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常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)ppt课件

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人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.2 反射变换-课件(共23张PPT)

人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.2 反射变换-课件(共23张PPT)

问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？
(1)
1 M2 0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于 x 轴 对称的图形；
(2)
1
M3
0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形；
(3)
0 M4 1
1 把一个几何图形变换为与之关于直线 0 y=x对称的图形；
0 1 把一个几何图形变换为与之关于直线
0
作用下
变换得到的曲线。
1
3、求出△ABC在矩阵
2 3
3 2 1
作用下变换得到的图形,
2 2
并给出图示，其中 A(0, 0), B(1, 3), C(0, 2)
4、用矩阵方法求直线y=5x-2关于直线y=-x 对称的直线方程
变式训练
1.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别变换成(5,7)与(-3,6)
这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变 换。
(即形如
x'
y
'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示， 但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换。
建构数学
当a=b=c=d=0时,
0 0
0 0
把平面上所有点
都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的 退化情况.
因此，在研究平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察 顶(端)点的变化结果即可.
课堂反馈
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵
0
0 1
作用下变换得
到的几何图形，并给出图示，其中 A(0, 0), B(3, 0),

常见的几种平面变换(投影变换) ppt

常见的几种平面变换(投影变换) ppt
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换；
2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义；
3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
生活感知
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会投影到 各自的树根.
排球中场休息时,工作人员用平地拖把拖 扫比赛场地.要求同时同向推动拖把,把 垃圾推到边界线停止.
求出矩阵为 变换后的点坐标。
y
T:
所以
x / x / y x
所以
( x, y )
( x, x )
y=x x
y/ x/
o
形成定义
像以上这类将平面内图形投影到某条直线上 (或某个点)的矩阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投影变换
作用下变换
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
例题深化
矩阵


的变换作用如何?并说
明这种变换的几何意义.
变式1
A(0,0),B(1,2) 在投影矩阵M矩阵作用 下分别变换为点A/(0,0),B/(1.5,1.5)
求变换对应的矩阵M.
几点说明：
(1)投影变换的几何要素:
①投影方向；②投影的目标直线;
(2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素;
(3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点; (4)投影变换是映射,但不是一一映射.
理解应用
研究线段AB在矩阵


变式2
圆x2+(y-2)2=1在矩阵
的变换下的曲线方程.

常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)

常见的几种平面变换(反射变换与旋转变换)
,a click to unlimited possibilities
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 反 射 变 换 03 旋 转 变 换 04 应 用 场 景 05 总 结 与 展 望
反射变换是指将平面图形沿一条直线进行翻转，使得图形对称于该直线 反射变换可以应用于平面图形的形状、大小和方向等属性的变化 常见的反射变换包括水平、垂直、对角线等方向的反射 反射变换在计算机图形学、几何变换等领域有着广泛的应用
旋转中心：固定点， 也称为旋转中心
旋转角度：绕旋转 中心旋转的角度
旋转方向：顺时针 或逆时针方向
绕点旋转：以一个固定点为中心进行旋转 绕线旋转：以一条固定直线或曲线为中心进行旋转 绕面旋转：以一个固定平面或曲面为中心进行旋转 绕体旋转：以一个固定物体或形状为中心进行旋转
绕原点旋转的矩阵表示
绕任意点旋转的矩Leabharlann 表示绕任意轴旋转的矩阵表示
绕任意直线旋转的矩阵表 示
图像旋转：将 图像按照指定 的角度旋转， 常用于纠正图 像的倾斜角度
图像缩放：调 整图像的大小， 常用于改变图
像的分辨率
图像平移：将 图像在平面上 移动，常用于 调整图像的位
置
图像剪切：从 图像中裁剪出 指定的区域， 常用于选取图 像的特定部分
图像旋转和平 移的组合变换： 将图像旋转后 再进行平移， 常用于对图像 进行复杂的变
镜像反射：将图像沿垂直或水平方向进行对称变换 旋转反射：将图像绕某点旋转一定角度进行对称变换 缩放反射：将图像沿某个方向进行缩放变换 剪切反射：将图像沿某个方向进行剪切变换
反射变换的定义
反射变换的矩阵表示形式
反射变换的几何意义
反射变换的应用
定义：旋转变换是 一种通过绕某一固 定点旋转来改变图 形位置的变换

4.几种常见的平面变换

4.几种常见的平面变换

变式训练
1 0 3.求直线x=2在二阶矩阵 M 对应的 1 0 变换下所变成的图形。
课堂反馈
1 0 作用下变换得 1、求平行四边形ABCD在矩阵 0 1 到的几何图形，并给出图示，其中 A(0,0), B(3,0),
C (4, 2), D(1, 2)
l : x y 7 0 求a，b的值.
换把直线 l : 2 x y 7 0 变换成另一直线
变式训练
2.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别 变换成(5,7)与(-3,6) （1）求矩阵M （2）求直线 l : x y 4 在此变换下所变成的 直线 l 的解析式.
课堂小结
生活事情
数学问题
矩阵 (数)
变换 (形)
变式练习:
1.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于x轴的方 向投影到直线y=2x上, 求矩阵M. 2.变换矩阵M将平面内的点沿垂直于直线y=2x 的方向投影到直线y=2x上, 求矩阵M. 3.求关于直线y=2x反射变换的变换矩阵M.
几种常见的平面变换 -----切变变换
变:将条件改为曲线C绕原点顺时针旋转450， 其结果又会如何？
几种常见的平面变换 -----投影变换
问题情境
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根。
图1树在中午的阳光下形成影子
图2把垃圾推到边界线
提出问题 这两个生活中事情，实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影，能否用 矩阵来表示？
1 0
y
1
y 10 x
y lg x
( x 0)
O
1
x
例4.求直线l:y=4x在矩阵 得到的曲线.

2017-2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修4-2

2017-2018学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修4-2

(2)由(1)知曲线 C′的焦点为(0,2)，(0，－2)，渐近线方程为 y＝
±x.
4．求直线 y＝ 3x 绕原点逆时针旋转π6后所得的直线的方程． 解：直线 y＝ 3x 的倾斜角为π3，绕原点逆时针旋转π6后所得 的直线的倾斜角为π2，故所求的直线方程为 x＝0.
5．将抛物线 E：y2＝4x 绕它的顶点逆时针旋转 60°，得到曲线
x′＝12，
将
x＝1，y＝0
代入(1)式得 y′＝
3 2.
由(1)消去 y，并将 x＝－1 代入，得 x′＋ 3y′＝－2.
∴曲线 E′仍为抛物线，它的焦点坐标 F′12， 23，准线方程 l′：x＋ 3y＋2＝0.
6．已知椭圆x42＋y32＝1 经过矩阵 M 对应的变换作用下变为椭圆x32 ＋y42＝1，求变换矩阵 M. 解：将椭圆x42＋y32＝1 变换为椭圆x32＋y42＝1，可以伸压变换，
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
[例 2] 已知曲线 C：x2＋y2＝2，将曲线 C 绕坐标原点逆时 针旋转 60°后，求得到的曲线 C′的方程．
[思路点拨] 先求出旋转变换矩阵，再根据变换公式求曲线 方程．
[精解详析] 旋转变换对应的矩阵
M＝csions
60° 60°
－sin cos
1 6600°°＝2
3
－
3
2
，
1
2 2
设 P(x0，y0)为曲线 C 上任意的一点，它在矩阵 M 对应的变

反射变换ppt课件

反射变换ppt课件

问题情境
求圆C：(x2)2(y2)22在矩阵
M
1
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x2)2(y2)22
(x2)2(y2)22
(2, 2)
(2,2)
O
x
反思：两个几何图形有何特点？
y
O
x
问1：假设将一个平面图形F在矩阵M1的 作用变换下得到关于y轴对称的几何图形， 那么如何来求出这个矩阵呢？
0
作用下
变换得到的曲线。
1
3、求出△ABC在矩阵
2 3
2
3 2 1
作用下变换得到的图形,
2
并给出图示，其中 A(0,0),B(1, 3),C(0,2)
4、用矩阵方法求直线y=5x-2关于直线y=-x 对称的直线方程
变式训练
1.二阶矩阵M对应的变换将 (1,-1)与(-2,1 ) 分别变换成(5,7)与(-3,6)
1
(2)
M3
0
0 1
把一个几何图形变换为与之关于原点 对称的图形；
0 (3) M 4 1
1
0
把一个几何图形变换为与之关于直线 y=x对称的图形；
0 1 把一个几何图形变换为与之关于直线
(4) M5 1
0
y=-x对称的图形；
普通地，称形如M1,M2,M3,M4,M5 这样的矩阵为反射变换矩阵，对应的变 换叫做反射变换，其中〔2〕叫做中心 反射，其他叫轴反射.其中定直线叫做反 射轴，定点称为反射点.
退化情况.
因此，在研讨平面上的多边形或直线在 矩阵的变换作用后构成的图形时，只需调查 顶(端)点的变化结果即可.
课堂反响
1
1、求平行四边形ABCD在矩阵

2019-2020学年高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.3变换的复合与矩阵的乘法反射变换课件苏教版选修4_


图并指出该变换是什么变换．
(2)矩阵01 10将点 A(2,7)变成了怎样的图形？画图并指出 该变换是什么变换．
[思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再 画出图形即可看出是什么变换．
[精解详析]
(1)因为－10
0 1
25＝－25，
∴y′90
2
＋x′ 0
2＝1；因此
x′ 0
2＋y′90
2
＝1.
从而所求曲线方程为 x2＋y92＝1，是椭圆．
矩阵10 01把一个图形变换为与之关于直线 y＝x 对称的图 形，反射变换对应的矩阵要区分类型：点对称、轴对称．
3．求曲线 y＝1x(x>0)在矩阵－10 －01对应的变换作用下得到的 曲线． 解：矩阵－01 －10对应的变换是关于原点对称的变换，因 此，得到的曲线为 y＝1x(x<0)．
(*)
又点 P′(x′，y′)在直线 y＝4x 上，所以 y′＝4x′，从而有 y ＝14x，从而直线 y＝4x 在矩阵－10 －01作用下变换成直线 y＝14 x.根据(*)，它们关于直线 y＝－x 对称．如图所示．
1．计算－01
－1 0
xy，并说明其几何意义．
0 －1
53＝－53；
(2)－01
0 －1
53＝－ －35；
(3)10
1 0
53＝35.
三个矩阵对应的变换分别是将点(5,3)作关于 x 轴反射变换、关
于原点的中心反射变换以及关于直线 y＝x 的轴反射变换，得到
[精解详析] 任取椭圆x92＋y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在矩
阵01
10对应的变换作用下变为 P′(x′0 ，y′0 )．则有10

高中数学2.2几种常见的平面变换4旋转变5投影变换6切变变换课件苏教版选修4-2


2.投影变换 (1)定义：将平面图形投影到某条直线 (或点)的变换，称为投影变换.
(2)投影变换矩阵：像10 00，11 00这类将平面内图形投影到 某条直线 (或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.
(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射. 3.切变变换 (1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和 线间夹角可以改变，且点 沿坐标轴 运动的变换叫做切变变换.
1.矩阵10 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到 x 轴上， 即(x，y)―→(x，0)；矩阵11 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直 于 x 轴方向投影到直线 y＝x 上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵00 01确定的投影变换， 将坐标平面上的所有点垂直投影到 y 轴上，即(x，y)―→(0，y).
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
换情况，从而得解.
矩阵10 k1(k∈R，k≠0)确定的变换为沿 x 轴方向平移|ky|个单位的切变变换； 而1k 10(k∈R，k≠0).确定的变换为沿 y 轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要 将二者混淆.
1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转π4 的旋转变换的变换矩阵为________. 【导学号：30650018】

常见的几种平面变换反射变换与旋转变换


分类
垂直反射
对角线反射
将平面上的点关上的点关于对角线进行反射。
水平反射
将平面上的点关于水平于坐标轴的直 线进行反射。
应用场景
01
02
03
图像处理
在图像处理中，可以利用 反射变换来调整图像的对 称性，以达到美化或修复 图像的效果。
几何作图
在几何作图中，可以利用 反射变换来构造对称图形， 简化作图过程。
旋转变换的角度可以是任 意角度，但通常限定在 $0^circ$到$360^circ$之 间。
分类
固定中心旋转
所有点都绕同一固定点旋转相同 角度。
非固定中心旋转
旋转中心不是固定的，可以随着旋 转角度的变化而变化。
复合旋转
多个旋转变换的组合，可以用于实 现更复杂的几何变换。
应用场景
图形设计
在计算机图形学中，旋转变换常 用于旋转图像、调整图形方向等。
旋转变换的几何意义
旋转变换
将平面上的点绕某一点旋转一定的角度。
几何意义
通过旋转变换，可以旋转图形，改变其方向和角度，但不会改变图 形的大小和形状。
应用
在几何学、图形设计、机械工程等领域中广泛应用。
THANKS
感谢观看
物理模拟
在物理模拟中，可以利用 反射变换来模拟物体在镜 子中的反射效果，例如光 线反射、水面倒影等。
02
旋转变换
定义与性质
定义
旋转变换是指通过旋转某 一角度将点或图形从一个 位置转移到另一个位置的 变换。
性质
旋转变换具有中心对称性， 即存在一个固定点（称为 旋转中心），图形围绕该 点进行旋转。
旋转角度
常见的几种平面变换
• 反射变换 • 旋转变换 • 旋转变换与反射变换的区别与联系 • 变换矩阵 • 变换的几何意义

苏教版高中数学选修4-2：2.2 几何常见的平面变换 复习课件


[例 1]
1 在直角坐标系 xOy 内矩阵2
0对应的坐标变换
0 2
公式是什么？叙述这个变换的几何意义，并求出点 P(4，－3)
在这个变换作用下的象 P′.
[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此
变换为伸缩变换，然后写出点 P 在此变换下的象．
[精解详析]
1 由2
1 在矩阵 N＝2
0
0对应的变换作用下的图形，其中 O(0,0)， 1
A(2,0)，B(1,1)，C(0,1)．
解：矩阵 M＝20 01对应的是沿 x 轴的伸压变换，保持纵
1 坐标不变，而横坐标变为原来的 2 倍．而矩阵 N＝2
0
0 1
对应的是沿 x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标
求曲线在变换作用下的象
[例 2] 在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 4x2＋y2＝1 在矩 阵 A＝02 10对应的变换作用下得到曲线 F，求曲线 F 的方程．
[思路点拨] 求曲线 F 的方程即求 F 上的任意一点的坐标 (x′ 0 ，y′ 0 )满足的关系式．
[精解详析] 设 P(x0，y0)是椭圆上的任意一点，点 P(x0，y0) 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的点为 P′(x′ 0 ，y′ 0 )，则有xy′ 0′ 0 ＝
∴x2＝12x0， y2＝2y0，
x0＝2x2， ∴y0＝12y2.
∵P0 在曲线 C 上， ∴y0＝sin x0.
∴12y2＝sin 2x2，
即 y2＝2sin 2x2. ∴所求曲线的方程为 y＝2sin 2x.
2.2.3 反射变换
1．反射变换矩阵和反射变换 像10 －01，－10 01，－01 －10这样将一个平面图形 F 变 为关于_定__直__线 ___或_定__点__对称的平面图形的变换矩阵，我们称之 为反射变换矩阵，对应的变换叫做_反__射__变__换__．相应地，前者叫 做_轴__反__射 ___，后者称做_中__心__反__射__．其中定直线称为反射轴，定 点称做反射点．
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这种把直线变为直线的变换叫做线性变换.
11
学生活动
变式：
设
a,b
R
若M
a 1
0 b
定义的线性变换把直线
l : 2x y 7 0变换成另一直线 l : x y 7 0
求a, b 的值.
12
学生活动
1.求平行四边形OBCD在矩阵01
0 1
作用
下变换得到的几何图形，并给出图示，其中
O(0,0), B(2,0),C(3,1), D(1,1)
x x x 1 0 x
T1
:
y
y
y
0
1
y
0 1
6
问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？
(1)
M2
1 0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1 x轴对称的图形；
(2) M3
1
0
0 把一个几何图形变换为与之关于 1原点对称的图形；
(3)
M4
0 1
1 0
把一个几何图形变换为与之关于
直线 y x对称的图形；
(4) M5
0 1
1把一个几何图形变换为与之关于
0 直线 y x对称的图形；
7
构建数学 一般地，称形如 M1, M 2 , M3, M 4 , M5
这样将一个平面图形F变为关于定直线或定点对称的 平面图形的变换矩阵,称之为反射变换矩阵，对应的 变换叫做反射变换，其中（3）叫做中心反射，其余 叫轴反射.其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点.
（2）求直线L:x-y=4在此变换下所成的直线L/的解析式.
19
17
数学应用
例4.已知A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、D（0，1） 试求矩形ABCD绕原点逆时针旋转900后所得到的图形，并 求出其顶点坐标，画出示意图。
变式：将条件改为矩形ABCD绕原点顺时针旋转300.
18
延伸拓展
已知二阶矩阵M对应的变换将（1，-1）与（-2，1） 分别变换为（5，7）与（-3，6）. （1）求矩阵M；
矩阵
1 0
0 1
对应的变换,都把自己变为自己.
1 0 x x
x x x
0
1
y
y
T
:
y
y
y
2
温故知新
2.伸压变换矩阵 M
a 0
0 1
N
1 0
0
b
伸压变换 矩阵是指将图形作沿x轴方向伸长或压缩,
或沿y轴方向伸长或压缩的变换矩阵.
1 0
0 1 2
x
y
x y 2
2.求出曲线y 3 x 在矩阵
作用下变换得到的曲线.
M
0 1
1
0
13
学生活动
1.求矩形OBCD在矩阵
0 1
01作用下变换得到的
几何图形，并给出图示，其中
O(0, 0), B(2, 0),C(2,1), D(0,1)
2.求出曲线
y
3
x
经 M1
1 0
0 1
和
0 M2 1
1 0
作用下变换得到的曲线.
8
数学应用
例1 求出曲线 y x2
(x 0) 在矩阵
M
1 0
0 1
作用下变换所得的图形. y
y x2 (x 0)
1
O
1
x
-1
y x2 (x 0)
9
数学应用
例2.求出直线 y 4x 在矩阵
作用下变换得到的图形.
M
0 1
1 0
变: y lg x(x 0)
y 10x y
y lg x (x 0)
15
构建数学 旋转变换
2.旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转
θ的变换矩阵P(.x其, y中)θ称为旋转角,点O为旋转中心.
r
r P(x, y)
x r cos
y
r
sin
x r cos( ) r cos cos r sin sin xcos y sin
y
r
sin(
)
r sin
14
学生活动
3.求 y
x2 (x
0)在M1
1 0
0
1
1
M2
0
0 1
1
M3
0
0
0
1 M4 1
1 0
分别作用下变换得到的曲线.
4.二阶矩阵M对应的变换将 (1, 1) 与 (2,1)
分别变换成 (5, 7) 与 (3,6)
（1）求矩阵M
（2）求直线l : x y 4在此变换下所变成的直线
l 的解析式.
学习目标: 1.理解可以用矩阵表示平面中常见的几何变换； 2.掌握恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义； 3.从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换,往往将直线变成直线或点。
1
温故知新
1.恒等变换矩阵(单位矩阵)
E
1 0
0 1
恒等变换是指对平面上任何一点(向量)或图形施以
T
:
x
y
x y
x y 2
伸压变换——
1 0
0 2
3 0
0 1
1 0
0 0.5
3
问题情境
求圆C：(x 2)2 ( y 2)2 2在矩阵
1
M
0
0 1
作用下变换所得的曲线.
y
(x 2)2 ( y 2)2 2
(x 2)2 ( y 2)2 2
(2, 2)
1
O
1
x
10
数学应用 例3.求直线l : 2x y 7 0 在矩阵 M
作用下变换得到的图形.
3 1
0 1
思考1：若矩阵M
3 1
10改为矩阵
A
3 1
1 1
则变换得到的图形是什么？
思考2：我们从中能猜想什么结论？ 或点
一般地,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线.
A(1α 2β) 1Aα 2Aβ
cos
r
cos
sin
y
cos
x sin
cos sin x x cos y sin x
sin
cos
y
x sin
y
cos
y
16
旋转变换
M=
cos sin
sin
cos
0 1 0 1
1
0
,
-1
0
0 1
1 0
x
y
y x
T
:
x y
x y
y x
旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两
个数互为相反数,且每行、每列的两个数的平方和为1.另外中 心对称与旋转1800是同一变换, 要注意旋转变换中旋转方向 为逆时针.
旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形
的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋 转中心和旋转角度决定，显然绕定点旋转1800的变换相当于 关于定点作中心反射变换.
(2, 2)
O
x
两个几何图形有何特点？
4
问题情境
y
O
x
已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, 将它做关于x轴、y轴和坐标原点对称的变换,分别得 到图片F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗?
5
问题1：若将一个平面图形 F 在矩阵M1 的作用变换下得到关于 y 轴对称的几
何图形，则如何来求出这个矩阵呢？