13、逻辑函数的最小项
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知识点3.卡诺图化简法
相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
最小项和标准与或式
例2.5.12 试将下列函数利 用真值表转化成两种标准 形式
Y ( A, B, C) AB AC BC
解：其真值表如表2.5.16 所示
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
00 0
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
则逻辑函数的标准与或型为
F ( A, B,C) m(0,1,3,4,6,7)
ABC ABC ABC ABC ABC ABC
逻辑函数的标准或与型为
F ( A, B, C) M (2,5)
( A B C)( A B C)
表2.5.16 例2.5.12的逻辑函数真值表
AB C
Y
000
1
001
1
01 0
0
011
1
100
1
101
0
110
1
111
1
2.利用公式A＋A＝1及A·A＝0将逻辑函数变换为 与或式和或与式
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
Y ((AC BC')')' ((AC)'(BC')')'
如果本身有反变量输入，则用二级与非门就可实 现该函数，其逻辑电路如图2.5.10所示。
A
＆
C
B
＆
C
＆
Y
图 2.5.10 输 入 有 反 变 量 输 入
A
＆
C
＆
数字电路ch3补充：最大项、最小项、无关项
2 无关项在化简逻辑函数中的应用
【例3】 化简具有约束的逻辑函数
Y ABCD ABCD ABCD
给定约束条件为
ABC D ABCD ABCD ABCD ABC D ABCD ABCD 0
解：采用公式化简法
Y ( ABCD ABC D) ( AB C D ABCD) ( ABCD ABCD) ( AB CD AB CD )
解: Y1 A BCD BCD A
Y2 A B CD A B CD B CD Y3 Y4
ABC A B C AB C AB C C BD C C BD C C
B D D B
i
【例1】将逻辑函数展开为最小项之和的形式。
Y ABCD ACD AC
解： Y A BC D A( B B )CD A( B B)C
ABC D ABCD ABCD ABC ABC ABC D ABCD ABCD ABC( D D) ABC ( D D) ABC D ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABC D
强化： 逻辑函数的公式化简法
1 逻辑函数的最简形式
乘积项最少；每个乘积项里的因子也最少 一. 最简与-或式 二. 最简与非-与非式等
_ _
F AB A B
F AB A B
__________ ______ ____ __ __
三.最简与或非表达式
F AB AB
__________ ___ __ __
变量的各组取值 对应的最大项及其编号 最大项 编 号 A B C
0 0 0 0 1 1 1 1
数字逻辑 第三讲 逻辑函数的标准形式
逻辑函数的标准形式
一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不 一个逻辑函数具有唯一的真值表， 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。 一、最小项与最大项 1. 最小项 设一逻辑函数为 F ( A, B, C ) = AB + AC 对函数进行扩展变换得： 利用互补律 A+ A =1对函数进行扩展变换得： 对函数进行扩展变换得 F ( A, B, C ) = AB (C + C ) + AC ( B + B )
最小项具有下列性质： 最小项具有下列性质： 个变量构成的任何一个最小项m ①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值 组合使其值为1 该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。 组合使其值为 1 ， 该种变量取值组合即序号 i 对应的二进制数 。 换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项， 并 换言之， 在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项 ， 且只有一个最小项的值为1 且只有一个最小项的值为1。 任意两个不同最小项相与为0 ≠j） ②任意两个不同最小项相与为0，即 mi·mj=0 （i≠j）。 m
3. 反演规则 的反函数F 例. 求F = A[B+(CD+EG)]的反函数 的反函数 方法一：反演规则 方法一： F = A[B+(CD+EG)] = A+B+(CD+EG) = A+B·CD+EG = A+B·CD·EG = A+B·(C+D)(E+G) F = A+B(C+D)(E+G) 方法二：直接对 求反 方法二：直接对F求反
= A B C ⋅ ABC ⋅ AB C ⋅ ABC = ( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C ) 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量， 最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输 中包含了全部的输入逻辑变量 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现， 入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可 以以反变量的形式出现，且只出现一次。 以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。 有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。
逻辑代数基础
所得到的图形叫n变量的卡诺图。
逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变 量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。 如最小项 m6=ABC、与
m7 =ABC 在逻辑上相邻 m7
m6
两变量卡诺图 AB 0 1 m0 m1 0 AB AB 1 mB AB A 2 m3 三变量卡诺图 B
四变量卡诺图 CD AB 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 A 11 m12 m13 m15 m14
b.去括号
ABC ABC AB
ABC ABC AB(C C )
ABC ABC ABC ABC
m3 m5 m7 m6 m(3,5,6,7)
三、 用卡诺图表示逻辑函数
1、卡诺图的引出 卡诺图：将n变量的全部最小项都填入小方格内，并使具有 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,
L CD 00 01 AB 00 1 1 01 11 10 1 0 1 0 0 0 11 10 1 0 1 1 1 0 1 1
例2 画出下式的卡诺图
L ( A, B, C , D) ( A B C D)( A B C D)( A B C D)
解
( A B C D)( A B C D) 1. 将逻辑函数化为最小项表达式
结合律：A + B + C = (A + B) + C
A · · = (A · · B C B) C
A 分配律： ( B + C ) = AB + AC
A + BC = ( A + B )( A + C )
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.1
基本定律和规则
逻辑函数的运算
3.逻辑函数运算规则
１） 代入规则 对于任何一个含有变量A 的等式， 如果所有出现A 的地方都以另一个逻辑 式代替，则等式仍然成立。 ２） 反演规则 对于逻辑函数F ， 将表达式中的所有“ · ” 换成“ ＋ ” ， “ ＋ ” 换成 “ . ” ， 常量０换成１ ， 常量１ 换成０ ， 所有原变量换成反变量， 所 有反变量换成原变量， 即得反函数 。 ３） 对偶规则 在介绍对偶规则前先定义对偶式。设F 为逻辑表达式， 如果将F 中所有的 “ ＋ ” 换成“ · ” ， “ · ” 换成“ ＋ ” ， １ 换成０ ， ０ 换成１ ， 而变量保持不变， 则所得新的逻辑式就称为F 的对偶式， 记为F′ 。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
1.真值表
将输入变量所有取值情况及其相 应的输出结果， 全部列表表示， 即为真值表。
逻辑函数的运算
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
2.逻辑表达式
将输入输出关系写成与或非等逻辑运算的组合式， 称为逻辑 表达式， 简称逻辑式。 如图所示判决电路， 当A 闭合， B 和C 中至少一个闭合， 则 可表示为A BC ＋A B C ＋ A BC ， 故其逻辑表达式为
逻辑代数基础
1.4
逻辑函数卡诺图化简
5项的函数时， 由于无关项 的取值对函数不产生影响， 加入的无关 项应与函数尽可能多的最小项具有相邻 性。在画矩形时， 无关项的取值以矩形 组合最大， 矩形数目最少为原则。
逻辑代数基础
1.2
逻辑函数的表示方法
逻辑函数的运算
5.逻辑表达式的标准表达式
逻辑函数最小项
逻辑函数最小项
逻辑函数中的最小项是指逻辑变量全部取反（即所有变量的值都为相反值）的特例。
例如，对于一个包含n个变量的逻辑函数，其最小项有2^n个。
例如，对于一个包含三个变量A、B和C的逻辑函数，其最小项可以是：
- A'B'C'（A和B为假，C为真）
- A'B'C（A和B为假，C为假）
- A'B'C'（A和B为真，C为假）
- A'B'C（A和B为真，C为真）
- A'B'C'（A和B为真，C为真）
- A'BC'（A为假，B和C为真）
- A'BC（A为假，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- A'BC（A为真，B和C为假）
- A'BC'（A为真，B和C为真）
- AB'C'（A为真，B为假，C为真）
- AB'C（A为真，B为假，C为假）- AB'C'（A为真，B为真，C为真）- AB'C（A为真，B为真，C为假）- AB'C（A为真，B为假，C为假）- ABC'（A、B和C都为假）
- ABC（A、B和C都为真）
这些就是该逻辑函数的所有最小项。
逻辑函数的三个规则和标准形式
A B C = m2
0
1
1
A B C = m3
1
0
0
A B C = m4
1
0
1
A B C = m5
1
1
0
A B C = m6
1
1
1
A B C = m7
① n 个变量的所有最小项（2n个）之和为1 ；
② 相同变量的任意两个最小项mi 和mj 之积为0（i≠j）； ③ n变量最小项有n 个相邻最小项。
数字电路与逻辑设计
数字电路与逻辑设计
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最大项表达式 全部由最大项相与而构成的或－与表达式称为最大项表达式，又称为标准或－与式， 或标准和之积式。
最大项表达式的书写形式：
对于逻辑函数：F A B C A B C A B C
可以简写成： 或写成：
F A, B, C M0×M1×M4 F A, B,C M 0，1，4
等式仍成立。 解：
原式左边＝A[B +(C +D )]＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD 原式右边＝AB +A(C +D ) ＝ AB +AC +AD
所以等式仍然成立。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
２．反演规则
设F 是一个逻辑函数表达式，若将其中所有的与、或互换，“0”、“1”互换，原、 反变量互换，长非号（两个或两个以上变量上的非号）不变，这样可得F 的反函数。
第二章 逻辑函数及其简化
数字电路与逻辑设计
(2) 最小项表达式 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－
西南大学《数字电路》复习思考题及答案
（9006）《数字电路》复习思考题一、 名词解释1、 反演定理2、 最大项3、 BCD 代码4、 卡诺图5、 补码6、 单稳态触发器电路7、 施密特触发器电路8、 时序逻辑电路9、 位权10、 最小项的性质11、 卡诺图12、 竞争冒险13、 计数器14、 寄存器二、 简答题1、时序电路在电路结构上的两个特点2、 最小项的性质3、 分析同步时序逻辑电路的一般步骤？4、 险什么是竞争冒？消除竞争-冒险现象的方法？5、 常用逻辑函数的表示方法是什么？6、 什么是无效状态和无效循环？如何判断某个时序逻辑电路是否能够自启动？7、 简述不同类型的触发器之间的转换步骤。
8、 简述时序逻辑电路的分类。
9、 触发器的定义和基本特点？10、 时序逻辑电路的特点是什么？11、 组合逻辑电路的设计步骤是什么？12、 将下列十六进制数转换为十进制数：(1) 103.2H (2) A45D.0BCH13、 一数字信号的波形如下图所示，试问该波形所代表的二进制数是什么？三、 综合题1、 求证：C A AB BC C A AB +=++。
2、 试化简逻辑函数：Y ABC ABC ABC =++3、 试化简逻辑函数Y AB AB BC BC =+++4、 用卡诺图表示逻辑函数Y ABCD ABD ACD AB =+++5、 用卡诺图表示逻辑函数C B C B C A C A Y+++=6、 证明：B A B A A +=+7、 证明：()E CD A E D C CD A C B A A ++=++++8、 证明：AC AB C AB C B A ABC +=++9、 求题中给出的逻辑函数的最小项表达式：BC A Y += 10、(10110010.1011) 2=( )8=( )16 11、(11010.011) 2 =(__________) 10 12、用公式化简逻辑函数: B A B B A Y ++= 13、用公式化简逻辑函数: C B A C B A Y +++= 14、用公式化简逻辑函数: CD D AC ABC C A Y +++= 15、 设：AB Y 1=，B A Y 2+=。
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利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它 克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函 数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方 法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一 下最小项及最小项表达式。
2020/10/16
4
一.最小项及最小项表达式
ABC ABC ABC 或：Y ( A, B,C ) m3 m6 m7
m(3,6,7)2020/ Nhomakorabea0/16
9
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
思考练习： 1.写出函数Y=AC+AB的标准与或式 2. 课后习题第六题的单数题
教学内容
教学目标： 1.知道最小项及最小项表达式的定义 2. 掌握最小项的性质 3. 能对最小项进行编号
思考练习
2
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点
重点难点： 1.最小项的性质 2.最小项的编号
教学内容
思考练习
3
2.6.1 逻辑函数的最小项
公式化简法评价： 优点：变量个数不受限制。 缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简 有时不易判断。
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
课程引入：
1.公式化简法的优缺点
2. 用公式法化简
Y A A B C ACD (C D)E
思考练习
1
2.6 逻辑函数的卡诺图化简法
2.6.1 逻辑函数的最小项
课程引入 教学目标 重点难点 教学内容
表2-11 三变量最小项真值表
2020/10/16
6
二、最小项的性质
1、对于任意一个最小项，只有一组变量取值使 它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
2、任意两个不同的最小项之积恒为0； 3、变量全部最小项之和恒为1。
2020/10/16
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三、最小项的编号 最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小项 的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那 一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进 制数，就是该最小项的编号。
AB是三推变广量 ：函 一数 个的 变最量小仅项有吗原？变量和反变量两种形式，
A因B此BC是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
2020/10/16
5
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表2-12 三变量最小项的编号表
2020/10/16
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四、最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的 形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的， 就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例2-8 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：Y AB BC AB(C C) ( A A)BC
1、最小项
设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变 量按以下规则构成乘积项：
（1）每个乘积项都只含三个因子，且每个变量 都是它的一个因子；
（2)每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量 (A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘 积项为三变量A、B、C的最小项。
思考练习
10