第 2 章逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家 George Boole 在十九世纪提出 , 因此也称布尔代数 , 是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
也叫开关代数， 是研究只用 0 和1 构成的数字系统的数学。
基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。
复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异 或”、“同或”等。
AB基本逻辑运算～ 220VF1. “与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。
②运算电路：开关 A 、B 都闭合，灯 F 才亮。
③表示逻辑功能的方法：真值表A B F 灯 F 的状态代表 开关 A 、B 的状态代0 0表输入：0 1 0 输出：1 0 0 “ 0”表示亮；“0”表示断开；111表达式： F A B= ? 逻辑符号：A &FA FA FBBB国家标准 以前的符号欧美符号功能说明： 有 0 出 0，全 1 出 1。
在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：A BA BA B&FFF通过“ ?”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。
推广：当有 n 个变量时： F=A 1A 2 A 3 ? ? ? A n “与”运算的几个等式：0?0=0，0?1=0， 1?1=1A?0=0（0-1 律）， A?1=A （自等律），A?A=A （同一律）， A?A?A=A （同一律）。
2. “或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。
A②运算电路： 开关 A 、B 只要闭合一个，灯 F 就亮。
B～220VF③表示逻辑功能的方法：逻辑功能： 有 1 出 1，全 0 出 0。
真值表：（略）表达式： F=A+B逻辑符号：A≥ 1FA FAFB+BB国家标准以前的符号欧美符号推广：当有 n 个变量时： F=A 1+A 2+ A 3+? ? ? +A n“或”运算的几个等式：0+0=0，0+1=1， 1+1=1A+0=A （自等律） A+1=1（ 0-1 律），A+A=A （同一律）。
上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。
3．“非”运算①逻辑含义：当决定事件的条件具备时， 事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。
R②运算电路：开关 A 闭合，灯 F 不亮。
～ 220VAF③表示逻辑功能的方法：逻辑功能： 入 0 出 1，入 1 出 0。
真值表：（略）表达式： F= A逻辑符号：A1F AF AF国家标准以前的符号欧美符号“非”运算的几个等式：A =A （还原律）；A+ A =1、AA =0（互补律）。
2.1.2复合逻辑运算1．“与非”运算“与”和“非”的组合。
有专门实现这种运算的实际器件（如TTL 与非门等）。
逻辑符号：A &FA FA FBBB国家标准以前的符号欧美符号表达式： F= AB ；真值表：（略），逻辑功能为： 有 0 出 1，全 1 出 0。
2．“或非”运算“或”和“非”的组合。
也有专门实现这种运算的实际器件（如TTL 、 CMOS 与非门等）。
逻辑符号：A≥1FA FAFB+BB国家标准 以前的符号欧美符号表达式： F= A B ；真值表：（略），逻辑功能为： 有 1 出 0，全 0 出 1。
3．“与或非”运算逻辑符号：A & ≥ 1AAB FB FB FCC +CDDD国家标准 以前的符号 欧美符号表达式： F= AB CD ；真值表：（略）。
4．“异或”运算逻辑功能：两变量状态 相异出 1，相同出 0。
真值表：（略）。
表达式： F=A B= A B + A B逻辑符号：A =1A A BFFFBB国家标准以前的符号欧美符号“异或”运算的几个等式：A0 = A ；A 1 = A ；A；AAA =1 = 05．“同或”运算逻辑功能：两变量状态 相异出 0，相同出 1。
逻辑符号：A =1A FA BF⊙FBB国家标准 以前的符号欧美符号与“异或” 运算正好相反， 也称“异或非” 运算。
“异或” 运算的几个等式 （略）。
逻辑代数的基本定律及规则2.2.1 逻辑代数的基本定律或者称为基本公式：0-1 律： 1· A=A ； 0+A=A 。
0· A=0； 1+A=1。
交换律： AB=BA ； A+B=B+A 。
结合律： A （ BC ）=（AB ） C ； A+（B+C ） =（ A+B ）+C 。
分配律： A （ B+C ）=AB+AC ；A+BC=（ A+B ）（ A+C ）。
互补律： A A =0；A+ A =1。
重叠律： AA=A ； A+A=A 。
还原律： A =A ； 反演律： AB = AB ； AB = A B吸收律 1： A+AB= A ； A （A+B ） = A 。
吸收律 2： A+ A B= A+B ； A （ A +B ） = AB 。
吸收律 3： AB+ A B = A ；（A+B ）（A+ B ）= A 。
冗余定理： AB+ A C+BC= AB+ A C ；（A+B ）（ A +C ）（B+C ）=（A+B ）（ A +C ）。
证明：左边 =AB+ A C+BC （A+ A ）= AB+ A C+ABC+ A BC= AB （ C ） + A C （ B ） = AB + A C=右边（证毕）1+ 1+冗余定理指出：当某变量以互补形式出现在两个与项中时，这两个与项的其余因子组成的第三项为多余项。
推论：ABC+BCf( a ，b ，，⋯ = ABC+ Ac )+ A多余项2.2.2 逻辑代数的基本规则1．代入规则将逻辑等式中的某一变量都代之以另一个逻辑函数，此等式仍成立。
例： AB = A B 。
用 BC 代替等式中的 B 得A( BC ) = A BC = A B C反复运用代入规则可得：ABCD= A B C D。
扩大了等式的应用范围。
2．对偶规则如果将任一逻辑函数式 F=f ( A ，B ，C ，⋯ ) 中所有的·换成 +所得到的新函数 F ˊ就是 F 的对偶式。
此即对偶规+ 换成 ·则。
运用时 注意：0 换成 11 换成 0①原运算顺序不变（可运用扩号保证） 。
例：求 FCD (C D) B 的对偶式。
= AB B解： F =[( A B) B(C D)] (C D B)F 与F 互为对偶， ( F ) F 。
=还要注意到： 对偶关系不是相等的关系，即 F ≠F 。
运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。
观察 P27 中的基本公式可以发现，只要记住左半部分，运用对偶规则就能得到右半部分。
3．反演规则如果将任一逻辑函数式F=f( A，B，C，⋯ ) 中所有的·换成 ++换成·0换成 11换成 0原变量换成反变量反变量换成原变量所得到的新函数 F 就是 F 的反函数。
此即反演规则。
运用时注意：①原运算顺序不变（可运用扩号保证）。
②原式的公共非号保持不变。
例：求 F=( A B C D ) E 的反函数。
解： F = A (B C D) E公共非号也可以改变，但在消去公共非号的同时，公共非号下面的子函数保持原状。
如上例：F A (B C? D) E ，与F A ( B C D) E 相等。
（应用摩根定律）从原函数求反函数的过程叫做反演。
摩根定律是进行反演重要工具。
例如，将 F=( A B C D ) E 两边同时取反并反复运用摩根定律的：F = ( A B C D ) E = (A B C D ) E = A B C D E = A ( B C D ) E当函数较简单时，可以用摩根定律求反，当函数比较复杂时，用反演规则求反比较方便。
逻辑函数的表示方法及其转换除用文字描述以外，还有四种描述形式：真值表、表达式、卡诺图、逻辑图2.3.1逻辑表达式完备函数的概念：我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。
一. 逻辑表达式的类型每种函数对应一种逻辑电路。
同一个函数逻辑有多种表达形式：F AC AB = AC BC AAC (A B) A ( A B) （冗余定理 、互补律） = + + + A B = = ( A B)( A C )= AC AC← AC A B （还原律、摩根定律） = A B AC← ( A B)(AC ) （还原律、摩根定律）= AC AB = AB AC← (A B)( A C ) （反演规则再求反）= ABCABC A BC A BC← AC A B = AC ( B B ) AB(C C )用互补律配项二．逻辑函数的标准形式1．最小项（ 1）定义：对于 N 个变量，如果 P 是一个含有 N 个因子的乘积项，而且在 P 中每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现，且仅出现一次，则称P 是N 个变量的一个最小项。
简单地说：最小项就是包含全部变量的与项。
例如：AB C 、 AB C 、 ABC 、 A BC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC 都是三个变量的最小项。
而 A B 、 AB 、 AB 、AB 都是两个变量的最小项，而对于三个或者三个以上的变量来说，它们就是一般乘积项。
所以：提及最小项一定要说明变量的数目。
N 个变量共有 2n 个最小项。
(2) 性质取三个变量的全体最小项观察：A BC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111①每个最小项都对应了一组变量取值。
对任一最小项，只有与之对应的那一组变量取值才是它的值为“1”；②任意两个不同最小项之积恒为 0；③全体最小项的逻辑和恒为 1；④两个逻辑相邻的最小项可以合并为一项，从而消去一个因子。
(3) 最小项标准表达式任何一个逻辑函数都能表示成最小项之和的形式， 而且这种表示形式是唯一的，这就是标准与或式， 也叫最小项标准表达式。
由一般式→标准与或式 的变换步骤： ①用公式把一般式化为一般与或式；②若式中的某一项缺少某个变量，就用该变量的原变量和反变量之和去乘这一项，然后拆成两项，直到补齐所缺变量为止。
例：写出 F= ABB C 的标准与或式。
（F= AB B C = ABACB C ）解： ①化为一般与或式F A B B C 冗余=②补齐所缺变量 F = A B(C C ) BC ( A A ) = A BC AB C A BC ABC也可以由 F ABBC 列出真值表，直接写出最小项标准表达式。
=最小项标准表达式的另一种表示形式：A BC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111 二进制换十进制123 4 5 6 7记为m 0m 1m 2m 3m 4m 5m 6 m 7F A BCAB CA BCABC 还可以表示成：=m 4 m 3 m 2 F ∑m （ ， ， ， ） F m 0+ + + 或者写成= = 0 2 3 4根据逻辑函数的特点， 这种表示方法 ①便于转换成卡诺图； ②便于写出反函数。
