下载文档原格式
解析投影变换选修4-2第二章中讲述了六种常见的平面变换，即恒等、伸压、反射、旋转、投影、切变变换，这里对于投影变换做一些简要的解析。
一、投影变换的概念知识来源于生活，实际上生活中有关投影的例子举不胜举。
如物体在日光的照射下产生影子，就是投影。
那么究竟什么是投影变换呢？相信大家都看过排球比赛吧，中场休息时，两人同时相向用拖把将垃圾推到中界线l处停止。
我们可近似地把排球比赛场看作平面，以中界线l为x轴，场地中心o为原点建立坐标系，那么拖地前后可以看做是平面上的一个几何变换t:（x，y）→（x’，y’）=（x，0），则对应的变换矩阵m=1 00 0。
像这样将平面图形投影到某条直线（或点）的变换叫投影变换，而对应的矩阵称为投影变换矩阵。
这里我们不难发现，投影变换是一种线性变换，它虽然是映射，但不是一一映射。
二、常见的几种投影变换1.将平面上的点垂直投影到x轴上的变换就像前面举的拖地的例子，m=1 00 0就是此种情况。
例如：曲线m=1 00 0在矩阵对应的投影变换作用下变成什么图形？解析：设p（x，y）是曲线y=sinx上任意一点，它经过变换后成点p’（x’，y’），则x’y’=1 00 0xy=x0，即y’=0，也就是说，经过变换后点的横坐标不变，纵坐标变为0，所以将曲线沿垂直于x轴的方向投影到x轴上，变为直线y=0。
2.将平面上的点垂直投影到y轴上的变换不难看出此种变换t：（x，y）→（x’，y’）=（0，y），对应的变换矩阵为0 00 1。
例如：椭圆x2+=1在矩阵0 00 1对应的变换作用下变成什么图形呢？解析：因为x’y’=0 00 1xy=0y，所以x’=0y’=y，即经过变换后点的纵坐标不变，横坐标变为0，所以将椭圆x2+=1沿垂直于y轴的方向投影到y轴上，变成线段x=0（-2≤y≤2）（椭圆长轴）。
3.将平面上的点沿x轴（或y轴）方向投影到直线y=x上的变换我们来比较一下两种变换矩阵m1=1 01 0与m2=0 10 1。
平面几何计算平面形的旋转平移和对称变换平面几何计算平面形的旋转、平移和对称变换在平面几何中，旋转、平移和对称变换是常见且重要的几何变换方法。
通过对平面形进行旋转、平移和对称变换，我们可以得到新的平面形，进而探索其性质和应用。
本文将介绍平面几何中的旋转、平移和对称变换，并进行相关计算。
一、旋转变换旋转变换是指将一个平面形绕着某个点旋转一定角度后得到的新的平面形。
在旋转变换中，我们需要确定旋转的中心点和旋转的角度。
旋转变换的数学表示可以使用矩阵运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，旋转中心为(a,b)，旋转角度为θ，则经过旋转变换后的点的坐标为(x',y')。
根据旋转矩阵的定义，可以得到以下计算公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过旋转变换计算出该平面形绕某个点旋转一定角度后的新的顶点坐标。
二、平移变换平移变换是指将一个平面形沿着某个方向移动一定距离后得到的新的平面形。
在平移变换中，我们需要确定平移的方向和平移的距离。
平移变换的数学表示可以使用矢量运算来进行计算。
假设原始点的坐标为(x,y)，平移向量为(a,b)，则经过平移变换后的点的坐标为(x',y')。
根据平移的定义，可以得到以下计算公式：x' = x + ay' = y + b例如，若给定一个平面形的几个顶点坐标，我们可以通过平移变换计算出该平面形沿着某个方向移动一定距离后的新的顶点坐标。
三、对称变换对称变换是指将一个平面形围绕某个直线或点对称后得到的新的平面形。
在对称变换中，我们需要确定对称的直线或点。
对称变换的数学表示既可以使用矩阵运算，也可以使用坐标变换求解。
1. 直线对称变换：假设原始点的坐标为(x,y)，对称直线的方程为ax+by+c=0，则经过直线对称变换后的点的坐标为(x',y')。
§2.2 几种常见的平面变换学习目标1. 掌握恒等变换与伸压变换的表示及其几何意义，了解单位矩阵.2. 恒等变换与伸压变换的规律及其变换矩阵；3. 理解反射变换的矩阵表示及其几何意义学习导航一、课前准备 复习1：矩阵的概念复习2：二阶矩阵与平面列向量的乘法二、预习思考通过预习（课本P 12—22）初步掌握恒等变换、伸压变换、反射变换等平面变换. 提炼新知： 1．恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都能把自身变成自身．因此，我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵，所实施的对应变换称为恒等变换．我们把矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1称为恒等变换矩阵或单位矩阵，可记为E . 2．伸压变换矩阵M 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12把平面上每一个点P 都向x 轴方向垂直压缩为原来的一半，只有x 轴上的点没变； 矩阵M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001把平面上每一个点P 都沿x 轴方向伸长为原来的2倍，只有y 轴上的点没变．像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，或作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称为沿y 轴或x 轴的垂直伸压变换矩阵，对应变换为垂直伸压变换，简称伸压变换． 3．反射变换(1)反射变换的概念像⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．关于定直线或定点对称的反射又分别称为轴反射和中心反射，其中定直线称为反射轴，定点称做反射点．(2)反射变换的分类与矩阵M1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1对应的变换是关于x轴的轴反射变换．与矩阵M2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100 1对应的变换是关于y轴的轴反射变换．与矩阵M3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1对应的变换是关于原点的中心反射变换．与矩阵M4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换．4．线性变换一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换，通常叫做线性变换．三、知识应用例1、如图所示，已知曲线y = sin x经过变换T作用后变为新的曲线C，试求变换T对应的矩阵M，以及曲线C的解析表达式.例2、验证圆C：x2 + y2 = 1在矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21对应的伸压变换下变为一个椭圆，并求此椭圆的方程.小结：将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其变换矩阵的一般形式是什么？沿y轴方向的呢？例3、求出矩形ABCD在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡16.0作用下得到的图形，并画出示意图，其中A（-1，0），B（1，0），C （1，1），D （-1，1）.例4、求出曲线y =x （x ≥0）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001作用下变换得到的曲线.例5、设a 、b ∈R ，若M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a10所定义的线性变换把直线l ：2x + y – 7 = 0变换成另一直线l ＇：x + y – 3 = 0，求a 、b 的值.练一练：1、研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001对应的变换作用下得到的几何图形，其中O （0，0），B （2，0），C （2，2），D （0，2）.2、考虑以下各向量在矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21001对应的变换作用下的结果，并从几何变换的角度解释所得结果：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡0a ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡b 0.四、总结提升检测反馈：1、求出平行四边形ABCD 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001作用下变换得到的几何图形，并画出示意图，其中A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2）.2、研究函数y = 2cos x 在矩阵M = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡31001变换作用下的结果.3、求△OBC 在矩阵M = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1002对应的变换作用下的结果，其中O 为原点，B （-1，0），C （0，1）.4、求出△ABC 在矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321作用下变换得到的图形，并画出示意图。
26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。
（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。
（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。
（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。
平面的等距与相似变换平面的等距变换指的是保持平面上各点之间距离不变的变换方式，而平面的相似变换则是保持平面上各点之间距离比例不变的变换方式。
这两种变换在数学和几何学中都有着重要的应用。
一、等距变换等距变换是指平面上的一个点变换到另一个点时，保持原有点与目标点之间的距离不变。
等距变换可以分为平移、旋转和镜像三种基本类型。
1. 平移平移是等距变换中最基本的一种。
平移指的是将平面上的所有点沿着某一方向移动相同距离，结果是平面上的所有点平行移动，保持原有的形状和大小不变。
平移变换可以用向量来表示，设一个向量OP表示平面上的一个点P的位置，一个向量OA表示平面上的一个固定点A的位置，那么点P在平移变换下的位置可以表示为OP' = OP + OA，其中OP'表示变换后的点P'的位置。
这说明平移变换是通过将向量OA加到向量OP上实现的。
2. 旋转旋转是指将平面上的所有点绕某一固定点按照一定角度进行旋转，结果是平面上的所有点按照相同的角度绕着固定点旋转，保持原有的形状和大小不变。
旋转变换可以用矩阵来表示，设平面上的一个点P在绕固定点O进行旋转时，按照逆时针方向旋转θ角度，那么点P在旋转变换下的坐标可以表示为：P' = [cos(θ) -sin(θ)] * [P - O] + O，其中[P - O]表示点P相对于点O的向量，P'表示旋转后的点P'的坐标。
3. 镜像镜像是指将平面上的所有点绕某一直线对称翻转，结果是平面上的所有点关于直线对称，保持原有的形状和大小不变。
镜像变换可以用矩阵来表示，设平面上的一个点P关于直线l进行镜像翻转，那么点P在镜像变换下的坐标可以表示为：P' = I * [P - l] + l，其中[P - l]表示点P关于直线l的垂直向量，I表示单位矩阵，P'表示镜像后的点P'的坐标。
二、相似变换相似变换是指平面上的一个点变换到另一个点时，保持原有点与目标点之间的距离比例不变。
2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A. ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。
解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。
（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。
（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。
2 3⎡1 k ⎤（△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ⎢对应的变换下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。
答案：1：1。
解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。
⎡1 0 ⎤（5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ⎢ 1 ⎥ 变换作用下的结果是。
⎣ 2 ⎦（1） ⎛10⎫⎪⎪方程为y=2x+2；（2） 1⎭（3） 20⎫曲线方程为x2+y2=4∵⎢01⎥⎢y⎥＝⎢y⎥∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇换后的点为A(x,y),则 20⎫⎛x⎫=⎛2x⎫=⎛x1⎫∴2x=x,y=y⎝01⎭⎝y⎭⎝y⎭⎝y1⎭+y⎡cos45-sin45⎤⎢-22⎥，任意选取双曲⎣22⎦''答案：y=3cos x。
解析：本变换是伸压变换。
2例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
⎝01⎭⎛-10⎫⎪点A（2，5）；⎝•A（-2，5）Y•A（2，5）⎝01⎭O X 答案：（1）所给方程表示的是一条直线。
设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x1,y1）⎡10⎤⎡x⎤⎡x⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２∴该变换是恒等变换。
（图略）（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变11111将之代入到x22=4可得方程该变换是伸压变换。
Yx2y21+141=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，YOXOX图1图2例3：将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C'，试求C'的方程。
⎡22⎤⎥答案：由题意，得旋转变换矩阵M=⎢⎥=⎢⎣sin45cos45⎦⎢22⎥⎢⎥线x2-y2=1上的一点P(x0,y0)，它在变换T M作用下变为P'(x0,y0)，则有y ⎦ y ' ⎦⎪ 0 22 ,∴ ⎨ ( x + y ) ⎪ y = 2 ( y ' - x ' )2⎪ 0 2' ⎧1 -1⎥⎦1 -1⎥⎦'( x ' , y ' ) ，则有 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ' ⎥ ，故 ⎨ x - y = y ' , 即 ⎨ y 0 = x 0' - y ' ⎣1 -1⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎩ 0 ⎩ 0 1 -1⎥⎦⎣0 1 ⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣0 1 ⎦⎣1 0 ⎦ 3．将圆 x 2+ y2= 1在矩阵 A = ⎢ ⎥对应的伸压变换下变成一个椭圆 ⎣0 b ⎦4．在矩阵 ⎢⎡1 ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ M = ⎢ 0 ⎥=⎢ 0 ⎥ ⎣ 0 ⎣ 0 ⎧ ⎪ x 0 = ，故 ⎨⎪ y ' =⎪⎩ 0 x 2 - y 2 = 1上，所以 x 2 - y 2 = 1 ，即有 2x ' y ' = 1 。
∴所求的 C ' 方程为 xy = 0 0 0 0 1 2。
⎡1 0⎤例 4：研究直线3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ 对应的变换作用下变成什么图形，并说⎣明其几何意义。
⎡1 0⎤答案：任取直线 3x - 2 y + 1 = 0 的一点 P ( x 0 , y 0 ) ，它在矩阵 ⎢⎣对应的变换作用下变为 P 0 0 ⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎧ x = x ' ⎧ x = x ' 0 0 0 00 0 0 0又因为点 P 在直线 3x - 2 y + 1 = 0 上，所以 3x - 2 y + 1 = 0即有 3x ' - 2( x ' - y ' ) + 1 = 0, x ' + 2 y ' + 1 = 00 0⎡1 0⎤从而直线 3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ⎢ ⎣作用下变成直线 x + 2 y + 1 = 0 。
其几何意义是：把直线 3x - 2 y + 1 = 0 上的每一点沿垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 的方向投影到该直线上。
【课内练习】1．下列矩阵是二阶单位矩阵的是（ ）⎡1 0⎤ ⎡0 1⎤⎡1 0⎤⎡0 0 ⎤A 、 ⎢ ⎥B 、 ⎢ ⎥C 、 ⎢ ⎥D 、 ⎢ ⎥答案：A 。
解析：由定义知。
2．坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得 到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4答案：B 。
解析：只有旋转、反射变换满足。
⎡a 0⎤ y 2x 2 + 4 = 1，则a +b = （ ）3 5 A 、 B 、3 C 、 D 、52 4答案：B 。
解析：由已知得 a = 1,b = 2 。
0⎤⎣2 1⎥ 变换下，点 A(2,1)将会转换成。
答案：(2,5)。
解析： ⎢⎡1 ⎣2 1⎥⎦ ⎢⎣2⎥⎦ ⎣5 ⎦5．若直线 x - y - 4 = 0 在矩阵 M = ⎢ ⎥ 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 a , b⎪⎪ 0 1 + ab⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ax + y ⎤ 答案：0，2。
解析：由题意知 T M ： ⎢ 0 ⎥ → ⎢ 0 ⎥ = ⎢ ，故 ⎨- x + by ⎥⎦ y ⎦ y ' ⎦ ⎣ 0 ⎣ 0⎪ y = 0 x ' + ay ' ⎣⎩答案： ⎢⎡1 -1⎤⎦ （2）⎢2 1 ⎥⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡2⎤ =⎢ ⎥ 。
⎡a 1⎤ ⎣-1 b ⎦的值分别为。
0 0易求得 a = 0, b = 2 。
6．曲线 C 在伸压变换下 T ： ( x , y ) → ( x ', y ') = (2 x , y ）作用得到 y = 2sin x 的图象，则曲线 C 的方程为。
答案： y = 2sin 2 x 。
解析：由已知，曲线 C 上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横坐标变为原来的 2 倍，即将 y = 2sin x 的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原来的一半，故曲线 C 的方程为 y = 2sin 2 x 。
7．直线 x - y = 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变成直线 x = 1 ，则 A 。
⎣0 1⎥。
8．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变 换是什么变换？⎡0 -1⎤（1）⎢1 0 ⎥⎡1 0⎤⎣ ⎦点Ａ：（2，1）点Ａ：（2，1）ＹA ’（－１，２）⎡0 -1⎤ ⎡2⎤ ⎡-1⎤答案：（1）、解：∵ ⎢1 0 ⎥ ⎢1 ⎥ =⎢2 ⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为 A ＇（－１，２）该变换是把向量ＯＡ绕着 原点逆时针旋转９００得到向量 ＯＡ＇ ∴该变换为旋转变换。
变换图形如图１。
O•A （２，１）X图 1A ’（2，5）⎡1 0⎤ ⎡2⎤ ⎡2⎤（2）、解：∵ ⎢2 1 ⎥ ⎢1 ⎥ = ⎢5⎥即点Ａ：（２，１）经过变化后变为ＹOA （2，1）X4 / 9图 2-1 1⎥⎦则 ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢ y ⎥ ,∴ ⎨ y = -0x + 0y ，∴ x + y = 0( x ≠ 0) ，图形略。
10．已知矩阵 M=⎢⎡1 2 ⎤，向量α = ⎢ ⎥ ，β = ⎢ ⎥⎡1⎤⎦答案：（1）证明①M(α +β )=M ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥⎪ = ⎢⎛ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎫⎡1 2 ⎤ ⎡3⎤⎝ ⎣1⎦ ⎣0⎦ ⎭ ⎣3 4⎦ ⎣1 ⎦ ⎣13⎦ = ⎢ ⎥ ，M β ⎣7 ⎦ ⎣6 ⎦ 13⎥⎦⎥ = ⎢7λ + 6μ ⎥ λ ⎦ ⎣0 ⎥⎦ ⎭ ⎢⎣3 4⎥⎦ ⎢⎣ λ 7λ ⎥⎦ ⎣ 6⎦ ⎣ 6μ ⎥⎦ ⎣7 6μ ⎦ λ (M α )= λ ⋅⎢ ⎥ = ⎢ ，μ (M β )= μ ⋅ ⎢ ⎥ = ⎢ ，λ (M α )+μ (M β )= ⎢ ⎥ ⎣ y 2 ⎦ ⎣ y 1 ⎦ 1．变换 ⎛ 1 0 -1⎪⎭ ⎝ q ⎪⎭ ⎝ - q ⎪⎭1⎥⎦⎣ 1⎦ ⎣2 1⎦ ⎣0 1 ⎦⎣0A ＇（2，5）。
