π2−φ)=sin(π2−φ)cos(π2−φ)=cosφsinϕ=12.故答案为：12.首先求函数的导数，并求函数ℎ(x)，利用辅助角公式化简，并代入对称中心2a，并利用诱导公式计算tan2a.本题主要考查导数的运算，属于基础题．15.【答案】2√3【解析】解：作出图形，如图所示：因为∠APB≥90∘，所以∠APO≥45∘，所以sin∠APO=|OA||OP|=2|OP|≥sin45∘=√22，解得|OP|≤2√2，设点P的坐标为(x,√5)，所以√x2+5≤2√2，解得−√3≤x≤√3，所以动点P的轨迹的长度为2√3.故答案为：2√3.由圆切线的性质，将∠APB≥90∘转化为|OP|≤2√2，由此求得点P横坐标的范围，进而得动点P 的轨迹的长度．本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了动点轨迹问题，属于中档题．16.【答案】18√6−44【解析】解：根据题意可得：当四面体A1−B1C1D1与三角垛的小球相切时，V2最小，V1V2取得最大，且当四面体A1−B1C1D1与三角垛的小球相切时，四面体A1−B1C1D1为正四面体．接下来求正四面体A−BCD与正四面体A1−B1C1D1的棱长之比：设每个小球的半径为r，若边长为a的正四面体内有一半径为r的内切小球，如图所示，则根据结论易得r=√612a，∴a=2√6r，设小球O切正四面体底面于H点，则易得H为底面正三角形的中心，∴H到底面正三角形边的距离d=HM=13×√32a=√36a=√36×2√6r=√2r，过正四面体A−BCD的顶点B，C，D，分别作底面B1C1D1的垂线，垂足点分别为E，F，G，如图所示，则EF=BC=4r，再过E，F分别作B1，C1的垂线，垂足点分别为I，J，则EI=FJ=d=HM=√2r，连接B1E，则B1E平分∠D1B1C1，∴B1I=C1J=√3EF=√6r，BC B1C1=EFB1C1=2√6r+4r=√6−2，即正四面体A−BCD与正四面体A1−B1C1D1的棱长之比为√6−2，∴正四面体A−BCD与正四面体A1−B1C1D1的体积之比为(√6−2)3=18√6−44，∴V1V2的最大值为18√6−44，故答案为：18√6−44.根据正四面体的内切球的结论，化归转化思想，数形结合思想即可求解．本题考查正四面体的内切球的问题的应用，化归转化思想，数形结合思想，属难题．17.【答案】解：(1)对于任意的n∈N∗都有3S n=2a n+1①，当n≥2时，3S n−1=2a n−1+1②，由①-②得3(S n−S n−1)=(2a n+1)−(2a n−1+1)，即3a n=2a n−2a n−1(n≥2)，∴a n=−2a n−1(n≥2)，又当n=1时，3S1=2a1+1，解得a1=1，∴数列{a n}是首项为1，公比为−2的等比数列，∴a n=(−2)n−1；(2)由(1)得a n=(−2)n−1，∴当n为奇数时，a n=2n−1，且a n>0，当n为偶数时，a n=−2n−1，且a n<0，∴当n为大于1的奇数时，{a n}的前n项中的最大值为a n=(−2)n−1，最小值为a n−1=(−2)n−2，此时b n=M n+m n2=a n+a n−12，∴当n为偶数时，{a n}的前n项中的最大值为a n−1=(−2)n−2，最小值为a n=(−2)n−1，此时b n=M n+m n2=a n−1+a n2，当n=1时，b1=a1，∴数列{b n}的前20项和T20=b1+(b3+b5+⋯+b19)+(b2+b4+b6+⋯+b20)=a1+a3+a22+a5+a4 2+⋯+a19+a182+a1+a22+a3+a42+⋯+a19+a202=a12+S19+S202=12+S19+S19+a202=S19+12+(−2)192=1−(−2)191+2+12+(−2)192=5−2196.【解析】(1)利用S n 与a n 的关系，利用作差法可得a n =−2a n−1(n ≥2)，可得{a n }是以公比为−2的等比数列，即可得出答案；(2)根据数列{a n }的通项性质可对n 分奇偶，进而可得M n ，m n ，分组求和即可求解．本题考查等比数列的定义和通项公式，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)锐角△ABC 中，M 是BC 的中点，且AB =4，AC =2，如图所示：因为BM =MC ，sin∠AMB =sin(π−∠AMC)=sin∠AMC ， 在△ABM 中，由正弦定理可得，ABsin∠AMB =BMsin∠BAM ， 在△AMC 中，由正弦定理可得，ACsin∠AMC =MCsin∠MAC ，所以sin∠BAM sin∠MAC=BM⋅sin∠AMBABMC⋅sin∠AMCAC=AC AB =12；(2)锐角△ABC 中，由cos∠MAC =√64，可得sin∠MAC =√104， 由(1)知，sin∠BAM =√108，则cos∠BAM =3√68，所以sin∠BAC =sin(∠BAM +∠MAC)=sin∠BAMcos∠MAC +cos∠BAMsin∠MAC =√108×√64+3√68×√104=√154，所以S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√154=√15.【解析】(1)由题意有BM =MC ，sin∠AMB =sin∠AMC ，在△ABM 和△AMC 中，利用正弦定理，可求sin∠BAMsin∠MAC 的值；(2)由sin∠BAC =sin(∠BAM +∠MAC)，求出sin∠BAC 的值，再利用面积公式即可得解． 本题考查三角恒等变换以及正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)因为AB 为半球M 的直径，C 为AB ⏜上一点， 所以AC ⊥BC ，又因为AC ⊥PC ，BC ∩PC =C ，BC ，PC ⊂平面PBC ， 所以AC ⊥平面PBC ， 又因为PB ⊂平面PBC ， 所以AC ⊥PB ，又因为P为半球面上一点，所以PA⊥PB，又因为PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以PB⊥PC；解：(2)因为三角形ABC为直角三角形，AB=2AM=4，AC=2，所以BC=2√3，又因为PB=√6，PB⊥平面PAC，所以PC=√6，又因为三角形PAB也是直角三角形，所以PA=√10，所以S△PAC=12⋅AC⋅PC=12×2×√6=√6，S△PAB=12PA⋅AB=12×√10×√6=√15，设点C到平面PAB的距离为h，则有V C−PAB=V B−PAC，即13S△PAB⋅ℎ=13S△PAC⋅PB，所以ℎ=S△PAC⋅PBS△PAB =√6×√6√15=2√155，设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则sinθ=ℎPC =2√155√6=√105.【解析】(1)由AC⊥BC，AC⊥PC可得AC⊥平面PBC，进而可得AC⊥PB，又由于PA⊥PB，所以可得PB⊥平面PAC，即可得PB⊥PC；(2)利用等体积法求得点C到平面PAB的距离为ℎ=2√155，设直线PC与平面PAB所成的角为θ，则有sinθ=ℎPC，即可得答案．本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用X表示命中目标飞行物的炮弹数，则X∼B(3,q)(X 服从二项分布)，则P(X≥1)=1−P(X=0)=1−C30q0(1−q)3≥0.963，即1−(1−q)3≥0.936，则(1−q)3≤0.064=0.43，即1−q≤0.4，则q≥0.6，又0<q<1，故0.6≤q<1，所以当0.6≤q<1时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于0.936.(2)在一次训练中，连发三发A 型号炮弹，用Y 表示命中目标飞行物的炮弹数，则Y ∼B(3,p)(Y 服从二项分布)，，记事件C 为“使用A 型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件D 为“使用B 型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，则P(C)=0.6×P(Y =1)+P(Y ≥2)=0.6×C 31p(1−p)2+C 32p 2(1−p)+C 33p 3=1.8p(1−p)2+3p 2(1−p)+p 3=1.8p(1−2p +p 2)+3p 2−3p 3+p 3=−0.2p 3−0.6p 2+1.8p ，P(D)=0.4P(X =1)+0.8P(X =2)+P(X =3)=0.4C 31q(1−q)2+0.8C 32q 2(1−q)+C 33q 3=1.2q(1−q)2+2.4q 2(1−q)+q 3=1.2q(1−2q +q 2)+2.4q 2−2.4q 3+q 3=−0.2q 3+1.2q ， 因为p +q =1，所以q =1−p ，则P(C)−P(D)=−0.2p 3−0.6p 2+1.8p +0.2(1−p)3−1.2(1−p)=−0.2p 3−0.6p 2+1.8p +0.2(1−3p +3p 2−p 3)−1.2+1.2p =−0.4p 3+2.4p −1，令f(p)=−0.4p 3+2.4p −1(0<p ≤0.4)，则f′(p)=−1.2p 2+2.4， 令f′(p)>0，即−1.2p 2+2.4>0，则p 2<2，得−√2<p <√2， 又0<p ≤0.4，所以f′(p)>0恒成立， 所以f(p)在(0,0.4]上单调递增，又f(0.4)=−0.44+2.4×0.4−1=−0.0256+0.96−1<0，则f(p)≤f(0.4)<0， 故P(C)−P(D)<0，即P(C)<P(D)，所以使用B 型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大．【解析】(1)根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于q 的不等式，解之即可； (2)先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论．本题解题的关键点有两次，一次是理解A 、B 型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率的大小，属于中档题．21.【答案】解：(1)由已知得{c =2a 2+b 2=c 24a2−13b2=1，解得{c =2b =1a =√3， 所以双曲线的标准方程为x 23−y 2=1；(2)设切线l 的方程为：x =my +n ，联立{x =my +n x 23−y 2=1，整理得(m 2−3)y 2+2mny +n 2−3=0，由题知Δ=4m 2n 2−4×(m 2−3)×(n 2−3)=0，化简得m 2+n 2=3， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则F 1P ⊥l ，F 2Q ⊥l ，则{x 1=my 1+n y 1x 1+2⋅1m =−1，解得{x 1=n−2m 21+m 2y 1=−m(n+2)1+m2， 同理{x 2=my 2+ny 2x 2−2⋅1m =−1，解得{x 2=n+2m 21+m 2y 2=−m(n−2)1+m 2，点(0,0)到直线x =my +n 的距离d =√1+m 2=√1+m 2，所以△OPQ 的面积S =12×d ×|PQ|=12×d ×√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =12×√1+m2√(4m 21+m 2)2+(4m 1+m 2)2=|n|2×|4m|1+m 2=|2mn|1+m 2， 又m 2+n 2=3，∴m =±√3−n 2， 所以S =|2n √3−n 2|4−n 2=2√n 2(3−n 2)(4−n 2)2，令t =4−n 2，由0<n 2<3，则1<t <4， 所以S =2√(4−t)(t−1)t 2=2√−t 2+5t−4t2=2√−4t2+5t−1=2√−4(1t−58)2+916， 所以当1t=58，即t =85时，S max =2√916=2×34=32，所以△OPQ 面积最大值为32.【解析】(1)由已知可得c =2，再结合双曲线上的点的坐标及a 2+b 2=c 2，即可求解； (2)设l 的方程为：x =my +n ，与双曲线方程联立可得m 2+n 2=3，由已知求出点P ，Q 的坐标，利用点到线及两点之间的距离可求得S =|2mn|1+m 2，再利用换元法及二次函数求最值即可得解 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，设而不求法，根与系数的关系的应用，函数思想，属中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(−∞,+∞)，f′(x)=e x +(x −1)e x −4ax =x(e x −4a)， a ≤0时，x <0时，f′(x)<0，x >0时，f′(x)>0， f(x)的减区间是(−∞,0)，增区间是(0,+∞)； a >0时，由f′(x)=0得x =0或x =ln(4a)，0<a <14时，ln(4a)<0，则当x <ln(4a)或x >0时，f′(x)>0，当ln(4a)<x <0时，f′(x)<0， f(x)的增区间是(−∞,ln(4a))和(0,+∞)，减区间是(ln(4a),0)；a =14时，ln(4a)=0，f′(x)≥0恒成立，f(x)的增区间是(−∞,+∞)，无减区间；a >14时，ln(4a)>0，当x >ln(4a)或x <0时，f′(x)>0，当0<x <ln(4a)时，f′(x)<0，所以f(x)的增区间是(−∞,0)和(ln(4a),+∞)，减区间是(0,ln(4a))； 综上所示，a ≤0时，f(x)的减区间是(−∞,0)，增区间是(0,+∞)；0<a <14时，f(x)的增区间是(−∞,ln(4a))和(0,+∞)，减区间是(ln(4a),0)； a =14时，f(x)的增区间是(−∞,+∞)，无减区间；a >14时，f(x)的增区间是(−∞,0)和(ln(4a),+∞)，减区间是(0,ln(4a)). (2)g′(x)=(x −1)e x +2−cosx ，f′(x)≥g′(x)，即x(e x −4a)≥(x −1)e x +2−cosx ，e x +2−cosx −4ax ≥0， x =0时，此不等式成立， x >0时，不等式变形为4a ≤e x −2+cosxx， 设n(x)=e x +2−cosx −x(x ≥0)，则n′(x)=e x +sinx −1，令p(x)=n′(x)=e x +sinx −1，则p′(x)=e x −cosx ，x ≥0时，e x ≥1≥cosx ，即p′(x)≥0， 所以p(x)单调递增，所以p(x)>p(0)=0，即n′(x)≥0， 所以n(x)单调递增，所以x >0时，n(x)>n(0)=0， 所以x >0时，e x +2−cosx −x >0，e x +2−cosx >x ，所以e x −2+cosxx>1，所以4a ≤1，a ≤14，即a 的取值范围是(−∞,14].【解析】(1)求出导函数f′(x)，分类讨论确定f′(x)的正负，得单调性； (2)x =0时不等式成立，x >0时，不等式变形为4a ≤e x −2+cosxx，然后引入函数n(x)=e x −2+cosx −x(x ≥0)，证明x >0时，m(x)>0，从而得e x −2+cosxx>1，由此可得a 的范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立求参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。

2008—2009学年度第一学期高三调研测试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）、14、15题是选做题）9．5 10．97 11．6 12．21-n 13．)4,22(π 14． 99 15．5 三、解答题16．(本小题满分13分)解：（1）因为0=⋅n m ，所以0cos 21=+A……………2分 所以1cos .2A=- (4)分又因为0,A π<<所以2.3A π=……………6分（2）因为2222cos ,a c b cb A =+-所以201244cos120b b =+-.……………8分即2280.b b +-= ……………9分解得4() 2.b b =-=舍，……………11分所以11sin 2222S bc A ==⨯⨯=……………13分17．(本题满分13分) 解: (1)依题意，甲答对试题数3,2,1,0=ξ．……………2分 ξ的概率分布如右表： ……………6分由上表可得，甲答对试题数ξ的数学期望 ξE =5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯．……………7分(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则)(A P =310361426C C C C +=1202060+=32，)(B P =310381228C C C C +=1205656+=1514 ……………9分 因为事件A 、B 相互独立， 所以甲、乙两人考试都合格的概率为4528151432)()(=⨯=⋅B P A P . ……………10分 所以甲、乙两人至少有一人考试不合格的概率为451745281)()(1=-=⋅-=B P A P P ． ……………12分 答：甲、乙两人至少有一人考试不合格的概率为4517． ……………13分18．（本小题满分14分）证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC ……………2分(1)连接DB ，则AC ⊥DB 又FD ⊥AD FD ⊥CD ， ∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ． 又D BD FD = ， ∴AC ⊥面FDB ． FAC AC 面⊂ ，∴平面FAC ⊥平面FBD …………………………………………………………5分 （2）设多面体FMBEC 的体积为V ，直三棱柱FAD —EBC 的体积为V 1，四棱锥F —MADC 的体积为V 2，则33321414121a a a V V V =-=-=……………8分 （3）点P 在A 点处………………………………10分证明：取FC 中点为S ，连接GA ，GS ，SM ，………………………11分∵G 是DF 的中点，∴GS //DC ，GS=21DC ，∴GS //AM ，GS=AM ，∴四边形AMSG 是平行四边形, ∴AG //MS ．……………………13分∵AG ⊄平面FMC ，MS ⊂平面FMC ，∴AG //平面FMC ．……………………14分19．（本题满分13分)（1）由题意可得)(51N x x y ∈=； …………………………2分)(2122N x y x ∈-=．…………………………4分 （2）通过计算可知，当5,4,3,2,1=x 时，21y y >，即当5,4,3,2,1=x 时，应该选择方案一；………6分又当7,6=x 时，12y y >，猜测当6≥x 时，12y y >，即当6≥x 时选择方案二． (8)E F C D GA MB S分下面用数学归纳法证明: N x x ∈≥,6时, 12y y >即x x 5212>-. ①当6=x 时, 652126⨯>-成立；………………9分 ②假设),6(N k k k x ∈≥=时,不等式成立,即k k 5212>-．………………10分 当1+=k x 时,)1(521565)1(52155)1(52110212)12(22121+>+-⨯++≥+-++=+>+-⋅=-+k k k k k k k ,即1+=k x 时,不等式也成立． ………………12分 由①②知,N x x ∈≥,6时,x x 5212>-即12y y >成立．所以当6≥x 时应该选择方案二． …13分20. (本题满分13分)解:(1)当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，………1分且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-,………………………………2分所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得 580x y +-=．………………………3分(2)当0>a 时，2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-,求导得22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．………………………4分令()0f x '=，解得3a x =或x a =．………………………………5分 ∵0>a ，∴a a >，列表如下：分因此，函数()f x 在3a x =处取得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =．……………………………8分(3)证明：由3a >，得13a >， 当[]10k ∈-，时，1cos ≤-x k ，1cos 22≤-x k ．…………………………9分由（2）知，()f x 在]1,(-∞上是减函数，………………………10分要使)cos ()cos (22x k f x k f -≥-(R x ∈) 只要x k x k 22cos cos -≤-(R x ∈),即)(cos cos 22R x k k x x ∈-≤-①………11分设2211()cos cos cos 24g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则函数()g x 在R 上的最大值为2．………12分 要使①式恒成立，必须22≥-k k ,即2≥k 或1-≤k ．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得)cos ()cos (22x k f x k f -≥-对任意的R x ∈恒成立．……………13分21．（本小题满分14分）解：（1）由12n n n x x x +=+得nn n x x x 21+=+，所以2122111-+⋅-=-+++n n n n x x x x ．……………2分 又因为11=x ，所以22111-=-+x x ，即数列{21-+nn x x }是首项为－2，公比为－2的等比数列.……………3分（2）由（1）可知：n n n x x )2(21-=-+,解得1)2(321)2(1)2(2--+=--+-=n n n n x ．……………5分（3）因为n n n n n x )1(23)1(2)1(--+-=-．……………6分①当n 为偶数时，n n n n x x )1()1(11-+---1231231-++=-n n)12)(12(22311-++⋅=--n n nnn n nn 2222311⋅+⋅<--)2121(31n n +=-，……………9分所以.3)211(3)212121212121(3)1()1()1( 1432221<-=++++++<-++-+--n n n nn x x x (1)1分②当n 为奇数时,前1n -项为偶数项,∴21121(1)(1)(1)(1)n n n n x x x x ---+-++-+-3)1232(3)1(3<++-+=-+<n n n x ， ……………13分 综合①②可知原不等式得证. ……………14分。

东莞市2020届第一学期高三期末教学质量检测数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知集合2{|230}A x x x =∈--≤Z ，{|10}B x x =->，则集合A B =IA ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅2. 己知2(,)m in i m n R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则m n += A.1- B. 1 C. 3 D. 3-3. 已知向量,a b r r 满足||1,|2|7a a b =+=r r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，则||b =rA ．1B ．3C ．3D ．5 4. 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5633a a a -=+，则7S =A ．42B ．21C ．7D ．35. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C ．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10％6. 函数31()(1)x x e f x x e +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，那么2(log 3)f 的值为A ．31B ．－3C ．3 D.31-A . OyxOyxB . OyxC .OyxD .8. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为A ．57 B ．47 C ．27 D ．179. 已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 的图象上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为A.6π B.3π C.2πD.π10. 设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点.有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB 异面； ②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直； ④存在过直线AB 的平面与α平行. 其中，一定正确的是A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④ 11. 已知圆O 的半径是22，点P 是圆O 内部一点(不包括边界)，点A 是圆O 圆周上一点，且2=⋅OP OA ，则()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值为A.232 B.12 C. 252D.13 12. 已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是A. 89πB. 1118πC. 512πD.49π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上． 13. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为6,则输出i 的值为_____. 14．已知2cos(2)65πα+=-，则sin(2)3πα-=_____. 15. 若4(3)(1)ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为__________（用数字作答）.16. 已知函数11,1()|2|1,1x x e e x f x x x --⎧-≤=⎨-->⎩(其中e 为自然对数的底数)，则不等式()(1)0f x f x +-<的解集为_____.三、解答题: 本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，1=1a 且*+12=6+21()n n a a n n N -∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图1，在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小； （2）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ∆的面积．19. (本小题满分12分)如图2，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC ∆的面积为1．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ； （2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --的余弦值为5？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：T （小时）(0,4]]5,4(]6,5(]7,6(]8,7(]24,8(频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：图1图2完成上述列联表，并判断能否有的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？ （2）（i ）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()E X ；（ii ）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求)2(≥ξP 的概率.参考公式：22()n ad bc k -=，其中n a b c d =+++21. (本小题满分12分)已知函数2(),(0,)xf x e mx x =+∈+∞（其中e 为自然对数的底数）. （1）求)(x f 的单调性； （2）若2m =-,2()2xa g x x e =,对于任意()0,1a ∈，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得00()1()2x f g x ->成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=-． （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式1)(≤x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为s ，(,,0)s a b c =>，3≥.数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13．8 14．2515．64 16．7(,)2-∞三、解答题17.（1）证明：*+12=6+21()n n a a n n N -∈Q1132n n a a n +∴=+-…………………………………………………………1分111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++∴===+++………………………………5分2nn a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为32，公比为3. ……………………………………6分（2）解：由（1）得：111131()3332222n n n n n a a --+=+⨯=⨯=⨯………………………………8分1322n n n a ∴=⨯-………………………………………………………………9分 123123211(3333)(123)2213(13)1(1)3(31)2132244n nn n n S a a a a n n n n n =++++=++++-++++-+-+=-=--L L L L L L 12334n n n +---=………………………………………………………………12分18.解:（1）由2cos 2a C c b -=及正弦定理，得2sin cos sin 2sin A C C B -= ……………1分 即2sin cos sin 2sin()A C C A C -=+ …………………………………………………2分整理得sin 2sin cos C C A -=……………………………………………………………3分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-………………………………………………………4分又因为(0,)A π∈则23A π=……………………………………………………………6分（没写角的范围扣1分） （2）由（1）知23A π=，又因为6ABC π∠=，所以6C π= 所以AC AB =． …………………………………………………………………………………7分 设AD x =，则2AB x =，在ABD ∆中应用余弦定理，得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅ ……………9分即277x =，解得1x =，…………………………………………………………………10分故ABC ∆的面积2124sin 323S x π=⋅⋅=． ................................................12分 19.解：（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， (1)分Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AC ∴=Q 三角形SAC 的面积为1，1212SO ∴⨯⨯=，即1SO =， ……………………2分∴2SC =，Q 2CD =，点P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥ ………………………3分又因为AP CP P =I ，,AP CP ⊂平面PAC∴SD ⊥平面PAC ， ……………………………………………………………………………4分 Q SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ． ……………………………………5分 （2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 两两互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -， …………………………………………6分 假设存在点P 使得二面角P AC D --的余弦值为5不妨设SP SD λ=u u r u u u r，Q 点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤， 又()1,0,1SD =--u u u r ， ∴(),0,SP λλ=--u u r，∴(),0,1P λλ--， …………8分设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，∵(),1,1AP λλ=--u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ， …………………10分 又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =u u u r ，二面角P AC D --∴cos ,OS OS OS ⋅===⋅u u u r u u u r u u u rn n n ，即23210λλ+-=， ………………………11分 解得13λ=或1-（舍）.所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点. (12)分 20. 解：（1）2⨯………………………………………3分根据上表数据代入公式可得22100(20301040)500.794 2.7063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ………4分所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关； ……………………5分(2) (i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，则 ………………………6分101)5(==X P ，101)8(==X P ，51)11(==X P ，51)15(==X P ， 207)19(==X P ，201)30(==X P .所以X………………………………………8分111171()581115193014.651010552020E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………9分 （2）由题意得1713(14.65)520205P X >=++=…………………………………………10分所以3~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………11分所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…12分 21. 解：（1）'2()2xf x em =+， ……………………………………………………………1分①当0m ≥时，0)('>x f 恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上的单调递增； ……………………2分 ②当20m -≤<时，),,0(+∞∈x 0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上的单调递增； ………3分 ③当2m <-时，由0)('=x f 得1ln()022mx =-> 1(0,ln())22mx ∈-时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；1(ln(),)22mx ∈-+∞时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； …………4分综上所述：当2m ≥-时，)(x f 在),0(+∞上的单调递增；当2m <-时，)(x f 在1(0,ln())22m-上单调递减，)(x f 在1(ln(),)22m -+∞上单调递增…5分（2）00()1()2x f g x ->0020012xx a e x x e ⇒-->0200112x x a x e +⇒->02001102x a x x e+⇒+-<(*) ………………………………………………………………7分需求一个0x ，使（*）成立，只要求出21()12x a x t x x e+=+-的最小值， 满足min ()0t x <…8分 1()()xt x x a e '=-Q ()t x ∴在()0,ln a -上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增 …………………………………9分()()2min ()ln ln ln 112a t x t a a a a ∴=-=+-+- ………………………………10分 只需证明()2ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可， 令()()2ln ln 112a a a a a ϕ=+-+- ()21ln 02a a ϕ'⇒=> ……11分()a ϕ∴在()0,1a ∈单调递增()()()211ln 11ln11102a ϕϕ∴<=+⨯-+-=所以min ()0t x <，故存在与a 有关的正常数0ln (01)x a a =-<<使（*）成立 ……12分22. 解：（1）圆C 的方程可化为22(2)(3)8x y -+-=，圆心为(2,3)C ,半径为∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数） …………3分直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=- cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩Q ∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++= …………5分 （2）法一：设曲线C 上的点P ,3)αα+， …………6分点P 到直线l ：30x y ++=的距离：)24d πα===++ (8)分当54πα=时，min 1)+2PQ =-= …………9分 此时点P 的坐标为(0,1)，所以min PQ =此时点P 的坐标为(0,1). …………10分 法二：曲线C 是以(2,3)C为圆心，半径为 …………6分 圆心(2,3)C 到直线l ：30x y ++=的距离d ==， …………7分所以min PQ ==， (8)分此时直线PQ 经过圆心(2,3)C ，且与直线l ：30x y ++=垂直，1PQ l k k ⋅=-，所以1PQ k =，PQ 所在直线方程为32y x -=-，+1y x =即 …………9分联立直线和圆的方程22+14650y x x y x y =⎧⎨+--+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩ 或 45x y =⎧⎨=⎩ 当PQ 取得最小值时，点P 的坐标为(0,1)所以min PQ =此时点P 的坐标为(0,1). …………10分23. 解：(1)3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩， (2)分①当1x ≤-时，31-≤恒成立，所以1x ≤-； ………3分 ②当12x -<<时，211x -≤即1x ≤，所以11x -<≤； ………4分 ③当2x ≥时，31≤显然不成立，所以不合题意；综上所述，不等式的解集为(,1]-∞. ………5分(2) 由(1)知max ()3f x s ==3=………6分由基本不等式可得a cbc ca b bc a ab 222++≥+++++6= ………9分当且仅当1a b c ===3+≥ ………10分。

广东省东莞市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017 高一上·保定期末) 已知集合 A={x|﹣1≤x＜3}，B={2＜x≤5}，则 A∩B=（ ）A . （2，3）B . [2，3]C . （﹣1，5）D . [﹣1，5]2. （2 分） (2019 高三上·佛山月考) 已知命题 （），命题,则命题 是命题 的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2 分） (2019·广西模拟) 如图是国家统计局今年 4 月 11 日发布的 2018 年 3 月到 2019 年 3 月全国居民 消费价格的涨跌幅情况折线图．（注：2019 年 2 月与 2018 年 2 月相比较称同比，2019 年 2 月与 2019 年 1 月相比较 称环比），根据该折线图，下列结论错误的是（ ）第 1 页 共 13 页A . 2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格同比均上涨B . 2018 年 3 月至 2019 年 3 月全国居民消费价格环比有涨有跌C . 2019 年 3 月全国居民消费价格同比涨幅最大D . 2019 年 3 月全国居民消费价格环比变化最快4.（2 分）(2018 高一下·山西期中) 在中，点 是 的中点，点 在 上且，交 于点 ，设，则 的值为（ ）A.B.C.D. 5. （2 分） 已知实数 x，y 满足 ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ） A . x3＞y3 B . sinx＞siny C . ln（x2+1）＞ln（y2+1）D. 6. （ 2 分 ） 如 右 图 所 示 ，， 则（ ）是圆 上的三点， 的延长线与线段 交于圆内一点 ， 若A.B.第 2 页 共 13 页C. D. 7. （2 分） (2016 高一下·衡阳期中) 函数 y=sin2xcos2x 是（ ） A . 周期为 π 的奇函数 B . 周期为 的偶函数 C . 周期为 的奇函数 D . 周期为 π 的偶函数8. （2 分） (2018·梅河口模拟) 设双曲线 ：以线段 为底边作一个等腰，且 边上的高且 的离心率为 ，则下列判断正确的是（ ）的左顶点与右焦点分别为 ， ，.若的垂心恰好在 的一条渐近线上，A . 存在唯一的 ，且B . 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内C . 存在唯一的 ，且D . 存在两个不同的 ，且一个在区间内，另一个在区间内9. （2 分） 若 为等差数列， 是其前 项的和，且，则（）A.B.C. D.第 3 页 共 13 页10. （2 分） (2020 高三上·渭南期末) 设函数 A . 函数 f(x)的最小正周期是 2π.的图象为 C,下面结论正确的是（ ）B . 函数 f(x)在区间上是递增的C . 图象 C 关于点对称D . 图象 C 由函数 g(x)=sin2x 的图象向左平移 个单位得到 11. （2 分） (2017·泰安模拟) 己知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当 x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方 f（x）程 f（x）+2=f（ ） 的实数 x 为 （ ）A.B.C.D.12. （2 分） 过椭圆（）若， 则椭圆的离心率为 （ ）的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，A. B. C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 13 页13. （1 分） 已知 满足不等式则的最大值为________．14. （1 分） 在二项式的展开式中，常数项的值为________（结果用数字表示）15. （1 分） (2017·浙江) 已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点 D 为 AB 延长线上一点，BD=2，连结 CD，则△BDC 的面积是________，com∠BDC=________．16. （1 分） 若点 的坐标为， 为抛物线取得最小值的 点坐标为________．的焦点，点 在该抛物线上移动，使三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） （理科）在一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投 3 次，在 A 处每投进一球得 3 分；在 B 处每投进一球得 2 分，如果前两次得分之和超过 3 分就停止投篮；否则投第 3 次，某同学在 A 处的抽中率 q1=0.25， 在 B 处的抽中率为 q2 ， 该同学选择现在 A 处投第一球，以后都在 B 处投，且每次投篮都互不影响，用 X 表示该同 学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：X 0 2345 P 0.03 P2 P3 P4 P5（1） 求 q2 的值；（2） 求随机变量 X 的数学期望 E（X）；（3） 试比较该同学选择上述方式投篮得分超过 3 分与选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率的大小．18. （10 分） 如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值．第 5 页 共 13 页19. （10 分） (2017 高一下·禅城期中) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an=2Sn﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求证：数列{an}为等比数列； （Ⅱ）若 bn=（2n+1）an ， 求{bn}的前 n 项和 Tn ．20. （10 分） (2018·徐州模拟) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆率为 于，且过点 两点.. 为椭圆的右焦点，为椭圆上关于原点对称的两点，连接的离心 分别交椭圆（1） 求椭圆的标准方程；（2） 若，求的值；（3） 设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 值；若不存在，请说明理由.，若存在，求出 的21. （10 分） (2018 高二上·长安期末) 已知.（Ⅰ）对一切恒成立，求实数 的取值范围；（Ⅱ）证明：对一切，都有成立．第 6 页 共 13 页22. （10 分） (2020·江西模拟) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为（Ⅰ）曲线 C 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线 C 上的点到直线 的距离的取值范围. 23. （10 分） 已知 f（x）=|x﹣1|+|2x+3|． （1）若 f（x）≥m 对一切 x∈R 都成立，求实数 m 的取值范围； （2）解不等式 f（x）≤4．（k 为参数），以 .第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、17-2、17-3、第 9 页 共 13 页18-1、第 10 页 共 13 页19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、23-1、。

2022年广东省东莞市南城中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，，则集合中最小元素为．．．．参考答案：，，依题意得答案选．2. 设,且,则( )A. B. C. D.参考答案：D3. 已知,且成等比数列，则的最小值是A. 1B.C.D.参考答案：C【知识点】等比数列的性质解析：因为成等比数列,则由,则所以当且仅当时取等号,所以,的最小值是,故选C.【思路点拨】依题意成等比数列，可得，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值．4. 定义在（—，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①=：②；③;④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④参考答案：C略5. 对于使f(x)≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做f（x）的上确界，若b且的上确界为A.-B.C.D.-4参考答案：A6. 下列函数中，在区间上为增函数的是(A) (B) (C) (D)参考答案：A考点：函数的单调性与最值因为(A)在区间上为增函数，(B) ，(C) ，(D) 在区间上均为减函数故答案为：A7. 已知i为虚数单位，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解： ===．故选：D．8. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A． B． C． D．参考答案：A9. 在抛物线y2=2px（p>0）上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略10. 一个几何体的三视图如图l所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A．1 B． C．D．参考答案：B由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为，是边长为2的正三角形，，且，底面为等腰直角三角形，，所以体积为，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义在区间上的函数，是函数的导数，如果，使得，则称为上的“中值点”。

广东省东莞市市东城职业高级中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，集合。

先后掷两颗骰子，设掷第—颗骰子得点数记作，掷第二颗骰子得点数记作，则的概率等于A． B． C． D．参考答案：答案：B2. 函数的一个对称中心为，且的一条对称轴为，当取得最小值时，（）A．1 B．C．D．参考答案：C由题得，所以，两式相减得. 此时.所以，故选C.3. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( )（A）．y=cos2x，x R （B）．y=log2|x|，x R且x≠0（C）．y=，x R （D）．，x R参考答案：B4. 设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣3，3] B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）参考答案：B【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，根据已知条件得到g（x）的单调性，从而得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（x）+g（﹣x）=f（x）﹣x2+f（﹣x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数∴f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m=g（6﹣m）+（6﹣m）2﹣g（m）﹣m2﹣18+6m≥0，即g（6﹣m）﹣g（m）≥0，∴g（6﹣m）≥g（m），∴6﹣m≤m，∴m≥3．5. 已知复数z满足z(1＋i)＝2i，则A.1B.C.D.2参考答案：C6. 曲线y=在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（）A．B．－ C． D．参考答案：A7. 若的最小值为参考答案：A略8. 曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.参考答案：B略9. 函数在区间上的最大值是( )A.1B.C.D.参考答案：D略10. 已知向量，且，则的最小值为（）A． B． C． D．1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合，若A中的所有的整数元素和为28，则的取值范围是参考答案：12. 已知均为非负实数，且，则的取值范围为．参考答案：因为，所以，令，则．．当且，即或时取等号；另一方面，当时取等号．所以．13. 不等式的解集是_______________.参考答案：略14. 在平行四边形ABCD 中, AD = 1,,. 若, 则的长为.参考答案：略15. 经过点且在y轴上截距为2的直线的方程为______________________.参考答案：略16. 设数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的所有的和为 .参考答案：7 17. 曲线在点处的切线方程为 ．参考答案：考点：利用导数求函数的切线.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

广东省东莞市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一上·温州期中) 已知集合 P={-1，0，1，2}，Q={-1，0，1}，则（ ）A.B.C.D.2. （2 分） 复数 (i 为虚数单位)的虚部是 （ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2018 高一上·桂林期中) 若，则（）A.B. C.8 D.9第 1 页 共 10 页4. （2 分） (2018·重庆模拟) “ A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件”是“5. （2 分） (2019 高一上·成都期中) 已知函数 的取值范围是（ ）”的（ ）,若，且，则A.B. C. D. 6. （2 分） 设数列{an}是等比数列，则“a1<a2<a3"是“数列{an}为递增数列”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件7. （2 分） (2019 高三上·沈河月考) 已知向量 ， 满足，，，则向量 ， 的夹角为（ ）A.B.C.第 2 页 共 10 页D.8. （2 分） 已知圆的方程为， P 是圆 O 上的一个动点，若 OP 的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数 a 的取值范围是（ ）A.B.C.D.9. （2 分） 已知都是非零实数，则“”是“”成等比数列的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2 分） 双曲线的一个焦点坐标为， 则双曲线的渐近线方程为（ ）A.B. C. D. 11. （2 分） (2015·河北模拟) 若关于 x 的不等式 xex﹣2ax+a＜0 的非空解集中无整数解，则实数 a 的取值 范围是（ ）A.[，）B.[ ， ）第 3 页 共 10 页C . [ ，e]D . [ ，e] 12. （2 分） (2019 高三上·汕头期末) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个三棱锥的三 视图，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）A. B.C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2020·兴平模拟) 函数在处切线方程是________．14. （1 分） (2018 高一下·雅安期中) 等差数列 的前 项和 ，若则________.15. （1 分） (2019 高一下·上海月考) 若则 的取值范围是________.16. （ 1 分 ） (2020· 邵 阳 模 拟 ) 已 知 为 坐 标 原 点 ， 圆：，圆：．分别为圆 和圆 上的动点，则的最大值为________．三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17. （10 分） (2020·内江模拟) .的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，设第 4 页 共 10 页（1） 求 ；（2） 当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.18. （10 分） (2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点,.（1） 证明：平面；（2） 若 是 上的点，且19. （10 分） (2019 高一上·静海月考)，求二面角的正弦值.（1） 若 （2） 若函数与，在区间是减函数，求 的取值范围.在区间上是减函数，求 a 的取值范围.（3）在区间(3m-2,m+2)内单调递增,求实数 m 的取值范围.（4） 已知函数,若的定义域为 R，求 a 的取值范围（只写出关系式不需要计算）通过解答上述习题，请归纳解此类题注意什么问题?（至少写出两点）20. （10 分） (2019 高三上·大同月考) 已知椭圆 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是 ，点 在 轴上的射影恰好是椭圆 的右焦点 ，椭圆 另一个焦点是 ，且.（1） 求椭圆 的方程；（2） 直线 过点，且与椭圆 交于两点，求的内切圆面积的最大值.第 5 页 共 10 页21. （10 分） (2017·山西模拟) 为弘扬中国传统文化，2017 年中央电视台著名主持人董卿主持了一档节目 《中国诗词大会》参赛的 100 名选手年龄分布情况如下：（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这组数据的中位数和平均值 （保留 1 位小数） （Ⅱ）节目最后由高中生武亦姝和编辑彭敏争夺冠军，比赛规定：主持人每出一题，两位选手必有一人得 1 分， 另一人不得分，先得 5 分者将成为第二季的总冠军，现比赛进行到武亦姝和彭敏的得分比为 3：2，接下来假设主持 人每出一道题，彭敏得分的概率为 ，武亦姝得分的概率为 ，请问最终武亦姝获得冠军的概率是多少？ （Ⅲ）现从年龄在[10，20）、[50，60），[60，70]内的三组选手中任意抽取 2 人，求抽出选手中年龄大于 50 岁的人数 ξ 的概率分布列和期望． 22. （10 分） (2016 高二上·绍兴期末) 已知圆 C：x2+（y﹣1）2=5，直线 l：mx﹣y+1﹣m=0． （1） 求证：对 m∈R，直线 l 与圆 C 总有有两个不同的交点 A、B； （2） 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程．23. （10 分） (2019 高一上·荆门期中) 已知函数，且.（1） 求 的值.,关于 的不等式的解集为（2） 是否存在实数 ，使函数 若不存在，说明理由.的最小值为 ？若存在，求出 的值；第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、17-2、 18-1、答案：略 18-2、答案：略19-1、19-2、第 8 页 共 10 页19-3、19-4、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、第 9 页 共 10 页22-1、答案：略 22-2、答案：略 23-1、答案：略 23-2、答案：略第 10 页 共 10 页。