九上先修班暑期讲义十四 复习

八年级升九年级语文暑假衔接班讲义(全
面)
目标
- 帮助八年级学生顺利过渡到九年级语文课程
- 加强学生的阅读、写作和语言表达能力
内容
1. 课程介绍
- 暑期班的目的和重要性
- 课程安排和时间表
2. 阅读与写作
- 提高阅读理解能力的方法和技巧
- 培养写作技能的基础知识和实践机会
3. 文言文研究
- 强化文言文课程的研究
- 理解古代文化和思想，提高汉语水平
4. 课外阅读推荐
- 推荐经典文学作品和读物
- 培养广泛的阅读兴趣和阅读惯
教学方法
- 交互式教学，根据学生的实际情况进行个别辅导- 课堂讨论和小组活动，激发学生思考和表达能力- 阅读和写作练，提供反馈和指导
考核方法
- 课堂作业和表现评价
- 听写和阅读理解测试
- 写作和口头表达题目
注意事项
- 学生需要积极参与课堂活动，完成课后作业
- 督促学生阅读推荐的书籍，培养阅读惯
- 尊重他人意见，积极参与讨论和互动
该讲义旨在帮助八年级学生顺利过渡到九年级的语文研究，加强他们的阅读、写作和语言表达能力。

通过交互式教学、课堂讨论和各种练，学生将提高阅读理解能力，掌握写作技巧，并加强对文言文的理解和应用。

同时，推荐的课外阅读将帮助他们培养广泛的阅读兴趣和惯。

学生需要积极参与课堂活动，完成作业，并积极参与讨论和互动。

希望本次暑假衔接班让学生们在语文学习中取得进步，为九年级的学习打下坚实的基础。

第09课 二次函数综合复习1.把242+--=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式是（ ）A.y=-(x-2 )2-2 B.y=-(x-2 )2+6 C. y =-(x+2 )2-2 D. y=-(x+2 )2+6 2.图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2-2 3.把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ）A.21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D.21722y x x =+-4.抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=126.二次函数522-+=x x y 有( )A.最大值-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6 7.抛物线2)1(212+-=x y 的对称轴是直线__________顶点坐标为__________ 8.把322---=x x y 配方成k h x a y +-=2)(的形式为__________ 9.抛物线262+--=x x y 与x 轴的交点的坐标是_________10.方程ax 2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线__________11.已知直线y=2x-1与两个坐标轴的交点是A 、B ，把y=2x 2平移后经过A 、B 两点，则平移后的二次函数解析式为______________12.已知抛物线222)1(2k k x k x y -+-+-=，它的图象经过原点，求①解析式; ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。

漫画释义知识互联网1电荷、电流、电路电荷带电现象将一根摩擦过的塑料尺靠近轻小物体, 可以看见轻小物体将被塑料尺吸引．物体具有了吸引轻小物体的性质, 我们就说物体带了电, 若物体不带电我们就说此物体呈电中性．两种电荷自然界只有两种电荷, 于是我们便把其中的一种叫做正电荷, 另外一种叫做负电荷．并且我们规定, 用丝绸摩擦过的玻璃棒带的电荷为正电荷, 毛皮摩擦过的橡胶棒带的电荷叫负电荷．起电方式摩擦起电、接触起电、感应起电电荷间的相互作用同种电荷相互排斥, 异种电荷相互吸引．电荷量电荷的多少叫做电荷量, 它的单位是库仑, 简称库, 符号(C)．电中和两个带等量异种电荷的物体相互接触时, 带负电的物体上的多余电知识导航模块一电荷的认知子转移到带正电的物体上, 这两个物体都没有多余的电子, 也不缺少电子, 都恢复成不带电的状态, 这种现象叫做正、负电荷的中和．电的中和现象也是电子转移的结果, 并不是电荷消失了．验电器验电器的结构如右图, 它是用来检验物体是否带电的仪器, 利用的是同种电荷相互排斥的原理．如果我们将一个带电物体接触验电器的金属球, 带电物体上的电荷便会转移一部分到金属箔上使金属箔的两个箔片带上同种电荷．由于同种电荷相互排斥金属箔便会张开, 我们便知道物体带了电．另外, 金属箔带的电荷越多, 张开的角度也就越大, 因此我们还可以用验电器来比较带电量的大小．原子结构和元电荷原子结构原子是由原子核和电子构成, 一个原子的质量几乎全部集中在原子核上．原子核处于原子的中心, 电子在核外绕原子高速转动．原子核带正电, 电子带负电, 原子核所带正电荷量等于电子所带的负电荷量, 所以整个原子是电中性的．元电荷通过实验发现, 电子所带的电荷量的大小是自然界中最小的, 人们把这个最小的电荷量叫做元电荷, 用符号e表示, 191.610e-=⨯C．任何带电体所带的电量都是元电荷的整数倍．☆☆注意：元电荷指的是最小电荷量, 并不是指电子．【例1】如图, 将一根塑料绳一端握紧, 把绳尽可能撕成细丝, 用手从上向下捋几下, 观察到的现象是, 说明的道理是.【答案】细丝会分开; 同种电荷相互排斥．【例2】实验室里常常用验电器来检验物体是否带电, 用被丝绸摩擦过的玻璃棒接触验电器的金属球, 可发现验电器的两片金属箔会因排斥而张开, 对这一现象理解正确的是()A．金属箔带正电, 金属球不带电B．金属箔和金属球都带正电C．金属箔带正电, 金属球带负电D．金属箔和金属球都带负电【答案】B夯实基础【例3】用毛皮摩擦过的橡胶棒去靠近甲和乙两个轻小物体, 结果与甲相排斥、跟乙相吸引．于是可以判定()A．甲带正电, 乙带负电B．甲带负电, 乙带正电C．甲带负电, 乙不带电或带正电D．甲带正电, 乙不带电或带负电【答案】C【例4】用塑料梳子在干燥的头发上梳几下, 梳子上会带电, 经检验梳子带的是负电荷．下列说法中正确的是()A．梳子得到了一些电子B．梳子失去了一些电子C．梳子失去了一些原子核D．摩擦创造了电荷【答案】A☆教师拓展题目1：(2009年全国应用物理知识竞赛初赛)与火车相比, 汽车车厢外表面更容易堆积灰尘. 对于导致这种现象的原因分析, 你认为下列说法中最可能的是()A. 火车车厢的外表面比汽车车厢的外表面光滑, 更不容易堆积灰尘.B. 火车行驶的速度比汽车的大, 产生的风更大, 更容易把灰尘吹掉.C. 火车行驶的速度比汽车的大, 车厢外侧空气流动的速度比汽车的大, 车厢外侧气压比汽车的小, 车厢的内外压强差比汽车的大, 更不容易堆积灰尘.D. 在车辆行驶过程中, 车厢外表面由于和空气摩擦而带电, 因为汽车的轮胎是绝缘的橡胶, 和铁轮的火车相比更不容易把电荷导入地下, 因而更容易吸附灰尘.【答案】D☆教师拓展题目2:把酒精灯火焰靠近带电的验电器的金属球, 发现验电器的箔片稍微合拢了一些, 这说明验电器的电荷减少了, 其原因是()A．电荷被火焰烧毁B．火焰使周围空气变成导体, 电荷转移到空气中C．电荷转移到酒精灯上D．火焰产生相反的电荷与它们中和【解析】验电器的箔片合拢, 说明它的电荷减少了, 即发生了中和或者电荷的转移, 但火焰是不能产生电荷的．【答案】B☆教师拓展题目3:运送汽油的汽车, 在它的车尾总装有一根铁链条拖在地上, 这是为什么?【解析】当汽车运行的过程中, 汽油会不断地与油槽的壁摩擦, 从而使油槽带电．而汽车的后轮是绝缘体橡胶, 电荷不能通过它传到地下, 会在油槽里越聚越多, 当达到一定程度时就有可能发出电火花, 使极易燃烧的汽油着火燃烧而发生爆炸事故．在车尾装一根铁链条拖在地上, 油槽里的电荷可通过铁链传到地下, 从而避免产生电火花而引起爆炸事故．电流1. 定义:电荷的定向移动称为电流.2. 两个相同的验电器A、B．其中A带电而B不带电．用金属棒把A和B连接起来我们可以发现验电器B也带上了电(金属箔张开)．从上面的现象我们发现电荷是可以移动的．我们将电荷的定向移动称为电流, 并且规定电流的方向为正电荷的移动方向．☆☆注意：一定要注意“定向”二字,只有定向的电荷运动才能形成电流．负电荷的移动也可以产生电流, 电流的方向与负电荷的移动方向相反．知识导航模块二电流的形成导体和绝缘体1. 导电性能的差异：容易导电的物体叫导体(金属、石墨、人体、大地、酸碱盐的水溶液等); 不容易导电的物体叫做绝缘体(橡胶、塑料、玻璃、陶瓷、空气等)．2. 物质结构差异：导体内有大量的可以自由移动的电荷即自由电荷, 例如：在金属中有大量能够自由移动的自由电子; 在酸、碱、盐的水溶液中有能自由移动的正、负离子, 而在绝缘体中, 几乎没有能够自由移动的电荷, 所以绝缘体不容易导电．☆☆注意：(1)导体和绝缘体都可以导电．(2)导体和绝缘体没有明显的界限, 也就是说我们不能说导体导电能力大于多少的物体叫做导体, 也不能说导电能力低于多少的物体叫做绝缘体．(3)导体和绝缘体可以相互转化, 当条件改变时, 绝缘体可变为导体．例如当玻璃变成炽热状态时, 由绝缘体变为导体．在条件改变时, 导体也可以变为绝缘体, 例如：酸、碱、盐的水溶液是导体, 当给水溶液通电后, 水溶液中的正、负离子向两极移动, 并在两极析出, 水溶液中的正、负离子逐渐减少, 水溶液会逐渐变为绝缘体．【例5】小红利用如图所示的电路装置来判断物体的导电性, 在 A、B两个金属夹之间分别接入下列物体时, 闭合开关不能使小灯泡发光的是()A．塑料直尺B．铅笔芯C．钢制小刀D．铜制钥匙【答案】A【例6】关于电流的形成, 下列说法正确的是()A．电荷的运动形成电流B．电子的定向移动才能形成电流C．只有正电荷的定向移动才能形成电流D．正负电荷的定向移动都能形成电流【答案】D【例7】下列说法正确的是()A．验电器既能检验物体是否带电, 也能检验出物体带电的种类B．铜线中的电流是靠自由电子定向移动形成的C．绝缘体不容易导电是因为绝缘体内没有电子D．电源是把电能转化为其他形式能量的装置【答案】B夯实基础【例8】 电视机工作时, 从显像管尾部的热灯丝发射出来的电子高速撞击在电视机的荧光屏上, 使荧光屏发光, 则在显像管内( ) A ．电流方向从荧光屏到灯丝B ．电流方向从灯丝到荧光屏C ．显像管内是真空, 没有电流D ．显像管内电流方向不断改变 【答案】 A 电流的方向跟电子的移动方向相反．【例9】 如图甲所示, 验电器A 带负电, B 不带电．用带有绝缘柄的金属棒把验电器A 、B 两金属球连接起来的瞬间(如图乙所示), 金属棒中( )A ．电流方向由A 到B B ．电流方向由B 到AC ．有电流但方向无法确定D ．始终无电流【答案】 B电流我们将电荷的定向移动称为电流, 并且规定电流的方向为正电荷的移动方向．电路电路的组成 所谓电路, 就是把电源、用电器、开关用导线连接起来组成的电流的路径．一个完整的电路应该包括电源、用电器、开关和导线四种电路元件, 缺一不可．右图就是一个最简单的电路．电路中的电流总是从电源正极流出, 经过用电器流到负极．电源电源是提供电能的装置, 它维持电路中有持续电流, 它工作时是将其他形式的能量转化为电能．常见的电源有: 干电池、蓄电池和发电机等．知识导航模块三 电路的识别用电器用电器是用电来工作的设备,它在工作时是将电能转化为其他形式的能．常见的用电器有：电灯、电炉、电视机、电铃、电冰箱等．电路的三种状态电路的连接方式1. 串联2. 并联3. 混联【例10】 电路和水路有许多相似之处．在电路中和水路中的阀门作用相似的是( )A ．电源B ．用电器C ．开关D ．导线 【答案】 C【例11】 如图所示, 在桌面上有两个小灯泡和一个开关, 它们的连接电路在桌面下, 无法看到. 某同学试了一下, 闭合开关时两灯泡均亮, 断开开关时, 两灯泡均熄灭, 这两个小灯泡究竟是串联连接, 还是并联连接, 请你写出判断方法.能力提升【答案】取下一个, 观察另一个是否还可以工作. 若能, 则并联; 若不能, 则串联.【例12】下图电路中, 开关能够同时控制两盏灯, 且两灯发光情况互不影响的电路是()【答案】D【例13】如图所示的四个电路中, 闭合开关S, 三盏灯都能发光. 若其中任意一盏灯的灯丝烧断, 其它两盏灯仍然发光的, 一定是电路图()【答案】C【例14】如图所示, 要使灯泡L1、L2并联在电路中, 则三个开关的断开、闭合情况是() A．S1、S3闭合, S2断开B．S2、S3闭合, S1断开C．S2闭合, S1、S3断开D．S1闭合, S2、S3断开【答案】A【例15】如右图所示的电路中, 若要使两灯串联, 应闭合开关_______; 若要使两灯并联, 就要闭合开关________．【答案】S3; S1, S2【例16】如图所示电路, 当S断开时, 三灯泡都发光, 则当开关S闭合时( )A．L1、L3亮, L2不亮B．L1亮, L2、L3不亮C．L1、L2、L3都不亮D．L1、L2、L3都亮【答案】B【例17】如图所示的电路中, 开关闭合后, 两个灯泡并联的电路是()A B C D 【答案】B【例18】请连接实物图, 使两个灯泡并联, 两个开关分别控制两盏灯; 并画出电路图.【答案】S2S1L2L1SL3L2L1【例19】只改动一根导线, 让两盏灯并联发光.【答案】模块四电路的设计【例20】想想议议: 教室有6盏灯, 3个开关, 每个开关控制2盏灯, 画出符合要求的电路图.【答案】【例21】如图所示, 电冰箱内有一个通过冰箱门来控制的开关, 当冰箱门打开时, 开关闭合使冰箱内的照明灯点亮; 当冰箱门关闭时, 开关断开使冰箱内的照明灯熄灭．在下面的四个电路中, 能正确表示冰箱开门状态下冰箱内照明电路的是()A B C D【答案】C【例22】如图所示是一个能吹出冷热风的电吹风简化电路图, 图中A是吹风机, B是电热丝, 则下列分析正确的是()A．只闭合开关S1, 电吹风吹出冷风B．只闭合开关S2, 电吹风吹出热风C．同时闭合开关S1、S2, 电吹风吹出冷风D．同时闭合开关S1、S2, 电吹风吹出热风【答案】D【例23】某医院要安装一种呼唤电铃, 使病房内的各病人均可单独呼叫．只要一按床头的开关, 值班室的电铃就响, 同时与这个病床对应的指示灯就亮．请在图中画出正确的连接方法．【答案】由图看出值班室只有一个电铃, 说明电铃是共同使用的, 应该放在干路中, 每个病床的病人单独呼叫, 说明互不影响, 应该各自为一条支路, 正确连接如图所示．【例24】根据以下要求, 设计电路, 用笔画线代替导线在图中画出相应的实物连接图．(导线不能交叉)要求：(1)只闭合S1时, 红灯发光, 绿灯不发光; (2)S1、S2都闭合时, 两灯都发光; (3)只闭合S2时, 两灯均不发光．【答案】【例25】 (2012•绍兴)小敏在爷爷的卧室设计了一个如图的“聪明”电路, 方便爷爷．“光控开关”在光弱(晚上)时自动闭合, 光强(白天)时自动断开; “声控开关”在有声时自动闭合, 两分钟后自动断开．表中开关使用情况, 不符合电路设计工作要求的是( )选项 电路设计工作要求 开关使用情况 A 白天, 灯不亮 闭合S 2 断开S 1 B 晚上．睡前, 灯亮断开S 2 闭合S 1C晚上, 拍拍手, 灯亮 闭合S 2 断开S 1D 晚上．遇打雷, 灯不亮 断开S 2 闭合S 1A. AB. BC. CD. D【答案】 B【例26】 判断图中各电阻的连接方式：【答案】 本题我们采用“节点法”, 如图所示的电路中, 节点a 和c 可以看成同一点都是分流点, 节点b 和d 都是汇合点, 于是可把分流点a 、c 合为一点, 把汇合点b 、d 合为一点, 则可将原电路图改画为右图, 容易看出, 电阻1R 、2R 、3R 是并联的．【例27】 在如图所示的电路中, 当电键K 闭合时, 哪盏灯可以发光? 它们的连接关系是?模块五 思考题【答案】4盏等全部发光, 并联.实战演练【练1】小施学校的教学楼有东、南、西、北四扇大门, 放学后要求都要将门关上．平时传达室的蒋师傅住在南门, 每天都要跑三个地方检查门是否关上, 非常辛苦．小施学了电学后为减轻蒋师傅的工作量, 设计了一电路图, 即三个门中只要有门没关好(相当于一个开关断开), 则代表该扇门的指示灯就会发光．下列电路图中符合要求的是()【答案】A【练2】(2012•杭州)某档案馆的保密室进出门有下列要求：甲、乙两资料员必须同时用各自的钥匙(S甲、S乙分别表示甲、乙两资料员的钥匙)使灯亮才能进入保密室; 而馆长只要用自己的钥匙(S馆长表示馆长的钥匙)使灯亮就可以进入保密室．下列电路中符合上述要求的是()A. B.C. D.【答案】C【练3】如下图所示, 当只闭合开关S1时, 灯可以工作; 当只闭合开关S2时, 灯可以工作; 当S1、S2全都闭合时, 灯可以工作.【答案】E1; E3; E1、E2、E3静电屏蔽如果将导体放在电场中, 导体内的自由电子在电场力的作用下, 会逆电场方向运动。

练1.D 练2.218255y x x =-+7.解：设抛物线的解析式为2y ax =当拱桥离水面 2m 时，水面宽 4m 即抛物线过点(2，−2) ∴−2 = a×22，∴a = −0.5 ∴解析式为：20.5y x =-当水面下降1m 时，水面的纵坐标为y = −3，∴−3 = −0.5x 2，x =∴这时水面宽度为，∴当水面下降1m 时，水面宽度增加了4) m ． 8.【解析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可解得x 的值即可知道CD 、BD ．解：（1）如图，设足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式为2()y a x h k =-+， ∵h =6，k =4， ∴2(6)4y a x =-+， 当x =0时y =1，即1=36a +4，∴112a =-， ∴21(6)412y x =--+．（2）令y =0，21(6)4012x --+=，∴2(6)48x -=，∴1613x =≈，160x =-<（舍去）， ∴足球第一次落地距守门员约13米． （3）如图，第二次足球弹出后的距离为CD ，根据题意：CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）， ∴21(6)4212x --+=解得：126,6x x ==-，∴CD=1210x x -=≈， ∴BD=13-6+10=17（米）．9. C当堂检测：1. D2.21218y x x =-++，16.5 (精确到0.1m) 设AC=x ，则BC=2−x ，∵∵ACD 和∵BCE 分别是等腰直角三角形，∵当x >h 时，y 随x 的增大而增大，当x <h 时，y 随x 的增大而减小， ∴①若h <1⩽x ⩽4，x =1时，y 取得最小值5， 可得：(1−h )2+1=5， 解得：h =−1或h =3(舍)；②若1⩽x ⩽4<h ，当x =4时，y 取得最小值5， 可得：(4−h )2+1=5， 解得：h =6或h =2(舍). 综上，h 的值为−1或6， 故选B.5.【解析】将函数图象特殊点坐标分别代入解析式，即可求解．解：（1）设y 1=kx ，由图①所示，函数y 1=kx 的图象过（1，2），∴2=k •1，k =2，故利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x ≥0）； ∵该抛物线的顶点是原点， ∴设y 2=ax 2，由图②所示，函数y 2=ax 2的图象过（2，2）， ∴222a =⨯ ，a ＝12， 故利润y 2关于投资量x 的函数关系式是：21(0)2y x x =≥； （2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（0≤x ≤8），则投入种植树木（8-x ）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，22112(8)(2)1422z x x x =-+=-+ 当x =2时，z 的最小值是14， ∵0≤x ≤8， ∴-2≤x -2≤6， ∴2(2)36x -≤21(2)182x -≤ ∴21(2)141814322x -+≤+= 即z ≤32，此时x =8，答：当x =8时，z 的最大值是32．家庭作业： 1.3 2.6003.4.5.国庆讲6.。

以天下为己任一元二次方程定义：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．（1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20ax bx c ++=()0a ≠这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任意实数，二次项系数a 是不等于0的实数，这是因为当0a =时，方程中没有二次项，所以，此方程不是一元二次方程．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般式．知识导航第一课 一元二次方程解法例1. （1）下列各式()1105x -=，2403x π=-，2202x y -=，10x x+=，230x x +=，其中一元二次方程的个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）若210b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=例2. （1）把方程()()252x x x +=-化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ）A ．1，3-，10B ．1，7，10-C ．1，5-，12D ．1，3，2（2）下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ） A ．21x x += B ．22120x x --= C ．()22(1)31x x -=-D ．22(1)2x x +=+例3. 已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求、的值．典型例题使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．例4. （1）关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（2）关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．12例5. 已知关于x 的一元二次方程20x ax b ++=有一个非零根b -，则a b -的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．0D ．2-知识导航典型例题直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．形如()20x p p =≥或(20mx +≠，可以解得： 1x 2x =或1x =2x = 例6. 直接开平方法解一元二次方程：()229x -=例7. （1）一元二次方程2251440t -=的根与()249125x -=的根（ ） A ．都相同 B ．都不同 C ．有一个相同D ．以上均不对（2）若关于x 的一元二次方程()27a x b -=的根为12a ，b 为常数，则a b +的值为（ ）A ．52B ．92C ．3 D ．5知识导航典型例题例8. 给出一种运算：对于函数n y x =，规定1n y n x -'=⨯．若函数4y x =，则有34y x '=⨯，已知函数3y x =，则方程12y '=的解是（ ）A ．14x =，24x =-B ．12x =，22x =-C ．120x x ==D．1x =2x =-配方法 一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 第二步：方程两边同时除以二次项系数；第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为()2x m n ±=的形式；第四步：用直接开平方解变形后的方程．例9. （1）配方法解一元二次方程：2410x x ++=（2）将一元二次方程2650x x -+=化成()2x a b -=的形式，则ab =______．知识导航典型例题例10. 小丽同学解方程的简要步骤如下：解：，两边同除以8第一步：211084x x --=；移项 第二步：21184x x -=；配方 第三步：211112412x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭；开平方 第四步：112x -=移项 第五步：1112x =2112x =． 上述过程，发生第一次错误是在（ ） A ．第一步 B ．第二步 C ．第三步D ．第四步例11. 已知一元二次方程230x mx ++=配方后为()222x n +=，那么一元二次方程230x mx --=配方后为（ ）A ．()2528x += B ．()2519x +=或()2519x -= C ．()2519x -=D ．()2528x +=或()2528x -=例12. 如果()()22323200mx m x m m +-+-=≠的左边是一个关于x 的完全平方式，则m 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．1或9D ．1-或9公式法 一般步骤：第一步：化方程为一般形式，即20ax bx c ++=()0a ≠；第二步：确定a 、b 、c 的值，并计算24b ac -的值；20时，将a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，得出方程的根x =；当240b ac -<时，方程无实数根．例13. 公式法解一元二次方程：2220x x --=例14. （1）已知一元二次方程230x x --=的较小根为，则下面对的估计正确的是（ ） A ．121x -<<- B ．132x -<<-C ．123x <<D ．110x -<<（2)20m x）A ．1x =2x =B ．1x 2x =C ．1x =，2x =D ．以上答案都不对知识导航典型例题（3）若221x +与2425x x --互为相反数，则x 的值为（ ）A ．1-或23B ．1或32-C ．1或23-D ．1-或32例15. 若实数范围内定义一种运算“*”，使()2*1a b a ab =+-，则方程()2*50x +=的解为（ ） AB ．CD 因式分解法 一般步骤：第一步：将已知方程化为一般形式，使方程右端为0； 第二步：将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；第三步：方程左边两个因式分别为0，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解．例16. 因式分解法解一元二次方程：2560x x ++=知识导航典型例题例17. 方程()()2373x x x -=-的根是（ ）A ．3x =B ．72x =C ．13x =，272x =D ．13x =，272x =-例18. 若关于的一元二次方程()2215320m x x m m -++-+=的一个根是0，则m的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2D ．0例19. 阅读材料：为解方程()()22215140x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，然后设21x y -=，则()2221x y -=，原方程化为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =∴原方程的解是1x 2x =3x =4x =． 解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了________的目的；（2）利用材料中的方法解方程：()()2214240x x x x ++-+=．例20. 已知()()222234x y x y ++-=，则22x y +=____________________．例21. 若2282550251x x x x -+-=-+，则22x x -5 -1的值为作业1. 用配方法将关于x 的方程250x x n ++=可以变形为()29x p +=，那么用配方法也可以将关于x 的方程251x x n -+=-变形为下列形式（ ） A ．()2110x p -+=B ．()28x p -=C ．()218x p --=D ．()210x p -=作业2. 将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直的直线记成a b c d ，定义a b ad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式，若11611x x x x +--+．作业一般地，式子24b ac -叫做方程20ax bx c ++=（）根的判别式，通常用希腊字母“∆”表示它，即24b ac ∆=-．①当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；②当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac ∆=-<时，方程无实数根．注意：①若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式时，方程的解为有理数；②若∆为完全平方式，同时b -±2a 的整数倍，则方程的根为整数； ③用判别式去判定一元二次方程的根时，要先求出判别式的值；④判别式也常常逆用，即：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，0∆>；当一元二次方程有两个相等的实数根时，0∆=；当一元二次方程没有实数根时，0∆<．一元二次方程根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；（3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题．知识导航第二课 一元二次方程应用a≠0例1. （1）下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．210x +=B ．210x x +-=C ．2230x x ++=D ．24410x x -+=（2）若关于的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A ．5k <B ．5k <，且1k ≠C ．5k ≤，且1k ≠D ．5k >（3）若关于的一元二次方程()21220k x x -+-=有不相等实数根，则的取值范围是（ ）A ．12k >B ．12k ≥C ．12k >且1k ≠D ．12k ≥且1k ≠ （4）下列选项中，能使关于的一元二次方程240ax x c -+=一定有实数根的是（ ）A ．B ．0a =C ．0c >D ．0c =例2. 若满足不等式组211122a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，则关于的方程()()2122102a x a x a ---++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．以上三种情况都有可能典型例题x x x a k k a＞0例3. 当k 为何值时，关于x 的方程kx 2 -6x +9 =0有：（1）不等的两实数根；（2）相等的两实数根；（3）没有实数根．例4. 已知0a >，b a c >+，判断关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况． 例5. 已知关于x 的方程()222kx k x k +-+=有相等的两实数根，求整数k 的值．例6. 求证：不论m 取何实数，关于x 的方程()230x m x m -++=都有两个不相等的实数根．例7. （1）已知a 、b 、c 分别为Rt △ABC （ C =∠90︒）的三边的长，则关于x 的一元二次方程()()220c a x bx c a +++-=根的情况是（ ）A ．方程无实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．无法判断（2）如果关于的二次方程()()22121a x bx c x ++=-有两个相等的实数根，那么以正数 a 、 b 、c 为边长的三角形是（） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形例8. 等腰三角形 ABC 中，8BC =，AB 、AC 的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两根，求m 的值．一元二次方程应用题包括：增长率问题、单循环比赛问题、几何问题、利润问题等．知识导航x典型例题例9.“互联网 ”时代，中国的在线教育得到迅猛发展．根据中国产业信息网数据统计及分析，2014年中国的在线教育市场产值约为1000亿元，2016年中国在线教育市场产值约为1440亿元．求我国在线教育市场产值的年增长率．例10.随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？例11. （1）初中毕业时，同学之间互送照片留作纪念．若某班有m 个学生互送照片共2756张，则可列方程为（ ）A ．()12756m m +=B ．()12756m m -=C ．()127562m m += D ．()127562m m -=（2）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（ ）A ．()11282x x +=B ．()11282x x -= C ．()128x x +=D ．()128x x -=（3）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）A ．()110x x -=B ．()1102x x -= C ．()110x x +=D ．()1102x x +=（4）平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线．若平面上不同的个点最多可确定21条直线，则的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8（5）四边形对角线条数为2条，（3n >且为整数）多边形对角线条数为（ ）A ．()32n n -B ．()12n n -C ．()3n n -D ．()1n n -x x n n例12. （1）如图所示，在长为100m 、宽为80m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．要使绿化面积为7644m 2则道路的宽应为多少？设道路的宽为m 则可列方程为（ ）A ．10080100807644x x ⨯--=B ．()()2100807644x x x ---=C ．()()100807644x x --=D ．10080356x x +=（2）如图所示，一块长方形绿地长100m ，宽50m ．在绿地中开辟两条宽度一样的道路后，绿地面积缩小到原来的80%．设道路的宽为m ，则下列所列方程正确的是（ ）A ．()()100501005080%x x --=⨯⨯B ．()()2100501005080%x x x --+=⨯⨯C ．()()2100501005080%x x x --=⨯⨯+D ．()5010010050180%x x +=⨯⨯-（3）如图，某小区规划在一个长40m AD =，宽26AB =m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的通道（图中阴影部分），使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种植花草，要使每一块种植花草的场地面积都是144m 2．若设通道的宽度为m ，则根据题意所列的方程是（ ）A ．()()402621446x x --=⨯B ．()()402261446x x --=⨯C ．()()402261446x x --=÷D ．()()402621446x x --=÷x x x例13. 小明在暑假帮某服装店卖T 恤衫时发现，在一段时间内，T 恤衫按每件80元销售时，每天的销售量是20件，单价每降低4元，每天就可以多售出8件．已知该T 恤衫的进价是每件40元，请问：当每件T 恤衫降价多少元时，服装店卖该T 恤衫一天能赢利1200元？如果设每件T 恤衫降价元，那么所列方程正确的是（ ）A ．()()80201200x x -+=B ．()()802021200x x -+=C ．()()40201200x x -+=D ．()()402021200x x -+=例14. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？x作业1. 已知 a ， b ， c 分别为Rt △ABC (C =∠90 )的三边的长，则关于 的一元二次方程()()220a b x cx a b +++-=根的情况是（） A ．方程无实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．方程有两个相等的实数根D ．无法判断作业2. 某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后，每件售价降为162元，每星期能卖出96件．（1）已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．（2）聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销量又可增加收入，且每件衬衫售价每降低1元，销量会增加2件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？作业二次函数定义：一般地，形如 （ a 、b 、c 是常数，a ≠0 ）的函数叫二次函数．其中a 是二次项系数，b 是一次项系数， c 是常数项． （a 、b 、c 是常数，a ≠0 ）也叫做二次函数的一般式．二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．知识导航典型例题第三课二次函数的图象及性质例2. （1）下列函数中，不属于二次函数的是（ ）A ．()22y x =-B ．()()211y x x =-+-C ．21y x x =--D ．211y x =-（2）下列函数中二次函数有（ ）①54y x =-；②2263y x x =-；③32283y x x =-+；④2318y x =-；⑤2312y x x =-+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3. （1）已知()22m y m x =-+是关于的二次函数，那么m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．2±D ．0（2）若()2113m y m x mx +=-++是二次函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．2C ．1±D ．1x二次函数一般式解析式：2y ax =（0a ≠）一般式图象（五点作图法）在同一坐标系内画出下列函数 ①列表：②描点③连线知识导航例4. 已知二次函数213y x =-，2213y x =-，2332y x =，它们的图象开口由小到大的顺序是（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．132y y y <<D ．231y y y <<例5. （1）若二次函数2y ax =的图象经过点()2,4P -，则该图象必经过点（ ）A ．()2,4B ．()2,4--C ．()4,2-D ．()4,2-（2）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的表达式应是（ ）A ．232y x =B ．223y x =C ．243y x =D ．234y x =例6. （1）已知点()1,A m -，()1,B m ，()2,1C m +在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．典型例题（2）已知，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．例7. （1）已知点()12,y -，()21,y -，()33,y 都在函数2y x =的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >>（2）若点()11,A y -，()22,B y -都在抛物线2y x =-上，则下列结论正确的是（ ） A ．120y y >> B ．12y y <C ．120y y >>D ．以上都不对例8. 下列说法错误的是（ ）A ．二次函数23y x =中，当0x >时，随的增大而增大B ．二次函数26y x =-中，当0x =时，有最大值0C ．抛物线()20y ax a =≠中，越大图象开口越小，越小图象开口越大D ．不论是正数还是负数，抛物线()20y ax a =≠的顶点一定是坐标原点a≠0y x y a a平移：向右平移h 个单位，向上平移个单位，得到()2y a x h k =-+（）（顶点式）知识导航k a≠0例9. （1）由二次函数()2123y x =-+-，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1-D ．当3x <时，随的增大而增大（2）对于抛物线()21132y x =-++，下列结论： ①抛物线的开口向下；②对称轴为直线1x =；③顶点坐标为-(1,3 )；④x >1时，y 随 x 的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4例10. （1）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>（2）若二次函数()21y x m =--，当1x ≤时，随的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m = B ．1m > C ．1m ≥D ．1m ≤典型例题y x y x（2）当21x -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ） A．B． 2C ．74-或 3D ．74-或2把()2y a x h k =-+（）去括号得到（）知识导航a≠0a≠0例12. （1）抛物线234y x =--的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A ．向下，()0,4B ．向下，()0,4-C ．向上，()0,4D ．向上，()0,4-（2）二次函数21y ax x =++的图象必过点（ ） A ．()0,a B ．()1,a --C ．()1,a -D ．()0,a -例13. （1）二次函数的y 与 x 的部分对应值如表： 则下列判断中正确的是（ ） A ．抛物线开口向上 B ．最大值为4C ．当02x <<时，2y >D ．当＞1时， y 随 x 的增大而减小典型例题（2）二次函数 y =ax 2 +bx +c ，自变量x 与函数y 的对应值如下下列说法正确的是（） A ．抛物线的开口向下B ．当3x >-时，随的增大而增大C ．二次函数的最小值是2-D ．抛物线的对称轴是52x =-例14. （1）抛物线（）的图象如下图所示，那么（ ）A ．，0b >，0c >B ．，0b <，0c >C ．，0b >，0c <D ．，0b <，0c <（2）函数22y x mx =+-（0m <）的图象是（ ）（3）在同一坐标系内，函数2y kx =和2y kx =-（0k ≠）的图象大致如图（ ） y x a≠0例15. 如图，在直角坐标系中，Rt AOB △的顶点坐标分别为()0,2A ，()0,0O ，()4,0B ，把AOB △绕O 点按逆时针方向旋转90°得到COD △． （1）求C ，D 两点的坐标；（2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式；（3）设（2）中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为()2,1M ，试判断PMB △是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．一般式与顶点式互化顶点式化成一般式：直接去括号化简整理 一般式化成顶点式：两种方法 ①配方法：②公式法：例16. （1）二次函数224y x x =-+化为()2y a x h k =-+的形式，下列正确的是（ ）A ．()212y x =-+ B ．()213y x =-+ C ．()222y x =-+D ．()224y x =-+（2）把二次函数221y x x =--配方成顶点式为（ ） A ．()21y x =-B ．()212y x =--C ．()211y x =++D ．()212y x =+-知识导航典型例题例17. 通过配方，把下列函数化成()2y a x m k =++的形式，并求出函数的最大值或最小值．（1）22y x x =--；（2）2241y x x =-+-； （3）2132y x x =+；（4）2321y x x =--．作业1. 对于二次函数22y x x =-+．有下列四个结论：①它的对称轴是直线1x =；②设21112y x x =-+，22222y x x =-+，则当21x x >时，有21y y >；③它的图象与轴的两个交点是()0,0和()2,0；④当02x <<时，0y >．其中正确的结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．4作业2. 已知()3,P m -和()1,Q m 是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求的值；（2）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．作业x x k k b二次函数的三种表示形式及解析式的确定（1）二次函数的三种表示形式①一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；②顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；③两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x 、2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）．注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．（2）二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．知识导航第四课 二次函数与方程不等式综合例1. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象（如图），试求该二次函数的表达式．例2. （1）如果二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点坐标为()2,4-，且经过原点，求二次函数表达式．（2）变式一：如果二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点，当2x =-时，函数的最大值为4，求二次函数表达式．（3）变式二：如果二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点，对称轴是直线2x =-，最高点的纵坐标为4，求二次函数表达式．典型例题例3. 已知二次函数 y = -x 2 +bx +c 的图象经过点求此二次函数的表达式例4. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，求其解析式．（用三种方法求解）A二次函数与y 轴交点求法对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0x =时，y c =，所以二次函数()20y ax bx c a =++≠与y 轴交点坐标为()0,c ．二次函数与轴交点个数及交点坐标的求法对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0y =时，()200ax bx c a ++=≠为一元二次方程，即方程的解为抛物线与x 轴交点的横坐标，与x 轴的交点个数规律如下：当()200ax bx c a ++=≠中的0∆>时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴有两个交点；当()200ax bx c a ++=≠中的0∆=时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴有一个交点；当()200ax bx c a ++=≠中的0∆<时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与轴没有交点． 总结如下：知识导航x例5. （1）二次函数263y kx x =-+的图象与轴有2个交点，则的取值范围是（ ）． A ．3k < B ．3k <且0k ≠ C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠（2）已知二次函数277y kx x =--的图象和轴有交点，则的取值范围是_____________．（3）若函数()234y mx m x =---的图象与轴只有一个交点，那么的值为（ ） A ．0 B ．1或9 C ．1-或9-D ．0或1-或9-（4）抛物线221y x =-+与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．3（5）二次函数23y x cx c =+++的图象与坐标轴只有两个交点，则的值为_____________．典型例题x x x c k k m例6. （1）已知二次函数23y x x m =-+（为常数）的图象与轴的一个交点为()1,0，则关于的一元二次方程230x x m -+=的两实数根是（）A ．11x =，21x =-B ．11x =，22x =C ．11x =，20x =D ．11x =，23x =（2）已知二次函数2241y x x =--的图象与轴交与A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求ABC △的面积．（3）如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点，该图象与轴的另一个交点为C ，则AC 长为_____________．m x x x二次函数与一次函数交点求二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠交点的步骤：22y ax bx cax bx c mx n y mx n⎧=++→++=+⎨=+⎩得方程()20ax b m x c n +-+-=，解方程得、代入任何一个解析式，求得对应的1y 、2y ，则交点坐标为()11,x y 、()22,x y ．注：求二次函数与其它函数的步骤与上述步骤类似． 二次函数与一次函数交点个数的确定确定二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠交点的个数的步骤：22y ax bx cax bx c mx n y mx n⎧=++→++=+⎨=+⎩得方程()20ax b m x c n +-+-=，根据()20ax b m x c n +-+-=的根的情况确定交点个数总结如下：知识导航例7. （1）直线1y x =+与抛物线232y x x =++的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无法确定（2）直线41y x =+与抛物线22y x x k =++的一个交点在轴上，求的值及另一个交点坐标．（3）已知函数232y mx x =-+（是常数），若一次函数1y x =+的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求的值及交点坐标．典型例题m m x k2222例9. （1）二次函数()20y ax bx c a =++≠和正比例函数23y x =的图象如图所示，则方程()22003ax b x c a ⎛⎫+-+=≠ ⎪⎝⎭的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定（2）函数21y x kx =++与2y x x k =--的图象相交，若有一个交点在轴上，则值为_______________．x k判断二次函数值的正、负条件：求解不等式20ax bx c ++>即二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象在轴上方的点的横坐标所组成的集合．求解不等式20ax bx c ++<即二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象在轴下方的点的横坐标所组成的集合． 判断二次函数值的恒正、恒负条件：当()200ax bx c a ++=≠中的且0∆< 时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值恒为正；当()200ax bx c a ++=≠中的且0∆<时，二次函数()20y ax bx c a =++≠的函数值恒为负．总结如下：结合图象比较大小知识导航a＞0a＜0例10. （1）如图，是二次函数2y ax bx c =++的一部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．15x -<<B ．5x >C ．1x <-且5x >D ．1x <-或5x >（2）二次函数2235y x x =-++，当满足什么条件时，函数值y 大于0？小于0？例11. （1）二次函数()()2440y a x a =--≠的图象在23x <<这一段位于轴的下方，在67x <<这一段位于轴的上方，则的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-（2）若二次函数243y x x t =-+-（t 为实数）在702x <<的范围内有解，则t 的取值范围是_____________．典型例题x a x x二次函数值与一次函数值比较大小二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数()0y kx b k =+≠函数值比较大小的步骤：联立函数解析式，求函数交点横坐标，利用图象比较大小．例13. （1）比较二次函数2123y x x =--与一次函数21y x =+的函数值的大小．（2）当满足___________时，二次函数256y x x =--+的函数值大于一次函数1y x =-的函数值．（3）当满足____________时，二次函数234y x x =--+的函数值小于一次函数22y x =-的函数值．知识导航典型例题x x例15. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象（如图），根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根； （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集；（3）写出y 随的增大而减小的自变量的取值范围；（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，根据图象写出的取值范围．例16. 已知二次函数2y ax bx c =++（）的图象过点()2,0A ，()2,4B --，对称轴为直线1x =-．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若33x -<<，直接写出y 的取值范围；（3）若一元二次方程20ax bx c m ++-=（，为实数）在33x -<<的范围内有实数根，直接写出的取值范围．x x m m a≠0a≠0k作业1. 已知二次函数21y ax bx =++，一次函数()214k y k x =--，若它们的图象对于任意的非零实数k 都只有一个公共点，则 a ，b 的值分别为（ ）A ．1a =，2b =B ．1a =，2b =-C ．1a =-，2b =D ．1a =-，2b =-作业2. 已知：二次函数2314y x mx m =-++（为常数）．（1）若这个二次函数的图象与轴只有一个公共点A ，且A 点在轴的正半轴上．①求的值；②四边形AOBC 是正方形，且点B 在y 轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B ，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；（2）当02x ≤≤时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含的代数式表示）．作业m x x m m一般的，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成ky x=（是常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数的自变量x 不能为零．小注：（1）ky x =也可以写成1y k x -=⋅或xy k =的形式； （2）ky x=若是反比例函数，则x 、y 、均不为零；例1. （1）下列函数：①3x y =；②11y x =--；③1xy =；④22m y x +=；⑤y x π=-；⑥23y x -=-；⑦()13.14y x π-=-；⑧31y x=+．反比例函数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）若()21m y m x -=-是反比例函数，则m 的值是______________．知识导航典型例题第五课 反比例函数k例2. （1）若y 与x 之间满足表达式1a y x x+=（为不等于1的常数，x ，y 为变量），则y 是x 的（ ） A ．一次函数 B ．正比例函数 C ．反比例函数D ．都不对（2）若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．二次函数D ．不能确定（3）若y 与1x +成反比例，则y 是x 的（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．不是反比例D ．不能确定（4）已知：12y y y =+，1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，且1x =时，3y =；1x =-时，1y =．求12x =-时，y 的值．反比例函数图象的画法——描点法：（1）列表——自变量取值应以0（但0x ≠为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2）描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3）连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．以2y x =为例画函数图象 列表：描点： 连线：知识导航。

目录前言第二十四章相似第1节相似形24.1 放缩与相似形﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒4 第2节比例线段24.2 比例线段﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒624.3 三角形一边的平行线（1）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒924.3 三角形一边的平行线（2）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1124.3 三角形一边的平行线（3）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1324.3 三角形一边的平行线（4）﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒15第3节相似三角形24.4 相似三角形的判定﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1724.5 相似三角形的性质﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒25第二十五章锐角的三角比第1节锐角的三角比25.1 锐角的三角比的意义﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2825.2 求锐角的三角比的值﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒30 第2节解直角三角形25.3 解直角三角形﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒ 3125.3 解直角三角形的应用﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒33 第二十六章二次函数第1节二次函数的概念26.1 二次函数的概念﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒36 第2节二次函数的图像26.2 特殊二次函数的图像﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒3926.3 二次函数2()y a x m k=++的图像﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒42前言首先要申明：任何一门学问都没有速成的法门，都要靠一分汗水才有一分收获。

我所能做的只是叫你少走点弯路而已，也仅此而已。

目录思维特训(一) 正方形的旋转变换思维特训(二) 中点四边形思维特训(三) 四边形中几种辅助线的小结思维特训(四) 与四边形有关的变换问题思维特训(五) 配方法的妙用思维特训(六) 与一元二次方程有关的阅读理解思维特训(七) 一元二次方程根与系数关系的运用技巧思维特训(八) k值法的妙用思维特训(九) 相似三角形的基本模型思维特训(十) 几何动态问题中的相似思维特训(十一) 相似三角形中的辅助线作法归类思维特训(十二) 全等与相似的综合应用思维特训(十三) 反比例函数图象的几何性质应用思维特训(十四) 反比例函数的综合应用思维特训(一)正方形的旋转变换解决与正方形旋转有关的题目，需要将旋转的性质与正方形的性质相结合，通过借助特殊的三角形、全等三角形、相似三角形等知识寻找解题思路．1．如图1－S－1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°，使点E落在点E′处，连接EE′，则下列判断不正确的是()图1－S－1A．△AEE′是等腰直角三角形B．AF垂直平分EE′C．△E′EC∽△AFD D．△AE′F是等腰三角形2．如图1－S－2，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG 绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2，其中正确的结论是________(填序号)．图1－S－23．如图1－S －3，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形A 1B 1C 1O 绕点O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么．图1－S －34．已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共顶点A ，点G ，E 分别在线段AD ，AB 上，若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，连接DG ，如图1－S －4，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG 的长度始终相等？并说明理由．图1－S －45．如图1－S－5，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究图中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系．(1)猜想图①中线段BG和线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系；(2)将图①中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图②、如图③的情形．请你通过观察、测量等方法判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图②证明你的判断．图1－S－56．如图1－S－6①，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与点A，C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1)求证：BP＝DP.(2)如图②，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明．(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并给出证明．图1－S－67．如图1－S －7，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角度n 后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 相交于点O .(1)以图中已标有字母的点为端点连接两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；(2)若正方形的边长为2 cm ，重叠部分(四边形AEOD )的面积为4 33 cm 2，求旋转的角度n .图1－S －7思维特训(二)中点四边形中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．中点四边形的形状只与原四边形对角线的位置及数量关系有关．(1)若原四边形对角线不垂直也不相等，则所得中点四边形为平行四边形；(2)若原四边形对角线垂直但不相等，则所得中点四边形为矩形；(3)若原四边形对角线不垂直但相等，则所得中点四边形为菱形；(4)若原四边形对角线垂直且相等，则所得中点四边形为正方形．类型一连接四边形各边中点得到的中点四边形1．如图2－S－1，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是()图2－S－1A．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形2．已知：如图2－S－2，分别以BM，CM为边，向△BMC外作等边三角形ABM和CDM，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．(1)猜测四边形EFGH的形状；(2)证明你的猜想；(3)△BMC形状的改变是否对上述结论有影响？图2－S－23．观察探究，完成证明和填空．如图2－S－3，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)请你探究并填空：当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是________；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是________；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________．(3)根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状是由原四边形的什么决定的．图2－S－3类型二连接对角线或其他线段中点得到中点四边形4．如图2－S－4，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．(1)判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形(不要求证明)?图2－S－45．如图2－S－5，E，F，G，H分别是线段AB，CB，CD，AD的中点，连接E，F，G，H，判断四边形EFGH的形状，并说明理由．图2－S－56．如图2－S－6，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，且BE＝CF，连接AE，BF，EF，AF，G，H，M，N分别是边AB，AF，EF，BE的中点．(1)猜想四边形GHMN的形状，并说明理由；(2)若AB＝4，CF＝2，求四边形GHMN的面积．图2－S－67．如图2－S－7，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．(1)求证：MN与PQ互相垂直平分；(2)连接MP，MQ，NP，NQ，若PQ＝6，MN＝10，求四边形MPNQ的面积和AB的长．图2－S－7思维特训(三)四边形中几种辅助线的小结1．截长补短法：通过将最长线段截成较短的两部分或将较短线段延长构造全等三角形解决线段的和差倍分问题．2．在三角形中，已知一边的中点，常在另一边上找一中点，从而构造中位线解决问题．3．在直角三角形中，常作斜边上的中线得等腰三角形，然后利用图形的性质等解决问题．类型一连接对角线解决问题1．如图3－S－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线AC上，且∠ABF ＝∠CDE，AE＝CF.(1)求证：△ABF≌△CDE；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？图3－S－12．如图3－S－2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，点E，G分别在AD，CD上，连接AF，BF，CF.(1)求证：AF＝CF；(2)若∠BAF＝35°，求∠BFC的度数．图3－S－2类型二截长补短法解决线段问题3．如图3－S－3，在正方形ABCD中，P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP 交DP的延长线于点E，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF.(1)若AE＝1，求EF的长；(2)求证：PF＝EP＋EB.图3－S－34．如图3－S－4，E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G.(1)若AB＝8，BF＝16，求CE的长；(2)求证：AE＝BE＋DG.图3－S－45．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N，AH⊥MN于点H.(1)如图3－S－5①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________．(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明．(3)如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．(可利用(2)中得到的结论)图3－S－5类型三 构造三角形的中位线解决问题6．如图3－S －6，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD ＝12，AC ＝16，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求EF 的长．图3－S －67．如图3－S －7，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点F 在AC 上，AF ＝12FC ，AD与BF 相交于点E .求证：E 是AD 的中点．图3－S －7类型四 构造直角三角形斜边上的中线解决问题8．如图3－S －8，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，M ，N 分别是边AC ，BD 的中点．求证：MN ⊥BD .图3－S －89．如图3－S －9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点E 在边AC 上，AB ＝12DE ，AD ∥BC .求证：∠CBA ＝3∠CBE .图3－S －9思维特训(四)与四边形有关的变换问题轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换，这些变换往往与特殊的平行四边形相结合，解决相关问题，需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用，还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透．类型一与轴对称相关的问题1．如图4－S－1，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为()A．5 5 B．10 5 C．10 3 D．15 3图4－S－12．如图4－S－2所示，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，E是CD上一点，BE交AC 于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________．4－S－23．如图4－S－3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP ＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原．(1)当x＝0时，折痕EF的长为________；当点E与点A重合时，折痕EF的长为________．(2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x＝2时菱形的边长．图4－S－3类型二与平移相关的问题4．已知：如图4－S－4，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．图4－S－45．如图4－S－5，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′.(1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；(2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，ABAC＝1213，求CB′的长．图4－S－56．如图4－S－6①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD的中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②.(1)求证：四边形AB′C′D是菱形；(2)四边形ABC′D′的周长为________；(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长．图4－S－6类型三与旋转相关的问题7．如图4－S－7，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED 交FG于点H.(1)求证：△EDC≌△HFE.(2)连接BE，CH.①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论；②当AB与BC的比值为________时，四边形BEHC为菱形．图4－S－78．问题情境：两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB.操作发现：(1)如图4－S－8①，点D在GC上，连接AC，CF，EG，AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由．实践探究：(2)如图②，将图①中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？并说明理由．图4－S－8思维特训(五) 配方法的妙用1．配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵活运用，可以得到多种配方形式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2＋3ab ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫32b 2；③a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ac ＝12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]． 2．配方的方法技巧：配方的目标是出现完全平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式．常用以下三种形式：(1)由a 2＋b 2配上2ab ，(2)由2ab 配上a 2＋b 2，(3)由a 2±2ab 配上b 2.同一个式子可以有不同的配方法和配方结果．类型一 完全平方式1．若4x 2＋kxy ＋y 2表示一个完全平方式，则k 的值为( ) A ．4 B ．±4 C ．±8 D ．82．已知9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是完全平方式，求常数n 的值．3．若x 2－6x ＋1＝0，求x 2＋1x 2－1的值．4．已知a ，b ，c 为整数，且满足a 2＋b 2＋c 2＋3<ab ＋3b ＋2c ，求(1a ＋1b ＋1c )abc 的值．类型二 最大(小)值5．已知多项式p ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋5，则p 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．多项式－x 2－12x ＋14取得最大值时，x 的值为( )A ．－14B ．－12 C.12 D.147．无论x 取何值，二次三项式－3x 2＋12x －11的值都不超过________． 8．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n . (1)求m ，n 的值；(2)当x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值？最小值是多少？9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式y 2＋4y ＋8的最小值． 解：y 2＋4y ＋8＝y 2＋4y ＋4＋4＝(y ＋2)2＋4.∵(y ＋2)2≥0，∴(y ＋2)2＋4≥4，∴y 2＋4y ＋8的最小值是4. (1)求代数式m 2＋m ＋4的最小值； (2)求代数式4－x 2＋2x 的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD ，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m 的栅栏围成．如图5－S －1，设AB ＝x m ，请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？图5－S －1类型三 非负数的和为010．已知a，b，c满足a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17，则a＋b＋c的值等于() A．2 B．3 C．4 D．511．已知4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值．12．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．13．已知代数式(x－a)(x－b)－(x－b)(c－x)＋(a－x)(c－x)是一个完全平方式，试问以a，b，c为三边长的三角形是什么三角形？思维特训(六)与一元二次方程有关的阅读理解阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型，它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点，由阅读材料和解决问题两部分组成，让考生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，进而解决问题．解答阅读理解题，要读懂材料，正确理解题意，弄清题目要求，理清问题与材料之间的关系．把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，多角度去思考，或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题，或在材料中所提供的信息的基础上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进行求解．类型一十字相乘法解一元二次方程1．阅读下列材料：(1)将多项式x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：解：①竖分二次项与常数项：xx－57，x2＝x·x，－35＝(－5)×(＋7)．②交叉相乘，验中项：7x＋(－5x)＝2x←x×7＝7x，x×(－5)＝－5x且7x＋(－5x)＝2x.③横向写出两因式：x2＋2x－35＝(x＋7)(x－5)．我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.试用上述方法和原理解下列方程：(1)x2－10x＋21＝0；(2)x2＋2x＝8；(3)x2－5x－6＝0.类型二换元法解一元二次方程2．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知(x＋y－3)(x＋y＋4)＝－10，求x＋y的值．解：设t＝x＋y，则原方程变形为(t－3)(t＋4)＝－10，即t2＋t－2＝0，∴(t＋2)(t－1)＝0，∴t1＝－2，t2＝1，∴x＋y＝－2或x＋y＝1.解答问题：已知(x2＋y2－4)(x2＋y2＋2)＝7，求x2＋y2的值．类型三含绝对值的一元二次方程的解法3．阅读例题，解答问题．x＋1－1＝0.例：解方程：x2＋||解：(1)当x＋1≥0，即x≥－1时，原方程化为x2＋x＋1－1＝0，即x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1.(2)当x＋1＜0，即x＜－1时，原方程化为x2－(x＋1)－1＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.∵x＜－1，∴x1＝－1，x2＝2都舍去．综上所述，原方程的解是x1＝0，x2＝－1.x－2－4＝0.依照上述解法，解方程：x2－2||类型四 与一元二次方程有关的几何问题的解法4．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少．下边是小明同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．小明的作业解：x 2－7x ＋10＝0， ∵a ＝1，b ＝－7，c ＝10， ∴b 2－4ac ＝9＞0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝7±32，∴x 1＝5，x 2＝2.当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边长分别为5，5，2； 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边长分别为2，2，5. 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边长分别是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根．(1)当m ＝2时，求△ABC 的周长； (2)当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．5．阅读下列内容，并解题：我们知道，计算n 边形的对角线条数公式为：12n (n －3)．如果一个n 边形共有20条对角线，那么可以得到方程12n (n －3)＝20.整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5.∵n 为大于或等于3的整数，∴n ＝－5不合题意，舍去， ∴n ＝8，即多边形是八边形． 根据以上内容，解答下列问题：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A 同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A 同学的说法正确吗？为什么？类型五 构造一元二次方程6．问题：已知方程x 2＋x －1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y ＝2x ，所以x ＝y2.把x ＝y 2代入已知方程，得(y 2)2＋y2－1＝0.化简，得y 2＋2y －4＝0. 故所求方程为y 2＋2y －4＝0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：(1)已知方程x 2＋x －2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数； (2)已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．思维特训(七) 一元二次方程根与系数关系的运用技巧一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实数根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .这是一元二次方程根与系数的关系，运用这一关系可解决下列问题：(1)已知方程的一个根，求另一个根．方法：利用两根之和或两根之积列方程求解； (2)求与两根有关的代数式的值．方法：将所给的代数式变形，使其出现两根之和或两根之积；(3)求方程中字母系数的值．方法：根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于字母系数的方程或不等式；(4)求作方程．方法：逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项．类型一 已知一根求另一根1．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1，且a ＝4－c ＋c －4－2，求方程的另一个根．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m －4)x －m 2＝0的一个根是1，求方程的另一个根．类型二 求与两根有关的代数式的值3．2017·仙桃 若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A ．－13B ．12C ．14D ．154．已知一元二次方程x 2＋3x －1＝0的两个实数根分别为α，β，不解方程求下列各式的值．(1)α2＋β2； (2)α3β＋αβ3；(3)βα＋αβ； (4)(α－1)(β－1)．5．设x 1，x 2是方程x 2－x －2017＝0的两个实数根，求x 13＋2018x 2－2017的值．6．已知关于x 的方程x 2＋2x －k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若α，β是这个方程的两个实数根，求α1＋α＋β1＋β的值；(3)根据(2)的结果你能得出什么结论？类型三 求字母系数的值7．已知关于x 的方程x 2＋2mx －(m ＋1)＝0，若两根倒数的和比两根倒数的积小1，求m 的值．8．已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(3a－1)x＋2a2－1＝0的两个实数根，使得(3x1－x2)(x1－3x2)＝－80成立，求实数a的可能值．类型四已知两根作新方程10．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0(n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；(2)已知a，b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求ab＋ba的值；(3)已知a，b，c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．思维特训(八) k 值法的妙用学习了比例的性质后，经常遇到和比例有关的问题，解决此类问题常用的方法是“设k 值”．利用这种方法可以巧妙地解决许多问题．“设k 值”法在解题中的应用不止以下五个方面，随着所学知识的增加，你还会发现它更多的妙用．类型一 用于化简求值1．已知x 2＝y 3＝z4，求xy ＋yz ＋3zx x 2＋y 2＋z 2的值．类型二 用于解方程组 2．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 3，x ＋y ＝20.类型三 用于比较大小3．已知a ，b ，c ，d 是互不相等的实数，其中a 最小，d 最大，且满足a b ＝cd ，试判断a＋d 与b ＋c 的大小．类型四 用于解决几何问题4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三条边长，且(a －c )∶(a ＋b )∶(c －b )＝－2∶7∶1，a ＋b ＋c ＝24.(1)求a ，b ，c 的值； (2)判断△ABC 的形状．类型五 用于分析函数图象5．若b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c＝k ，则直线y ＝kx ＋k 一定经过哪几个象限？思维特训(九)相似三角形的基本模型几何图形大都由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形，有助于我们快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．类型一平行线型如图9－S－1，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”型，图②为“X”型，它们都是平行线型的基本图形．图9－S－11．如图9－S－2，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，连接DE交AC于点G，交BC于点F，则图中相似三角形(不含全等三角形)共有______对．图9－S－22．如图9－S－3，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：OA2＝OE·OF.图9－S－3类型二相交线型常见的有如下三种情形：如图9－S－4①，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ABC.如图②，已知∠1＝∠B，则由公共角∠A得△ADE∽△ACB.如图③，已知∠B＝∠D，则由对顶角∠1＝∠2得△ADE∽△ABC.图9－S－43．如图9－S－5，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠ABE＝∠ACD，BE，CD相交于点G.(1)求证：△AED∽△ABC；(2)如果BE平分∠ABC，求证：DE＝CE.图9－S－54．如图9－S－6，小明画了一个锐角三角形ABC，并作出了它的两条高AD和BE，两条高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形，他的说法正确吗？如果不正确，请给出正确答案．图9－S－6类型三母子型将图9－S－4②中的DE向下平移至点C，则得图9－S－7①，有△ACD∽△ABC，称之为“母子”型的基本图形．特别地，令∠ACB＝90°，CD为斜边上的高(如图②)，则有△ACD∽△ABC∽△CBD.图9－S－75．如图9－S－8，在△ABC中，P为AB上一点，要使△APC∽△ACB，还需具备的一个条件是________．图9－S－86．如图9－S－9，在△ABC中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？图9－S－9类型四旋转型将图9－S－1①中的△ADE绕点A旋转一定角度，得到图9－S－10，称之为旋转型的基本图形．图9－S－107．如图9－S－11，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，∠CAE ＋∠CBE＝90°，连接BF.(1)求证：△CAE∽△CBF；(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．图9－S－118．2017·阿坝州如图9－S－12，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，P为射线BD，CE的交点．(1)求证：BD＝CE；(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．图9－S－12类型五一线三等角型(1)三等角型相似三角形是以等腰三角形或等边三角形为背景的．图9－S－13(2)三直角型相似三角形是以正方形或矩形为背景的．图9－S－149．2017·宿迁如图9－S－15，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.图9－S－1510．在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，∠EDF＝∠B.(1)如图9－S －16①，求证：DE ·CD ＝DF ·BE . (2)若D 为BC 的中点，如图②，连接EF . ①求证：ED 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB的值．图9－S －1611．如图9－S －17，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 为BC 的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P 处，三角板绕点P 旋转．(1)如图①，当三角板的一直角边和斜边分别与AB ，AC 交于点E ，F 时，连接EF ，求证：△BPE ∽△CFP .(2)操作：将三角板绕点P 旋转到图②的情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E ，F ，连接EF .①△BPE 与△CFP 相似吗？请说明理由； ②△BPE 与△PFE 相似吗？请说明理由．图9－S －17思维特训(十)几何动态问题中的相似1．我们以运动的观点探究几何图形的变化规律的问题称为动态几何问题．随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现的图形的位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题．2．点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的数量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究．3．解决此类动点几何问题常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似数学研究对象的异同，进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论．类比发现法大致可遵循如下步骤：(1)根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况；(2)结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识(常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关结论；(3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质．1．如图10－S－1，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△P AD与△PBC相似，则这样的点P共有()A．1个B．2个C．3个D．4个图10－S－12．如图10－S－2，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，BC＝8，线段BC所在直线以每秒2个单位长度的速度沿BA方向运动，并始终保持与原位置平行．该直线与AB，AC分别交于点M，N，记x秒时，该直线在△ABC内的部分的长度为y，试写出y关于x的函数表达式：__________．图10－S－23．已知：如图10－S－3①，在▱ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，AC⊥AB.将△ACD 沿AC方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1 cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t s(0＜t＜4)，连接PQ，MQ，MC.解答下列问题：图10－S－3(1)当t为何值时，PQ∥MN?(2)设△QMC的面积为y cm2，求y与t之间的函数表达式．(3)是否存在某一时刻t，使S△QMC∶S四边形ABQP＝1∶4？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．如图10－S－4，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ＝OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，C，连接AB，PB.(1)如图①，当P，Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系．(2)如图②，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．(3)如图③，∠MON＝60°，连接AP，设APOQ＝k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．图10－S－45．如图10－S－5①，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6.如图②，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从点A出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D，P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围；(3)当点P在线段AB或线段BC上运动时，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，当△PEO 与△BCD相似时，求出相应的t值．图10－S－5。

第03讲 功模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 教材习题学解题模块四 核心考点精准练（6大考点）模块五小试牛刀过关测1．知道功的概念、定义和单位。

2．理解做功的两个必要因素。

3．能够判断力在什么情况下做功及不做功。

4．能够用功的定义式进行计算。

1、功及做功的判定（1）功的定义：一个力作用在物体上，使物体在力的方向上通过一段距离，这个力就对物体做了功。

（2）功的单位：国际单位制中，功的单位是：焦耳，符号是J ，1J= 1N·m 。

（3）判断力是否做功包括两个必要因素：一是力作用在物体上；二是物体在力的方向上通过的距离。

判断一个力是否做了功。

必须同时满足功的两个必要的条件，缺一不可，否则就没有做功。

（4）力学里规定：功等于力跟物体在力的方向上通过的距离的乘积。

2、不做功的三种情况（1）物体受力，但物体没有在力的方向上通过距离（有力无距离），此情况叫“劳而无功”。

如：小朋友用力但没有搬起石头，对石头没有做功。

（2）物体移动了一段距离，但在此运动方向上没有受到力的作用（有距离无力），此情况叫“不劳无功”。

如：足球离开脚后在水平面上滚动了一段距离，人对足球没有做功。

（3）物体既受到力，又通过一段距离，但两者方向互相垂直（力和距离垂直），此情况叫“垂直无功”。

如：起重机吊起货物在空中沿水平方向移动或者提水桶，水桶水平移动了一段距离，竖直拉力不做功。

3、做功的大小比较（1）功是一个标量，有大小没有方向。

（2）功的计算公式：W=FS，其中各量单位功W：J（焦耳），力F：N（牛顿）；移动距离S：m（米）。

注意：（1）分清哪个力对物体做功，计算时F就是这个力。

（2）公式中的S 一定是在力的方向上通过的距离，且与力对应。

4、功的计算及公式的应用Ⅰ、公式法：对于恒力的功，通常利用功的定义式W=FS进行计算。

对于公式W=Fs：（1）物体沿斜向运动水平力做功时：①距离s只考虑水平方向上通过的距离。

初三上学期复习讲义一集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#初三上学期复习讲义一元二次方程一. 知识归纳 二. 1 一元二次方程概念ax 2+bx +c =0(a ≠0)三. 2 解法①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 四. 3 根的判别式⊿△=b 2-4ac 五. 4 根与系数关系1x + 2x =a b -, 1x ·2x =ac六. 填空题七. 1方程02=x 的解为__________，方程()()040022≥-≠=++ac b a c bx ax 的解为________若关于x 的二次方程(m +1)x 2-3x +2=0有两个相等的实数根，则m =______. 八. 2设方程0432=-+x x 的两根分别为1x ，2x ，则1x + 2x =______，1x ·2x =________九. =+2221x x ________, ()221x x -=________, 121213x x x x ++=___________十. 3 若方程x 2-5x +m =0的一个根是1，则m =________十一. 4 两根之和等于－3，两根之积等于－7的最简系数的一元二次方程是________ 十二. 5 已知方程2x 2+(k -1)x -6=0的一个根为2，则k =_______十三. 6若关于x 的一元二次方程mx 2+3x-4=0有实数根，则m 的值为______ 十四. 7方程 无实根，则 ______ 十五. 8如果 是一个完全平方公式，则 ______。

十六. 9若方程 的两根之差的绝对值是8，则 ______。

十七. 10若方程的两根之比为3，则_____。

十八. 11在实数范围内分解因式：=-52x ___________，12-+x x =____________122--x x =______________132--x x =____________十九. 12若a ，b 为实数，且()0232=-+-+ab b a ，则以a ，b 为根的一元二次方程是_______________二十. 13以方程0122=--x x 的两根的相反数为根的一元二次方程是______________ 二十一. 选择题 二十二. 1下列方程（1）－x 2+2=0 （2）2x 2－3x =0 （3）－3x 2=0 （3）x 2+x1=0二十三.（5）232+x ＝5x （6）2x 2－3=（x －3）（x 2+1）中是一元二次方程的有（ ） 二十四. A 、2个 B 、3个 C 、4个D 、5个 二十五. 2下列配方正确的是（ ）二十六. (1) x 2+3x =（x +23）2－23（2）x 2+2x +5=（x +1）2+4二十七. （3）x 2－21x +43=（x －41）2+161（4）3x 2+6x +1=3（x +1）2－2二十八. 3方程（x －1）2+（2x +1）2=9x 的一次项系数是（ ） 二十九. A 、2 B 、5 C 、－7 D 、7三十. 4方程x 2－3x +2－m =0有实根，则m 的取值范围是（ ）三十一. A 、m ＞－41 B 、m ≥41 C 、m ≥－41 D 、m ＞41三十二. 5方程（m +1）x 2－（2m +2）x +3m －1=0有一个根为0，则m 的值为（ ）三十三. A 、32 B 、31 C 、－32 D 、－31三十四.6方程()()1231=+-x x 化为02=++c bx ax 形式后，a 、b 、c 的值为（ ）三十五. （A ）1，–2，-15 （B ）1，-2，15（C ）-1，2，15 （D ）–1，2，–15 三十六. 7方程()()02322=-+x x 的解的个数是（ ） 三十七. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三十八.8若方程07532=--x x 的两根为x 1，x 2，下列表示根与系数关系的等式中，正确的是（ ）三十九. (A)7,52121-=⋅=+x x x x （B ）37,352121=⋅-=+x x x x四十. （C ）37,352121=⋅=+x x x x （D ）37,352121-=⋅=+x x x x四十一. 9以215-和215+为根的一元二次方程是（ ） 四十二.（A ）0152=+-x x （B ）02522=+-x x （C ）0152=++x x （D ）02522=++x x四十三.10如果一元二次方程02=++c bx ax 的两个根是x 1，x 2，那么二次三项四十四. 分解因式的结果是（ ）四十五. （A ）()()212x x x x c bx ax --=++ （B ）()()212x ax x ax c bx ax --=++ 四十六. （C ）()()212x x x x a c bx ax ++=++ （D ）()()212x x x x a c bx ax --=++ 四十七. 11在实数范围内，1842++x x 可以分解为（ ）四十八. （A ）()()3232++-+x x （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--232232x x 四十九.（C ）()()322322++-+x x （D ）()()32232241++-+x x 五十. 12已知方程()031222=+--m x m x 的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） 五十一. （A ）1±=m （B ）1-=m （C ）1=m （D ）0=m 五十二.13如果关于x 的方程3ax 2－23（a －1）x +a =0有实数根，则a 的取值范围是（ ） 五十三.A 、a <21且a ≠0 B 、a ≥21 C 、a ≤21且a ≠0 D 、a ≤21 五十四. 14若方程2x （kx －4）－x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） 五十五. A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 五十六. 15一元二次方程一根比另一根大8，且两根之和为6，那么这个方程是（ ） 五十七. A 、x 2－6x －7=0 B 、x 2－6x +7=0 C 、x 2+6x －7=0 D 、x 2+6x +7=0 五十八.16已知方程07822=+-x x 的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角 形的斜边的长是（ ） 五十九. （A ）9 （B ）6（C ）3（D ）3六十. 17若一元二次方程02=++q px x 的两根之比为3∶2，则q p ,满足的关系式是（ ） 六十一.（A ）q p 2532=（B ）q p 2562=（C ）q p 3252=(D)q p 6252=六十二. 18方程x 2-2x-m=0有两个正实根，则m 的取值范围是 （ ） 六十三.A 、0<m<1B 、m>0C 、－１≤m ＜０ Ｄ、m ＜－１六十四.19一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根之和为m ，两根平方和为n ，则c bm an ++2121 的值为（ ）六十五. A 、0 B 、22n m + C 、2m D 、2n 六十六.20已知关于x 的一元二次方程032=+-m x x 的两根21x x 、满足161112221=+x x ，则m 的值为（ ） 六十七. A 、4 B 、－36 C 、4或－36 D 、－36或－4六十八.21若一元二次方程的两根21x x 、满足下列关系：=+++22121x x x x 0,05222121=+--x x x x ，则这个一元二次方程（ ）六十九.A 、032=++x xB 、032=--x xC 、032=+-x xD 、032=-+x x七十. 解方程 七十一.1、04)221(2=-+x2、0662=++x x3、06)32(5)32(2=+---x x七十二. 七十三. 七十四. 七十五.七十六.4、22)3(4)23(-=+x x5、06122=+-x x6、34124)3(2-+=-x x七十七. 七十八. 七十九.八十. 八十一. 在实数范围内分解因式 八十二.1、592-x2、3742--x x3、22582y xy x +- 八十三. 八十四. 八十五. 八十六.八十八. 1已知方程0132=--x x 的两个根是21,x x ，求代数式 八十九. （1）()()1121--x x ；（2）111221+++x xx x 的值。