逻辑函数的最小项表达式

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03第二章-2 卡诺图化简逻辑函数

注意：卡诺图水平方向同一行首尾，同一列首尾也为逻辑相邻相。
m0 与 m1 、 m2 逻辑相邻。
三变量卡诺图
四变量卡诺图
圆柱面
m0 与 m1 m2 m4 m1 与 m0 m3 m5
球面
均为逻辑相邻均为逻辑相邻
m0 与 m1 m2 m4 m8 均为逻辑相邻 m1 与 m0 m3 m5 m9 均为逻辑相邻
(1) 在卡诺图构成过程中，变量的取值按格雷码的顺序排列。二变量卡诺图
格雷码：相邻两个代码之间只有一位发生变化
B0 A
1
0 m0 m1
1 m2 m3
平面表格
(2) 卡诺图两侧标注的数值代表的二进制数对应的十进制数即为格中对应的最小项编号。 (3) 几何位置相邻的最小项也是逻辑相邻项。 (4) 卡诺图是上下、左右闭合的图形。
二、用卡诺图表示逻辑函数
由于任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，所以自然也就可以用卡诺图表示逻辑函数了。 1、逻辑函数→卡诺图 (1) 最小项法 ① 将逻辑函数化为最小项表达式； ② 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其余位置填入0或不填。这样就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。
例1：
Y = ABC + ABC ′ + AB′ = AB(C + C ′) + AB′ = AB + AB′ = A
例2
ABC + A′ + B′ + C ′ ′ = ABC + ( ABC ) = 1 A′BC ′ + AC ′ + B′C ′
例3
= A′BC ′ + ( A + B′)C ′ ′ = A′BC ′ + ( A′B ) C ′ = C ′

最小项和标准与或式

例2.5.12 试将下列函数利用真值表转化成两种标准形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输入有反变量输入
A
＆
C
＆

数字电路、圈卡诺图、最大项最小项

逻辑函数表达式的转换
最大项表达式真值表中每一个对应函数值为0的输入变量实际上就是一个函数包含的最大项，例如三变量ABC=111，函数F=0，就对应最大项 M7。如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些最大项取出相与，便是函数的最大项表达式。
逻辑函数表达式的转换
例将函数 F(A, B,C) AC ABC 转换为最大项表达式。
AB C
0
1
00
01
11
10
1
0
0
1
0
1
1
0
ABC ABC BC
ABC ABC BC
逻辑函数化简—卡诺图化简
（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
AB
C
00
01
11
10
ABC ABC ABC ABC
0
1
1
1
1 (AB AB AB AB)C
① 表达式中的与项最少； ② 在满足①的条件下，每个与项中的变量个数最少。
实现最简与-或式逻辑功能对应的电路所需要的与门最少，并且与门总的输入引脚最少，因而电路的连线最少。
逻辑函数化简—代数化简
逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。
（1）并项法
利用公式 AB AB A 将两个与项合并成一个与
逻辑函数化简—卡诺图化简
下图显示的是三变量（A、B、C）的卡诺图。格中标出相应的最小项mi。
三变量的每个最小项有三个相邻的最小项，图中m2有三个相邻最小项：m0、m3 、m6
AB
C
00 01 11 10
0 m0 m2 m6 m4 1 m1 m3 m7 m5

卡诺图化简法

ABC ABC A BC
m3 m2 m1
m(1、 2、 3)
例2
L( ABC ) ( AB AB C ) AB
AB AB C AB
AB AB C AB ( AB AB) C AB ABC ABC AB(C C) ABC ABC ABC ABC
⒈用摩根定律去掉非号(多个变量上)直至只在一个变量上有非号为止
⒉用分配律去除括号，直至得到一个与或表达式
⒊配项得到最小项表达式
习例1
题
A B A BC
的最小项
求函数F(A、B、C) 表达式解：F(A、B、C)
A B A BC
A B A BC
AB(C C) A BC
如:
m0 m2 m4 m6 m8 m10 m12 m14 D
2.用卡诺图化简逻辑函数的方法和步骤
设已得到逻辑函数的卡诺图
1) 将相邻的值为“1”的小方块画成若干个包围圈
ⅰ)每个包围圈中必须含有2n个小方块 (n=0,1,2, …)
画圈原则
ⅱ)小方块可重复被包围，但每个包围圈中必须含有其他包围圈没有的新小方块 ⅲ)不能漏掉任何值为1的小方块 ⅳ) 包围圈所含的小方块数目要尽可能多 ⅳ) 包围圈数目要尽可能少，画包围圈的顺序由大→小
10 1
01 11 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
1 1 1
D
3.具有无关项的逻辑函数的卡诺图化简
无关项的定义
在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。

逻辑函数的化简

1、逻辑函数的最小项及其性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。 3个变量A、B、C可组成8个最小项：
A B C 、A B C、A BC 、A BC、AB C 、AB C、ABC 、ABC
Y ( A B)(C D E )
Y A B C D E
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·” 换成“＋”，“＋”换成“·” ，“0” 换成“1” ，“1” 换成“ 0” ，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式 Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
ABC ABC AB C ABC
m6 m7 m1 m3
m6 m7 m1 m3
或 m 1 , 3 , 6 , 7
作业：
将
L( A, B, C ) AB AC +BC化成最小项表达式
L( A, B, C ) AB(C C ) A( B B)C
A B
0-1率A· 1=1
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
（3）最小项的性质：
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1

经典：8、逻辑函数最小项表达式

__
__ __ __ __ __
ABC ABC ABC A BC A BC
重叠定律
__ __ __
ABC ABC A BC
m7 m6 m2
4
例4、已知逻辑函数f(A,B,C)的真值表如
下，试写出它的最小项表达式。
A
B
C
f(A,B,C)
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
补足的方法是：例如项A__B需补足变量C，只要构建 AB AB(C C)
3
__ __ __
例3将逻辑函数f (A, B,C) AB BC A BC
表示为最小项表达式。
__ __ __
பைடு நூலகம்
解：f (A, B,C) AB BC A BC
__
__ __ __ __
AB(C C) (A A)BC A BC
8
9
10
小结
1、逻辑函数的最小项表达式：任何一个逻辑函数都可以写成它的最小项的与或式。方法：最小项表达式：首先要将逻辑函数写成与或式，然后将因子不足的项补足。 2、在真值表中值等于1的最小项的与或式为逻辑函数的最小项表达式。
11
最小项表达式
盐高职高二数学组：陆军
1
2
定义：任何一个逻辑函数都可以写成
它的最小项的与或式，这叫做该逻辑函数
的最小项表达式。
__ __ __
例3、将逻辑函数f (A, B,C) AB BC A BC
表示为最小项表达式

电子技术及应用第七章-第四节-3逻辑函数表达式的最简标准

2、最简与非—与非表达式
最简与非-或非表达式，就是式中的非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非与非表达式。
பைடு நூலகம்
Y A B AC A B AC
__________ ____ _____ _____ __ __ __________ __ __________ __ __ __
__
__
A B A C
3、最简或与表达式
最简或与表达式，就是式中的括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少。
__ __
Y A B AC ( A B)( A C )
__ __
4、最简与或非表达式
最简与或非表达式，就是式中非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。
Y A B AC ( A B )( A C ) A B AC
__________ ____ __ __ __ __
__
__
所以，对逻辑函数进从上面所介绍的函数的各种最简表达式可知，只要得到了函数的最简与或表达式，再利用摩根定律进行适当的变换，就可以得到其他几种类型的最简表达式。
逻辑函数的最小项
如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一
个标准积项，标准积项通常称为最小项。
逻辑函数的最小项表达式
任一个逻辑函数均可以表示成一
函数的标准与或表达式
组最小项的和，这种表达式称为函数
的最小项表达式，也称为函数的标准与或表达式，或称为函数的标准积之和表达式。任何一个n变量的函数都有一个且仅有一个最小项表达式。

逻辑函数的三个规则和标准形式

A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式，或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成：或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－

数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项

四.最简或与表达式
F ( A B)( A B)
__ __
__
__
五.最简或-与非表达式 F ( A B)( A B)
【例1】: 将逻辑函数
Y AB C BC BD 化成与非-与非形式。
解：首先将Y化成标准的与-或式
Y ABC BC BD
再利用德-摩根定律即得到
可写成：
ABC ABC ABC ABC ABC 0
约束项：恒等于0的最小项
2)、任意项
有时还会遇到另外一种情况，就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可，并不影响电路的功能。
任意项：在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。
3)、无关项
约束项和任意项统称为无关项。
强化：逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少一. 最简与-或式二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
( ABD ABD) ( ACD ACD) AD AD
【例3】化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 0
解：采用卡诺图化简法
AD
Y AD AD
变量的各组取值对应的最大项及其编号最大项编号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1

逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。

但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。

运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。

但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。

以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。

下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。

例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。

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逻辑代数基础华中科技大学罗杰
7
逻辑函数的最小项表达式
逻辑函数表达式的形式
每一个与项都是最小项每一个或项都是最大项
最小项和与最小项表达式
最小项的定义
•在n 变量逻辑函数中，若一个乘积项包含了全部的n 个变量，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次，则称该乘积项为最小项(minterm)。

•一般n 个变量的最小项应有2n 个。

C B
A
C B A
C B A BC A
C B A
C B A
C AB ABC
最小项
B
A
ABCA
()
A B C
不
是
最
小
项
例如，三个变量A、B、C 的最小项有八个
m0 m1 m2 m3m4 m5 m6 m7
例如，以三个变量乘积项为例，它的二进制取值为000，对应十进制数0，所以把最小项记作m 0；
•通常用m i 表示最小项，m 表示最小项,下标I 为最小项编号，用十进制数表示。

•将最小项中的原变量用1表示，非变量用0表示，可得到最小项的编号。

C B A C B A 乘积项的二进制取值为001，对应十进制数1，所以把最小项记作m 1。

三个变量的所有最小项的真值表m 0
m 1
m 2
m 3
m 4
m 5
m 6
m 7
A
B
C
000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101
1
1
1
C B A BC A C B A C B A C B A C AB ABC
C B A
C B A BC A C B A C B A C B A C AB ABC
C B A A
B
C
000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101
1
1
1
•对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；
•不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；•对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；•对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

最小项的性质：
•由若干最小项相或构成的表达式，也称为标准与-或式。

最小项表达式
为“与或”逻辑表达式；
在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。

例将(,,)L A B C AB AC
=+化成最小项表达式。

解：这是一个 3 变量逻辑函数。

AB C AB C C ABC ABC ∴+=+中缺少变量因子，（） AC B AC B B ABC ABC
∴+=+中缺少变量因子，（）
例将(,,)L A B C AB AC
=+化成最小项表达式。