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第二章4公式化简最小项表达式

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第二章 逻辑函数及其简化

第二章 逻辑函数及其简化

L 表示。
利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数 求函数 L AC B D 的反函数：
解： L ( A C) ( B D) 例 求函数 解：
L A B D
在应用反演规则求反函数时要注意以下两点： （1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明；
A B
如：串联开关电路
逻辑符号和表达式
A B C
P
P = A ·B · C=A×B ×C = A B C
&
真值表：列出输入的所
有状态和输出值。
逻辑1: 表示开关”闭”,灯的” 亮”. 逻辑0: 表示开关”断”,灯的”
A B
断 断 断 闭 闭 断 闭 闭
P
灭 灭 灭 亮
A B 0 0 0 1 1 0 1 1
B
逻辑符号和表达式
A B C ≥1
真值表：
A B 0 0 0 1 P 0 1 1 1
P = A + B+ C
或逻辑也称逻辑加运算，相当于 集合中的并集，根据并集的概念， 不难确定逻辑加的运算规则： A+B = P 0+ 0 = 0 0+ 1 = 1 1+ 0 = 1
A B P 00 0 0 1 1 1 0 1
第二章 逻辑函数及其简化
2.1 基本概念
2.2 逻辑代数 2.3 逻辑函数的表示方法 2.4 代数法化简逻辑函数 2.5 逻辑函数的卡诺图化简
2.1 基本概念
逻辑门电路：在数字电路中，实现逻辑运算功能的电路。 如：与门、或门、非门。 逻辑状态：在数字电路中；把一个状态分为两种，一种 状态叫逻辑1，另一种状态叫逻辑0 。
名称

第二章-逻辑函数及其简化

第二章-逻辑函数及其简化

A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 0 0 1
例2 有X、Y、Z三个输入变量，当其中两个或两个以上取值 为1时，输出F为1；其余输入情况输出均为0。试写出描述此 问题的逻辑函数表达式。 解：三个输入变量有23=8种不同组合，根据已知条件可得真值表 如 下：
由真值表可知，使F=1的输入变量组合有4个，所以F的与—或 表达式为：
F XYZ X Y Z XY Z XYZ
2）逻辑函数的表示方法
（1）真值表 逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时， 共有2n个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值 的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表 示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值 和变量取值之间的关系。
对偶关系
A(A+B)=AB
4）包含律
证明：
AB+AC+BC=AB+AC
AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+AC
对偶关系
5) 关于异或和同或运算
对偶数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
对奇数个变量而言， 有 A1A2... An=A1 A2 ... An
异或和同或的其他性质:
A 0= A 1= A A= A (B C)=(A B ) C A (B C)=AB AC
A 1=A A 0 =A A A= 1 A (B C)=(A B) C A+(B C )=(A+B) (A+C)

逻辑代数基础

逻辑代数基础

所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )

卡诺图_精品文档

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例2-6-2 4线-2线优先编码器
E a3 a2 a1a0 b1 a3 a2 b0 a3 a2 a1
例2-6-3 译码器
Y3 b1b0 m3 Y2 b1 b0 m2 Y1 b1b0 m1 Y0 b1 b0 m0
例2-6-4 多路开关
Y a1 a0d0 a1a0d1 a1 a0d2 a1a0d3
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。 表2-4-2 四舍五入电路真值表
例：8421BCD码输入的四舍五入电路。
z(b3,b2 ,b1,b0 ) m (5,6,7,8,9) d (10,11,12,13,14,15) z(b3,b2 ,b1,b0 ) M (0,1,2,3,4) D (10,11,12,13,14,15) z(b3 , b2 , b1, b0 ) b3 b2b1 b2b0
27
26
30
31
29
28
10
16
17
19
18
22
23
21
20
abc z 000 1 001 1 010 1 011 0 100 1 101 0 110 0 111 1
bc 00 01 11 10
a
0 1 0 1 1 03 1 2 1 1 4 0 5 17 0 6
例： 由真值表到卡诺图
2-4-2 表达式与卡诺图
卡诺图：唯一的，用于逻辑函数化简。
表达式： 与或式（不唯一）、或与式（不唯 一） 、最小项表达式（唯一） 、最 大项表达式（唯一）。
逻辑图：与—或和与非—与非电路、或—与 和或非—或非电路，与或非电路。
小结（续）
组合逻辑电路分析的步骤： 逻辑图→表达式→真值表→总结逻辑功能 组合逻辑电路分析的步骤： 文字描述→真值表、表达式→化简→逻辑图

第2章 逻辑代数与逻辑化简

第2章 逻辑代数与逻辑化简

L ABC ABC ABC ABC
反之，由函数表达式也可以转换成真值表。 例2 写出函数 L A B
A B
真值表。
解：该函数有两个变量，有4种取值的可能 组合，将他们按顺序排列起来即得真值表。
逻辑函数及其表示方法（4）
3．逻辑图——逻辑图是由逻辑符号及它们之间的连线而构成的图形。 由函数表达式可以画出其相应的逻辑图。 例3 画出下列函数的逻辑图： 解：可用两个非门、两个与门 和一个或门组成。
∴等式成立 同理可得
AB A C BCD AB A C
逻辑代数的运算规则（4）
基本逻辑定理 （1）对偶定理 若已知等式
F G
1 0
F
1 0
0 1
" " " " " " " "
F
D
G
0 1
F的对偶式
" " " G的对偶式 " " " " "
L A B A B
由逻辑图也可以写出其相应 的函数表达式。 例4 写出如图所示逻辑图的函数表达式。 解：可由输入至输出逐步 写出逻辑表达式：
L AB BC AC
逻辑函数及其表示方法（5）
逻辑函数的标准形式 考查逻辑函数： F f ( A, B) AB AB AB 化简，有： 最小项 A AB 0 AB 0 AB 1 AB 1 B 0 1 0 1 标准“与或” 式
0 1 0 1
A 0 1
Y 1 0
0 1 0 1
&
≥1
A A
1
Y Y
逻辑 符号

2 逻辑函数及其化简

2 逻辑函数及其化简

1 1 1 1 1 1
AD
B
11
A 冗余项
AC
10
∴ F2 ( A, B, C, D) = AB + BC + AD
C
AB
例：用公式化简法得到下式，问是否最简， 若不是请化简之。
F3 ( A , B, C) = A B + AC + AB + BC
填项：
A
0 1
BC00
C
01 1 11 1 10
1
第二章 逻辑代数基础
§2.1 逻辑代数运算法则 §2.2 逻辑函数的化简 §2.3 卡诺图法
§2.1 逻辑代数运算法则
依据： 1.逻辑变量只取：0 、1两种状态。 2.与、或、非是三种最基本的逻辑运算。 与普通代数运算法则类似的：分配 律、结合律、交换律等。 与普通代数运算法则不同的： A•A=A A+A=A A = A (还原律）
= B + BD + ABD + ABCD
吸收消去
= B + BD
（长中含短，留下短）
吸收消去 （长中含反，去掉反） ∴F1 = B + D（最简与或式）
F2 = AD + AD + AB + AC + BD + ACEF+ BEF + DEFG
A
吸收消去 （长中含短，留下短）
(合并项)
= A + AC + BD + BEF + DEFG
ABD
D
01
（ + C) C
直接填入
11
10
01 11
1
1
B A

逻辑函数的公式法化简

=AB + (A + B )C
=AB + ABC
=AB + C
数字电路与逻辑设计
电子工 程学院
School of Electronic Engineering
厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
4 .配项法：
利用公式 A + A = 1、A - A = 0、AB + AC = AB + AC + BC，将某一
数字电路与逻辑设计
! !!在化简逻辑函数时，要灵活运用上述方法，才能将逻辑函数化为最简。
例7:化简逻辑函数： L = AD + AD + AB + AC + BD + ABEF + BEF
解：L = A + AB + AC + BD + ABEF + BEF
（利用 A + A = 1 ）
=A + AC + BD + BEF （利用A+AB=A）
乘积项展开为两项，或添加某乘积项，再与其它乘积项进行合并化简。
例 6： L = AB + AC + BCD
=AB + AC + BCD( A + A)
=AB + AC + ABCD + ABCD
=AB + AC
电子工 程学院
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厚夜博学
第二章逻辑函数及其简化
=AC+CD
电子工 程学院
School of Electronic Engineering

数字逻辑第二章


☆ 或运算 ☆ 与运算 ☆ 非运算
第二章 逻辑代数基础
或运算（或门）
☆ 真值表
假定开关断开用0 表示，开关闭合用
A
B
F
1表示；灯灭用0表
示，灯亮用1表示
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
F 0 1 1 1
☆ 逻辑表达式 F=A+B
☆ 逻辑运算 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1
逻辑或的 记忆规律： 见“1”为“1” 全“0”则“0”
1．最小项 （1）定义：如果一个具有n个变量的函数的“与项”包 含全部 n 个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现一 次，且仅出现一次，则该“与项”被称为最小项。 （2）最小项的数目：n个变量可以构成2n个最小项。 例如，3个变量A、 B、 C可以构成 、 、…、 A B C共8个最小项。 （3）简写：用mi表示最小项。 下标i的取值规则是：按照变量顺序将最小项中的原变 量用1表示，反变量用0表示，由此得到一个二进制数，与 该二进制数对应的十进制数即下标i的值。
学习目标
1、 熟练掌握8个定理，3个规则 2、 掌握复合逻辑运算
第二章 逻辑代数基础
一、逻辑代数的基本定理
常量运算：定理1 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 ； 0 · 0 = 0 0 · 1 = 0 A · A = A 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1
数字逻辑
授课课时：40课时（理论32课时） 授课班级：计算机1151，1152
主讲教师：刘春燕
第二章 逻辑代数基础
2.1 2.2 2.3
逻辑代数的基本概念 逻辑代数的基本定理和规则 逻辑函数表达式的形式与变换

布尔代数与逻辑函数化简


最大项性质： 1. 任何取值下仅有一个 最大项为0 互为 对偶
2. mi ⋅ m j = 0(i ≠ j )
3.
2. M i + M j = 1(i ≠ j )
∑
mi = 1
3.
∏M
i
=0
4. 任何函数均可表示为 最小项之和形式 5. 相邻的两个最小项可合 并为一项，并消去一个 因子
4. 任何函数均可表示为 最大项之积形式 5. 相邻的两个最大项可合 并为一项，并消去一个 因子
A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B + B + D
A+ B +C + D
A+ B +C + D
A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B +C + D A+ B +C + D
ABCD
2010.9
3. 最小项和最大项的性质
Bai Tianrui
最小项性质： 1. 任何取值下仅有一个 最小项为1
F1 = AB + B C + AB C
和项之积（先或后，POS—Product of sums ：
F2 = ( A + B )( B + C )( A + C )
2010.9
2. 最小项和最大项
Bai Tianrui
最小项（Minterms） ：在n变量逻辑函数中，如果mi是包含 n个变量的乘积项，且这n个变量均以原变量或反变量 的形式在mi中出现且仅出现一次，则mi被称 为n个变量的最小项。

数字逻辑基础卡诺图化简

表1-19 逻辑函数Y的真值表 A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 2018/10/20 图1-12 例3的卡诺图
13
练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图
A B C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 Y 0 0 0 1
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
2018/10/20
0
1 1 1
14
（2）从最小项表达式画卡诺图 把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填 入1，其余的小方块中填入0。 例4： 画出函数Y(A、B、C、D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15) 的卡诺图。
2018/10/20
图1-14 例4的卡诺图
AB ABC AB来自 ( AB AB)C AB(C C)

ABC ABC ABC ABC
ABC ABC ABC
m(2,3,4)
2018/10/20 8
练习： 1： 将逻辑函数展开为最小项表达式
Y ABCD ACD AC
2： 若最小项表达式为Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7), 写出其对应的最小项与或表达式
15
（3）从与－或表达式画卡诺图 把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积 项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都 填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5：已知 Y AB ACD ABCD ，画卡诺图。
Y1 AB AB (C C )( D D) AB C D AB C D ABC D ABCD m (12,13,14,15)
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第六节
逻辑函数的化简
一、化简的意义和最简的标准 ：
1.化简的意义（目的） ： 节省元器件；提高工作可靠性 2. 化简的目标 ： 最简与或式或者最简或与式 逻辑函数式有多种形式，如与或式， 或与式，与非与非式，或非或非式等等。
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
1
AB+AC =AB AC =A(B+C) =A＋B+C
与或式 与非与非式 或与式 或非或非式 两次取反 两次取反
与或式使用最多，因此只讨论与或 式的最简标准. 3.最简的标准 ：
(1)含的与项最少； －－门最少 (2)各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 2
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 10
练习：
Y2 AB AB BC BC
Y2 AB AB BC BC AB AB(C C ) ( A A) BC BC AB ABC ABC ABC ABC BC AB(1 C ) BC ( A 1) AC ( B B) AB BC AC
3
练习：用并项法化简下列逻辑函数
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C) AB AB B(A A) B
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 4
=BC+AC+AB （分配律）
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 14
例1
解法2
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC + ABC （等幂律） =BC + AC + AB （吸收律1）
（ABC+ABC=BC， ABC+ABC=AC， ABC+ABC=AB）
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 22
(2)最小项表达式（标准与或式）
例：F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
m0 m2 m4
(m0 , m2 , m4 ) m(0,2,4)
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
23
2. 最小项的性质 一变量函数，如 F(A)，共有：2个最小项 即：A、A 二变量函数，如 F(A,B)，共有：4个最小项 即：A B、A B、A B、A B
此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：
=AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
17
公式化简法
优点：不受变量数目的限制。
缺点：没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需 要一定的技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
练习：
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC A[(BC BC ) ( BC BC)] A[ B C B ⊙ C ] A 1 ＝A
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 5
小项 。
n 即： mi m j mi (0 i( j ) 2 1, 且i j )
证明： 若自变量的取值组合使mi = 1 ( 有且只有一组) ， mi m j 1 mi 则： 若自变量的取值组合使mi = 0 ( 其余2 -1组)， mi m j 0 mi 则： 所以，等式成立。
Y3 AB C ACD BCD
Y3 AB C ACD BCD AB C C ( AD BD ) AB C ( AD BD ) AB C ( A B) D AB C ABD AB C D
2013年1月30日星期三
⑥
证明： 根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中 的原、反变量互换，即得到F′。 所以，F 和F′中包含的最小项的个数是相等的， 且对应的最小项的编号之和为( 2 -1 )。 即上述关系式成立。
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 28
n
⑤
（k为0 ~ (2 1)中除了j以外的所有正整数）
n
证明：
因为 m j mk 1
当 m j 0时， mk 1
当 m j 1时， mk 0 所以 m j mk
即上述关系式成立。
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 29
2. 消项法
利用消项公式 A + AB = A或A + AB = A + B
或A B + A C + B C = A B + A C
例1： F = A B + A B C + A B D
=AB+AB(C+ D) =AB 例2： F = A C + C D + A D E + A D G =AC+C D
三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：8个最小项 即：A B C、A B C、A B C、A B C
A B C、A B C、A B C、A B C 结论：n变量函数，共有：2 个最小（大）项。
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 24
n
(1) 最小项的主要性质 ① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组 合，使它的值为1。
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 12
(4) 综合法
公式名称 1.0-1律 2.自等律 3.等幂律 4.互补律 5.交换律 6.结合律 7.分配律 8.吸收律1 9 .吸收律2 10 .吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
2013年1月30日星期三
先找公共因子，再找互补因子
201 逻辑函数的表达式
一、常见表达式
二、标准表达式
1.最小项、最小项表达式 2. 最小项的性质 3. 由一般表达式写出最小项表达式的方法 4. 由真值表写出最小项表达式的方法
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
19
一、常见表达式
F = AB + AC = AB + AC 与或式
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
11
练习：
Y3 AB BC BC AB
Y3 AB BC BC AB AB BC ( BC AB AC ) ( AB BC AC ) ( BC AB AC ) ( AB AC ) ( BC AC ) AB AC BC
=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3）
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
16
例3
F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律A+A=1） =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律） =AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2： AB+ABC=AB） =AB+BC+ABC+ABC （吸收律2：BC+ABC=BC）
第二章 逻辑代数基础 13
公
例1
解法1
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB) =ABC+A（BC+B） （分配律） =ABC+A（C+B） （吸收律3） =ABC+AC+AB （ 分配律） =（AB+A）C+AB （分配律） =（B+A）C+AB （吸收律3）
7
练习：
Y1 AB AC BC
Y1 AB AC BC AB ( A B )C A B A BC AB C
Y2 AC B C AB Y2 AC B C AB
AC BC AB AC BC
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 8
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
25
A B C
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
ABC
0 0 0 0
能使最小项的值为1的取
值组合，称为与该最小
项对应的取值组合。 例：101 ABC 。
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
2013年1月30日星期三
0
1 0 0
若把与最小项对应的取 值组合看成二进制数， 则对应的十进制数就是 该最小项的编号i。
= AB · AC
=(A+B)·A+C) ( = AB + A C
与非—与非式
与或非式
2013年1月30日星期三
第二章 逻辑代数基础
20
= ( A + B ) ·A + C ) (
或与式
= ( A + B ) ·A + C ) (
= A+B +A+C 或非—或非式
二、标准表达式
1.最小项、最小项表达式 (1)最小项的概念及其表示