2020届广东省东莞市2017级高三上学期期末调研考试数学(理)试卷及解析

理科数学 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}1 ln 2A x x B x y x =≥-==-，，则R A C B =（ ） A ．[)1 2-，B ．[)2 +∞，C ．[]1 2-，D ．[)1 -+∞， 2.设函数()()1232 2log 1 2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，，，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33.若实数 x y ，满足230x y -+≥，则z 的最小值为（ ） A ．3 BC4.在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x >的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．135.已知命题：2: 2sin 10p x R x x θ∀∈-+≥，；命题(): sin sin sin q R αβαβαβ∀∈+≤+，，.则下列命题中的真命题为（ ）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∨ D ．()p q ⌝∨6.三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．48π B ．32π C.12π D ．8π7.已知向量 AB AC AD ，，满足 2 1AC AB AD AB AD =+==，，， E F ，分别是线段BC CD ，的中点，若54DE BF ⋅=-，则向量AB 与AD 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C.23π D ．56π 8.已知双曲线()222210 0x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12 F F ，，且2F 为抛物线224y x =的焦点，设点P 为两曲线的一个公共点，若12PF F △的面积为 ）A ．221927x y -=B ．221279x y -= C.221169x y -= D ．221916x y -=9.执行如图所示的程序框图，若[][] 0 4x a b y ∈∈，，，，则b a -的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.若()()72801281212x x a a x a x a x +-=++++…，则0127a a a a ++++…的值为（ ） A ．2- B ．3- C.253 D ．12611.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于 M N ，两点，若4MF FN =，则直线l 的斜率为（ ）A ．32±B ．23± C.34± D ．43±12.函数()sin 1f x x x ωω=++的最小正周期为π，当[] x m n ∈，时，()f x 至少有12个零点，则n m -的最小值为（ ） A ．12π B ．73π C.6π D ．163π第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.复数z 在复平面内的对应点是()1 1-，，则z = ．14.定积分)1x dx +⎰的值为 ．15.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则()37.5f 等于 ．16.将一块边长为6cm 的正方形纸片，先按如图（1）所示的阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥），将该四棱锥如图（2）放置，若其正视图为正三角形，则其体积为 2cm ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，内角 A B C ，，所对的边分别是 a b c ，，，已知60 5 4A b c =︒==，，. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求sin sin B C 的值. 18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且122 21n n a d a a ==-，. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19.（本小题满分12分）某市为了解各校《国学》课程的教学效果，组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试，测试成绩从高到低依次分为A 、B 、C 、D 四个等级.随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩，得到如下的分布图：（Ⅰ）试确定图中a 与b 的值；（Ⅱ）规定等级D 为“不合格”，其他等级为“合格”，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生，求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.20.（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，底面ABC 为正三角形.（Ⅰ）证明：AC PB ⊥；（Ⅱ）若平面PAC ABC ⊥平面，2AC PC ==，求二面角A PC B --的余弦值. 21.（本小题满分12分）椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12 F F ，.（Ⅰ）若椭圆E 的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）若椭圆E 过点()0 2A -，，直线1AF ，2AF 与椭圆的另一个交点分别为点 B C ，，且ABC △的面积为509c，求椭圆E 的方程. 22.（本小题满分10分）已知函数()2ln f x a x x x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.2016-2017学年度高三年级阶段性测评（一）理科数学参考答案及评分参考一、选择题1-5:CCDAB 6-10:CBAAC 11、12：DD 解析：1.C 【解析】[)()(]1 2 2R A B C B =-+∞=+∞=-∞，，，，，，∴[]1 2R A C B =-，. 2.C 【解析】()()()()032log 3122f f f f e ===⨯=. 3.D【解析】z.4.A 【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=. 5.B 【解析】()()22222:2sin 1sin 1sin sin cos 0p x x x x θθθθθ-+=-+-=-+≥，∴p 为真命题.:q 当54παβ==时，52παβ+=，()sin 1αβ+=，sin sin αβ+= ∴()sin sin sin αβαβ+>+，∴q 为假命题，∴()p q ∨⌝为真命题.6.C 【解析】如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC =.∴该球的表面积为2412ππ=.7.B 【解析】 22AD ABDE AB BF AD =-=-，，∴225555224244AB AD AD AB DE BF AB AD ⋅⋅=--+=-+⋅=-.∴1AB AD ⋅=，1cos 2AB AD <>=，，∴AB 与AD 的夹角为3π. 8.A 【解析】设P 点为第一象限点，且()11 P x y ，，1211122PF F S y =⨯⨯=△1y =，19x =，∴1226a PF PF =-=，∴ 2 a b ==，，故双曲线方程为221927x y -=.9.A 【解析】程序框图的功能为求分段函数21 04 0x x y x x x +<⎧=⎨-≥⎩，，的函数值， 如图可知[]2 a b ∈，，当0 2a b ==，或 2 4a b ==，时符合题意，∴2b a -≥.10.C 【解析】令1x =，得01283a a a a ++++=…，()7822256a =⨯-=-，∴0783253a a a ++=--=….11.D 【解析】不妨设()()()111122 0 0 M x y x y N x y >>，，，，，∵4MF FN =，∴124y y =-，又212y y p =-，∴22 28p py x =-=，，∴042382MN pk p p --==-.根据对称可得直线l 的斜率为43±.12.D 【解析】由题知()()2sin 2 1 0 2sin 2133f x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∴1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.由周期性可知16533n m πππ-≥+=，∴()min 163n m π-=. 二、填空题13.1i + 14.142π+15.0.5【解析】13.1z i =-，∴1z i =+.14.)110x dx xdx =+⎰⎰⎰，由几何意义得4π=⎰，又121001122xdx x ==⎰.∴)1142x dx π=+⎰. 15.∵()()2f x f x +=-，∴()()4f x f x +=且()()f x f x -=-，01x ≤≤时，()f x x =， ∴()()11137.5 1.5222f f f f ⎛⎫⎛⎫==--== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.16.由正视图为正三角形可知，图（1）中2PD CD =，∴23PD =⨯，∴正三角形的边长为PO∴四棱锥的体积为183=三、解答题17.解：（Ⅰ）由余弦定理得：2222cos 21a b c bc A =+-=，∴a =分 （Ⅱ）∵()222228sin a R A ==， ∴()25sin sin 72bcB C R ==.……………………………………………………………………10分 18.解：（Ⅰ）由题可得：()()11112412211a n a a n a +-=+--，解得1 1 2a d ==，.∴()()*1121n a a n d n n N =+-=-∈.………………………………………………5分 （Ⅱ）∵2122n n n n a n b -==， ∴231135232122222n n n n n S ---=+++++…. ① ∴231111252321222222n n n n n n n S -+3---=+++++….② -①②得：23111111212222222n n n n S +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ (2232321)112111112123121132222222222n n n n n n n n n S ---+⎛⎫=++++-=++++++-=-⎪⎝⎭…….……12分19.解：（Ⅰ）15 0.5a b ==，；……………………4分 （Ⅱ）记1E 表示事件“甲校国学成绩等级为A “，则()1654P E =；2E 表示事件“甲校国学成绩等级为B ”，则()21554P E =；20.（Ⅰ）证明：取AC 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PC =， ∴PO AC ⊥， 又AB CB =， ∴AC POB ⊥平面，∴AC PB ⊥.………………………………5分（Ⅱ）平面PAC ABC ⊥平面且交于AC ，PO AC ⊥，∴PO ABC ⊥平面，则可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.又 2PA PC AC PC ===，，ABC △为正三角形，∴(()()0 0 0 0 1 0 0P B C -，，，，，，，()()0 3 3 1 0PB BC =-=-，，，，，.设() n x y z =，，为平面PBC 的法向量，则00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴00x =-=⎪⎩，∴z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取1y =-，则)1 1n =--，，为平面PBC 的一个法向量，又()0 0OB =，为平面PAC 的一个法向量，∴cos n OB <>==，则二面角A PC B -=.……………………………………12分 21.（Ⅰ）∵长轴长、短轴长、焦距成等差数列，∴()22222222 42 42b a c b a ac c a c a ac c =+=++-=++，，， ∴223520a c ac --=，两边同除以2a 得，25230c c +-=， 解得35c e a ==.………………………………5分 （Ⅱ）由已知得2b =，把直线22:2AF y x c=-代入椭圆方程22214x y a +=，得()222220a c x a cx +-=，∴()22222422c c a cx a c c +==++.∴()224 2c c C y c ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭，.由椭圆的对称性及平面几何知识可知，ABC △面积为：()()222241222222c c S x y x c c c ⎡⎤+⎢⎥=⋅+==+⎢⎥⎣⎦， ∴()222425029c c c c c ⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦，解得21c =， ∴25a =.故所求椭圆的方程为22154x y +=.……………………………………12分22.解：（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，， ()22'21a x x af x x x x -+=+-=， 设()22 18g x x x a a =-+∆=-，， （1）当18a ≥时，()0 0g x ∆≤≥，成立，故()'0f x ≥成立，()f x 在()0 +∞，上为增函数；（2）当108a <<时，0∆>，令()0g x =，得12 x x ==，显然220x x >>，当()10 x x ∈，时，()()0 '0g x f x >>，，()f x 为增函数， 当()12 x x x ∈，时，()()0 '0g x f x <<，，()f x 为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为增函数， 综上，当18a ≥时，()f x 在()0 +∞，上为增函数，当108a <<时，()f x 在0 ⎛ ⎝⎭， ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数，在⎝⎭上为减函数.…………………………5分 （Ⅱ）显然()10f =，由1x ≥可知：当0a ≥时，2ln 0 0a x x x ≥-≥，，故()0f x ≥成立；当0a <时，180a ∆=->.令()0g x =，得12 x x ，显然120 0x x <>，，当()20 x x ∈，时，()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数， 当()2 x x ∈+∞，时，()0g x >，()'0f x >，()f x 为减函数； 若10a -≤<，则21x ≤，当1x ≥时，()f x 为增函数，故()()10f x f ≥=成立；若1a <-，则21x >，由()f x 在()20 x ，上为减函数可知，当()21 x x ∈，时，()f x 为减函数，()()10f x f <=与题意不符，舍去.综上，a 的取值范围是[)1 -+∞，.。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末)若=﹣,则sin （α+）的值为( )A ．B ．﹣C ．D ．﹣2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =，则关于函数为()y g x =的性质，下列说法不正确的是(）A ．g （x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π，0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一)）下列函数中，同时满足两个条件“①R x ∈∀,0)12()12(=-++x f x f ππ；②当36ππ<<-x 时，0)('>x f ”的一个函数是（ ）A ．)62sin()(π+=x x f B ．)32cos()(π+=x x f C ．)62sin()(π-=x x f D ．)62cos()(π-=x x f4、（广州市2017届高三12月模拟）若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（A)8π （B ）4π （C)38π（D)34π5、（惠州市2017届高三第三次调研）函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ）(A ）34 （B ）1 （C ）32（D ）26、（江门市2017届高三12月调研）已知函数f (x )=2sinxcosx +cos2x ,则下列说法正确的是A ．f (x )的图象向右平移π4个单位长度后得到g (x )=√2sin (2x +π4)的图象B ．若f (x 1)=f(x 2)，则x 1−x 2=kπ，k ∈ZC ．f (x )的图象关于直线x =58π对称D ．f (x )的图象关于点(−38π，0)对称7、（茂名市2017届高三第一次综合测试）如图1，函数)2sin()(φ+=x A x f 2||,0(πφ<>A )的图象过点)3,0(，则)(x f 的图象的一个对称中心是( ）A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π8、（清远市清城区2017届高三上学期期末）函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象( )A ．关于点)0,6(π对称 B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称9、（汕头市2017届高三上学期期末）函数)0)(6sin(>+=ωπωx y 的图象与34-轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为34-的等差数列，若要得到函数34-的图象，只要将34-的图象（ ）个单位A ．向左平移6π B ．向左平移6π C 。

广东省13市2017届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择、填空题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点成F,过点F 且倾斜角为45°的直线l 与抛物线在第一、第四象限分别交于A 、B ，则等于( ）A ．3B ．7+43C ．3+2D ．22、（珠海市2017届高三上学期期末）已知双曲线221C 1164x y =：－,双曲线22222C 1(00)x y a b a b=>>：－，的左、右焦点分别为F 1,F 2，M 是双曲线C 2 一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，若△OMF 2的面积为 16,且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长为A ．4B ．8C ．16D ．323、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））已知双曲线)0(1:2222>>=-a b by a x C 的右焦点为F ，O 为坐标原点,若存在直线l 过点F 交双曲线C 的右支于B A ,两点，使0=⋅OB OA ，则双曲线离心率的取值范围是________ 4、（广州市2017届高三12月模拟）已知双曲线：C 12222=-bx a y （0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=， 则双曲线C 的离心率为(A) 25 （B) 5 （C ） 26 (D ） 65、(惠州市2017届高三第三次调研）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ,B 两点，|AB ｜为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为（ ） （A ）错误! （B)错误! （C)2 （D)36、(江门市2017届高三12月调研）过抛物线y 2=2px （p >0）焦点的直线 l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为(x −3)2+(y −2)2=16，则p = A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、（揭阳市2017届高三上学期期末）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33则分别以,a b 为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .8、(茂名市2017届高三第一次综合测试）过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点2(,0)F c 作圆222a y x =+的切线,切点为M ，延长2M F 交抛物线24y cx =-于点,P 其中O 为坐标原点，若21()2OM OF OP =+，则双曲线的离心率为( ）A ．7224- B ．7224+C ．231+D ．251+9、（清远市清城区2017届高三上学期期末)已知双曲线c:，以右焦点F 为圆心，｜OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O ），若|MN ｜=，则双曲线C 的离心率 是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．31+10、（汕头市2017届高三上学期期末）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ） A ．34-B ．43- C ．3 D ．2 11、(韶关市2017届高三1月调研)已知点A 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上一点，F 是右焦点，若AOF ∆(O 是坐标原点)是等边三角形,则该双曲线离心率e 为（A) 2 （B) 3 （C) 12 (D ） 13二、解答题1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知点A 、B 分别是左焦点为（﹣4，0）的椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，且椭圆C 过点P(，）．（1）求椭圆C 的方程;（2）已知F 是椭圆C 的右焦点，以AF 为直径的圆记为圆M ，过P 点能否引圆M 的切线?若能,求出这条切线与x 轴及圆M 的弦PF 所对的劣弧围成的图形面积；若不能,说明理由．2、（珠海市2017届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点,左焦点为F 1(－1，0)， 离心率e ＝22。

广 州 市 教究 院 广 州 市 教 育 研 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院2020届广州市高三年级调研测试参考答案理科数学一． 选择题二．填空题 13.524 14. 135 15.6 16. 610三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（1）解法1：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以，0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得343418,80.a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得348,10.a a =⎧⎨=⎩所以234=-=a a d .所以()2233+=-+=n d n a a n . 解法2：设{}n a 的公差为d ，因为{}n a 为单调递增的等差数列，所以0>d .由253418,80,a a a a +=⎧⎨⋅=⎩得()()1112518,2380,a d a d a d +=⎧⎪⎨+⋅+=⎪⎩解得14,2.a d =⎧⎨=⎩所以()2211+=-+=n d n a a n .（2）由（1）得122422++==n n a n，当2≥n 时由42222233221-=++++n a n n b b b b ，………………………① 得42222211133221-=++++---n a n n b b b b ，……………………② ①-②得2,434421≥⨯=-=+n b n n n n n ， 所以 2,23≥⨯=n b n n .当1=n 时，6221622211=-=-=a b 符合上式.所以n n b 23⨯=.所以()21216--=nn S 6231-⨯=+n . 广州调研广 州教 育 研 究 院 广州市 教育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院18．（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC .又因为⊂BD 平面ABCD ，平面⊥AEFC 平面ABCD .平面AEFC 平面=ABCD AC ，所以⊥BD 平面AEFC . 因为⊂BD 平面BDE ，所以平面⊥BED 平面AEFC .（2）设 AC BD = O ，连接OF ，可知平面四边形 AEFC 为直角梯形，EA ⊥AC ，又因为AE ⊂平面 AEFC ，平面AEFC 平面 ABCD = AC ， 平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥平面 ABCD ． 因为EF //AC ，1=2AC AO EF =，所以AE //OF ，所以OF ⊥平面 ABCD ． 解法1：以OB ，OC ，OF 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示空间坐标系． 则)B，()010C ，，， ()D ，()0,1,0A -，()0,1,2E -，()0,0,2F ，设平面 BCF 的法向量()1111,,z y x n =，因为()0,1,3-=，()2,0,3-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即1111020y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令12x =，解得()3,32,21=n .设平面的CDF 法向量()2222,,z y x n =，因为()2,1,0-=，()0,1,3--=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，即2222200y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 令22x =，解得()3,32,21--=n . 因为1911-==， 结合图像可知二面角B FC D --的余弦值为1119-.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 教 育 研 究院州 教 研 究 院解法2：因为ABCD FO 面⊥且ABCD BD 面⊂，所以BD FO ⊥.因为O 为BD 中点，所以FD BF =. 又CD BC =，FC FC =， 所以DFC BFC ∆≅∆.过B 作FC BG ⊥交FC 于G 点，连结GD ，则FC DG ⊥， 所以BGD ∠为二面角D FC B --的平面角. 在Rt FBO ∆中，3232=⨯=BO ，2=FO ， 所以()73222=+=BF ，322==BO BD ，同理5=CF ，在Rt FBC ∆中，7=BF ，2=BO ，5=CF .由三角形面积公式得519=BG ，则519=DG .在BGD ∆中，1911519212519519cos -=⨯-+=∠BGD . 所以二面角B FC D --的余弦值为1119-. 19. 解：（1）因为Y X =且](600,300,∈Y X ，所以()()Y g X g =，当](400300,X ∈时，()()()()03003210041800>-=+-+=-X X X X g X f . 当](600400,X ∈时，()()()()03004210041800<-=+-+=-X X X g X f .故当](400300,X ∈时，()()X g X f >， 当](600400,X ∈时，()()X g X f <．（2）（ⅰ）送餐量x 的分布列为：则()16151201511851175216511415113=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x E .送餐量y 的分布列为：广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州市 育研 究 院 广 州 市 育 研 究院 州 市 教 育 研 究院则()14301186116101155214611315211=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y E .（ⅱ）()()](60030048030,x E X E ∈==，()()()+∞∈==,y E Y E 40042030.A 公司外卖配送员，估计月薪平均为()372041800=+X E 元.B 公司外卖配送员，估计月薪平均为()378042100=+Y E 元.因为3780元3720>元，所以小王应选择做B 公司外卖配送员．20．解：（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，所以所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）解法1：因为过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不在x 轴上），所以设:1l x ty =+，由()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为OE OA OB =+，∴AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=1232y y =-==1=m ，得218181313==++m S m m m， 由函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 92=S ． 解法2：因为OE OA OB =+，所以AOBE 为平行四边形，所以3AGBE AOBE OGB AOB S S S S ∆∆=+=．当直线AB 的斜率不存在时，93=2AGBE AOB S S ∆=. 当直线AB 的斜率存在时，设为()1y k x =-，广州调研广 州 市育 研 究 院 广 州 市 教 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院由()()22222143690143y k x k y ky k x y =-⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩. 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1222122643943k y y k k y y k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 所以3AGBE AOBS S ∆=1232y y =-==， 令2433k m +=>，得92S =<， 综上可知，max 92=S ．21．（1）解：由x k x x )x (f ln +-=2知函数的定义域为)(+∞,0.则xkx x x k x )x (f +-=+-='2212.令0=')x (f 得022=+-k x x . 其k 81-=∆.①当081≤-=∆k 即81≥k 时，0≥')x (f 在)(+∞,0上恒成立， 所以)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数. ②当081>-=∆k 即81<k 时，(1)式的两根为48111k x --=，48112k x -+= 若810<<k ，则210x x <<，当)(10x ,x ∈，),(+∞2x 时有0>')x (f ，当)(21x ,x x ∈时有0<')x (f ，从而知函数)x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减.若0≤k ，则210x x <≤，当)(20x ,x ∈时有0<')x (f ，)(x x 2+∞∈,时0>')x (f ，从而知函数)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.综上，当81≥k 时，)(x f 在)(+∞,0上为单调递增函数；当810<<k 时， )x (f 在)(10x ,和),(+∞2x 单调递增，在)(21x ,x 单调递减; 当0≤k 时，)x (f 的在)(20x ,单调递减，在),(+∞2x 单调递增.广州调研广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院（2）证明：设()22g x x x k =-+，由题意和（1）得810<<k . 则极值点12,x x 为方程()0g x =的两根，且12104x x <<<， 所以1212x x +=，1212x x k =. 且()y f x =在1(0,)x 上单增，在12(,)x x 上单减，在2(,)x +∞上单增， 所以1212()()()()f x f x f x f x -=-22111222(ln )(ln )x x k x x x k x =-+--+ 11221()ln 2x x x k x =--+……………………………① 11211(2)ln 22x x k x =--+1112212ln 4x x x x x =-+. 要证11121221112ln 24444x x x x k x x x -+<-=-， 即证1122221ln222x x x x x x +<-=-， 即证1122ln1x x x x <- . 构造()ln (1)h x x x =-- （(01)x <<2'11()1x h x x x-=-=，(0,1)x ∈时， '()0h x >， 所以()y h x =在(0,1)上单增，()(1)0h x h ∴<=. 即1ln -<x x 成立. 综上可知，原不等式成立.广州调研广 州 市 教 育研 院 广 州 市 教 育 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 院广市 教 育 研 究院州 市 育 研 究 院【说明】化简到①后的其他变形思路：思路1：由()0g x =，解得1x =，2x =. 则212x x -=，12144x k x k -=. 先证明1ln -<x x .则由①得12()()f x f x -<11221()12x x x k x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭124k =-. 思路2：令12x t x =，结合1212x x +=，1212x x k =，其中01t <<. 可得()121t x t =+，()2121x t =+，()221t k t =+.则由①得，需证明12()()f x f x -<112211()ln 224x x x k k x --+<-. 整理得，需证明ln 1t t <-（01t <<）.22．（1）解：因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=m m y m m x 11，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=++=+=21)1(21)1(22222222m m m m y m m m m x ，所以422=-y x .所以曲线C 的直角坐标方程为422=-y x .把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入直线的极坐标方程03cos sin 3=--θρθρ， 得直线的直角坐标方程为033=--x y ．所以直线的直角坐标方程为033=+-y x .（2）解法1：由220,4,x x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得13,22A ⎛⎪⎝⎭，13,22B ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为点(0,1)P ，所以1PA =，1PB =. 所以115PA PB +==. 广州调研广州 市 教 育研 院 广 州 市 教 研 究 院 广 州 市 教 育 研 究 广 州 市 教 育 研 究院 州 市 教 育 研 究 院解法2：因为点(0,1)P 在直线l 上，则直线l 的参数方程为11+2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将211+2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y t 代入422=-y x ， 得22100--=t t ，044)10(14)2(2>=-⨯⨯--=∆， 所以122+=t t ，12100⋅=-<t t ．因为1=PA t ，2=PB t ，所以1212121111-+=+====t t PA PB t t t t 所以11+=PA PB ．23．解：（1） 当2a =时，()22(2)f x x x =--，由22(2)0x x --<，解得2x <；所以不等式()0f x <的解集为(),2-∞．（2）因为(2)0=f ，所以由(),x a ∈-∞时，()0f x <，得2a ≤．当2a ≤，(,)x a ∈-∞时，()(2)2()=--+--f x x a x x x a()(2)(2)()=--+--a x x x x a2()(2)0=---<a x x ，所以a 的取值范围是(],2-∞．广州调研。

广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试理科数学试题（含答案解析）1 已知集合，则集合A∩B=（）A.{2,3}B.{－1,1}C.{1,2,3}D.【答案解析】 A【分析】解一元二次不等式求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得【详解】由，解得，所以..，所以.故选：A2 己知，其中i为虚数单位，则（）A. －1B. 1C. 3D. －3【答案解析】 D【分析】整理等式为,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得【详解】由题,,所以,则,故选：D3 已知向量,满足，,且与的夹角为60°，则（）A. 1B. 3C.D.【答案解析】 A【分析】对作平方处理,整理后即可求得【详解】由题,,解得,故选：A4 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，，则（）A. 42B. 21C. 7D. 3【答案解析】 B【分析】利用等差数列的性质求出的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得，.故选：B.5 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%【答案解析】 B【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,故选：B6 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案解析】 D【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由时,的趋向性判断选项即可【详解】由题,的定义域为,因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；又因为,则当时,,,所以,故选：D7 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当时，，那么的值为（）A. B.－3 C. 3 D.【答案解析】 D【分析】利用奇函数的性质可得,代入解析式求解即可【详解】由题,,因为是定义在上的奇函数,所以,故选：D8 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）A B. C. D.【答案解析】 A【分析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则,故选：A9 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案解析】 C【分析】由条件利用的图象变换规律求得平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：将函数图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，令，得，，，则的最小值为，故选：C.10 设是给定的平面，A、B是不在内的任意两点．有下列四个命题：①在内存在直线与直线AB异面；②在内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与垂直；④存在过直线AB的平面与平行．其中，一定正确的是（）A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④【答案解析】 B【分析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项【详解】由题,对于②,当直线平面时,②不成立；对于④,当直线平面时,④不成立；对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,故选：B11 已知圆O的半径是，点P是圆O内部一点（不包括边界），点A是圆O圆周上一点，且，则的最小值为（）A. B. 12 C. D. 13【答案解析】 C【分析】由可得,则当时, ,再根据,则将代入求解即可【详解】由题,因为,所以,则当,即时,,因为,所以当取得最小值时,,故选：C12 已知球O是正四面体的外接球，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A. B. C. D.【答案解析】 A【分析】由题可得,当截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为,先求得正四面体的外接球半径为,再求得,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,设截面半径为,球的半径为,则,因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则,在中,,即,则,在中,,即,则, 解得,则,在中,,因为点在线段上,,设中点为,则,所以,在中,,即,所以,因为,所以,所以截面面积为,故选：A13 “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为_______．【答案解析】 8【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出,从而到结论【详解】当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,不是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,；当时,是偶数,则,故答案为：814 已知，则___________【答案解析】【分析】利用转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：，故答案为：.15 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．【答案解析】 64【分析】先根据的系数为13求得,再令即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,的系数为,则,所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,故答案为：6416 已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_____．【答案解析】【分析】先分别求得与的分段函数形式,再讨论与的情况,根据函数单调性求解即可【详解】由题,欲解,即,,,当时,单调递增,,在单调递减,在上单调递减,则,所以满足,当时,单调递减,在上递减,在上递增,则另,即,解得,所以当时,,综上,,故答案为：17 已知数列{an}中，且（1）求证：数列为等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn．【答案解析】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据递推公式可得,即可证明；（2）由（1）,进而利用分组法求得数列的和即可【详解】（1）证明：∵,∴,∴,,∴为等比数列,首项为,公比为3（2）解：由（1）得,,∴,18 如图，在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．（1）求角A的大小；（2）若，边上的中线的长为7，求△ABC的面积．【答案解析】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得,则,进而求得角即可；（2）由（1）可得,则,设,则,在中,根据余弦定理得,可得,进而求得的面积即可【详解】（1）因为,根据正弦定理,得,即,所以,整理得,因为,所以,又因为,则（2）由（1）知,又因为,所以,所以,因为是中点,设,则,在中,根据余弦定理,得,即即,解得,故的面积19 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知四边形ABCD是边长为的正方形，点S在底面ABCD 上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱上，且的面积为1．（1）若点P是的中点，求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．【答案解析】（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可【详解】（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,∵四边形是边长为的正方形,∴,∵三角形的面积为1,∴,即,∴,∵,点是的中点,∴,同理可得,又因为,平面,∴平面,∵平面,∴平面平面（2）存在,如图,连接,易得两两互相垂直,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,假设存在点使得二面角余弦值为,不妨设,∵点在棱上,∴,又,∴,∴,,,设平面的法向量为,则,∴,令,可得,∴平面一个法向量为,又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,∴,即,解得或（舍）所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点20 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：（小时）频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望；（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．参考公式：，其中0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.024【答案解析】（1）列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；（2）（i）分布列见解析，；（ii）【分析】（1）先根据频数分布表填写列联表,再将数据代入公式求解即可；（2）（i）的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；（ii）先求得,则,进而求得概率即可【详解】（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时,则列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则所以的分布列为：5811151930∴（ii）由题意得,所以,所以21 已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求f(x)的单调性；（2）若，对于任意，是否存在与a有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．【答案解析】（1）当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增；（2）存在与有关的正常数【分析】（1）求导可得,分别讨论,,时的情况,进而判断单调性即可；（2）存在与有关的正常数使得,即,则,设,满足即可,利用导数可得,再设,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】（1）,①当时,恒成立,所以在上单调递增；②当时,,,所以在上的单调递增；③当时,令,得,当时,,单调递减；当时,,单调递增；综上所述：当时,在上的单调递增；当时,在上单调递减,在上单调递增（2）存在,当时,,设存在与有关的正常数使得,即,需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,∵,∴在上单调递减,在上单调递增,∴,只需证明在内成立即可,令,,∴在单调递增,∴,所以,故存在与有关的正常数使成立22 在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）写出圆C的参数方程和直线的直角坐标方程；（2）设点P在C上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．【答案解析】（1）圆C的参数方程：，直线：；（2），此时点的坐标为【分析】（1）整理圆的方程为,即可写出参数方程,利用将直线方程写为直角坐标方程即可；（2）法一：利用参数方程设曲线上的点,利用点到直线距离公式可得,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回求得坐标；法二：为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得所在直线为,联立直线与圆的方程即可求得交点的坐标【详解】（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,∴圆的参数方程为（为参数）,直线的极坐标方程可化为,∵,∴直线的直角坐标方程为（2）法一：设曲线上的点,点到直线：的距离：,当时,,此时点坐标为,所以,此时点的坐标为法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,圆心到直线的距离,所以,此时直线经过圆心,且与直线垂直,,所以,所在直线方程为,即, 联立直线和圆的方程,解得或, 当取得最小值时,点的坐标为,所以,此时点的坐标为23 已知函数．（1）解不等式；（2）记函数f(x)的最大值为s，若，证明：．【答案解析】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】（1）由题,,①当时,恒成立,所以；②当时,即,所以；③当时,显然不成立,所以不合题意：综上所述,不等式的解集为（2）由（1）知,于是,由基本不等式可得,当且仅当时取等,所以。

东莞市2016—2017 学年度第一学期教学质量检查高三数学(理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1.已知集合 A ＝｛x ｜ x 2 －x －2＞0}，B ＝{x |1≤x ≤3｝，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．[1,2) B. (1，3] C. ［1，2］ D. （2,3]2.若复数z 满足z （1+i ) ＝－2i （i 为虚数单位)，z 是z的共轭复数，则z ·z ＝（ ）A ．14 B ．12 C ．2 D ．13。

已知函数()3sin()3f x x πω=+的最小正周期为π，将函数()f x 的图象向右平移6π个所得图象对应的函数为()y g x =,则关于函数为()y g x =的性质,下列说法不正确的是（ ）A ．g (x )为奇函数B ．关于直线2x π=对称C.关于点(π,0)对称 D ．在(,)64ππ-上递增 4.设D 为△ABC 所在平面内一点,且3BC CD =，则5.下方茎叶图为高三某班50名学生的数学考试成绩，算法框图中输入的ia 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ )A.m ＝38，n ＝12m B 。

＝26,n ＝12 C. m ＝12，n ＝12 D.m ＝24,n ＝106. 《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等,问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中,乙所得为（）A．43钱B．54钱C．65钱D．76钱7.已知函数，则函数y＝f （1－x) 的大致图象是( )8. 在投篮测试中,每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0。

6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学能通过测试的概率为A. 0.352B. 0.432C. 0.36 D。