几种常见的平面变换 (1)

第2讲 矩阵与变换1.(2016·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB . 解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 12202 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12. ∴AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540 －1. 2.(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值. 解 由已知，得Aα＝－2α， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2， 所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 20.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.3.(2015·福建)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2 14 3，B ＝⎣⎡⎦⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1；(2)求矩阵C ，使得AC ＝B . 解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32 －12－42 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1. (2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32－12－2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤322－2 －3.本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.热点一 常见矩阵变换的应用 1.矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a 11，a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11，a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy . 说明：矩阵乘法MN 的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换.一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，若按照对应法则T ，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.2.几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换. 例1 已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程； (2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程.解 (1)设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点， 点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(0x '，0y ')，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0.∴⎩⎨⎧ 0x '＝22x 0－22y 0，0y '＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧x 0＝22(0x '＋0y ')，y 0＝22(0y '－0x ').又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20 －x ′20 ＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.(2)曲线C ′的焦点坐标为F 1(0，－2)，F 2(0,2)，渐近线方程为y ＝±x .再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C 的焦点坐标为(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为x ＝0，y ＝0.思维升华 把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解. 跟踪演练1 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标. 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′).由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0). 热点二 二阶矩阵的逆矩阵 矩阵的逆矩阵 (1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd (ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n (ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－b ad －bc－cad －bca ad －bc . 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0).(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值.解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程.又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 思维升华 对于二阶矩阵，若有AB ＝BA ＝E ，则称B 为A 的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.跟踪演练2 若圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换下变成椭圆E ：x 24＋y 23＝1，求矩阵A 的逆矩阵A －1. 解 设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点，经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，又圆的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 24＝1，b23＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3， 又a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 00 33.热点三 求矩阵的特征值与特征向量 二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量. (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量. (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*) 由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式. (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为A 的属于λ的一个特征向量.例3 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3).(1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量.解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－3，所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4. (2)由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－4 1，令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A 的特征值为λ＝－1或λ＝3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12；当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 思维升华 (1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量. (2)计算矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 的特征向量的步骤如下：①由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ；②求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量.跟踪演练3 已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 112.(1)求矩阵A ； (2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23. (2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1－1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (x )＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.1.已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标. 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3). 2.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB )－1；(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程.解 (1)AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14.(2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的像，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0. ∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x ＋y －5＝0，得2(x －y )－(x ＋3y )－5＝0，即x －5y －5＝0，即为所求的直线方程.A 组 专题通关1.求将曲线y 2＝x 绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程. 解 由题意得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设P (x 0，y 0)为曲线y 2＝x 上任意一点，变换后变为另一点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－y 0，y ＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x ，x 0＝y .又因为点P 在曲线y 2＝x 上，所以y 20＝x 0， 故(－x )2＝y ，即y ＝x 2为所求的曲线方程.2.在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)，B (1,1)，C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形.因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.3.已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A ′B ′C ′D ′，其中A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，A ′(3，－3)，B ′(1,1)，D ′(－1，－1). (1)求出矩阵M ；(2)确定点D 及点C ′的坐标. 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝－3，－a ＋b ＝1，－c ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝－2，d ＝－1，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1.(2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 3，知C ′(－3,3)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13 －23 23 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，知D (1，－1).4.已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 m n 1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解 设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧Mα1＝λ1α1，Mα2＝λ2α2，可解得：m ＝n ＝0，λ1＝2，λ2＝1,又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2， 所以M 2β＝M 2(α1＋2α2)＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 5.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.解 由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1).设k 为非零实数，矩阵M＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值.解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2).计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.B 组 能力提高7.已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解 设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0对应的变换下得到点Q (x ′，y ′). 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤121 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2. 代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1， 即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.8.设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵.解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′). 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.。

【理科附加】专题01 矩阵【母题来源一】【2019年高考江苏】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值. 【答案】（1）2=A 115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）121,4λλ==. 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.【母题来源二】【2018年高考江苏】已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． 【答案】（1）1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）(3，–1)． 【解析】本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ， 所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此，点P 的坐标为(3，–1)．【母题来源三】【2017年高考江苏】 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B （1）求AB ；（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）228x y +=． 【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ，则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 因为点00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=．因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2:C 228x y +=．【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．【命题意图】高考主要考查矩阵的逆，矩阵变换，矩阵运算以及矩阵的特征值与特征向量，考查推理运算能力以及对知识的理解掌握水平. 【命题规律】江苏高考中，主要考查的是如何求二阶矩阵的逆矩阵以及二阶矩阵的特征值和特征向量，矩阵变换下的曲线方程和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查. 【方法总结】（一）线性变换、二阶矩阵及其乘法（1）二阶矩阵与列向量的乘法规则：若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b x ax by c d y cx dy +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB .（2）二阶矩阵乘法规则： 若a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，m p n q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，则a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB . 矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. （3）线性变换的基本性质： ①设向量x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，则x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦λλλα. ②设向量1212,x x y y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦αβ，则1212x x y y +⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦αβ.③矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''.④A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λAα，A （α＋β）＝Aα＋Aβ.⑤二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. （4）几种常见的平面变换 ①当M ＝1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换是恒等变换. ②由矩阵M ＝001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k >0，且k ≠1）确定的变换称为（垂直）伸压变换. ③反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称. ④当M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.⑤将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.⑥由矩阵M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M ＝101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（k ∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.（二）逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（1）逆变换与逆矩阵①对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.②若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1.③逆矩阵求法：1||||(||0)||||其中d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A A A A A . （2）特征值与特征向量①设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.②从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.③计算矩阵M ＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征向量的步骤如下： i.由矩阵M 得到特征多项式f (λ)＝λa b c λd----；ii.求特征多项式的根，即求λ2－(a ＋d )λ＋(ad －bc )＝0的根； iii.将特征多项式的根(特征值)代入特征方程()0()0λa x by cx λd y --=⎧⎨-+-=⎩，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M 对应的特征向量．1．【江苏省徐州市2018−2019学年高三考前模拟检测数学试题】已知,a b ∈R ，向量1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵130b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属于特征值2-的一个特征向量，求矩阵1-A .2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知矩阵 1 2 0x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 5 72 3⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，B 的逆矩阵1-B 满足17 17 7y --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦AB． （1）求实数,x y 的值；（2）求矩阵A 的特征值．3．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知1是矩阵102a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值，求点(1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标.4．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】变换1T 是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ，变换2T 对应的变换矩阵是21101⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求曲线221x y +=的图象依次在12,T T 变换作用下所得曲线的方程.5．【江苏省扬州中学2019届高三4月考试数学试题】已知矩阵1a ⎡=⎢⎣A 11⎤⎥⎦，在平面直角坐标系xOy 中，直线:30l x y ++=在矩阵1-A 对应的变换下得到直线:10l x by '++=，求实数,a b 的值.6．【江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试数学试题】已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝ 0 1m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线l'：x ﹣y ＝1，求矩阵A ．7．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知，，，a b c d ∈R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程．8．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知矩阵A ＝210a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其逆矩阵1-A ＝01b c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求2A ．9．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知矩阵123a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量.10．【江苏省2019届高三第二学期联合调研测试试题】已知直线1C ：1x y +=，对它先作矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换，再作矩阵010m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 对应的变换（其中0m ≠），得到直线2C ：112x y +=，求实数m 的值．11．【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试数学试题】已知矩阵23b a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1101⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，2141⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB .（1）求a ，b 的值； （2）求A 的逆矩阵1-A .12．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题】已知二阶矩阵A 有特征值4=-λ，其对应的一个特征向量为14-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，并且矩阵A 对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵A ．13．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知矩阵=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ，10=102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦N ，且()110402-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦MN ，求矩阵M ．14．【江苏省扬州市2018−2019学年度第一学期期末检测试题高三数学】已知矩阵A ＝ab ⎡⎢⎣12⎤⎥⎦，满足A 13⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝68⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的特征值．15．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知矩阵0123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，1820⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，求1-A B．。

4.3 平面坐标系中几种常见变换1．平移变换在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点为P ′(x ′，y ′)，则有x h x y k y '+=⎧⎨'+=⎩2．伸缩变换一般地，由(0)kx x k y y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里，P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点)． 预习交流1．由(0)x xk kyy '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？提示：曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍．2．由(0)kx x k ky y '⎧>⎨'⎩＝，＝所确定的伸缩变换的意义是什么？ 提示：曲线上所有点的横坐标、纵坐标都变为原来的k 倍．一、平移变换 (1)把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)．(2)点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .解：(1)由平移公式得231123x y '⎧⎨'⎩＝－＋＝，＝＋＝，，即对应点A ′(1,3)． (2)由平移公式得78410h k ⎧⎨⎩－＝＋，＝－＋，解得1514h k ⎧⎨⎩＝－，＝，即a 的坐标为(－15,14)．将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的解析式．解：设P (x ，y )为l 上的任意一点，它在l ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，由平移公式得03x x y y '⎧⎨'⎩＝＋，＝＋，∴ 3.x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝－ 将它们代入y ＝2x 得y ′－3＝2x ′，∴l ′的解析式为y ＝2x ＋3.正确运用平移变换的公式是解决平移问题的关键．二、伸缩变换在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后的图形． (1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1. 解：(1)由伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝得1',21',3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2x ＋3y ＝0得到方程为x ′＋y ′＝0. 所以经过伸缩变换23,x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，直线2x ＋3y ＝0得到直线x ′＋y ′＝0. (2)将1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入x 2＋y 2＝1得到方程x ′24＋y ′29＝1，所以经过伸缩变换22x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝后，圆x 2＋y 2＝1得到椭圆x ′24＋y ′29＝1.在平面直角坐标系中，椭圆x 24＋y 29＝1经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到什么图形？ 解：由1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得23x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，，代入x 24＋y 29＝1得到x ′2＋y ′2＝1. 所以经过伸缩变换1',21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，椭圆x 24＋y 29＝1变为圆x ′2＋y ′2＝1. 在伸缩变换12k x x k y y '⎧⎨'⎩＝，＝下，直线仍然是直线，而圆可变为椭圆，椭圆也可变为圆．1．点P (3，－2)按a ＝(1，－4)平移后得点P ′的坐标为__________．答案：(4，－6)2．点P (3,1)按a 平移至点Q (1,3)，则a ＝__________.答案：(－2,2)3．点A (1,2)经过伸缩变换23x x y y'⎧⎨'⎩＝，＝后，得点A ′的坐标为__________． 答案：(2,6) 4．点(x ，y )经过伸缩变换1',2'3x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的点的坐标是(－2,6)，则x ＝__________，y ＝__________.答案：－4 25．将曲线x 2－9y 2＝27向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝3.解：伸缩变换为3x x y y '⎧⎨'⎩＝，＝，则',1',3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入x 2－9y 2＝27，得x ′2－y ′2＝27. 所以经过伸缩变换',3'x x y y =⎧⎨=⎩后，双曲线x 2－9y 2＝27变为双曲线x ′2－y ′2＝27.。

高中数学回归课本校本教材25（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。

由4个元素a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A= a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘积为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；①数乘平面向量：设x yα→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；.②平面向量的加法：设11x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦③数乘结合律：()A A λαλα→→=；分配律：()A A A αβαβ→→→→+=+； ④二阶行矩乘法a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦；⑤复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：A B BA →→；如：已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标． 解M ＝M 2 M 1＝[]0 －11 0[]1 00 －1＝[]0 11 0 ．C 坐标是(1，2)．说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序M 2M 1． 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1。

4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即(y －3)24－(x －2)29＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0. 根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0－(－2)＝2，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′)由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l ：3x －2y ＋12＝0按向量a ＝(2，－3)平移后的方程是________． 【答案】 3x －2y ＝03．曲线x 2－y 2－2x －2y －1＝0的中心坐标是________． 【解析】 配方，得(x －1)2－(y ＋1)2＝1. 【答案】 (1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________． 【解析】 开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x 2＝4y ，所以所求抛物线的方程是(x －3)2＝4(y －2)．【答案】 (x －3)2＝4(y －2)1．已知函数y ＝x 2图象F 按平移向量a ＝(－2,3)平移到F ′的位置，求图象F ′的函数表达式．【解】 在曲线F 上任取一点P (x ，y )，设F ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，则x ′＝x－2，y ′＝y ＋3，∴x ＝x ′＋2，y ＝y ′－3. 将上式代入方程y ＝x 2， 得：y ′－3＝(x ′＋2)2，∴y ′＝(x ′＋2)2＋3，即图象F ′的函数表达式为y ＝(x ＋2)2＋3.2．求椭圆4x 2＋9y 2＋24x －18y ＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为(x ＋3)29＋(y －1)24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为(y －1)2a 2－(x ＋3)2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b ＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c ②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c＝5.故所求双曲线方程为(y －1)216－(x ＋3)29＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k . 将其代入y ＝x 2－4x －8，得 y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8， 化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12. 所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k .第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎨⎧x ＝1kx ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1k x ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1k y ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得： λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin 3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎨⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b2＝a 2， 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′，y ＝a b y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，b a y ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk a x ＋b am . 由a b y ′＝－1k x ′，得y ′＝－b ka x ′，所以直线y ＝－1k x 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝ban ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________． 【答案】 x 216＋y 24＝14．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后，方程x 2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1， 得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即(x ′－3)29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是(x －3)29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎨⎧x4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，k y 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)． 所以A ′B ′＝(kx 1－kx 2)2＋(ky 1－ky 2)2＝|k |(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′， S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2.所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 35．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r 得⎩⎨⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎨⎧ r ＝22π3，φ＝π4. 所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)． 【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π) 9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)， 因此|CP |＝2 3.【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________． 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ). 所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

专题13矩阵与变换（加试内容选修4-2）昆山震川高级中学蒋国强【课标要求】1．课程目标本专题的内容包括：二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用.通过本专题的教学，使学生了解矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，许多数学模型都可以用矩阵来表示；使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义；初步体会矩阵应用的广泛性，进一步体会代数与几何结合的数形结合思想.2．复习要求(1) 二阶矩阵与平面向量了解矩阵的有关概念；掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法.(2) 几种常见的平面变换理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ.理解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵.(3) 矩阵的复合与矩阵的乘法掌握二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）.(4) 逆变换与逆矩阵理解逆矩阵的意义；掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件.理解逆矩阵的唯一性和(AB)-1＝B-1A-1等简单性质，并了解其在变换中的意义.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵.了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵.了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义.会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组.理解二元线性方程组解的存在性、唯一性.(5) 特征值与特征向量掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）.会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.了解三阶或高阶矩阵.了解矩阵的简单应用.3．课标教学建议(1) 本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m ×n 阶矩阵以及（a ij ）形式的表示.(2) 矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组.(3) 要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律.(4) 要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。

蒋王中学2014届高三数学附加题考前指导一．矩阵变换 1. 二阶行矩的乘法:a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦2. 二阶行矩的乘法:a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦。

cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？一般地M N NM ≠，n M MM M = 3.几种常见的平面变换(1) 恒等变换；(2) 伸压变换；(3) 反射变换；（4）旋转变换；（5）投影变换；（6）切变变换； 4.求逆矩阵常见的方法：定义ＡＢ＝ＢＡ＝E ；（1）用待定系数法求逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，ＡＢ＝ＢＡ＝E ； （2）公式法：a bc d＝ad bc -，记为：detA ，有1det det det det db A A A ca A A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当且仅当detA=adbc -≠0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)－1＝B －1A －1 。

5.利用逆矩阵解方程组 ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒= 6.求特征向量和特征值的步骤： （1）() -() ()a b f c d λλλ-=--=0；（2）解()0()0a x by cx d y λλ--=⎧⎨-+-=⎩()0a x by λ⇔--=；（3）取1x=或者1y =，写出相应的向量；7．如何求n M β的步骤： （1）求M αλα=，即M 的特征值λ和特征向量α；（2）用特征向量12,αα线性表示向量x yβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即12,,m n m n βαα=+是常数，但一般不是12,λλ；（3）代入12()M M m n βαα=+=12mM nM αα+,因为111M αλα=，222M αλα=，12mM nM αα+=1122m n λαλα+，依此，nM β=1122n n m n λαλα+； 例1 已知M=1 -23,-2 11α⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试计算20M α 解：2020202020113232(1)1132M α⎡⎤+⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二．参数方程、极坐标1. 常见的曲线的极坐标方程（1）直线过点M 00(,)ρθ,倾斜角为α常见的等量关系：正弦定理sin sin OP OMOMP OPM=∠∠，0OMP παθ∠=-+OPM αθ∠=-； （2）圆心P 00(,)ρθ半径为R 的极坐标方程的等量关系：勾股定理或余弦定理2.参数方程化为直角坐标：消去参数（1）圆222()()x a x b r -+-=的参数方程：cos ,sin x a r x b r θθ-=-= （2）椭圆22221x y a b+=的参数方程：cos ,sin x a x b θθ==（3）直线过点M 00(,)x y ,倾斜角为α的参数方程：00tan y y x x α-=-即00cos sin x x y y t θθ--==， 即⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x αα,T 的几何意义是有向线段MP 的数量；3. 极坐标和直角坐标互化：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. （1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合.（2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得。

回归课本专题七 理科附加题部分 第 1页回归课本专题七：附加题部分（理科）一、概率分布1、互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B +=()()P A P B +； 相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件； 如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1()1()()P A B P A P B -=-； 条件概率:已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）2、随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示.对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(a 、b 是常数)也是随机变量. 3、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…， ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)，则称表两条基本性质：①,2,1(0=≥i p i ...)；②P 1+P 2+ (1)4、独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C kn P k (1－P)n-k . 5、随机变量的均值和方差（1）随机变量的均值++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平.（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+. 6、几种特殊的分布列（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量⎩⎨⎧=. 0,1乙结果发生甲结果发生η，来描述这个随机试验的结果.如果甲结果发生的概率为P ，则乙结果发生的概率必定为1－P ，均值为E η=p ，方差为D η=p （1－p ）.（2）超几何分布:若有一批产品共有N ,其中有M 件不合格品,随机取出的n 件产品,不合一般地,若一个随机变量X 的发布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==,其中0,1,2,3,,,r l l n M == ,则称X 服从超几何分布,记为(,,)X H n M N .（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：()().p 1p C k P kn kk n --==ξ 记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n .期望Eε=np ，方差Dε=npq .二、矩阵变换1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线.2. 二阶行矩与平面向量的乘法 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n M MM M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦.cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？4.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: 100n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) 反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（4）旋转变换：cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦（5）投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦（6）切变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 如何求曲线在矩阵A 的变换下的曲线方程呢?5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1. 6利用逆矩阵解方程组ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成 AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒=7.特征值和特征向量回归课本专题七 理科附加题部分 第 2页（1）a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,如果存在λ和非零向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=λx y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即A αλα=,则λ叫A 的一个特征值，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦叫特征向量.(2)特征多项式: a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,2()||()a b f a b ad bc c d λλλλλ--==-++--- 8. λ是A 的一个特征值，求特征向量：解方程组()0()0()0a x by a x by cx d y λλλ-+=⎧⇔-+=⎨+-=⎩，取1x =或者1y =，写出相应的向量；9.如何求n A α的值. 三、参数方程、极坐标1.极坐标：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥.2.极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合. （2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得. ⑶几种常见曲线的参数方程和极坐标方程是什么?关注互化中,x y 的范围. 3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.四、用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α满足：||||||cos a b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n是平面α法向量, 与直线l 则斜线l的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅=；注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅= ；(法二)设1n ,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；⑷求点面距离：设n是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值) （5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°.(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线b a ,，b n a n ⊥⊥,则为平面α的法向量 关注斜体的空间坐标系的建立和相应点的坐标. 五、排列、组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理）:12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）:12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式 :mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+；（2）1mm n n n A A n m-=-；（3）11m m n n A nA --=；（4）11n n nn n n nA A A ++=-；（5）11m m m n n nA A mA -+=+；(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式 （1）mn nmn C C -=；11--+=n n mn mn C C C ；k n k n C C k n =--11；11mm n n n m C C m--+=；回归课本专题七 理科附加题部分 第 3页（2）1mm n n n C C n m -=-；（3）11m m n n n C C m--=； （4）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； (5)n nn r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (6)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m nm m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC CCCCC C C C C C C8.排列数与组合数的关系m m n nA m C =⋅！ . 9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m kn k kAA --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. （5）隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(，二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ； 六、数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当n k =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确． 那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）x 2x 4回归课本专题七 理科附加题部分 第 4页是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+ 时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，要具体问题具体分析． 七、练习：1.研究直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义.2.如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求 变换T 所对应的矩阵M ．3.已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= .4.已知,,A B C 为二阶矩阵，且AB AC =,若矩阵A 存在逆矩阵，则B C =5.利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩6.求矩阵AB 的逆矩阵，其中1101,20201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设A=，则A 6= .8.甲乙两个种群相互影响，其数量分别为{}{}n n a b ，116,4,a b ==且有关系式11232n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，试求20个时段后甲乙两个种群的数量.9. 已知矩阵M=11a b ⎛⎫⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1).设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值.11.将双曲线C ：221x y -=上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C '，试求C '的方程.12.曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）13. 在极坐标系中，5(3,),(8,)1212A B ππ,求,A B 间的距离.14. 在极坐标系中，（1）求点(,)P ρθ关于极轴的对称点的坐标；（2）求点(5,)6M π关于直线4πθ=的对称点的坐标.15. 求直线或圆的极坐标方程 （1）经过点(2,)4A π,且垂直于极轴的直线；(2) 经过点(4,0)C ,且倾斜角是34π直线； （3）以)4F π为圆心，1为半径的圆16. 直角坐标与极坐标方程互化：（1）2220x y ax +-=；（2）26y x =（3）2cos 216ρθ=；（4）612cos ρθ=+.17. 已知O 为极点，OR 为圆cos a ρθ=的弦，在直线OR 上取点,P Q ，使得RP RQ a ==.当点R 在圆上运动时，试求点,P Q 的轨迹方程.回归课本专题七 理科附加题部分 第 5页18. 过抛物线 22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）的顶点任作互相垂直的两条弦,OA OB ，交抛物线与,A B 两点，求证：此两点的中点M 的轨迹仍为一条抛物线.19. 已知P 为半圆C ： cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π.（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程.20. 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.21. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a =0相切，求实数a 的值.22. ,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 种23.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 种24.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 __________种.25.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 _________种.26.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 种.27.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 种 28.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种29.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 种30. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 种 31.如图，一个.地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）32.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？33.43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是34.(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为__________.A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 35.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20091222009222a a a +++ 的值为______. 36.在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.37.已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.AB回归课本专题七 理科附加题部分 第 6页38.已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ==,M N 分别是,PD PB 的中点． （1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （3）求点A 到平面MCN 的距离．39.口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．40.在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？ （2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．41.过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC ；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ= ，求λ；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程42.⑴当*k N ∈时，求证：(1(1k k +是正整数； ⑵试证明大于2(1n 的最小整数能被12n +整除（*n N ∈）.答案:。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 4 旋转变、投影变换、切变变换学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.求出△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下得到的图形，并画出示意图，其中A (0，0)，B (1，3)，C (0，2).【解】 因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 1， 所以△ABC 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12作用下变换得到的图形为△A ′B ′C ′，其中A ′(0，0)，B ′(－1，3)，C ′(－3，1)，这是一个旋转变换，示意图如图所示.2.(1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成什么图形？ (2)正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101作用下变成什么图形？这里A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1).【解】 (1)直线x ＋y ＝3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1作用下变成直线x ＝3. (2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101对应变换下，A →A ′(－2，－1)，B →B ′(0，－1)，C →C ′(2，1)，D →D ′(0，1)，则变换所成图形为平行四边形A ′B ′C ′D ′，如图.3.椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000对应的变换作用下得到什么图形？【解】 设(x ，y )为椭圆x 29＋y 2＝1上的任意一点，则有x 2≤9.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，所以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0使得椭圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为0，所以椭圆x 29＋y 2＝1在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000对应的变换作用下得到的图形是线段y ＝0(－3≤x ≤3)，即椭圆长轴.4.在平面直角坐标系xOy 内有一点P (2，3)，将该点沿平行于直线x ＋2y ＝0的方向投影到x 轴上，求P (2，3)在此投影变换下得到的点P ′的坐标.【解】 设P (2，3)在此投影变换下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 0，从而可知此投影变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤80，可知点P ′的坐标为(8，0). 5.如图2­2­4所示，已知△ABC 在变换T 的作用下变成△A ′B ′C ′，试求变换T 对应的矩阵M .【导学号：30650020】图2­2­4【解】 从△ABC 到△A ′B ′C ′对应的是x 轴方向上的切变变换，因为A 、B 在x 轴上，原地不变，注意到C (－1，1)→C ′(1，1)，由此可知这个变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201.6.如图2­2­5所示，已知矩形ABCD 在变换T 的作用下变成图形A ′B ′C ′D ′，试求变换T 对应的矩阵M .图2­2­5【解】 从图可以看出，T 是一个切变变换，且T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x y ＋12x . 故T 对应的变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1. 我们可以进行如下验证：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1. 所以矩形ABCD 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 012 1的作用下变成了平行四边形A ′B ′C ′D ′. 7.试分析平面上的变换将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的矩阵表示.【解】 不妨设P (x ，y )是平面上的任意一点，则它关于直线y ＝x 对称的点P ′的坐标为P ′(y ，x )，PP ′的连线一定垂直于直线y ＝x ，且交点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2，如图所示.根据题意，该变换即为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋y 2x ＋y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .因此，将平面上的点沿垂直于直线y ＝x 的方向投影到直线y ＝x 上的变换的矩阵表示为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12. 能力提升]8.运用旋转矩阵对应变换，求解下列问题：(1)求曲线x ＝y 2逆时针方向绕原点旋转90°所成的曲线方程. (2)求圆x 2＋y 2＝1绕原点逆时针旋转π8后得到的曲线方程.【导学号：30650021】【解】 (1)旋转变换矩阵为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，设x ＝y 2上任意一点(x 0，y 0)旋转变换后为(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－y 0 x 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝－y 0y ′0＝x 0，故y ′0＝(－x ′0)2，即旋转所成的曲线方程为y ＝x 2.(2)设x 2＋y 2＝1上的动点P (x ，y )经过变换后得新曲线上的点为P ′(x ′，y ′). 则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos π8 －sin π8sin π8 cos π8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x cos π8－y sin π8x sin π8＋y cos π8， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x cos π8－y sin π8，y ′＝x sin π8＋y cos π8.从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′cos π8＋y ′sin π8，y ＝－x ′sin π8＋y ′cos π8.代入x 2＋y 2＝1得(x ′cos π8＋y ′sin π8)2＋(－x ′sin π8＋y ′cos π8)2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.故所求曲线方程为x 2＋y 2＝1.。

平面形的变换在平面几何中，平面形的变换是一个既具有理论意义又有实际应用的重要概念。

本文将介绍平面形的变换及其分类、性质和应用。

一、平面形的变换平面形的变换指在平面上将一个图形按照一定的规则移动、翻转、旋转或拉伸等操作后得到的新图形。

常见的平面形变换有平移、旋转、对称和相似变换。

1. 平移变换平移变换是指不改变图形形状和大小，将图形沿着平行线移动的操作。

如果平移的向量为(u,v)，则对于平面上的点(x,y)，平移后的点坐标为(x+u,y+v)。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形按照一个固定点为中心，以一定的角度θ逆时针旋转后得到的新图形。

通常以原坐标系为基准，旋转中心为坐标原点。

旋转中点为(x,y)，则旋转后的点坐标为(xcosθ-ysinθ,ycosθ+xsinθ)。

3. 对称变换对称变换是指以一个直线或点为对称轴或对称中心，将图形中的每个点沿着对称轴或对称中心对应的点重合后得到的新图形。

如果对称轴或对称中心不在原点，则需要将图形沿着对称轴或对称中心平移后再进行对称变换。

4. 相似变换相似变换是指将图形沿着一定方向放缩一定比例，得到的新图形与原图形相似的变换。

其中放缩比例称为相似比，通常使用k表示。

相似变换可以通过平移、旋转和等比变换的组合实现。

二、平面形的分类根据平面形在变换中的性质，可以将平面形分为不动点、对称形和中心对称形三类。

1. 不动点形若变换前后平面形在同一个位置，则这种平面形被称为不动点形。

即变换前后该图形上的所有点都不改变位置。

不动点形的变换只能是平移，数学家将其称为平移样本。

2. 对称形如果图形变化后仍然和变化前保持对称，这种平面形被称为对称形。

对称形的变换包括了对称和滑动，数学家将对称形的变换称为欧氏变换。

3. 中心对称形如果图形变化后和变化前保持中心对称，这种平面形被称为中心对称形。

中心对称形的变换包括旋转、平移和中心对称三种，数学家将其称为仿射变换。

三、平面变换的应用平面形的变换具有广泛的应用，如以下几个例子：1. 图案设计利用对称变换可以制作出各种独特的图案。