常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)

认识简单的几何变换平移旋转与反射几何变换是几何学中重要的概念，是指将一个点、一组点或图形按照一定规则进行改变位置或形状的方法。

在几何变换中，平移、旋转和反射是最基本且常见的三种变换形式。

本文将介绍这几种几何变换，并探讨它们的性质与应用。

一、平移变换平移变换是指将一个点、一组点或图形沿着平行于给定方向的线段移动相同的距离。

在平移变换中，所有移动之后的点、线段或图形与原来的点、线段或图形相互平行且距离相等。

以平行四边形ABCD为例，若将其平移向右移动3个单位，即将每个点沿着平行于CD的方向移动3个单位，那么平移后的平行四边形为A'B'C'D'。

在这个过程中，平行四边形的边和角度都保持不变。

平移变换的性质和应用广泛。

在几何学和计算机图形学中，平移变换常用于绘制平移后的图形。

二、旋转变换旋转变换是指将一个点、一组点或图形围绕某一点进行旋转。

在旋转变换中，旋转后的图形与原来的图形形状相同，但位置和方向发生变化。

以直线段AB为例，若以点O为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90度，那么旋转后的线段为AB'。

旋转变换的主要性质是角度保持不变。

当我们应用旋转变换时，必须指定旋转中心和旋转角度。

旋转变换在几何学、物理学和计算机图形学中都有重要的应用。

三、反射变换反射变换又称为镜像变换，是指将一个点、一组点或图形沿着一条直线对称翻转。

在反射变换中，对称轴是变换的中心轴，反射后的图形与原来的图形完全对称。

以点A为例，若将点A关于直线l进行反射变换，那么反射后的点为A'。

A'与A关于直线l对称，即A关于l的对称点。

反射变换具有对称性质，对于任意点或图形，其反射图形与原图形相似。

反射变换在几何学中广泛应用，也是镜子和光学器件原理的基础。

总结：几何变换中的平移、旋转和反射是常见且重要的几何变换形式。

平移变换是将图形整体移动，保持形状和大小不变；旋转变换是围绕某一点旋转图形；反射变换则是沿着一条直线对称翻转图形。

高二数学理科选修4-2§2.2反射变换与旋转变换 第4课时导学案 编制人 卢琪 审核人 编制时间 学生完成所需时间 班级 姓名 第 学习小组【学习目标】1，了解反射变换和旋转变换几何意义；2，掌握恒等变换与伸压变换矩阵；3，从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明1212()M M M λαλβλαλβ+=+【自学重点与难点】反射变换与旋转变换几何意义．【自主预习】问题1：如右图一个三角形F,将它作关于x 轴，y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到三角形F 1,F 2,F 3,像这样将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F /的变换称为什么变换？问题2：你能否根据定义分别写出关于x 轴、y 轴、原点对称的反射变换所对应的反射变换矩阵吗？问题3：有人说“一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或者点）”这句话对吗？为什么？问题4：什么是旋转变换？什么是旋转中心和旋转角？你能用举出实例吗？问题5：你能根据你举出的例子写出相应的旋转变换矩阵吗？【例题精讲】例1 求直线y ＝4x 分别在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 1 0 与0110-⎛⎫ ⎪-⎝⎭作用下变换所得的图形例2已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90º后得到的图形，并求出其顶点的坐标。

例3若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos M αααα-⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M【课堂练习】1，矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭，1001-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，0110⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos sin sin cos αααα⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换分别是 ， ， ， ， 。

2，已知A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2），求ABCD 在矩阵1001M -⎛⎫=⎪⎝⎭对应的变换矩阵作用下得到的几何图形，并画出示意图3，求出函数y =(0)x ≥在矩阵1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线1， 已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转900后，得到什么曲线？曲线方程是什么？【课堂小结】§2.2反射变换与旋转变换 第4课时回顾反思班级 姓名 第 学习小组1，求曲线x y e =在矩阵1001-⎛⎫⎪⎝⎭对应的变换作用下形成的曲线2，若3()ax b f x x +=的图像在矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭对应的变换作用下图像不变，求a 的值 3,已知A （0，0），B （1），C （0，2），求三角形ABC在矩阵122122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图4，已知椭圆22:3C x y xy ++=，将C 绕原点O 顺时针旋转4π，得到椭圆/C （1）求椭圆/C 的标准方程； （2）求椭圆C 的焦点坐标5，已知△ABC ，A （-1，0），B （3，0），C （2，1），对△ABC 先作x 轴的反射变换，再将所得的图形绕着原点逆时针旋转2π （1）分别求两次变换所对应的矩阵12,M M（2）求点C 在两次连续变换作用下所得到的点的坐标。

对称变换：理解反射与旋转对称变换是数学中一种重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学中都有广泛的应用。

其中，反射与旋转是两种常见的对称变换方式。

本文将深入理解反射与旋转的概念及应用，以帮助读者更好地理解对称变换。

反射是一种在平面上进行的对称变换。

简而言之，反射就是将一个点、线段、图形等，沿着一条直线将其镜像对称到另一侧。

这条直线被称为镜面。

反射可以分为两种情况，分别为点关于镜面的对称和图形关于镜面的对称。

首先，我们来讨论点关于镜面的对称。

设点A的坐标为（x，y），镜面为直线y=0。

根据对称性质，点A关于镜面的对称点A'的坐标为（x，-y）。

这个过程可以表达为以下式子：（x，y）→（x，-y）。

接下来，我们来讨论图形关于镜面的对称。

以一个三角形ABC为例，其中点A的坐标为（x1，y1）、点B的坐标为（x2，y2）、点C的坐标为（x3，y3）。

若镜面为直线y=0，则通过点关于镜面的对称，得到三角形A'B'C'，其坐标可表示为（x1，-y1）、（x2，-y2）、（x3，-y3）。

可以看出，图形关于镜面的对称是点关于镜面对称的一个推广。

旋转是另一种常见的对称变换方式。

它是以一个点为中心，按照一定的角度将图形或点逆时针或顺时针旋转。

在二维平面上，我们常见的旋转方式有绕原点旋转和绕某一点旋转。

首先，我们来讨论绕原点旋转。

设点A的坐标为（x，y），以原点为中心，角度为θ进行逆时针旋转。

根据旋转的基本公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ +y*cosθ。

可以看出，旋转是通过三角函数的运算而实现的。

接下来，我们来讨论绕某一点旋转。

同样以点A的坐标为（x，y），以点O（ox，oy）为中心，角度为θ进行逆时针旋转。

根据旋转的公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = (x-ox)*cosθ - (y-oy)*sinθ + ox，y' = (x-ox)*sinθ + (y-oy)*cosθ + oy。

反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
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（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
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图形变换基本概念图形变换是计算机图形学中的一个重要概念，它通过对图形进行特定操作来改变其形状、大小或位置。

图形变换常用于图像处理、动画制作和计算机图形学等领域，对于实现图像变换效果有着重要的作用。

本文将介绍几种常见的图形变换方法及其基本概念。

一、平移变换（Translation）平移变换是一种基本的图形变换方法，它将图形沿着指定的方向进行移动。

平移变换可以通过改变图形中所有点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），平移变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + dxy' = y + dy其中dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移量。

通过改变dx和dy的值，可以实现图形的平移。

二、旋转变换（Rotation）旋转变换是将图形绕着指定点旋转一定角度的操作。

旋转变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），旋转变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中θ表示旋转的角度。

通过改变θ的值，可以实现图形的旋转。

三、缩放变换（Scaling）缩放变换是将图形按比例进行放大或缩小的操作。

缩放变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），缩放变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x * sxy' = y * sy其中sx和sy分别表示在水平和垂直方向上的缩放比例。

通过改变sx和sy的值，可以实现图形的缩放。

四、错切变换（Shearing）错切变换是将图形在水平或垂直方向上斜向延伸的操作。

错切变换可以通过改变图形中每个点的坐标来实现。

设原始坐标为（x，y），错切变换后的坐标为（x'，y'），则有如下公式：x' = x + myy' = nx + y其中n和m分别表示在水平和垂直方向上的错切系数。

平面形的变换在平面几何中，平面形的变换是一个既具有理论意义又有实际应用的重要概念。

本文将介绍平面形的变换及其分类、性质和应用。

一、平面形的变换平面形的变换指在平面上将一个图形按照一定的规则移动、翻转、旋转或拉伸等操作后得到的新图形。

常见的平面形变换有平移、旋转、对称和相似变换。

1. 平移变换平移变换是指不改变图形形状和大小，将图形沿着平行线移动的操作。

如果平移的向量为(u,v)，则对于平面上的点(x,y)，平移后的点坐标为(x+u,y+v)。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形按照一个固定点为中心，以一定的角度θ逆时针旋转后得到的新图形。

通常以原坐标系为基准，旋转中心为坐标原点。

旋转中点为(x,y)，则旋转后的点坐标为(xcosθ-ysinθ,ycosθ+xsinθ)。

3. 对称变换对称变换是指以一个直线或点为对称轴或对称中心，将图形中的每个点沿着对称轴或对称中心对应的点重合后得到的新图形。

如果对称轴或对称中心不在原点，则需要将图形沿着对称轴或对称中心平移后再进行对称变换。

4. 相似变换相似变换是指将图形沿着一定方向放缩一定比例，得到的新图形与原图形相似的变换。

其中放缩比例称为相似比，通常使用k表示。

相似变换可以通过平移、旋转和等比变换的组合实现。

二、平面形的分类根据平面形在变换中的性质，可以将平面形分为不动点、对称形和中心对称形三类。

1. 不动点形若变换前后平面形在同一个位置，则这种平面形被称为不动点形。

即变换前后该图形上的所有点都不改变位置。

不动点形的变换只能是平移，数学家将其称为平移样本。

2. 对称形如果图形变化后仍然和变化前保持对称，这种平面形被称为对称形。

对称形的变换包括了对称和滑动，数学家将对称形的变换称为欧氏变换。

3. 中心对称形如果图形变化后和变化前保持中心对称，这种平面形被称为中心对称形。

中心对称形的变换包括旋转、平移和中心对称三种，数学家将其称为仿射变换。

三、平面变换的应用平面形的变换具有广泛的应用，如以下几个例子：1. 图案设计利用对称变换可以制作出各种独特的图案。

平面几何变换平面几何变换是指在平面上对图形进行形状、大小和位置的改变，常用的变换包括平移、旋转、缩放和翻转等。

这些变换在数学、计算机图形学和计算机视觉等领域具有广泛的应用。

本文将介绍这些常见的平面几何变换及其应用。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着水平和垂直方向保持形状和大小不变地移动。

平移变换可以通过将图形上的点按照固定的平移量进行移动来实现。

例如，将一个点的横坐标增加10个单位，纵坐标增加5个单位，即可实现对该点的平移变换。

平移变换常用于动画制作、图像处理和机器人运动控制等领域。

二、旋转变换旋转变换是指围绕一个中心点将图形按照一定角度进行旋转。

旋转变换可以通过将图形上的点绕着中心点按照一定角度旋转来实现。

旋转变换常用于计算机图形学、计算机游戏和机器人路径规划等领域。

例如，在计算机游戏中，可以通过对角色进行旋转变换来改变其朝向和视角。

三、缩放变换缩放变换是指按照一定比例对图形进行放大或缩小。

缩放变换可以通过将图形上的点按照一定比例进行坐标变换来实现。

缩放变换常用于地图显示、图像处理和工程设计等领域。

例如，在图像处理中，可以通过对图像进行缩放变换来改变其大小和清晰度。

四、翻转变换翻转变换是指将图形按照水平或垂直方向进行翻转。

翻转变换可以通过将图形上的点按照一定规律进行坐标变换来实现。

翻转变换常用于镜像对称的图案设计、计算机视觉和人脸识别等领域。

例如，在人脸识别中，可以通过对人脸图像进行水平翻转来改善识别准确度。

五、应用场景平面几何变换在各个领域都有着广泛的应用。

在地图显示中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现地图的平移、旋转和缩放操作，以满足用户的需求。

在计算机游戏中，可以通过平移、旋转和缩放变换来实现游戏角色的移动、旋转和缩放效果，增加游戏的可玩性。

在工程设计中，可以通过平面几何变换来进行图纸的布局和尺寸调整，提高设计效率和精度。

在计算机视觉中，可以通过平面几何变换来实现图像的校正、配准和纠正畸变等操作，提高图像处理和分析的准确性。

平移、旋转、反射的变换规律及应用在几何学中，平移、旋转、反射是重要的基础变换，它们具有很广泛的应用。

本文将详细介绍这三种变换的规律及其应用。

一、平移的变换规律及应用平移是将图形沿着一定方向移动一段距离，保持图形的形状和大小不变。

平移的基本规律如下：1. 平移的方向是任意的，可以向右、向左、向上或向下。

2. 平移的距离和方向相互独立，即平移的距离可以等于或不等于平移方向的长度。

应用实例：在地图上，我们可以将某个区域平移，以观察周边地区的情况，或者将某一条路径平移，以计算出另一条路径的长度。

二、旋转的变换规律及应用旋转是将图形以某一固定点为中心旋转一定角度。

基本规律如下：1. 旋转的中心点可以任选，旋转方向为逆时针方向。

2. 旋转的角度可以任意，可以为正数或负数。

应用实例：在三维动画设计中，可以利用旋转变换来实现模型的旋转效果；在机器人运动控制中，利用旋转变换可以计算出机器人的末端点位置和姿态。

三、反射的变换规律及应用反射是将图形按照某一直线镜像对称。

基本规律如下：1. 反射的直线可以任选，可以为水平、垂直或斜线。

2. 反射保持图形的大小和形状不变，只改变图形的方向。

应用实例：在物理实验中，可以对光线进行反射实验，利用反射规律求出光的入射角和反射角；在镜面制品加工中，利用反射变换可以对物体进行倒影的处理。

总结：平移、旋转和反射是计算机图形学等领域中应用最常见的三种基础变换。

学习了这些变换规律，便能更好地理解它们的应用和特点。

未来，在数字媒体、计算机辅助设计和机器人等领域中，这些变换也会为我们提供更多的应用场景。

平日期中 期终 矩阵与变换常考题型复习指导1. 线性变换与矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。

例1.（1）设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A=（ ）A 、 2 53 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、 2 35 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、 2 63 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、 2 26 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为 （ ） A 、21⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、21-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C 、 3 51 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、 5 32 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2. 复合变换与二阶行矩的乘法:()()A B AB αα= 计算公式：a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦①矩阵乘法不满足交换律：MN NM ≠②矩阵乘法不满足消去律：AB AC B C =⇒=不成立 ③满足结合律：()()A BC AB C =;n M MMM = （例：若cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,n A 表示几何意义是什么？）例2.（1）设A= -22，则A 6= 。

（2） 计算1 312 52-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，并解释计算结果的几何意义。

（3）已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= 。

例3. 某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：语 数 外80 90 8080 80 7090 85 95⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：不成立平日：30%；期中：30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？3.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下均保持不变，称为恒等变换阵。

回归课本专题七 理科附加题部分 第 1页回归课本专题七：附加题部分（理科）一、概率分布1、互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B +=()()P A P B +； 相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件； 如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1()1()()P A B P A P B -=-； 条件概率:已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）2、随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示.对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(a 、b 是常数)也是随机变量. 3、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…， ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)，则称表两条基本性质：①,2,1(0=≥i p i ...)；②P 1+P 2+ (1)4、独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C kn P k (1－P)n-k . 5、随机变量的均值和方差（1）随机变量的均值++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平.（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+. 6、几种特殊的分布列（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量⎩⎨⎧=. 0,1乙结果发生甲结果发生η，来描述这个随机试验的结果.如果甲结果发生的概率为P ，则乙结果发生的概率必定为1－P ，均值为E η=p ，方差为D η=p （1－p ）.（2）超几何分布:若有一批产品共有N ,其中有M 件不合格品,随机取出的n 件产品,不合一般地,若一个随机变量X 的发布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==,其中0,1,2,3,,,r l l n M == ,则称X 服从超几何分布,记为(,,)X H n M N .（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：()().p 1p C k P kn kk n --==ξ 记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n .期望Eε=np ，方差Dε=npq .二、矩阵变换1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线.2. 二阶行矩与平面向量的乘法 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n M MM M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦.cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？4.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: 100n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) 反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（4）旋转变换：cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦（5）投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦（6）切变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 如何求曲线在矩阵A 的变换下的曲线方程呢?5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1. 6利用逆矩阵解方程组ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成 AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒=7.特征值和特征向量回归课本专题七 理科附加题部分 第 2页（1）a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,如果存在λ和非零向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=λx y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即A αλα=,则λ叫A 的一个特征值，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦叫特征向量.(2)特征多项式: a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,2()||()a b f a b ad bc c d λλλλλ--==-++--- 8. λ是A 的一个特征值，求特征向量：解方程组()0()0()0a x by a x by cx d y λλλ-+=⎧⇔-+=⎨+-=⎩，取1x =或者1y =，写出相应的向量；9.如何求n A α的值. 三、参数方程、极坐标1.极坐标：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥.2.极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合. （2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得. ⑶几种常见曲线的参数方程和极坐标方程是什么?关注互化中,x y 的范围. 3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.四、用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α满足：||||||cos a b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n是平面α法向量, 与直线l 则斜线l的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅=；注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅= ；(法二)设1n ,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；⑷求点面距离：设n是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值) （5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°.(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线b a ,，b n a n ⊥⊥,则为平面α的法向量 关注斜体的空间坐标系的建立和相应点的坐标. 五、排列、组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理）:12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）:12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式 :mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+；（2）1mm n n n A A n m-=-；（3）11m m n n A nA --=；（4）11n n nn n n nA A A ++=-；（5）11m m m n n nA A mA -+=+；(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式 （1）mn nmn C C -=；11--+=n n mn mn C C C ；k n k n C C k n =--11；11mm n n n m C C m--+=；回归课本专题七 理科附加题部分 第 3页（2）1mm n n n C C n m -=-；（3）11m m n n n C C m--=； （4）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； (5)n nn r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (6)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m nm m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC CCCCC C C C C C C8.排列数与组合数的关系m m n nA m C =⋅！ . 9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m kn k kAA --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. （5）隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(，二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ； 六、数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当n k =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确． 那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）x 2x 4回归课本专题七 理科附加题部分 第 4页是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+ 时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，要具体问题具体分析． 七、练习：1.研究直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义.2.如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求 变换T 所对应的矩阵M ．3.已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= .4.已知,,A B C 为二阶矩阵，且AB AC =,若矩阵A 存在逆矩阵，则B C =5.利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩6.求矩阵AB 的逆矩阵，其中1101,20201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设A=，则A 6= .8.甲乙两个种群相互影响，其数量分别为{}{}n n a b ，116,4,a b ==且有关系式11232n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，试求20个时段后甲乙两个种群的数量.9. 已知矩阵M=11a b ⎛⎫⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1).设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值.11.将双曲线C ：221x y -=上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C '，试求C '的方程.12.曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）13. 在极坐标系中，5(3,),(8,)1212A B ππ,求,A B 间的距离.14. 在极坐标系中，（1）求点(,)P ρθ关于极轴的对称点的坐标；（2）求点(5,)6M π关于直线4πθ=的对称点的坐标.15. 求直线或圆的极坐标方程 （1）经过点(2,)4A π,且垂直于极轴的直线；(2) 经过点(4,0)C ,且倾斜角是34π直线； （3）以)4F π为圆心，1为半径的圆16. 直角坐标与极坐标方程互化：（1）2220x y ax +-=；（2）26y x =（3）2cos 216ρθ=；（4）612cos ρθ=+.17. 已知O 为极点，OR 为圆cos a ρθ=的弦，在直线OR 上取点,P Q ，使得RP RQ a ==.当点R 在圆上运动时，试求点,P Q 的轨迹方程.回归课本专题七 理科附加题部分 第 5页18. 过抛物线 22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）的顶点任作互相垂直的两条弦,OA OB ，交抛物线与,A B 两点，求证：此两点的中点M 的轨迹仍为一条抛物线.19. 已知P 为半圆C ： cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π.（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程.20. 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.21. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a =0相切，求实数a 的值.22. ,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 种23.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 种24.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 __________种.25.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 _________种.26.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 种.27.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 种 28.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种29.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 种30. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 种 31.如图，一个.地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）32.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？33.43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是34.(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为__________.A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 35.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20091222009222a a a +++ 的值为______. 36.在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.37.已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.AB回归课本专题七 理科附加题部分 第 6页38.已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ==,M N 分别是,PD PB 的中点． （1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （3）求点A 到平面MCN 的距离．39.口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．40.在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？ （2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．41.过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC ；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ= ，求λ；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程42.⑴当*k N ∈时，求证：(1(1k k +是正整数； ⑵试证明大于2(1n 的最小整数能被12n +整除（*n N ∈）.答案:。