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第一章证明（二）单元总览1.1你能证明它们吗（1）目标导航1.了解作为证明基础的几条公理的内容；掌握证明的基本步骤和书写格式.2.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质（等边对等角，三线合一）.基础过关1.边边边公理的内容是.2.边角边公理的内容是.3.角边角公理的内容是.4.全等三角形的相等，相等.5.角角边推论的内容是.6.三角形ABC中，如果AB=AC，则.7.等腰三角形的、、互相重合.8.等边三角形的各边都，各角都是.能力提升9.下列说法中，正确的是（）A.两边及一角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边对应相等的两个三角形全等10.若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是（ ）A. α＜45°B. α＜90°C.0°＜α＜90°D.90°＜α＜180°11.△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ， 若 ∠E =51°，则∠B 等于（ ）A.68°B.52°C.51°D.78° 12.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90－2 nC.2n D.90°－n °13.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.14.等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________. 15.如图，∆ABC 中，AB=AC, ∠BAD=︒30 ,AE=AD,则∠EDC= .EDCBA15题图 16题图16.如图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.17.已知：如图∆ABD 、∆ACE 都是等边三角形，求证：BE=DC.EDCBA18.如图，在∆ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD,求∠ADB 的度数.DCBA聚沙成塔已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF.当D 点在什么位置时，DE=DF ？并加以证明.1.1你能证明它们吗（2）目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义. 基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）BAC BAC B AC B AP EDCBA(1) (2) （3） （4） 7题图 能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？60︒CBA13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.F EDCBA14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.FEPC A D聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。
§1.1.3你能证明他们吗？导学案学习目标：学会等边三角形判定定理的证明；掌握直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系。
学习重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的性质定理。
学习难点：能够用综合法证明等边三角形的判定定理。
学习过程：一、前置准备：1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。
2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。
二、自主学习：1、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论。
定理：有一个角是的三角形是等边三角形。
三、合作交流：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明。
定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。
四、例题解析：等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高。
六、当堂训练：1、判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。
（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。
（）2、证明三个角都相等的三角形是等边三角形。
课下训练：1、等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是 。
2、如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=900, ∠A =300,CD ⊥AB,BD=1,则AB= 。
3、在△ABC 中，AB=AC,∠BAC=1200,D 是BC 的中点，DE ⊥AC,则AE:EC= 。
4、如图2，在Rt △ABC 中，∠C=900,沿B 点的一条直线BE 折叠△ABC ，使点C 恰好落在AB 的中点D 处，则∠A= .5、在Rt △ABC0,AD⊥BC,你能看出BD 与BC中考真题：已知：如图，△ABC 中，BC ⊥AC,DE ⊥AC ，点D 是AB 的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB 的长。
北师大版初中数学教材目录北师版初中数学教材总目录七年级上学期第一章丰富的图形世界1.1生活中的立体图形1.2展开与折叠1.3截一个几何体1.4从不同方向看1.5生活中的平面图形第二章有理数及其运算2.1数怎么不够用了2.2数轴2.3绝对值2.4有理数的加法2.5有理数的减法2.6有理数的加减混合运算2.7水位的变化2.8有理数的乘法2.9有理数的除法2.10有理数的乘方2.11有理数的混合运算2.12计算器的使用第三章字母表示数3.1字母能表示什么3.2代数式3.3代数式求值3.4合并同类项3.5去括号3.6探索规律第四章平面图形及其位置关系4.1线段、射线、直线4.2比较线段的长短4.3角的度量与表示4.4角的比较4.5平行4.6垂直4.7有趣的七巧板第五章一元一次方程5.1你今年几岁了5.2解方程5.3日历中的方程5.4我变胖了5.5打折销售5.6“希望工程”义演5.7能追上小明吗5.8教育储蓄第六章生活中的数据6.1 认识100万6.2科学记数法6.3扇形统计图6.4你有信心吗6.5统计图的选择第七章可能性7.1一定摸到红球吗7.2转盘游戏7.3谁转出的“四位数”大课题学习★制作一个尽可能大的无盖长方体七年级下学期第一章整式的运算1.1整式1.2整式的加减1.3同底数幂的乘法1.4幂的乘方与积的乘方1.5同底数幂的除法1.6整式的乘法1.7平方差公式1.8完全平方公式1.9整式的除法第二章平行线与相交线2.1余角与补角2.2探索直线平行的条件2.3平行线的特征2.4用尺规做线段和角第三章生活中的数据3.1认识百万分之一3.2近似数和有效数3.3世界新生儿图第四章概率4.1游戏公平吗4.2摸到红球的概率4.3停留在黑砖的概率课题学习★制作“人口图”第五章三角形5.1认识三角形5.2图形的全等5.3全等三角形5.4探索全等三角形条件5.5作三角形5.6利用三角形全等测量距离5.7探索直角三角形全等的条件第六章变量之间的关系6.1小车下滑的时间6.2变化中的三角形6.3温度的变化6.4速度的变化第七章生活中的轴对称7.1轴对称现象7.2简单的轴对称图形7.3探索轴对称的性质7.4利用轴对称设计图案7.5镜子改变了什么7.6镶边与剪纸八年级上学期第一章勾股定理1.1探索勾股定理1.2能得到直角三角形吗1.3蚂蚁怎样走最近第二章实数2.1数怎么又不够用了2.2平方根2.3立方根2.4公园有多宽2.5用计算器开方2.6实数第三章图形的平移与旋转3.1生活中的平移3.2简单的平移作图3.3生活中的旋转3.4简单的旋转作图3. 5它是怎样变过来的3.6简单的图案设计第四章四边形性质探索4.1平行四边形的性质4.2平行四边形的判别4.3菱形4.4矩形、正方形4.5梯形4.6探索多边形的内角与外角和4.7中心对称图形课题学习★制作平面图性的镶嵌第五章位置的确定5.1确定位置5.2平面直角坐标系5.3变化的鱼第六章一次函数6.1函数6.2一次函数6.3一次函数的图象6.4确定一次函数表达式6.5一次函数图象的应用第七章二元一次方程组7.1谁的包裹多7.2解二元一次方程组7.3鸡图同笼7.4增收节支7.5里程碑上的数7.6二元一次方程与一次函数第八章数据的代表8.1平均数8.2中位数与众数8.3利用计算器求平均数八年级下学期第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.1不等关系1.2不等式的基本性质1.3不等式的解集1.4一元一次不等式1.5一元一次不等式与一次函数1.6一元一次不等式组第二章分解因式2.1分解因式2.2提公因式法2.3运用公式法第三章分式3.1分式3.2分式的乘除法3.3分式的加减3.4分式方程第四章相似图形4.1线段的比4.2黄金分割4.3形状相同的图形4.4相似多边形4.5相似三角形4.6探索三角形相似的条件4.7测量旗杆的高度4.8相似多边形的性质4.9图形的放大与缩小课题学习★制作视力表第五章数据的收集与处理5.1每天干家务活的时间5.2数据的收集5.3频数与频率5.4数据的波动课题学习★吸烟的危害第六章证明（一）6.1你能肯定吗6.2定义与命题6.3为什么它们平行6.4三角形内角和定理的证明6.6关注三角形的外角九年级上学期第一章证明（二）1.1你能证明它们吗1.2直角三角形1.3线段的垂直平分线1.4角平分线第二章一元二次方程2.1花边有多宽2.2配方法2.3公式法2.4分解因式法2.5为什么是0.168第三章证明（三）3.1平行四边形3.2特殊平行四边形第四章视图与投影4.1视图4.2太阳光与影子4.3灯光与影子第五章反比例函数5.1反比例函数5.2反比例函数的图象与性质5.3反比例函数的应用课题学习★猜想、证明与拓广第六章频率与概率6.1频率与概率6.2投针试验6.3生日相同的概率6.4池塘有多少条鱼九年级下学期第一章直角三角形的边角关系1.1从梯子的倾斜程度谈起1.230o,45o,60o角的三角函数值1.3三角函数的有关计算1.4船有触角的危险吗1.5测量物体的高度第二章二次函数2.1二次函数所描述的关系2.2结识抛物线2.3刹车距离与二次函数2.4二次函数y=ax2+bx+c的图象2.5用三种方式表示二次函数2.6何时获得最大利润2.7最大面积是多少2.8二次函数与一元二次方程课题学习★拱桥设计第三章圆3.1车轮为什么做成圆型3.2圆的对称性3.3圆周角和圆心角的关系3.4确定圆的条件3.5直线和圆的位置关系3.6圆和圆的位置关系3.7弧长及扇形的面积3. 8圆锥的侧面积课题学习★设计遮阳篷第四章统计与概率4.1 50年的变化4.2哪种方式更合算4.3游戏公平吗。
你能证明它们吗教学目标：知识与技能目标：1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．过程与方法目标：1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．情感态度与价值观目标：1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．重点、难点、关键：1．重点：掌握两个几何定理，以及推理证明的逻辑思想。
2．难点：渗透分类讨论的数学思想，以及辅助残的应用。
3．关键：充分运用综合分析法分析证明的思路．注意辅助线的添加、辅助图形的构造。
增强数学的分类意识。
教学过程：一、提出问题：（1）怎样判别一个三角形是等使三角形？（2）一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？（3）你认为有一个角等于的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？二、做一做用两块含角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
三、提出问题：通过上述的拼摆，你联想到什么？在直角三角形中，角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
课堂小结：本节课是在学习了全等三角形判定、等腰三角形性质、判定以及推论的基础上进行拓展，通过新旧知识的迁移以及拼摆实验，直观地探索出定理：有一个角等于的等腰三角形是等边三角形．以及定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
这两个定理在简化几何步骤，以及计算或证明中起着积极的作用．作业：课本习题1．3 1、2、3第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
你能证明它们吗一、内容与与分析本节课要紧学习等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，指的是利用前面学习的等腰三角形的相关定理性质来证明等边三角形，然后通过等边三角形性质推导出含30°角的直角三角形的性质定理，核心是30°角的直角三角形的性质定理证明，明白得他关键确实是要熟练应用等腰三角形的相关性质定理。
和在前两节课，学生已经经历了独立探讨发觉定理的进程，并能大体标准地证明相关命题，这些都为本节课进一步探讨发觉相关定理提供了较好的知识基础和活动体会基础。
二、目标与分析教学目标：明白得等边三角形的判别条件及其证明，明白得含有30º角的直角三角形性质及其证明，并会利用这两个定明白得决一些简单的问题。
目标分析：明白得等边三角形的判别条件及其证明确实是指通过引导能够利用前面的知识证明出等边三角形，而且在探讨等边三角形性质的同时发觉含有30º角的直角三角形性质并加以证明。
三、问题诊断分析学生可能在学习含有30º角的直角三角形性质及其证明时有困难，产生这一困难的缘故是部份学生缺乏探讨发觉能力不能在探讨等边三角形性质时发觉这一结论，从而无法联想到利用等腰三角形知识去证明，要解决这一问题，教师要利用好模型并加以引导。
四、教学进程分析教师回忆前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？你以为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?师生活动：在教师的引导下，一样学生都能得出等边三角形的性质；关于等边三角形的判别，学生可能会显现多种情形，如直接从等边三角形性质动身，固然也可能有学生考虑分步进行，现确信它是等腰三角形，再增补条件，确信它是等边三角形。
这是教师能够适时提出问题：若是已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确信它是等边三角形呢？顶角是60°的等腰三角形是等边三角形； 底角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形。
第3课时
§1.1.3 你能证明它们吗
教学目标
1、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理
2、借助等腰三角形的判定定理解决实际问题
3、结合实例体会反证法的含义
教学重点和难点
重点：等腰三角形的判定定理
难点：体会反证法的含义
教学方法观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法
教学手段多媒体课件
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。
但我们可曾想过，怎样的一个三角形才是等腰三角形？我们这节课就来研究这个问题。
我们还研究数学证明的另一种方法——反证法。
二、师生共同研究形成概念
1、议一议
☆议一议书本P 7 议一议
这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假。
这也是获得数学结论的一条途径。
2、等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形。
等角对等边
∵ ∠A =∠B ，
∴ AB = AC
要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定。
只要发现一个三角形有两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。
3、 讲解例题
例1 如图，∠A =∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于E 。
求证：CE = CB 。
分析：此例题是等角对等边的具体应用， 比较简单，要引导学生写出解题步骤。
例2
如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。
例3 如图，ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE 。
求证：ABC ∆是等腰三
角形。
分析：此例题是等角对等边的具体应用，引导学生写出解题步骤。
E A B C
D E
A B C D D C B A E
4、反证法
《李子不好吃》
古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。
小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，若李子好吃，早就没了！但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。
”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。
王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。
☆想一想书本P 7 想一想
从直观上看，学生不难得出结论，但这里要求学生不仅能借助直观得出结论，而且还要证明它，也就是要让学生体会证明的必要性。
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。
反证法步骤：
1）假设：假设命题的结论不成立
2）归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果
3）结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
5、讲解例题
D C
B A E 例4 一个三角形中不能有两个直角。
分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角”成立，然后从这个假定出发推下去，找出矛盾。
证明：假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，即∠A =∠B = 90°，
则∠A +∠B + ∠C = 90°+ 90°+∠C = 180°+ ∠C > 180°。
这与三角形内角和定理矛盾，∠A =∠B = 90°不成立
所以一个三角形中不能有两个角是直角
例5 把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。
1） 我每天工作不超过24小时；
2） 我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；
3） 初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；
4） 三角形中必有一个内角不少于60度；
5） 一个三角形中不能有两个角是钝角；
6） 垂直于同一条直线的两条直线平行。
分析：通过练习让学生进一步熟悉反证法的第一步骤。
三、 随堂练习
1、 《练习册》 P 3
四、 小结
反证法是数学证明方法的一种，虽然比较难理解，但我们都要想方
设法弄懂它。
五、 作业
中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。
求证：△EBD是等腰三如图，在ABC
角形。
六、教学后记。
