下载文档原格式
认识简单的几何变换平移旋转与反射几何变换是几何学中重要的概念，是指将一个点、一组点或图形按照一定规则进行改变位置或形状的方法。
在几何变换中，平移、旋转和反射是最基本且常见的三种变换形式。
本文将介绍这几种几何变换，并探讨它们的性质与应用。
一、平移变换平移变换是指将一个点、一组点或图形沿着平行于给定方向的线段移动相同的距离。
在平移变换中，所有移动之后的点、线段或图形与原来的点、线段或图形相互平行且距离相等。
以平行四边形ABCD为例，若将其平移向右移动3个单位，即将每个点沿着平行于CD的方向移动3个单位，那么平移后的平行四边形为A'B'C'D'。
在这个过程中，平行四边形的边和角度都保持不变。
平移变换的性质和应用广泛。
在几何学和计算机图形学中，平移变换常用于绘制平移后的图形。
二、旋转变换旋转变换是指将一个点、一组点或图形围绕某一点进行旋转。
在旋转变换中，旋转后的图形与原来的图形形状相同，但位置和方向发生变化。
以直线段AB为例，若以点O为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90度，那么旋转后的线段为AB'。
旋转变换的主要性质是角度保持不变。
当我们应用旋转变换时，必须指定旋转中心和旋转角度。
旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中都有重要的应用。
三、反射变换反射变换又称为镜像变换，是指将一个点、一组点或图形沿着一条直线对称翻转。
在反射变换中，对称轴是变换的中心轴，反射后的图形与原来的图形完全对称。
以点A为例，若将点A关于直线l进行反射变换，那么反射后的点为A'。
A'与A关于直线l对称，即A关于l的对称点。
反射变换具有对称性质，对于任意点或图形，其反射图形与原图形相似。
反射变换在几何学中广泛应用，也是镜子和光学器件原理的基础。
总结：几何变换中的平移、旋转和反射是常见且重要的几何变换形式。
平移变换是将图形整体移动，保持形状和大小不变；旋转变换是围绕某一点旋转图形；反射变换则是沿着一条直线对称翻转图形。
高二数学理科选修4-2§2.2反射变换与旋转变换 第4课时导学案 编制人 卢琪 审核人 编制时间 学生完成所需时间 班级 姓名 第 学习小组【学习目标】1，了解反射变换和旋转变换几何意义；2，掌握恒等变换与伸压变换矩阵；3，从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明1212()M M M λαλβλαλβ+=+【自学重点与难点】反射变换与旋转变换几何意义．【自主预习】问题1：如右图一个三角形F,将它作关于x 轴，y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到三角形F 1,F 2,F 3,像这样将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F /的变换称为什么变换？问题2：你能否根据定义分别写出关于x 轴、y 轴、原点对称的反射变换所对应的反射变换矩阵吗？问题3：有人说“一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或者点）”这句话对吗？为什么？问题4：什么是旋转变换？什么是旋转中心和旋转角？你能用举出实例吗？问题5：你能根据你举出的例子写出相应的旋转变换矩阵吗？【例题精讲】例1 求直线y ＝4x 分别在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 1 0 与0110-⎛⎫ ⎪-⎝⎭作用下变换所得的图形例2已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90º后得到的图形，并求出其顶点的坐标。
例3若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M【课堂练习】1，矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，0110⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos sin sin cos αααα⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换分别是 ， ， ， ， 。
2，已知A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2），求ABCD 在矩阵1001M -⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换矩阵作用下得到的几何图形，并画出示意图3，求出函数y =(0)x ≥在矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线1， 已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转900后，得到什么曲线？曲线方程是什么？【课堂小结】§2.2反射变换与旋转变换 第4课时回顾反思班级 姓名 第 学习小组1，求曲线x y e =在矩阵1001-⎛⎫⎪⎝⎭对应的变换作用下形成的曲线2，若3()ax b f x x +=的图像在矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的变换作用下图像不变，求a 的值 3,已知A （0，0），B （1），C （0，2），求三角形ABC在矩阵122122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图4，已知椭圆22:3C x y xy ++=，将C 绕原点O 顺时针旋转4π，得到椭圆/C （1）求椭圆/C 的标准方程； （2）求椭圆C 的焦点坐标5，已知△ABC ，A （-1，0），B （3，0），C （2，1），对△ABC 先作x 轴的反射变换，再将所得的图形绕着原点逆时针旋转2π （1）分别求两次变换所对应的矩阵12,M M（2）求点C 在两次连续变换作用下所得到的点的坐标。
对称变换：理解反射与旋转对称变换是数学中一种重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学中都有广泛的应用。
其中，反射与旋转是两种常见的对称变换方式。
本文将深入理解反射与旋转的概念及应用，以帮助读者更好地理解对称变换。
反射是一种在平面上进行的对称变换。
简而言之，反射就是将一个点、线段、图形等，沿着一条直线将其镜像对称到另一侧。
这条直线被称为镜面。
反射可以分为两种情况，分别为点关于镜面的对称和图形关于镜面的对称。
首先，我们来讨论点关于镜面的对称。
设点A的坐标为（x，y），镜面为直线y=0。
根据对称性质，点A关于镜面的对称点A'的坐标为（x，-y）。
这个过程可以表达为以下式子：（x，y）→（x，-y）。
接下来，我们来讨论图形关于镜面的对称。
以一个三角形ABC为例，其中点A的坐标为（x1，y1）、点B的坐标为（x2，y2）、点C的坐标为（x3，y3）。
若镜面为直线y=0，则通过点关于镜面的对称，得到三角形A'B'C'，其坐标可表示为（x1，-y1）、（x2，-y2）、（x3，-y3）。
可以看出，图形关于镜面的对称是点关于镜面对称的一个推广。
旋转是另一种常见的对称变换方式。
它是以一个点为中心，按照一定的角度将图形或点逆时针或顺时针旋转。
在二维平面上，我们常见的旋转方式有绕原点旋转和绕某一点旋转。
首先，我们来讨论绕原点旋转。
设点A的坐标为（x，y），以原点为中心，角度为θ进行逆时针旋转。
根据旋转的基本公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ +y*cosθ。
可以看出，旋转是通过三角函数的运算而实现的。
接下来，我们来讨论绕某一点旋转。
同样以点A的坐标为（x，y），以点O（ox，oy）为中心，角度为θ进行逆时针旋转。
根据旋转的公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = (x-ox)*cosθ - (y-oy)*sinθ + ox，y' = (x-ox)*sinθ + (y-oy)*cosθ + oy。
反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
1/ 2
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。
图形变换基本概念图形变换是计算机图形学中的一个重要概念，它通过对图形进行特定操作来改变其形状、大小或位置。
图形变换常用于图像处理、动画制作和计算机图形学等领域，对于实现图像变换效果有着重要的作用。
本文将介绍几种常见的图形变换方法及其基本概念。
一、平移变换（Translation）平移变换是一种基本的图形变换方法，它将图形沿着指定的方向进行移动。
平移变换可以通过改变图形中所有点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），平移变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + dxy' = y + dy其中dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移量。
通过改变dx和dy的值，可以实现图形的平移。
二、旋转变换（Rotation）旋转变换是将图形绕着指定点旋转一定角度的操作。
旋转变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），旋转变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中θ表示旋转的角度。
通过改变θ的值，可以实现图形的旋转。
三、缩放变换（Scaling）缩放变换是将图形按比例进行放大或缩小的操作。
缩放变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），缩放变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x * sxy' = y * sy其中sx和sy分别表示在水平和垂直方向上的缩放比例。
通过改变sx和sy的值，可以实现图形的缩放。
四、错切变换（Shearing）错切变换是将图形在水平或垂直方向上斜向延伸的操作。
错切变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。
设原始坐标为（x，y），错切变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + myy' = nx + y其中n和m分别表示在水平和垂直方向上的错切系数。
