你能证明它们吗2

费马平方和定理的证明费马平方和定理，这名字听上去就很高大上吧？其实说白了，就是个关于整数的数学游戏。

想象一下，如果你有一堆整数，比如说1、2、3、4……然后你想把它们的平方加起来，嘿，结果是个完全平方数。

哎，这可不是随便能做到的。

费马大哥可真是个有趣的人，他信誓旦旦地说，任何一个大于零的整数，都可以表示成两个平方数的和。

听起来很简单，但真要深入研究就会发现，背后可是个复杂的世界。

咱们得搞清楚这俩平方数是啥意思。

想象一下，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，以此类推。

现在，假设你想找到两个这样的平方数，让它们加起来等于某个整数。

比如说，5可以表示为1的平方加上2的平方（1+4）。

你看，这不就简单得多了嘛！但问题来了，费马说的“大于零的整数”可不是随便的，得找那种很难缠的数字。

在数学界，费马的这条定理就像一颗宝石，吸引着无数的数学家去追寻真相。

很多人开始尝试去找例子，看看能不能证明这玩意儿。

有人觉得，哎呀，这定理可能是对的。

毕竟大多数数字都能满足条件。

可越往深处一探，越发现事情没有那么简单。

就像我们逛街时，看到一件衣服特别好看，试穿后却发现不合身，真是让人郁闷。

说到这里，咱们就不得不提到一些特别的数字。

比如说，负数。

费马说的可都是正整数，负数就像是在派对上不受欢迎的客人，根本没有机会进入。

还有那些完全平方数，比如1、4、9，它们就像是数学界的小明星，总能引人瞩目。

于是，很多人开始从这些小明星入手，试图找到与之相关的神秘关系。

想象一下，大家围在一起，热火朝天地讨论，像是在解锁一款游戏的最终Boss。

经过多年的研究，数学家们终于找到了一些有趣的规律。

他们发现，某些数字的组合确实可以形成平方和。

比如，37就能表示成36加1，也就是6的平方加1的平方。

就像我们拼图一样，把这些数字拼凑在一起，慢慢显露出真相。

难怪费马当年会说：“我有个绝妙的证明，但字数不够写在这本书上。

”哈哈，这可真是让人哭笑不得。

随着时间的推移，更多的数学家加入了这个游戏。

证明2个三角形全等的条件咱们来唠唠证明两个三角形全等这档子事儿。

你知道吗，三角形就像一个小小的王国，三条边和三个角就是这个王国的子民。

要证明两个三角形全等啊，就好比证明两个王国从里到外都是一模一样的。

有一种情况是三边对应相等，这就好比两个王国的城墙（边）从长度到布局都是一样的。

要是两个三角形的三条边都能一一对应相等，那就可以说这两个三角形全等了。

这就像你有两个积木搭成的三角形，你去比量它们的边，每一条边都丝毫不差，那这两个三角形肯定是全等的呀，这难道还能有假吗？还有一种情况是两边及其夹角对应相等。

这怎么理解呢？咱们可以把两条边想象成两条手臂，夹角呢就是手臂张开的角度。

如果两个三角形有两条手臂（边）一样长，而且手臂张开的角度也一样，那这两个三角形在这个部分就是完全一样的构造啊。

这就好比两个人做广播体操，伸出来的两条手臂长度一样，手臂张开的角度也相同，从这个姿势来看，这两个人就像是复制粘贴的一样，两个三角形也是这样，它们就是全等的。

两角及其夹边对应相等也能证明三角形全等呢。

这就像两个家庭（三角形），家里都有两个孩子（角），然后中间站着一个大人（夹边）。

如果两个家庭都是两个孩子长得一模一样，中间站着的大人也一模一样，那这两个家庭从这个小群体来看不就是一样的吗？放到三角形里，这就意味着这两个三角形全等啦。

再来说说两角及其中一角的对边对应相等这种情况。

这有点像在一个舞台上（三角形），有两个演员（角），还有一个背景道具（角的对边）。

如果两个舞台上的两个演员演得一模一样，其中一个舞台上的演员对应的背景道具也和另一个舞台一样，那这两个舞台从这个表演场景来看就是一样的呀，两个三角形也是如此，这就表明它们全等。

另外呢，直角、斜边、直角边对应相等也能证明直角三角形全等。

这就像是两个特殊的小城堡（直角三角形），一个高高的塔楼（斜边），一条靠着塔楼的直道（直角边），再加上一个直角这个特殊的标志。

如果两个小城堡的塔楼一样高，直道一样长，还有那个直角都在相同的位置，那这两个小城堡肯定是一模一样的构造，也就是这两个直角三角形全等。

初三数学上册全册教案（北师大版）北师大版九年级数学上全册精品教案第一证明（二）（时安排）1．你能证明它们吗？3时2．直角三角形2时3．线段的垂直平分线2时4．角平分线1时1你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。

2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。

2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。

情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。

能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。

2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于延伸．二、回忆上学期学过的公理本套教材选用如下命题作为公理:1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）4两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）6全等三角形的对应边相等,对应角相等三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,B=EF求证：△AB≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠=∠F又∵B=EF（已知）∴△AB≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

教学目标：1.引导学生自主探究，用举例验证的形式概括出“小数的基本性质”。

2.培养学生勇于探索的精神，合作学习的意识，严谨的学习态度。

教学活动：一、创设情境，引入新课1. 课件出示例1：量出0.1米、0.10米、0.100米的纸条，你发现了什么？师：请同学们细心阅读题目，题目要求我们做些什么？生：题目要求我们量出0.1米、0.10米、0.100米的纸条，并说说发现什么？师：对，题目不但要求我们量出0.1米、0.10米、0.100米的纸条，而且在操作过程中要积极思考，善于发现，因为要汇报你发现了什么？好，在同学们认真审题之后，我们可以进行操作了，老师对你们的操作提出三个要求：课件展示操作要求：1）、同桌合作，在规定时间内完成。

2）、把量出合适长度的纸条剪下来，并分别在上面标出长度。

3）、把“你们的发现”记录在练习本上。

2、学生同桌同学合作操作。

3、汇报交流。

1）汇报剪的0.1米的纸条的方法师：请同学们把你剪的0.1米的纸条举起来。

请问：剪这长是0.1米的纸条时，你是怎样想和怎样做的？生1:0.1米等于1分米，所以我量出长是1分米的纸条，长就是0.1米。

（课件展示）师：你是怎样知道0.1米就是1分米的？生：0.1米等于十分之一米，就是把1米平均分成10份，1 份就是1分米。

2）汇报剪的0.10米的纸条的方法师：请同学们把你剪的0.10米的纸条举起来。

请问：剪这长是0.10米的纸条时，你是怎样想和怎样做的？生1:0.10米等于百分之十米，就是把1米平均分成100份，其中的10份，就是10厘米，所以我量出长是10厘米的纸条，长就是0.10米。

生2:0.10米与0.1米的长度相等，所以我剪与第一张纸条一样长就行了。

师：你怎样知道0.10米与0.1米的长度相等？生：0.10米与0.1米的十分位是一样的，百分位上的0表示什么都没有，所以两个长度是相等的。

师：同学们拿出你剪的纸条比一比是不是相等.生比一比验证。

三角形的证明1．你能证明它们吗一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。

2、等腰三角形的有关知识点。

等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）3、等边三角形的有关知识点。

判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。

性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。

4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。

这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例1:如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。

1例4 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。

（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。

2．直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC ∆中，3590,12,,22C CD BD ∠=︒∠=∠==， 求AC 的长。

1.2你能证明它们吗（2）教师寄语：未来与期待总是并肩向我们走来学习目标：1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明。

2、结合实例体会反证法的含义。

3、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。

学习过程：一、前置准备：1、 等腰三角形的性质是什么？2、 等腰三角形的一个内角为700，则顶角为 。

3、 等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角顶角为 。

二、自主学习：1、 等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明。

已知：求证：证明：得出定理： 。

问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。

三、合作交流：1、 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理： ；简称： 。

四、反证法：在证明时，可先假设结论不成立，然后推导出与定义、公理、定理或已知条件相互矛盾的结果，从而证明命题的结果一定成立。

这种证明方法称为“反证法”（1）思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你能证明这个命题吗？（2）证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°（3）154321=++++a a a a a ，那么这5个数中至少有一个大于或等于51五、例题解析：如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明。

六、当堂训练：1、已知：如图，在△ABC中，则图中等腰直角三角形共有（）（A）.3个;(B).4个;（C）.5个;（D）.6个,2、已知：如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200, D、E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形。

3、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）（A）.30;(B).36;（C）.39;（D）.42。

多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。

多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。

在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。

以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。

探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。

教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。

表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。

引言：全等三角形在几何学中起着重要的作用，它们具有相等的边长和相等的内角。

证明两个三角形全等的方法有许多种，本文将详细介绍五种常见的证明方法。

这些方法分别是：SSS法（边边边）、SAS法（边角边）、ASA法（角边角）、AAS法（角角边）和HL法（斜边直角边）。

通过学习这些方法，读者将掌握全等三角形的严密证明过程，并能够应用这些方法解决实际问题。

概述：全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。

证明两个三角形全等的方法有很多种，其中比较常用的有SSS法、SAS 法、ASA法、AAS法和HL法。

这些方法在不同的情况下具有不同的应用场景，读者通过学习这些方法将能够熟练地证明全等三角形。

正文内容：1.SSS法（边边边）SSS法是通过三个边长的相等性来证明两个三角形全等。

具体步骤如下：1）列出已知条件和待证明的结论；2）假设两个三角形ABC和DEF满足边长AB=DE,BC=EF和CA=FD；3）根据边长的相等性，得出三边对应相等；4）根据三角形的边边边相等性，得出两个三角形全等。

2.SAS法（边角边）SAS法是通过两边和夹角的相等性来证明两个三角形全等。

具体步骤如下：1）列出已知条件和待证明的结论；2）假设两个三角形ABC和DEF满足边长AB=DE，边长BC=EF和角∠B=∠E；3）根据边长和夹角的相等性，得出一对对应边和夹角相等；4）根据两边和夹角的相等性，得出两个三角形全等。

3.ASA法（角边角）ASA法是通过两个角和边的相等性来证明两个三角形全等。

具体步骤如下：1）列出已知条件和待证明的结论；2）假设两个三角形ABC和DEF满足角∠A=∠D，角∠B=∠E和边长AB=DE；3）根据角度的相等性和边长的相等性，得出两个角和一条边相等；4）根据角度和边的相等性，得出两个三角形全等。

4.AAS法（角角边）AAS法是通过两个角和一边的相等性来证明两个三角形全等。

具体步骤如下：1）列出已知条件和待证明的结论；2）假设两个三角形ABC和DEF满足角∠A=∠D，角∠B=∠E和边长BC=EF；3）根据角度的相等性和边长的相等性，得出两个角和一条边相等；4）根据角度和边的相等性，得出两个三角形全等。

你能证明它们吗（2）练习目标导航1.能够用综合法证明等腰三角形的有关性质.2.了解并能证明等腰三角形的判定定理.3.结合实例体会反证法的含义.基础过关1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.4.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=︒36，BD 是的角平分线，图中等腰三角形有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（2）（3）（4） D.（1）（3）（4）(1) (2) （3） （4） 7题图能力提升6.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.7.如图，在△ABC 中，BC=5cm,BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD//AB ，PE//AC ，则△PDE 的周长是 .8.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ） A.15 B.12 C.15或12 D.以上都不正确 9.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.用反证法证明：△ABC 中至少有两个角是锐角.CBABAC B AC B AP EDCBA12.如图，小明欲测量河宽，选择河流北岸的一棵树（点A ）为目标，然后在这棵树得正南岸（点B ）插一小旗作标志，从B 点沿南偏东︒60方向走一段距离到C 处，使∠ACB 为︒30，这时小明测得BC 的长度，认为河宽AB=BC ，他说得对吗？为什么？13.如图，在ABC Rt ∆中，∠CAB=︒90，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，交AB 于F.求证：△AEF 为等腰三角形.14.如图，在△ABC 中，AB=AC,P 是BC 上一点，PE ⊥AB, PF ⊥AC,垂足为E 、F,BD 是等腰三 角形腰AC 上的高， ⑴求证：BD=PE ＋PF.⑵当点P 在BC 边的延长线上时，而其它条件不变，又有什么样的结论呢？请用文字加以说明本题的结论.聚沙成塔如图所示，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110。

1第一章证明（二） （预习要点）知识点1：你能证明它们吗?在《证明（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

由上面的公理，容易证明下面的推论。

议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？ （2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？这一定理可以简单叙述为：等边对等角。

例题1：已经如图 △ ABC 中，AB=AC,求证∠B=∠C.B C 证明：取BC 的中点D ，连接AD,如图因为：AB=AC ,BD=CD ,AD=AD; 所以： △ABD ≌ △ASD （SSS ）2所以：∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）想一想：在上图中，线段AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？随堂练习：1.证明：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60º.2、如图，在 △ABD 中，C 是BD 上的一点，且AC ⊥（1）求证：△ABD 是等腰三角形；（2）求∠BAD 的度数。

C在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）。

你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？例题2： 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。

已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC, BE,CD 是 △ ABC 的角平分线，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC 所以∠ABC=∠ACB(等边对等角） 因为∠CBE= 12∠ABC ,∠BCD=错误! ∠ACB3所以∠CBE=∠BCD在△BDC 和△CEB 中，因为 ∠ACB=∠ABC,BC=CB,∠CBE=∠BCD 所以△BDC ≌△CEB （ASA)所以BE=CD （全等三角形的对应边相等）例题3：在△ABC 中，∠B=∠C,要想证明AB=AC ，只要能构成两个全等的三角形，使AB 与AC你是怎样构成的？这一定理可以简单叙述为：等角对等边。

想一想：1、（1）一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？（2）你认为有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流。