九上 1.2你能证明它们吗(2)

九年级数学第一章第一节你能证明它们吗第二课时教学目标：1.进一步了解作为证明基础的几条公理的内容，了解反证法的推理方法2.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理.3.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.教学重点、难点：重点：等腰三角形的判定定理的证明.难点：运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明.教法与学法指导：九年级学生已经在八年级有了证明的基础，且在第一节课里已规范证明的基本步骤和书写格式.为加强学生良好的思考习惯及书写习惯，本节课将发挥学生的自主学习意识，引导学生积极探索，利用小组合作学习，鼓励同学间互相交流、互相补充．“用综合法证明等腰三角形的判定定理”是本节课的重点，本课将引导学生采用类比的方法，分析其辅助线的作法并进行证明．课前准备：多媒体课件教学过程：一、问题导学、自主探究等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线具有怎样的性质？那么，等腰三角形两底角的平分线、两腰上的中线和两腰上的高线又分别具有怎样的性质呢？你能证明你的结论吗？（提出与底边、顶角有关的问题，进而，拓展到与腰、底角有关的问题上，让学生大胆猜想，激发学生探究的欲望.）A此题还有其它的证法吗？A CB （引导学生类比常见的证明格式，明确文字命题证明的一般步骤：①根据题意，画出图形 ；②结合图形，分清条件和结论，写出已知、求证；③写出证明过程.在证明之前，让学生养成良好的分析问题的习惯，引导学生一题多解.学生板书证明过程，教师与学生共同规范书写格式.）你能证明等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？（让学生类比例题的解题思路进一步巩固文字命题证明的一般步骤，学生板演，进一步（通过议一议的问题引导学生体会“变”中“不变”的证明思路以及“特殊---一般”的研究方法.）二、合作探究、展示交流前面，我们已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？你能证明你的结论吗？ 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形已知：在ΔABC 中，∠B =∠C ，求证：AB =AC .（引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，规范的写出推理过程，鼓励学生一题多解.）想一想：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么，这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？（停留半分钟时间，让学生明确用综合法证明本结论是行不通的，从而，产生要探究一种新方法的欲望，结合课本小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中出人意料的作用.）学一学：阅读课本第8页小明的想法，你认为反证法分为哪几步？（理解课本第8页反证法的概念，明确反证法的三步骤.）例 a 1， a 2， a 3，a 4，a 5都是实数且a 1 + a 2 + a 3 +a 4 +a 5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于15. 证明：假设这五个数中没有一个大于或等于15，即都小于15，那么与相矛盾，因此，这五个数中至少有一个大于或等于1 5 .（例题以填空题的形式让学生解答，一是可以让学生熟悉反证法的步骤，二是可以规范学生的书写，减轻学生理解上的压力.）三、训练反馈、应用提升1.课本第10页第4题2.课本第9页第1题、第10页第5题3.课本第9页第2题（本组练习将穿插在探究内容之后，分别训练学生对综合法证明过程的理解，“特殊——一般”的归纳思想，“等角对等边”定理以及反证法的应用.在学生书写或口答的过程中，教师应加强学生书写和语言的规范性.）四、课堂小结：通过这节课的学习你学到了什么知识？了解了什么证明方法？（学生小结：掌握证明的基本步骤和书写格式．经历“探索－发现－猜想－证明”的过程．能够用综合法证明等腰三角形的两条腰上的中线（高）、两底角的平分线相等，并由特殊结论归纳出一般结论．等腰三角形的判定定理．了解反证法的推理方法．）五、布置作业：1、基础作业：课堂上出现错误的题目（至少两题）2、拓展作业：自选综合性强的题目（作业采取自选题的形式，一是可以尊重学生的主体性，二是便于教师获取学生课堂上出现的易错点和难点的反馈信息，利于教师确立下节课的目标.）六、板书设计：教学反思：本节课设计的内容较多，应以等腰三角形的性质及判定的应用为主，反证法作为了解内容，大约使用5分钟时间. 由于本章要求发展学生初步的演绎推理能力，因此，本节课充分发挥学生的小组合作意识，加强规范学生的思考过程及书写习惯，提高学生解决问题的能力．。

你能证明它们吗？教学目标：认知目标：1、能说出等腰三角形的性质定理入其推论并熟练地行计算或证明。

2、能通过性质定理的证明得出该定理的推论。

3、学生在交流探索中发现证明方法的多样性，提高逻辑思维水平。

4、培养学生分类讨论的思想和添加辅助线解决问题的能力。

智能目标：掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够用数学符号语言正确表达，使学生经历“直观探索”和“抽象证明”相联系，体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生初步的演绎推理能力。

情感目标：在推论的形成过程中，激励学生自己由一个数学问题引出另外问题的独立思考、勇于创新的精神，并通过“三线合一”性质的运用提高学习几何的兴趣。

教材分析：《你能证明它们吗?》选自九年制义务教育全日制初级中学教科书《数学》（北师大版）九年级上册第一章的第一节。

本章是对八年级下册的第六章《证明（一）》的延续。

教科书中首先给出了四条公理，这四条公理与《证明（一）》中给出的两个定理一起作为这一章对命题继续进行逻辑证明的基础。

本节首先让学生了解了作为证明基础的几条公理的内容，然后在学生已有的等腰三角形性质的探索经验的基础上，进一步体会证明的必要性，掌握证明的基本步骤和书写格式，将抽象的证明与直观的探索联系起来，能够综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

教学时，应让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要的发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，发现证明的思路。

设计理念：经历“探索――发现――猜想――证明”的过程，证明三角形的有关性质。

本节课教学时着重让学生自己动手参与并经历知识的形成与应用过程。

应放心大胆地让学生自己动手操作并验证自己的猜想，在整个教学过程中教师的角色不是一个表演者，而是学生学习的协助者，是学生知识形成的引导者，是形成良好学习习惯的引路人。

学情分析：我校是市重点初中，同时又是市教科室指定的教学实验基地之一，各种教学设施一应俱全，环境幽美，是莘莘学子求学的好去处。

九上：第1章《证明（二）》知识回顾§1.1 你能证明它们吗第1课时一、一般三角形全等的判定定理（或推论）和性质定理： ①三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS ） ②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

（SAS ） ③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

（ASA ） ④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS ） ⑤全等三角形的对应边相等、对应角相等。

1、三角形性质的应用特别说明：三角形全等的性质的应用相当广泛，无论证平行、证垂直，或证线段、角相等，都可以用得上。

而要证三角形全等，应当善于把间接条件转化为可直接判定三角形全等的条件，即灵活运用三角形全等的判定定理。

2、三角形全等判定的特别提醒：①判定全等的三个条件中，必须至少有一个条件是“S ”，否则不能判定全等。

②没有SSA 这种判定方法！！ 3、证三角形全等的应用策略：首先要认真阅读已知条件，找寻已知的“S ”、“A ”，并在图上做出相应的标识符号。

若已知中含有“≌”，则其对应角或对应边一定可以在后面的证明或计算中用到！解决策略如下： ① 若已知条件中有1个“S ”、1个“A ”，则优先考虑ASA 、AAS ，然后考虑SAS ； ②若已知条件中有2个“S ”， 则优先考虑SAS ，然后考虑SSS 。

③Rt △要直接先考虑HL ，其他方法也要考虑。

④千万不要漏掉“隐含条件”-----“公共角、公共边、对顶角、边的和差等量关系、角的和差等量关系”。

“隐含条件”举例如下： 1、公共角类：如1图：AB=AC,求证：BD=CE2、公共边类：如2图：AB=CD,AB ∥CD 求证：AD=BC 3、对顶角类： 如3图：AB=CD,∠A=∠D 求证：AO=DO 4、角的和差等量类：如4图：AB=AC,∠1=∠2，∠D=∠E 求证：BE=CD5：线段的和差等量类： 如5图：BD=CE, ∠B=∠E ，AB=EF 求证：AC=DF二、等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写：等边对等角）2、证明：辅助线的做法：①做顶角的平分线；②做底边的高；③做底边的中线 3、随堂练习①等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。

你能证明它们吗教学目标(一)教学知识点1．经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．2．经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程．(二)能力训练要求1．经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．2．经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．3．形成证明一些结论的基本策略，发展学生的实践能力和创新精神．(三)情感与价值观要求1．积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．等边三角形判定定理的发现与证明．2．含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．教学难点1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．2．引导学生全面、周到地思考问题．教学方法探索——发现教具准备两个全等的含30°角的三角尺投影片第一张：问题串(记作§1．1．3A)第二张：做一做(记作§1．1．3B)第三张：例题(记作§1．1．3C)第四张：试一试(记作§1．1．3D)教学过程Ⅰ．提问问题，引入新课[师]我们在前两节课研究并证明了等腰三角形的性质和判定定理．我们知道等腰三角形中包含有一种非常特殊的三角形即等边三角形，它的性质我们已通过等腰三角形作了证明．例如3A)．[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费！[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可在小组内交流自己的看法．Ⅱ．讲述新课1．探索等腰三角形成为等边三角形的条件．[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形就是等边三角形．[师]你能给大家陈述一下理由吗？[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°，等腰三角形的两个底角的和就为180°－60°＝120°；再根据等腰三角形的两个底角是相等的，所以每个底角分别为120°÷2＝60°，则三个内角分别相等．根据等角对等边，则此时等腰三角形的三个边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也为等边三角形．同样根据三角形内角和定理，及等角对等边，等边对等角的性质．[师]从同学们的自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论是底角是60°，还是顶角是60°，那么这个三角形都是等边三角形．你能用更简捷的语言描述这个结论吗？[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[师]下面请同学们在自己的练习本上完成这个结论的证明过程，并与同伴交流证明思路．(这个结论的证明对学生来说可能有一定的难度，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法)[师]你在与同伴交流的过程中，发现了什么或受到了何种启示？[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况．我们鼓掌表示对他们的鼓励．今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．我们在证明这个定理的过程中，还得出一个三角形为等边三角形的条件，是什么呢？[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．[师]下面就请同学们来证明这个结论．[师生共析]已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵A＝∠B，∴BC＝AC(等角对等边)．又∵∠A＝∠C，∴BC＝AB(等角对等边)．∴AB ＝BC ＝CA ，即△ABC 是等边三角形．[师]我们以公理和已证明的定理为基础，研究并证明了等腰三角形(包含等边三角形)的性质家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？你的结论吗？(让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明)[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．其中图(1)是等边三角形．因为△ABD ≌ACD ，所以AB ＝AC ．又因为Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°，所以∠ABD ＝60°．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．[生]图(1)中，∠B ＝∠C ＝60°，∠BAC ＝∠BAD ＋∠CAD ＝30°＋30°＝60°，所以∠B ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，即△ABC 是等边三角形．[师]同学们从不同角度说明了自己拼成的图(1)是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？[生]在直角三角形中，30°的角所对直角边是斜边的一半．[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需要给出证明，你能证明它吗？[生]可以，在图(1)中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB ＝BC ＝AC ．而∠ADB ＝90°即AD ⊥BC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD ＝DC ＝21BC ．所以BD ＝21AB ．即在Rt △ABD 中，∠BAD ＝30°，它所对的边BD 是斜边AB 的一半．[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．下面我们一同来完成这个定理的证明过程．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°．求证：BC ＝21AB ．分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD ＝BC ，连接AD ．证明：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，则∠B ＝60°．延长BC 至D ，使CD ＝BC ，连接AD(如图所示)．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°．∵AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)．∴AB ＝AD(全等三角形的对应边相等)．∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)．∴BC ＝21BD ＝21AB ．[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用．因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系．下面我们就来看一个例题． 已知：在△ABC 中，求：CD 的长．DAC ＝2×15°＝30°，根据在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD ． 解：∵∠ABC ＝∠ACB ＝15°，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠ACB＝15°＋15°＝30°．∴CD ＝21AC ＝21×2a ＝a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．[师]一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗？[生]例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题．[生]例如“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．[生]但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立． 1．1．3D ．等于斜边的一半”的辅助线的作法中得到启示．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝21AB ．求证：∠BAC ＝30°．证明：延长BC 至D ，使CD ＝BC ，连接AD ．∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝90°．又∵AC ＝AC ，∴△ACB ≌△ACD(SAS)．∴AB ＝AD ．∵CD ＝BC ，∴BC ＝21BD ．又∵BC ＝21AB ，∴AB ＝BD ．∴AB ＝AD ＝BD ，即△ABD 是等边三角形．∴∠B ＝60°．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°．Ⅲ．课时小结这节课，我们自主探索，思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．接着在公理和已证明的定理的启发下推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系，这节课我们学的都是非常重要的定理，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．Ⅳ．课后作业习题1．3第1、2、3、4题Ⅴ．活动与探究如图(1)，ABCD 是一张正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 翻折，使得点A 落在EF 上〔如图(2)〕，折痕交AE 于点G ，那么∠ADG 等于多少度？你能证明你的结论吗？[过程]我们在前面已证明了“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”．从图中可以看出，∠A1DG ＝∠ADG ，但它们在直角三角形的大小无法直接求出，如果能求出∠A1DA ，问题就可解决．但∠A1DA 在哪一个直角三角形中，这时提示我们引出辅助线．过A1作A1H ⊥AD ，H 为垂足，根据题意可知，A1H ＝21AB ＝21AD ＝21A1D ．所以∠A1DH ＝30°．[结果]∠ADG ＝15°． 等边三角形等边三角形。