常见的几种平面变换反射变换与旋转变换

2.2几种常见的平面变换反射变换三维目标1.知识与技能掌握反射变换的矩阵表示与几何意义从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β.2.过程与方法通过实例，借助几何图形来研究平面图形的几何变换，让学生感到生动. 3.情感、态度与价值观将新旧知识结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 反射变换 教学难点证明M (λ1α＋λ2β)＝λ1M α＋λ2M β 教学过程一、情境设置已知在平面直角坐标系的第一象限有一张汽车图片F ，将它做关于x 轴、y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到图片F 1，F 2，F 3.这些变换能用矩阵来表示吗？二、学生活动在图片F 上任取一个P(x,y)，假设三个变换分别为T 1，T 2，T 3，对应的矩阵分别记为M 1，M 2，M 3，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001,:''1M y x y x y x T 三、建构数学1.反射变换 像⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,1001,1001这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换.相应地，前者叫做轴反射，后者称为中心反射，其中的定直线称为反射轴，定点称做反射点.探究已知格子纸上有一面小旗（如图），请在格纸上画出它关于x 轴、关于y 轴和关于原点对称的图形.四、数学应用例 求直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为直线y ＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110x y y x y x 故⎪⎩⎪⎨⎧=='0'00y x x y '0'0004,4y x x y =∴= 从而直线y ＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变成直线.41x y =例 求曲线y 2＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换所得的图形. 解：设P(x 0,y 0)为曲线y 2＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变换变为点 P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110x y y x y x ，故⎪⎩⎪⎨⎧=='00'00y x x y '02'00204,4y x x y =∴= 从而曲线y 2＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变成曲线y x 42= 例 二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线. 证明：假设矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a(a,b,c,d 不全为零)对应的变换把平面上的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)变成平面上的点P 1′(x 1′,y 1′),P 2′(x 2′,y 2′)，令α＝,11⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x β＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡22y x ，M α＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'1'1y x ，M β＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'2'2y x ，故说明：⑴把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换（平面上的线性变换都可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的线性变换）.⑵当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000把平面上的所有点都变换到坐标原点（0,0），此时为线性变换的退化情况，因此在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察顶（端）点的变化结果即可.想一想：曲线y ＝f(x)在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001,1001,1001作用下变换所得图形的方程分别是什么？)()(1001x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()(1001x f y x f y -=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- )()(1001x f y x f y --=−−−−→−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--五、回顾反思1.知识点：反射变换，线性变换2.思想方法：数形结合，类比 六、作业 见数学教学案 教学后记。

平面向量的正交变换和相似矩阵平面向量具有很多重要的性质和应用，其中正交变换和相似矩阵是两个重要的概念。

本文将介绍平面向量的正交变换和相似矩阵，并讨论它们在几何和代数中的应用。

一、平面向量的正交变换平面向量的正交变换是指将一个向量通过某种变换操作，使得变换后的向量与原向量垂直。

常见的平面向量的正交变换有旋转和反射两种。

1. 旋转变换旋转变换是指将一个向量按照一定的角度绕着一个点或者某个轴进行旋转，并保持向量的长度不变。

旋转变换可以用复数的乘法来表示，假设有向量v，要将它绕着原点逆时针旋转θ角度，变换后的向量可以表示为v' = v * exp(iθ)，其中exp(iθ)表示复数e的iθ次幂。

2. 反射变换反射变换是指将一个向量关于某个轴进行镜像翻转，也就是改变向量的方向而保持其长度不变。

例如，将向量v绕着直线L进行反射变换，变换后的向量v'可以表示为v' = v - 2proj_L(v)，其中proj_L(v)表示向量v在直线L上的投影向量。

二、相似矩阵与平面向量的正交变换相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它与平面向量的正交变换有密切的联系。

相似矩阵指的是具有相同特征值的矩阵，而特征值对应着线性变换后的向量的缩放倍数。

对于平面向量的正交变换，可以用一个相似矩阵将变换前的向量表示为变换后的向量。

设A是一个平面向量的正交变换矩阵，v是一个向量，则有v' = A * v。

其中，向量v'是变换后的向量，矩阵A与v的相乘即实现了向量的正交变换。

三、平面向量的正交变换与应用平面向量的正交变换在几何和代数中有广泛的应用。

1. 几何应用在几何中，平面向量的正交变换可以用来解决关于旋转和反射的几何问题。

例如，通过旋转变换可以实现平面图形的旋转、定位和对称等操作，而通过反射变换可以实现平面上点的镜像和对称等操作。

2. 代数应用在代数中，平面向量的正交变换与相似矩阵有密切的联系。

高一数学三角变换的知识点三角变换是高中数学中一个重要的知识点，它在几何推理、求解复杂三角形问题以及解决实际应用问题中起到关键作用。

本文将介绍三角变换的相关概念、公式和应用。

一、平面向量的三角变换在平面几何中，平面向量的三角变换是指对平面内的向量进行平移、旋转、翻转等操作，常用的变换有平移变换、旋转变换和翻转变换。

1. 平移变换平移变换是将平面内的向量沿着某一方向平行移动一定的距离，其变换规律为：如果向量a(x,y)经过平移变换得到向量b(x',y')，则有x'=x+m，y'=y+n，其中m和n分别表示平移的横向和纵向距离。

2. 旋转变换旋转变换是将平面内的向量绕某一点旋转一定的角度，顺时针旋转为正，逆时针旋转为负。

设向量a(x,y)经过顺时针旋转θ度得到向量b(x',y')，则有：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ3. 翻转变换翻转变换是将平面内的向量绕某一轴线对称翻转，有关于x轴翻转、y轴翻转和原点对称翻转三种情况，其变换规律为：关于x轴翻转：(x,y) → (x,-y)关于y轴翻转：(x,y) → (-x,y)关于原点翻转：(x,y) → (-x,-y)二、三角函数的三角变换三角函数的三角变换是指对三角函数进行移动、伸缩、反转等操作，常用的变换有平移变换、伸缩变换和反射变换。

1. 平移变换由f(x)=sinx和g(x)=sin(x+a)对比可以发现，f(x)经过平移变换得到g(x)，平移的距离为a。

通过平移变换，可以将一个角度范围内的函数图像向左或向右平移。

2. 伸缩变换由f(x)=sinx和g(x)=a*sinx对比可以发现，f(x)经过伸缩变换得到g(x)，伸缩比例为a。

通过伸缩变换，可以改变函数图像的振幅和频率。

3. 反射变换由f(x)=sinx和g(x)=-sinx对比可以发现，f(x)经过反射变换得到g(x)。

平面向量的复合变换平面向量是代数中的重要概念，它们具有方向和大小。

在数学中，我们经常需要对平面向量进行变换以便进行分析和计算。

平面向量的复合变换是指将一个平面向量进行一系列的变换操作，得到新的向量。

一、平面向量的平移变换平移变换是指将一个向量沿着指定的方向和距离进行平移。

假设有向量AB，在平移变换中，将向量AB沿着指定的方向进行平移，得到新的向量A'B'。

平移变换可以用向量运算表示为：A'B' = AB + CD，其中CD为平移向量。

二、平面向量的旋转变换旋转变换是指将一个向量绕某一点或者某一直线进行旋转。

假设有向量AB，在旋转变换中，将向量AB绕某一点O按照一定的角度进行旋转，得到新的向量A'B'。

旋转变换可以用向量运算表示为：A'B' =OA + OB - OB'，其中OA为半径，OB为原向量在旋转前的位置向量，OB'为旋转后的目标向量。

三、平面向量的缩放变换缩放变换是指改变向量的大小而保持其方向不变。

假设有向量AB，在缩放变换中，将向量AB按照一定的比例进行放大或缩小，得到新的向量A'B'。

缩放变换可以用向量运算表示为：A'B' = k · AB，其中k为缩放因子，当k>1时表示放大，当0<k<1时表示缩小。

四、平面向量的反射变换反射变换是指将一个向量关于某一直线进行对称。

假设有向量AB，在反射变换中，将向量AB关于某一直线进行对称操作，得到新的向量A'B'。

反射变换可以用向量运算表示为：A'B' = 2 · ON - OA，其中ON为到直线的距离，OA为原向量的位置向量。

在实际应用中，平面向量的复合变换经常被用于图像处理和仿真领域。

通过对平面向量进行一系列的变换操作，可以实现图像的平移、旋转、缩放和翻转等效果。

对称变换：理解反射与旋转对称变换是数学中一种重要的概念，它在几何学、物理学以及计算机图形学中都有广泛的应用。

其中，反射与旋转是两种常见的对称变换方式。

本文将深入理解反射与旋转的概念及应用，以帮助读者更好地理解对称变换。

反射是一种在平面上进行的对称变换。

简而言之，反射就是将一个点、线段、图形等，沿着一条直线将其镜像对称到另一侧。

这条直线被称为镜面。

反射可以分为两种情况，分别为点关于镜面的对称和图形关于镜面的对称。

首先，我们来讨论点关于镜面的对称。

设点A的坐标为（x，y），镜面为直线y=0。

根据对称性质，点A关于镜面的对称点A'的坐标为（x，-y）。

这个过程可以表达为以下式子：（x，y）→（x，-y）。

接下来，我们来讨论图形关于镜面的对称。

以一个三角形ABC为例，其中点A的坐标为（x1，y1）、点B的坐标为（x2，y2）、点C的坐标为（x3，y3）。

若镜面为直线y=0，则通过点关于镜面的对称，得到三角形A'B'C'，其坐标可表示为（x1，-y1）、（x2，-y2）、（x3，-y3）。

可以看出，图形关于镜面的对称是点关于镜面对称的一个推广。

旋转是另一种常见的对称变换方式。

它是以一个点为中心，按照一定的角度将图形或点逆时针或顺时针旋转。

在二维平面上，我们常见的旋转方式有绕原点旋转和绕某一点旋转。

首先，我们来讨论绕原点旋转。

设点A的坐标为（x，y），以原点为中心，角度为θ进行逆时针旋转。

根据旋转的基本公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = x*cosθ - y*sinθ，y' = x*sinθ +y*cosθ。

可以看出，旋转是通过三角函数的运算而实现的。

接下来，我们来讨论绕某一点旋转。

同样以点A的坐标为（x，y），以点O（ox，oy）为中心，角度为θ进行逆时针旋转。

根据旋转的公式，点A旋转后的新坐标为（x'，y'），其中x' = (x-ox)*cosθ - (y-oy)*sinθ + ox，y' = (x-ox)*sinθ + (y-oy)*cosθ + oy。

反射变换
1．反射变换
【知识点的知识】
把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P′的线性变换叫做关于直线l 的反射．变换的坐标公式和二阶矩阵为：
【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的k2 倍，k1，k2 均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M＝；
1/ 2
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y 轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k 为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M
（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
2/ 2。

二维几何形的旋转与反射旋转和反射是二维几何中常用的变换方法，它们可以将一个图形在平面上做出不同的变化。

本文将探讨旋转和反射在二维几何形中的应用和性质。

一、旋转旋转是指将一个图形绕着某一固定点旋转一定角度的变换。

在二维几何中，旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转。

1. 顺时针旋转顺时针旋转是指图形沿着一个固定的轴线，逆时针旋转一定的角度。

以点A(x, y)为例，图形按照逆时针方向旋转θ角度后，新的坐标为A'(x', y')。

顺时针旋转的坐标变换公式：x' = x * cosθ + y * sinθy' = -x * sinθ + y * cosθ2. 逆时针旋转逆时针旋转是指图形沿着一个固定的轴线，逆时针旋转一定的角度。

以点A(x, y)为例，图形按照逆时针方向旋转θ角度后，新的坐标为A'(x', y')。

逆时针旋转的坐标变换公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ二、反射反射是指将一个图形沿着某一轴线做镜像翻转的变换。

在二维几何中，反射可以分为水平反射和垂直反射两种。

1. 水平反射水平反射是指图形沿着y轴线进行镜像翻转。

以点A(x, y)为例，图形经过水平反射后，新的坐标为A'(-x, y)。

2. 垂直反射垂直反射是指图形沿着x轴线进行镜像翻转。

以点A(x, y)为例，图形经过垂直反射后，新的坐标为A(x, -y)。

三、旋转和反射的应用旋转和反射在几何中具有广泛的应用。

下面将介绍旋转和反射对一些常见二维几何形的影响。

1. 点的旋转和反射对于一个点来说，旋转只是改变了点的位置，而反射则是使点围绕轴线进行镜像翻转。

2. 直线的旋转和反射对于直线来说，旋转和反射也只是改变了直线的位置和方向，旋转的角度和反射的轴线决定了直线的变化程度。

3. 矩形的旋转和反射矩形是一个常见的二维几何形，旋转和反射可以改变矩形的位置、角度和长宽比例。

26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。

（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。

（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。

（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。

平日期中 期终 矩阵与变换常考题型复习指导1. 线性变换与矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。

例1.（1）设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，则A=（ ）A 、 2 53 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、 2 35 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、 2 63 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D 、 2 26 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为 （ ） A 、21⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B 、21-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦C 、 3 51 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、 5 32 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2. 复合变换与二阶行矩的乘法:()()A B AB αα= 计算公式：a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦①矩阵乘法不满足交换律：MN NM ≠②矩阵乘法不满足消去律：AB AC B C =⇒=不成立 ③满足结合律：()()A BC AB C =;n M MMM = （例：若cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,n A 表示几何意义是什么？）例2.（1）设A= -22，则A 6= 。

（2） 计算1 312 52-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，并解释计算结果的几何意义。

（3）已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= 。

例3. 某名学生上学期在语、数、外三门功课的平日、期中、期终得分分别为：语 数 外80 90 8080 80 7090 85 95⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦又平日、期中、期终三次成绩各自的权重分别为：不成立平日：30%；期中：30%；期终：40%，则该名学生上学期语、数、外三门最后总评得分各为多少？3.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下均保持不变，称为恒等变换阵。

回归课本专题七 理科附加题部分 第 1页回归课本专题七：附加题部分（理科）一、概率分布1、互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B +=()()P A P B +； 相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件； 如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1()1()()P A B P A P B -=-； 条件概率:已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）2、随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示.对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(a 、b 是常数)也是随机变量. 3、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…， ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)，则称表两条基本性质：①,2,1(0=≥i p i ...)；②P 1+P 2+ (1)4、独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C kn P k (1－P)n-k . 5、随机变量的均值和方差（1）随机变量的均值++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平.（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+. 6、几种特殊的分布列（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量⎩⎨⎧=. 0,1乙结果发生甲结果发生η，来描述这个随机试验的结果.如果甲结果发生的概率为P ，则乙结果发生的概率必定为1－P ，均值为E η=p ，方差为D η=p （1－p ）.（2）超几何分布:若有一批产品共有N ,其中有M 件不合格品,随机取出的n 件产品,不合一般地,若一个随机变量X 的发布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==,其中0,1,2,3,,,r l l n M == ,则称X 服从超几何分布,记为(,,)X H n M N .（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：()().p 1p C k P kn kk n --==ξ 记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n .期望Eε=np ，方差Dε=npq .二、矩阵变换1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线.2. 二阶行矩与平面向量的乘法 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n M MM M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦.cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？4.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: 100n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) 反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（4）旋转变换：cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦（5）投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦（6）切变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 如何求曲线在矩阵A 的变换下的曲线方程呢?5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1. 6利用逆矩阵解方程组ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成 AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒=7.特征值和特征向量回归课本专题七 理科附加题部分 第 2页（1）a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,如果存在λ和非零向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=λx y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即A αλα=,则λ叫A 的一个特征值，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦叫特征向量.(2)特征多项式: a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,2()||()a b f a b ad bc c d λλλλλ--==-++--- 8. λ是A 的一个特征值，求特征向量：解方程组()0()0()0a x by a x by cx d y λλλ-+=⎧⇔-+=⎨+-=⎩，取1x =或者1y =，写出相应的向量；9.如何求n A α的值. 三、参数方程、极坐标1.极坐标：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥.2.极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合. （2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得. ⑶几种常见曲线的参数方程和极坐标方程是什么?关注互化中,x y 的范围. 3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.四、用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α满足：||||||cos a b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n是平面α法向量, 与直线l 则斜线l的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅=；注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅= ；(法二)设1n ,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；⑷求点面距离：设n是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值) （5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°.(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线b a ,，b n a n ⊥⊥,则为平面α的法向量 关注斜体的空间坐标系的建立和相应点的坐标. 五、排列、组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理）:12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）:12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式 :mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+；（2）1mm n n n A A n m-=-；（3）11m m n n A nA --=；（4）11n n nn n n nA A A ++=-；（5）11m m m n n nA A mA -+=+；(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式 （1）mn nmn C C -=；11--+=n n mn mn C C C ；k n k n C C k n =--11；11mm n n n m C C m--+=；回归课本专题七 理科附加题部分 第 3页（2）1mm n n n C C n m -=-；（3）11m m n n n C C m--=； （4）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； (5)n nn r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (6)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m nm m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC CCCCC C C C C C C8.排列数与组合数的关系m m n nA m C =⋅！ . 9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m kn k kAA --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. （5）隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(，二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ； 六、数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当n k =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确． 那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）x 2x 4回归课本专题七 理科附加题部分 第 4页是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+ 时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，要具体问题具体分析． 七、练习：1.研究直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义.2.如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求 变换T 所对应的矩阵M ．3.已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= .4.已知,,A B C 为二阶矩阵，且AB AC =,若矩阵A 存在逆矩阵，则B C =5.利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩6.求矩阵AB 的逆矩阵，其中1101,20201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设A=，则A 6= .8.甲乙两个种群相互影响，其数量分别为{}{}n n a b ，116,4,a b ==且有关系式11232n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，试求20个时段后甲乙两个种群的数量.9. 已知矩阵M=11a b ⎛⎫⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1).设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值.11.将双曲线C ：221x y -=上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C '，试求C '的方程.12.曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）13. 在极坐标系中，5(3,),(8,)1212A B ππ,求,A B 间的距离.14. 在极坐标系中，（1）求点(,)P ρθ关于极轴的对称点的坐标；（2）求点(5,)6M π关于直线4πθ=的对称点的坐标.15. 求直线或圆的极坐标方程 （1）经过点(2,)4A π,且垂直于极轴的直线；(2) 经过点(4,0)C ,且倾斜角是34π直线； （3）以)4F π为圆心，1为半径的圆16. 直角坐标与极坐标方程互化：（1）2220x y ax +-=；（2）26y x =（3）2cos 216ρθ=；（4）612cos ρθ=+.17. 已知O 为极点，OR 为圆cos a ρθ=的弦，在直线OR 上取点,P Q ，使得RP RQ a ==.当点R 在圆上运动时，试求点,P Q 的轨迹方程.回归课本专题七 理科附加题部分 第 5页18. 过抛物线 22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）的顶点任作互相垂直的两条弦,OA OB ，交抛物线与,A B 两点，求证：此两点的中点M 的轨迹仍为一条抛物线.19. 已知P 为半圆C ： cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π.（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程.20. 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.21. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a =0相切，求实数a 的值.22. ,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 种23.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 种24.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 __________种.25.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 _________种.26.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 种.27.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 种 28.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种29.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 种30. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 种 31.如图，一个.地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）32.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？33.43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是34.(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为__________.A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 35.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20091222009222a a a +++ 的值为______. 36.在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.37.已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.AB回归课本专题七 理科附加题部分 第 6页38.已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ==,M N 分别是,PD PB 的中点． （1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （3）求点A 到平面MCN 的距离．39.口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．40.在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？ （2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．41.过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC ；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ= ，求λ；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程42.⑴当*k N ∈时，求证：(1(1k k +是正整数； ⑵试证明大于2(1n 的最小整数能被12n +整除（*n N ∈）.答案:。