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2.2几种常见的平面变换仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢22.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//yy x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。
2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1y y k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。
2．2.5 投影变换1．投影变换将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换． 2．投影变换矩阵像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵．3．常见的投影变换矩阵(1)将坐标平面内的图形垂直投影到x 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0； (2)将坐标平面内的图形垂直投影到y 轴上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001；(3)将坐标平面内的图形沿垂直于y 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 10 1； (4)将坐标平面内的图形沿垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010.[说明] 投影变换虽然是映射，但不是一一映射．[对应学生用书P17][例1] 已知变换T 1，T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000和N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，平面上三个点A (3,1)，B (2,3)，C (0,4)．(1)分别求直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程； (2)变换T 1，T 2有什么不同？[思路点拨] 二阶非零矩阵对应的变换将直线变为直线，所以只要求出A ，B ，C 在T 1，T 2变换下得到的点A ′，B ′，C ′的坐标，就可以求出直线AB ，BC 在T 1，T 2变换下得到的直线方程．[精解详析] (1)A ，B ，C 在T 1变换下变为A ′(3,0)，B ′(2,0)，C ′(0,0)，A ，B ，C在T 2变换下变为A ″(3，－1)，B ″(2，－3)，C ″(0，－4)．∴直线A ′B ′的方程为y ＝0，直线B ′C ′的方程为y ＝0， 直线A ″B ″的方程为2x －y －7＝0， 直线B ″C ″的方程为y ＝12x －4.(2)由(1)可知，直线AB ：2x ＋y －7＝0，直线BC ：y ＝－12x ＋4，在T 1变换下得到的图像均为y ＝0，在T 2变换下得到两个不同的图像，所以T 2是一一映射，T 1不是一一映射．投影变换不仅依赖于投影的目标直线(或点)，还依赖于投影的方向．这很好理解，以树木在太阳下形成影子为例，我们把太阳光看似平行光，当在正午的时候，树木的影子会投影到树根，但在清晨或者黄昏时分，投影到大地上的树木的影子就变斜了．正午时候太阳光所作的垂直投影变换对应的矩阵形式为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，下面我们考察太阳光所作的斜投影变换的矩阵形式，如图所示．在这样的斜投影变换下，P (x ，y )→P ′(x ′，y ′)，记k ＝cot α，则P ′的坐标为(x ＋ky,0)，即有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ky 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 00即为这样的斜投影变换的矩阵形式，特别地，当k ＝0时，即为垂直投影变换．1．已知△ABC 三顶点坐标分别为A (－1,1)，B (2,0)，C (1,2)，此三角形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010作用下得到怎样的图形？解：因⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 010 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故A 、B 、C 三点在M 作用下的象为A 1(－1，－1)，B 1(2,2)，C 1(1,1)，而A 1、B 1、C 1三点都在直线y ＝x 上且C 1点在线段A 1B 1上，故△ABC 在矩阵M 作用下的象是线段y ＝x (－1≤x ≤2)．2．研究直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义．解：任取直线3x －2y ＋1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1对应的变换作用下变为P ′(x ′0，y ′0)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′x 0－y 0＝y ′0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′y 0＝x ′0－y ′0.又因为点P 在直线3x －2y ＋1＝0上， 所以3x 0－2y 0＋1＝0，即有3x ′0－2(x ′0－y ′0)＋1＝0，即x ′0＋2y ′0＋1＝0.从而直线3x －2y ＋1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 －1作用下变成直线x ＋2y ＋1＝0.其几何意义是：把直线3x －2y ＋1＝0上的每一点沿垂直于直线x ＋2y ＋1＝0的方向投影到该直线上．[例2] 已知直线x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下得到点(5,5)，求矩阵M . [思路点拨] 先设出变换矩阵，利用变换公式列方程求解即可．[精解详析] 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则由题意得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，即恒有ax ＋by ＝5，cx ＋dy ＝5，又因为x ＋y ＝5，比较得a ＝b ＝c ＝d ＝1，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111.根据变换的形式或变换对应的矩阵找出对应的关系，寻找变换后图形上点的横、纵坐标关系来理解投影变换具有的特点．3．已知变换T 是将平面图形投影到直线y ＝3x 上的变换，试求它所对应的矩阵M . 解：∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3x ，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 030.4．求直角坐标系内关于直线l ：y ＝kx (k ≠0)的投影变换的坐标变换公式及其矩阵． 解：设平面内点P (x ，y )在l 上投影为P ′(x ′，y ′)，据题意⎩⎪⎨⎪⎧y －y ′x －x ′＝－1k ，y ′＝kx ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝1k 2＋1x ＋kk 2＋1y ，y ′＝k k 2＋1x ＋k2k 2＋1y .则相应的矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 2＋1 kk 2＋1k k 2＋1 k 2k 2＋1.[对应学生用书P18]1．求点A (3,1)，B (2,3)，C (3,2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换下变成的点的坐标，并回答下列问题：(1)该矩阵把直线AB 变成什么图形？ (2)该矩阵把线段AC 变成什么图形？解：设点A ，B ，C 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000变换作用下的点分别是A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，C ′(x 3，y 3)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30， ∴点A ′的坐标为(3,0)，同理B ′(2,0)，C ′(3,0)． (1)易知该矩阵把直线AB 变成x 轴；(2)易知该矩阵把线段AC 变成了一个点(3,0)．2．直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100对应的变换作用下变成什么图形？解：直线x ＋y ＝3在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 100对应变换下变成了点(3,0)，如图所示．3．正方形ABCD 分别在M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 0，M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，M 4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12对应的变换作用下的图形是什么？请画出示意图，这里点A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．解：如图所示，根据矩阵对应变换的几何意义，可知在M 1，M 2，M 3，M 4对应变换下，正方形ABCD 分别变成线段A ′B ′，A ″E ，FG ，A C ′.4．直线x －y ＝2分别在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1与矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1111对应的变换作用下变成什么图形？解：设P (x ，y )是直线x －y ＝2上任意一点，P ′(x ′，y ′)是矩阵M 对应变换下P 对应的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－1 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －y ，y ′＝－x ＋y ，代入x －y ＝2，得直线x －y ＝2在矩阵M 对应变换下变为点(2，－2)．同理可得直线x －y ＝2在矩阵N 对应变换下变为直线y ＝x .5．已知变换T 是将平面图形沿y 轴方向投影到直线y ＝2x 上的变换，试求它的变换矩阵M .解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.6．圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001变换作用下得到什么图形？解：圆x 2＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001对应的变换作用下得到的图形是线段x ＝0(－1≤y ≤1)．7．已知变换T 把平面上的所有点都垂直投影到直线y ＝x 上． (1)试求出变换T 所对应的矩阵M ；(2)求直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形．解：(1)因为点P (x ，y )在直线y ＝x 上的投影为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，于是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2. 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y2x ＋y 2，x ＋y ＝2，故⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即直线x ＋y ＝2在变换T 下所得到的图形是一个点(1,1)． 8．已知直线l ：x ＋y ＝5.(1)求直线l 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0011对应的变换作用下得到的图形；(2)是否存在矩阵N ，使直线l 在矩阵N 对应的变换作用下得到点(5,0)?解：(1)设P (x 0，y 0)是直线l ：x ＋y ＝5上的任一点，该点在矩阵M 变换作用得到的点P ′的坐标为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤001 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0x 0＋y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 0＋y 0.又x 0＋y 0＝5，∴P ′(0,5)，即直线l ：x ＋y ＝5在矩阵M 对应变换作用下变为一个点(0,5)． (2)假设存在适合题意的矩阵N ，设N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1c 1d 1， P (x 0，y 0)是直线l 上任一点，该点在矩阵N 对应变换作用下对应的点为P ′(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1x 0＋b 1y 0c 1x 0＋d 1y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤50. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1x 0＋b 1y 0＝5，c 1x 0＋d 1y 0＝0.此方程组对任意x 0∈R ，y 0∈R 恒成立， 且x 0＋y 0＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＝1c 1＝d 1＝0，∴N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100.即存在矩阵N ，使直线l 在此矩阵对应的变换作用下得到点(5,0)．。
