最新2.2几种常见的平面变换汇总

y x2.2几种常见的平面变换投影变换三维目标1.知识与技能掌握投影变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 投影变换 教学难点 投影变换矩阵 教学过程一、情境设置如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？二、学生活动 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x 轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x 轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T ，并且有T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0''x y x y x故变换T 对应的矩阵为M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001三、建构数学像⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射. 四、数学运用 例5研究矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101所确定的变换. 解：对于平面上的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x y x 0101， 因此，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，如图所示. 例6 研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2). 解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121， 所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，线段AB 变换成线段AB ，其中A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，如图所示. 变：研究直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形. 解：在直线y=2x 上取点A(0,0),B(1,2) 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121，所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，点A 、B 分别变换成点A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，因此直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到直线y ＝－x. ●思考 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000的变换作用如何？ 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到y 轴上时，纵坐标保持，横坐标变化为0.●思考我们学习过的变换中，哪些是一一映射？哪些不是？恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换都是一一映射，投影变换是映射，但不是一一映射.五、回顾反思1.知识点：投影变换2.思想方法：数形结合六、作业 见数学教学案 教学后记。

2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A.  ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。

（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。

（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。

26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。

（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。

（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。

（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。

2.2几种常见的平面变换第一课时 恒等与伸压变换[教学目标]一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义 二、过程与方法：探究练习法三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程]一、情景引入：一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？ 看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y)方程组表达：⎩⎨⎧==//y y x x 转化为矩阵表示：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x 汇总：平面上任何一点通过矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究）1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。

2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)?3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)?方程组表示⎩⎨⎧==/2/1yy k x x k 转化为矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡//y x ，变换矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的⎥⎦⎤⎢⎣⎡210k k 称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？四、典型例题例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=±21练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的31的变换；B 是纵坐标伸长为原来的31倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.2 几种常见的平面变换 3 恒等变换、伸压变换、反射变换学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.试讨论矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的变换将直线y ＝3x ＋2变成了什么图形，并说明该变换是什么变换？【解】 设直线y ＝3x ＋2上的任意一点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用下变成点(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝y′，将其代入y ＝3x ＋2中，得y ′＝3x ′＋2，从而可知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换将直线y ＝3x ＋2仍变成了同一条直线.矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换是恒等变换.2.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程.【导学号：30650014】【解】 设P (x ，y )是椭圆上任意一点，点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′2，y ＝y′.又4x 2＋y 2＝1， 所以x ′2＋y ′2＝1.所以曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1.3.求曲线C ：x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的反射变换作用下得到的图形的周长.【解】 设曲线C ：x 2＋y 2＝9上任意一点P (x ，y )在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110对应的反射变换作用下得到的点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x′，x ＝y′，将其代入x 2＋y 2＝9中，得x ′＋y ′＝9，从而可知曲线C 在矩阵M 对应的反射变换作用下得到的图形的周长为6π.4.计算下列矩阵与平面列向量的乘法，并说明其几何意义.(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y (k ＞0).【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 2y ； (2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 2； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky (k ＞0). ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标拉伸为原来的2倍.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 12对应的变换将平面上的点的横坐标保持不变，纵坐标压缩为原来的一半. 矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)的几何意义在于其对应的变换将平面上的任一向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，变换前后，横坐标保持不变，而纵坐标为原来的k 倍.当k ＞1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的伸长变换；当0＜k ＜1时，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00k (k ＞0)对应的是沿y 轴方向的压缩变换；当k ＝1时，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001对应的是恒等变换. 5.设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a0－1b 把直线l ：y ＝2x －4变换为直线l ′：y ＝x －12，求a ，b 的值.【解】 在直线l 上取两点(2，0)，(0，－4)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a －2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－4b .由题意，知点(2a ，－2)，(0，－4b )在直线l ′上，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2＝2a －12，－4b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.6.已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a ，b 的值.【解】 在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y′＝bx ＋3y ， 所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.7.已知矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程.【导学号：30650015】【解】 由题意，即求圆x 2＋y 2＝1在矩阵M 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12对应的变换作用下，所得曲线的方程.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上任意一点，点P 在矩阵M 3对应的变换作用下，得点P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ，y′＝12y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x′，y ＝2y′，代入x 2＋y 2＝1， 得x′24＋4y ′2＝1. 故所求曲线方程为x24＋4y 2＝1.能力提升]8.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b4对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求实数a ，b 的值.【解】 在直线l ：x ＋y ＋2＝0上取两点A (－2，0)，B (0，－2)，A ，B 在矩阵M 对应的变换作用下分别对应于点A ′，B ′，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－2b ，所以A ′的坐标为(－2，－2b ).⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a －8，所以B ′的坐标为(－2a ，－8).由题意A ′，B ′在直线m ：x －y －4＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（－2）－（－2b ）－4＝0，（－2a ）－（－8）－4＝0，解得a ＝2，b ＝3.。

2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E )，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 或x 轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．(2)将平面图形F 作沿x 轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1(k >0)，沿y 轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k >0)．[对应学生用书P8]求点在变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy 内矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122对应的坐标变换公式是什么？表达这个变换的几何意义，并求出点P (4，－3)在这个变换作用下的象P ′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P 在此变换下的象．[精解详析] 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝x ′，2y ＝y ′.对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝2y ，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍； 当x ＝4，y ＝－3时，x ′＝2，y ′＝－6，故点P 在这个变换下的象为P ′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤300 12，求出点A (3，12)在矩阵M 对应变换作用下的象A ′. 解：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤914 ∴A ′(9，14)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换作用下得到的几何图形，其中O (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．解：矩阵M 为恒等变换矩阵，O 、B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O ′(0,0)，B ′(2,0)，C ′(2,2)，D ′(0,2)，仍然是正方形OBCD .求曲线在变换作用下的象[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．[思路点拨] 求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标(x ′0，y ′0)满足的关系式． [精解详析] 设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0，又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以4x 20＋y 20＝1， 从而有x ′20＋y ′20＝1，所以曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P (x 0、y 0)与P ′(x ′0，y ′0)的关系找出，再利用曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意一点，而P 1(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换下的曲线上的对应点，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝4得x ′24＋y ′2＝4，所以方程x 216＋y 24＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (a >0，b >0)对应的变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0a，y 0＝y′0b .又因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1，所以x ′02a 2＋y ′02b 2＝1，即圆C 在矩阵A 对应的变换下的象为x 2a 2＋y 2b2＝1.由条件可知，变换后的椭圆方程为x 2＋y 24＝1，所以a 2＝1，b 2＝4，又因为a >0，b >0，所以a ＝1，b ＝2.5．矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为圆上的任意一点，在M 1的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在M 2的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 0，y 1＝y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1，y 2＝12y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2x 0，y 2＝12y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x 2，y 0＝2y 2.∵P 0在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ∴14x 22＋4y 22＝1， 故所求曲线的方程为x 24＋4y 2＝1.[对应学生用书P9]1．求圆x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x 2＋y 2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.3．在平面直角坐标系中，线性变换对应的二阶矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12.求： (1)点A (15，3)在该变换作用下的象；(2)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)在该变换作用下的象．解：(1)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12153⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1532，得点A (15，3)在该变换作用下的象为(15，32)；(2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 02， 得点P (x 0，y 0)在变换作用下的象为(x 0，y 02)．4．求出如下图的图形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A (1,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (3,1)，E (3,2)，F (0,2)，G (0,1)，H (1,1)．解：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的是沿y 轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A →A ′(1,0)，B →B ′(2,0)，C →C ′(2,1.5)，D →D ′(3，1.5)，E →E ′(3,3)，F →F ′(0,3)，G →G ′(0,1.5)，H →H ′(1,1.5)．变换后的图形如下图．5．求椭圆C ：x 24＋y 29＝1先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线C ′的方程．解：因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换是恒等变换，所以曲线C ′是椭圆C ：x 24＋y 29＝1在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应变换下得到的曲线，设椭圆C 上任意一点P (x ，y )在矩阵N 对应的变换下得到曲线C ′上的点P (x ′，y ′)，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝13y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝3y ′.因为x 24＋y 29＝1，所以x ′24＋3y ′29＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1.6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD ，试求变换矩阵M ，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？假设不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一． 由题设知，AC ∶BD ＝3∶1，假设只变换A ，C 两点，那么必须将A ，C 的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤130 0 1. 假设只变换B ，D 两点，那么应把B ，D 的纵坐标伸长到原来的3倍，于是变换矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3， 所以满足条件的所有变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.7．求出梯形OABC 先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的变换作用下的图形，其中O (0,0)，A (2,0)，B (1,1)，C (0,1)．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的12倍，也就是说梯形OABC 先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．8．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵M 、N 对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为曲线C 上的任意一点，在T M 的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在T N 的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 0，y 1＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 1，y 2＝y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 0，y 2＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 2，y 0＝12y 2.∵P 0在曲线C 上， ∴y 0＝sin x 0. ∴12y 2＝sin 2x 2， 即y 2＝2sin 2x 2.∴所求曲线的方程为y ＝2sin 2x .。

2.2几种常见变换——旋转变换仅供学习交流2.2几种常见的平面变换旋转变换三维目标1.知识与技能掌握旋转变换的矩阵表示与几何意义2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点旋转变换教学难点旋转矩阵的导出教学过程一、情境设置假设电风扇的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如图所示.已知电风扇叶片上一点P(x,y)，它绕中心O旋转角到另外一点P(x,y)，因此旋转前后叶片上的点的位置变化可以看做一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？二、学生活动仅供学习交流不妨设OP 与x 轴正方向的夹角为α，|OP|=r ， 则有⎩⎨⎧==ααsin cos r y r x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)sin()cos(''θαθαr y r x 从而有⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθcos sin sin cos ''y x y y x x即T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x θθθθcos sin sin cos ''三、建构数学 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 通常叫做旋转矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角θ叫做旋转角，点O 叫做旋转中心.说明：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状. ●恒等变换、伸压变换、反射变换这三个变换中还有哪些变换，只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状？反射变换●恒等变换与旋转变换的关系是什么？ θ＝0°●反射变换与旋转变换的关系是什么？绕定点作旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.仅供学习交流xy D 'C 'B 'A 'xyB D2AC 11C A 2DB -1●我们学过那部分知识与旋转有联系？ 复数 四、数学运用例1 已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90°后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.解：由题意，得旋转矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011090cos 90sin 90sin 90cos 0000,00000110⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-,20020110⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-,21120110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-,01100110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 因此，矩形ABCD 在矩阵M 的作用下变成了矩形A ′B ′C ′D ′，其中点A ′(0,0),B ′(0,2),C ′(－1,2),D ′(－1,0)，如图所示.变：已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转30°后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.解：由题意，得旋转矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2321212330cos 30sin 30sin 30cos 0000仅供学习交流,000023212123⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- ,130223212123⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- ,2312131223212123⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- ,23211023212123⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 因此，矩形ABCD 在矩阵M 的作用下变成了矩形A ′B ′C ′D ′，其中点A ′(0,0),).23,21(),231,213(),1,3('''-+-D C B 如图所示.xy1C A2D B例2 已知曲线y 2＝4x 绕原点逆时针旋转90°后所得到的曲线C ，求曲线的方程.解：由题意，得旋转矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011090cos 90sin 90sin 90cos 0000设P(x 0,y 0)为曲线y 2＝4x 上的任一点，它在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110作用下变换变为点P ′(x 0′,y 0′)，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000'0'00110x y y x y x ，故⎪⎩⎪⎨⎧=-='00'00y x x y '02'00204)(,4y x x y =-∴=从而曲线y 2＝4x 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110作用下变成曲线y x 42=五、回顾反思1.知识点：旋转变换2.思想方法：数形结合六、作业见数学教学案教学后记仅供学习交流。