高中数学第讲几种常见平面变换的解题技巧素材人教版

平面形的变换平面形的变换指的是平面上的图形在经过某种操作后，发生了形状、位置或大小的变化。

这种变换可以通过旋转、平移、缩放和翻转等方式来实现。

在数学和几何学中，平面形的变换是一个重要的概念，它对于理解图形的性质和解决实际问题都具有重要意义。

本文将介绍平面形的四种基本变换以及它们的应用。

一、平移变换平移是指将一个图形沿着平行于某个方向的路径移动，同时保持原始图形的形状和大小不变。

在平面上进行平移变换时，可以通过向量的加法来描述。

设图形上的点P(x, y)经过平移变换后得到P'(x', y')，其坐标满足如下关系：x' = x + ay' = y + b其中(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是平移后图形上的点，(a, b)是平移的向量，表示平移的方向和距离。

平移变换常用于地理学中的地图绘制、计算机图形学中的图像平移等领域。

例如，我们可以通过平移变换将一个城市的地图向东或向南移动，以便于进行地理分析或相关的规划。

二、旋转变换旋转是指将图形绕一个旋转中心按一定角度旋转，同时保持原始图形的形状和大小不变。

在平面上进行旋转变换时，可以通过旋转矩阵来描述。

设图形上的点P(x, y)经过旋转变换后得到P'(x', y')，其坐标满足如下关系：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθ其中(x, y)是原始图形上的点，(x', y')是旋转后图形上的点，θ是旋转角度。

旋转变换常用于地球的自转模拟、航空导航和航天技术中的姿态控制等领域。

例如，在航空导航中，可以通过将机体坐标系与地面坐标系之间的旋转变换，来实现飞行器在空中的定位和导航。

三、缩放变换缩放是指将图形的每个点按一定的比例进行伸缩或收缩，同时保持原始图形的形状不变。

在平面上进行缩放变换时，可以通过伸缩矩阵来描述。

第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征1．空间几何体的定义及分类(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．2．空间几何体记作棱柱ABCDEF­A′B′C′D′E′F′记作棱锥S­ABCD按底面多边形的边数分为三棱锥、记作棱台ABCD­A′B′C′D′得的棱台分别为三棱台、四棱台、(1)棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．(2)各种棱柱之间的关系①棱柱的分类棱柱⎩⎨⎧直棱柱⎩⎨⎧正棱柱（底面为正多边形）一般的直棱柱斜棱柱②常见的几种四棱柱之间的转化关系典型应用1棱柱的结构特征下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.【答案】③④棱柱结构特征的辨析技巧(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．典型应用2棱锥、棱台的结构特征下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形．③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②③④.【答案】②③④判断棱锥、棱台形状的两种方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点空间几何体的平面展开图(1)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐(2)如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【解】(1)选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．(2)题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．多面体展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱的结构特征(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图1所示．(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图3所示．(2)圆锥的结构特征(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等．(2)平行于底面的截面都是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰三角形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图3所示．(3)圆台的结构特征(1)圆台有无数条母线，且长度相等，延长后相交于一点．(2)平行于底面的截面是圆，如图1所示．(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图2所示．(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图3所示．(4)球的结构特征(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面．(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．典型应用1圆柱、圆锥、圆台、球的概念(1)给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．(2)给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．【解析】(1)①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．(2)根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．【答案】(1)①②(2)①④(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成；②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量；②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．典型应用2简单组合体的结构特征如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A.【答案】A[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．不规则平面图形旋转形成几何体的结构特征的分析策略(1)分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形．(2)定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．典型应用3旋转体中的计算问题如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．【解】设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴SO作截面，如图所示，则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.所以SA′SA＝O′A′OA，所以33＋l＝r4r＝14.解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm.解决旋转体中计算问题的方法用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程(组)而解得．[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．8．2立体图形的直观图1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.■名师点拨(1)画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．(2)用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°(或135°)．典型应用1画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．【解】(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝12OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．(2)画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．典型应用2画简单几何体的直观图已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【解】(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy ＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照(2)的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．(4)连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．画空间图形的直观图的原则(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴、z 轴的线段在直观图中应分别画成平行于x ′轴、y ′轴、z ′轴的线段．(2)平行于x 轴、z 轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y 轴的线段长度变为原来的12.典型应用3直观图的还原与计算如图所示，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥O ′y ′，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．【解】 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2.在过点D 与y 轴平行的直线上截取DA ＝2D 1A 1＝2.在过点A 与x 轴平行的直线上截取AB ＝A 1B 1＝2.连接BC ，便得到了原图形(如图)．由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰长度为AD ＝2.所以面积为S ＝2＋32×2＝5.(1)直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．(2)直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝24S 或S ＝22S ′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．柱、锥、台的表面积和体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝13Sh；V棱台3S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积1．柱体、锥体、台体的体积(1)柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . (2)锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系 S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13(S ′＋S ′S ＋S )h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh . 典型应用1柱、锥、台的表面积(1)若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的( ) A.2倍 B ．3 倍 C ．2 倍D ．5 倍(2)已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A ．1∶ 2B ．1∶3C ．2∶ 2D ．3∶6(3)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3【解析】 (1)设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则由题意可知，l ＝2r ，于是 S 侧＝πr ·2r ＝2πr 2，S 底＝πr 2，可知选 C.(2)棱锥 B ′­ACD ′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，则 B ′C ＝2，S △B ′AC ＝32.三棱锥的表面积 S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.(3)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.【答案】(1)C (2)B (3)A空间几何体表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．典型应用2柱、锥、台的体积如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥A­A1BD的体积及高．【解】(1)V三棱锥A1­ABD＝13S△ABD·A1A＝13×12·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－16a3＝56a3.(2)V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝1 6a 3.设三棱锥A­A1BD的高为h，则V三棱锥A­A1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32(2a)2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面(尤其为圆柱、圆锥时)，准确求出几何体的高和底面积．典型应用3组合体的表面积和体积如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB∽△AOC，所以AEAO＝EBOC，即323＝r2，所以r＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝(2＋23)π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π(r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl )＝π(12＋22＋1×2＋2×2)＝11π.圆台的体积 V ＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝13π(12＋2＋22)×3＝733π.3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ， 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ， 所以AE AO ＝EB OC ， 即23－h 23＝r2， 所以 h ＝23－3r ，S 圆柱侧＝2πrh ＝2πr (23－3r ) ＝－23πr 2＋43πr ，所以当 r ＝1，h ＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π.求组合体的表面积与体积的步骤(1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值：根据设计的计算方法求值．球的体积和表面积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝43πR3．■名师点拨对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．典型应用1球的表面积与体积(1)已知球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3 D.64π3(2)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.(2)由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】(1)B(2)A球的体积与表面积的求法及注意事项(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．典型应用2球的截面问题如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm 3D.2 048π3cm 3【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC ＝8－6＝2(cm)， BM ＝12AB ＝12×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm ，则 R 2＝OM 2＋MB 2 ＝(R －2)2＋42， 所以R ＝5，所以V 球＝43π×53＝5003π (cm 3)． 【答案】 A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R ，截面圆半径r ，球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.典型应用3与球有关的切、接问题 角度一 球的外切正方体问题将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】 A角度二球的内接长方体问题一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.【答案】14π角度三球的内接正四面体问题若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，所以S球＝4πR2＝32πa2.角度四球的内接圆锥问题球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－⎝⎛⎭⎪⎫r22＝3r2，高为3r 2.该圆锥的体积为13×π×⎝⎛⎭⎪⎫3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】 932或332角度五 球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2D ．5πa 2【解析】 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2.【答案】 B(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12a 2＋b 2＋c 2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝6 2a.8．4.1平面1．平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．(2)平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．(3)平面的表示方法我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．■名师点拨(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．2．点、线、面之间的关系及符号表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．平面的性质在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：4．平面性质的三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图(1)．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图(2)．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图(3)．典型应用1图形、文字、符号语言的相互转化(1)用符号语言表示下面的语句，并画出图形．平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.(2)将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.【解】(1)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．(2)文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．。

高中数学几何变换知识点总结几何变换是高中数学中一个重要的知识点，它涉及到物体在平面内的平移、旋转、对称和放缩等操作。

通过学习几何变换，我们可以更好地理解物体的位置关系和形状特征。

本文将对几何变换的相关知识进行总结，包括定义、性质和相关公式等内容。

一、平移变换平移变换是指在平面内将一个物体按照给定的方向和距离进行移动，而保持物体的形状和大小不变。

平移变换具有以下性质：1. 平移变换前后的两个点的距离保持不变。

2. 平移变换前后的两个点的连线与平移向量的夹角相等。

平移变换的公式如下：设一个点P(x, y)，平移向量为（a, b），则P'为P经过平移变换后的新点，其坐标为P'(x+a, y+b)。

二、旋转变换旋转变换是指在平面内围绕定点按照给定的角度进行旋转，而保持物体的形状和大小不变。

旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换前后的两个点的距离保持不变。

2. 旋转变换前后的两个点的连线与旋转中心的连线的夹角相等。

旋转变换的公式如下：设一个点P(x, y)，旋转中心为O，逆时针旋转θ角度，则P'为P经过旋转变换后的新点，其坐标为P'(xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)。

三、对称变换对称变换是指在平面内相对于某一直线或点进行镜像，而保持物体的形状和大小不变。

对称变换具有以下性质：1. 对称变换前后的两个点到对称中心的距离相等。

2. 对称变换前后的两个点的连线与对称轴的夹角相等。

对称变换的公式如下：对于以直线y=k为对称轴的对称变换，设一个点P(x, y)，对称中心为（0, k），则P'为P经过对称变换后的新点，其坐标为P'(x, 2k-y)。

对于以点（a, b）为对称中心的对称变换，设一个点P(x, y)，则P'为P经过对称变换后的新点，其坐标为P'(2a-x, 2b-y)。

四、放缩变换放缩变换是指在平面内按照给定的比例因子对物体进行缩放或放大，而保持物体的形状和位置关系不变。

2．2.1～2.2.2 恒等变换 伸压变换1．恒等变换矩阵和恒等变换对平面上任何一点(向量)或图形施以矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，都把自己变成自己．我们把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵(简记为E )，所实施的对应的变换称作恒等变换．2．伸压变换矩阵和伸压变换像矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1这种将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩，作沿x 轴方向伸长或压缩的变换矩阵，通常称做沿y 或x 轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换．[说明](1)线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例．(2)将平面图形F 作沿x 轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1(k >0)，沿y 轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k >0)．[对应学生用书P8]求点在变换作用下的象[例1] 在直角坐标系xOy 内矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122对应的坐标变换公式是什么？表达这个变换的几何意义，并求出点P (4，－3)在这个变换作用下的象P ′.[思路点拨] 根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P 在此变换下的象．[精解详析] 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝x ′，2y ＝y ′.对应的坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝2y ，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标伸长到原来的2倍； 当x ＝4，y ＝－3时，x ′＝2，y ′＝－6，故点P 在这个变换下的象为P ′(2，－6)．把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数(即二阶矩阵与列向量的乘法)研究形(即变换作用下的象)．1．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤300 12，求出点A (3，12)在矩阵M 对应变换作用下的象A ′. 解：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤914 ∴A ′(9，14)．2．研究直角坐标平面内正方形OBCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1对应的变换作用下得到的几何图形，其中O (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)．解：矩阵M 为恒等变换矩阵，O 、B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为O ′(0,0)，B ′(2,0)，C ′(2,2)，D ′(0,2)，仍然是正方形OBCD .求曲线在变换作用下的象[例2] 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程．[思路点拨] 求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标(x ′0，y ′0)满足的关系式． [精解详析] 设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点为P ′(x ′0，y ′0)，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0y 0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0，又因为点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以4x 20＋y 20＝1， 从而有x ′20＋y ′20＝1，所以曲线F 的方程是x 2＋y 2＝1.先利用二阶矩阵与列向量的乘法把P (x 0、y 0)与P ′(x ′0，y ′0)的关系找出，再利用曲线的方程即可得到所求的方程．3．求圆C ：x 2＋y 2＝4在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的伸压变换下所得的曲线的方程，并判断曲线的轨迹．解：设P (x ，y )是圆C ：x 2＋y 2＝4上的任意一点，而P 1(x ′，y ′)是P (x ，y )在矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1对应的伸压变换下的曲线上的对应点，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′.代入x 2＋y 2＝4得x ′24＋y ′2＝4，所以方程x 216＋y 24＝1即为所求的曲线方程，其表示的曲线的轨迹为椭圆．4．圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00b (a >0，b >0)对应的变换下变为椭圆x 2＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝ax 0，y ′0＝by 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0a，y 0＝y′0b .又因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以x 20＋y 20＝1，所以x ′02a 2＋y ′02b 2＝1，即圆C 在矩阵A 对应的变换下的象为x 2a 2＋y 2b2＝1.由条件可知，变换后的椭圆方程为x 2＋y 24＝1，所以a 2＝1，b 2＝4，又因为a >0，b >0，所以a ＝1，b ＝2.5．矩阵M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，M 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12，研究圆x 2＋y 2＝1先在矩阵M 1对应的变换作用下，再在矩阵M 2对应的变换作用下，所得的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为圆上的任意一点，在M 1的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在M 2的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x 0，y 1＝y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝x 1，y 2＝12y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2x 0，y 2＝12y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝12x 2，y 0＝2y 2.∵P 0在圆x 2＋y 2＝1上， ∴x 20＋y 20＝1. ∴14x 22＋4y 22＝1， 故所求曲线的方程为x 24＋4y 2＝1.[对应学生用书P9]1．求圆x 2＋y 2＝9在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换作用后所得图形的面积．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001所对应变换是恒等变换，在它的作用下，圆x 2＋y 2＝9变成一个与原来的圆恒等的圆，故所求图形的面积为9π.2．点(x ，y )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 003对应的变换作用下变为点(－1,3)，试求x ，y 的值．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.3．在平面直角坐标系中，线性变换对应的二阶矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12.求： (1)点A (15，3)在该变换作用下的象；(2)圆x 2＋y 2＝1上任意一点P (x 0，y 0)在该变换作用下的象．解：(1)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12153⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1532，得点A (15，3)在该变换作用下的象为(15，32)；(2)由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 02， 得点P (x 0，y 0)在变换作用下的象为(x 0，y 02)．4．求出如下图的图形在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的变换作用下所成的图形，并画出示意图，其中点A (1,0)，B (2,0)，C (2,1)，D (3,1)，E (3,2)，F (0,2)，G (0,1)，H (1,1)．解：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.5对应的是沿y 轴的伸压变换，保持横坐标不变，而纵坐标变成原来的1.5倍．在此变换下，A →A ′(1,0)，B →B ′(2,0)，C →C ′(2,1.5)，D →D ′(3，1.5)，E →E ′(3,3)，F →F ′(0,3)，G →G ′(0,1.5)，H →H ′(1,1.5)．变换后的图形如下图．5．求椭圆C ：x 24＋y 29＝1先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应的变换，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线C ′的方程．解：因为矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1对应的变换是恒等变换，所以曲线C ′是椭圆C ：x 24＋y 29＝1在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应变换下得到的曲线，设椭圆C 上任意一点P (x ，y )在矩阵N 对应的变换下得到曲线C ′上的点P (x ′，y ′)，那么有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝13y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝3y ′.因为x 24＋y 29＝1，所以x ′24＋3y ′29＝1，即x ′24＋y ′2＝1.故曲线C ′的方程为x 24＋y 2＝1.6.如图，一个含有60°角的菱形ABCD ，试求变换矩阵M ，使得只变换四个顶点中的两个顶点后，菱形即变成为正方形．试问该变换矩阵唯一吗？假设不唯一，写出所有满足条件的变换矩阵．解：由题设知，这里的变换是伸压变换，且变换不唯一． 由题设知，AC ∶BD ＝3∶1，假设只变换A ，C 两点，那么必须将A ，C 的横坐标进行压缩，于是变换矩阵为M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤130 0 1. 假设只变换B ，D 两点，那么应把B ，D 的纵坐标伸长到原来的3倍，于是变换矩阵M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3， 所以满足条件的所有变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 0 1或⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 3.7．求出梯形OABC 先在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下，再在矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的变换作用下的图形，其中O (0,0)，A (2,0)，B (1,1)，C (0,1)．解：矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍．而矩阵N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1对应的是沿x 轴的伸压变换，保持纵坐标不变，而横坐标变为原来的12倍，也就是说梯形OABC 先后两次变换，横、纵坐标不变，即图形保持不变．8．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，试求曲线C ：y ＝sin x 在矩阵M 、N 对应的变换先后两次作用下得到的曲线的方程．解：设P 0(x 0，y 0)为曲线C 上的任意一点，在T M 的作用下变为P 1(x 1，y 1)，P 1在T N 的作用下变为P 2(x 2，y 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 0，y 1＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 1，y 2＝y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝12x 0，y 2＝2y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 2，y 0＝12y 2.∵P 0在曲线C 上， ∴y 0＝sin x 0. ∴12y 2＝sin 2x 2， 即y 2＝2sin 2x 2.∴所求曲线的方程为y ＝2sin 2x .。

一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△DC BA 第四讲几何—平面部分教学目标1．熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型EDCBAEDCB AS 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4GF E ABCD AB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.OFE DCBA例题精讲【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．HGFEDCBA例题 11_H_G_ F_E_D_C_B_ A _A_B_C_D_E_ F_ G_H_ A _ B_ G_ C _ E _ F_ D_ A _ B_ G_ C_ E_ F_ D例题22如图，正方形ABCD 的边长为6，AE = .5，CF = 2．长方形EFGH 的面积为 ．长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【巩固】(2008年清华附中考题)如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED =，则阴影部分的面积为 ．PAO GEDCBA OABC D例题44例题33(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．(2007年人大附中分班考试题)已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为 43，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC )【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于 ，那么三角形ABC 的面积是多少？丙乙甲H N MJ I FDCBA GFE DC BAEDCBA例题66例题55(2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？EDCBA 乙甲E DCBAEDCBA例题88例题77如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGA BCDEF3OADE 例题111例题101例题99如图所示的四边形的面积等于多少？（2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，ABC∆中，90ABC∠=︒，3AB=，5BC=，以AC为一边向ABC∆外作正方形ACDE，中心为O，求OBC∆的面积．(2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，90AEB∠=︒，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?ABCDO EFEABDCFED CBA例题131例题121如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑴:AG GC =？ABFE D CBAABCDOA BCDG321例题141四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三角形BEF 的面积为 平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．OGF EDCBAABCD EF GG MDCBA例题171例题161例题151如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑴求GCE △的面积．如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．A BCDEF OAB C D21ABC D941682ABCD例题191例题181(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE 的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCDEFKBA CDE GH 例题212例题202如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？(2006年“迎春杯”高年级组决赛)下图中，四边形ABCD 都是边长为 的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．EGF A D CBA ED CBQ E GNMF PA D CB例题232例题222如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==， 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．(第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCBMHGF E D CBA SR CDAQ NMP例题262例题252例题242如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是 ，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．O F EDCBAO F EDCBAO F EDCBAI HGFEDCBAIH G FEDCBA例题272(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．【巩固】如图，ABC ∆的面积为 ，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？BCDFGHIIHG FEDCBAGFE D CBAK JI HABC D EF G例题282如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?N M GA BCD EFIHED CBA例题313例题303例题292右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHED CBAFED CBAH GFED CBA 练习33练习22练习11家庭作业已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．(清华附中入学试题)正方形ABCD 的面积是 20平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDC BADCEBAHGEDA练习66练习55练习44(2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDEMNIH G FEDCBA乙甲6432练习77练习99练习88按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．NOM DCBAOE DCBAGF EDCBA练习121练习111练习101如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =A BCDEF练习131如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA。

高中数学中的平面几何问题解析与技巧总结在高中数学的学习过程中，平面几何是一个非常重要的章节。

通过学习平面几何，我们可以了解到线段、角、三角形、四边形等等形状的性质与关系。

为了帮助大家更好地掌握平面几何，本文将对平面几何中常见的问题解析与解题技巧进行总结。

一、线段相关问题解析与技巧1. 线段的中点和分点问题线段的中点定义为连接线段两个端点的中垂线的交点，分点则是线段上除了两个端点之外的其他点。

解题技巧：通过线段的性质可以得到很多有用的结论。

比如，连接线段中点的线段被称为中线，它将线段分成两等分，即两个分线段相等。

2. 线段的延长线与截线问题延长线是指通过线段的端点将线段向外延长得到的直线，截线则是指通过线段的一部分部分截取得到的线段。

解题技巧：当出现线段截线或者延长线的问题时，可以利用相似三角形的性质来解决。

根据相似三角形的边长比例关系，可以求得所需的线段的长度。

二、角相关问题解析与技巧1. 角的性质问题角是由两条相交的线段形成的，有顶点、两个边和两个角平分线等组成。

解题技巧：在解决角的性质问题时，可以利用角平分线的性质来求解，通过角平分线将角分成两个等角。

2. 角的内切与外切问题角的内切与外切是指一个圆与角的两条边或顶点相切。

解题技巧：利用角的内切与外切的性质，可以得到很多有用的结论。

例如，角的内切圆的半径等于角的平分线与角的两个边的夹角的平分线的夹角的正切值。

三、三角形相关问题解析与技巧1. 三角形的重心与垂心问题三角形的重心是通过三角形的三条中线交点，垂心是通过三角形的三条高线交点。

解题技巧：当解决与三角形的重心与垂心有关的问题时，可以利用向量的性质来求解，通过向量的加法、减法、数量积等运算，可以得到所需的结果。

2. 三角形的面积问题三角形的面积可以通过三角形底边长与高的乘积，或者海伦公式（面积=√(p(p-a)(p-b)(p-c))）来求解。

解题技巧：在解决三角形的面积问题时，可以利用相似三角形的性质，通过比较两个相似三角形的边长比例，可以得到所需的面积。

高二数学《简单的图形变换》知识点梳理图形变换是数学中的一个重要概念，它涉及到对平面图形的移动、旋转、翻转等操作。

在高二数学中，《简单的图形变换》是一个重要的知识点，本文将对该知识点进行详细的梳理。

1. 平移变换平移变换是指将图形按照某个方向和距离进行移动，移动后的图形与原图形形状完全相同。

平移变换可以用符号表示，例如T(a, b)表示将图形沿着x轴正方向平移a个单位长度，y轴正方向平移b个单位长度。

平移变换的性质：- 平移变换不改变图形的形状和大小。

- 平移变换保持图形的平行性质，即平行线之间的距离在平移前后保持不变。

- 平移变换保持图形的相对位置关系不变。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按照一定的角度进行旋转。

旋转变换可以用符号表示，例如R(α)表示图形绕原点逆时针旋转α度，R(α, O)表示图形绕点O逆时针旋转α度。

旋转变换的性质：- 旋转变换不改变图形的形状和大小。

- 旋转变换保持图形的对称性质，即旋转前后图形的对称中心和对称轴保持不变。

- 旋转变换改变图形的方向，逆时针旋转使得图形左侧的点在旋转后仍然在左侧。

3. 翻转变换翻转变换是指将图形按照某个轴线进行对称翻转。

翻转变换可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况。

水平翻转变换可以用符号表示，例如Fhx表示图形按照x轴进行水平翻转，Fhx(P)表示点P在水平翻转后的位置。

垂直翻转变换可以用符号表示，例如Fvy表示图形按照y轴进行垂直翻转，Fvy(P)表示点P在垂直翻转后的位置。

翻转变换的性质：- 翻转变换改变图形的方向，水平翻转使得图形上方的点在翻转后移动到下方，垂直翻转使得图形右侧的点在翻转后移动到左侧。

- 翻转变换不改变图形的形状和大小。

- 翻转变换保持图形的对称性质，即翻转前后图形的对称中心和对称轴保持不变。

4. 组合图形变换在实际问题中，我们常常需要综合运用多种图形变换来完成特定的操作。

组合图形变换指的是将平移、旋转、翻转等操作按照一定的顺序组合起来进行。

人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习平面【学习目标】1 .利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2 .重点掌握平面的基本性质.3 .能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】［空间点线面之间的位置关系知识讲解】要点一、平面的基本概念1 .平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.要点诠释：(1) “平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；(2) “平面”无厚薄之分；(3) “平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.2 .平面的画法：通常画平行四边形表示平面.要点诠释：(1)表示平面的平行四边形，通常把它的锐角画成45 ,横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画：3 .平面的表示法：(1)用一个希腊字母表示一个平面，如平面a、平面0、平面7等；(2)用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD ；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD ；4 .点、直线、平面的位置关系：(1)点A在直线a上，记作Awa；点A在直线a外，记作Ac a ；⑵点A在平面a上，记作Asa ；点A在平面a外，记作A氏a ；(3)直线I在平面a内，记作lua：直线I不在平面a内，记作l(za.要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础.1 .公理1：(1)文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内;⑵符号语言表述：AeI , B G I , Awa, Bea =>I ca ；(3)图形语言表述：要点诠释：公理1是判断直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”2 .公理2：(1)文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面：(2)符号语言表述：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a ,使得Awa, Bea, Cea；(3)图形语言表述：要点诠释：公理2的作用是确定平面，是把^间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”，所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”，与确定同义.(4)公理2的推论：①过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面：②过两条相交直线，有且只有一个平面；③过两条平行直线，有且只有一个平面.(5)作用：确定一个平面的依据.3 .公理3：(1)文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线:(2)符号语言表述：Pwa nPnanP = l且P E I；（3）图形语言表述:要点诠释：公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.要点三、点线共面的证明所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.1 .证明点线共面的主要依据：（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内（公理1）:②经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（公理2及期隹论）.2 .证明点线共面的常用方法：（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；20辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面。

高中数学平面解题技巧在高中数学学习中，平面解题是一个重要的考点。

通过掌握一些解题技巧，可以帮助学生更好地应对各种平面解题题型。

本文将介绍一些常见的平面解题技巧，并通过具体题目进行举例，以帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

一、平面解题技巧之平面几何基本定理在平面解题中，几何基本定理是非常重要的基础知识。

例如，对于直线和角的问题，我们可以应用以下几何基本定理：1. 直线的性质：直线上的两点确定一条直线，两条直线相交于一点，两条平行直线上的任意一点到另一条直线的距离相等等。

2. 角的性质：对顶角相等，同位角互补或互补，同旁内角互补或互补等。

通过运用这些几何基本定理，我们可以解决很多与直线和角有关的问题。

下面通过一个具体的例子来说明。

例题1：在平面直角坐标系中，直线L1过点A(1, 2)和点B(3, 4)，直线L2过点C(2, 3)和点D(4, 5)。

证明直线L1和直线L2平行。

解析：我们可以通过计算斜率来判断两条直线是否平行。

直线L1的斜率为(4-2)/(3-1)=1，直线L2的斜率为(5-3)/(4-2)=1。

由于两条直线的斜率相等，根据平行直线的性质可知直线L1和直线L2平行。

二、平面解题技巧之相似三角形相似三角形是平面解题中常见的一种情况。

通过相似三角形的性质，我们可以解决与比例、长度、面积等有关的问题。

下面通过一个具体的例子来说明。

例题2：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且满足AD/DB=AE/EC=2/3。

若BE与CD交于点F，求证：△DEF与△ABC相似。

解析：根据已知条件可知，AD/DB=2/3，AE/EC=2/3。

根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE与△BDC相似，△ADE与△BEC相似。

因此，根据相似三角形的传递性，我们可以得出△DEF与△ABC相似。

三、平面解题技巧之向量运算在平面解题中，向量运算是一种常见的解题方法。

通过向量的加减、数量积、向量积等运算，我们可以解决与平面向量有关的问题。

第10课__几种常见的平面变换____1. 了解矩阵的概念及几种常见的平面变换．1. 阅读：选修42第12～35页.基础诊断1. 指出由下列矩阵确定的变换分别对应什么变换．①⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－323212，②⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.5001，③⎣⎢⎡⎦⎥⎤－100－1， ④⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，⑤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－32－1232，⑥⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003， ⑦⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，⑧⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⑨⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1，⑩⎣⎢⎡⎦⎥⎤1100. 恒等变换有________；伸压变换有________；反射变换有________；旋转变换有________；投影变换有________；切变变换有________．2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，则m ＋k ＝________．3. 旋转中心为坐标原点，且顺时针方向旋转π3的旋转变换的矩阵为________________．4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．考向例1 计算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2.计算：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤52；(2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101⎣⎢⎡⎦⎥⎤52.考向例2 已知a ，b ∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 3所对应的变换T M 把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求a ，b 的值．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＋y ＋2＝0在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 4对应的变换作用下得到直线l ′：3x ＋y ＋8＝0，求3a ＋b 的值．考向先用待定系数法求变换矩阵，再由该矩阵确例3 二阶矩阵M 对应变换将点(1，－1)与点(－2，1)分别变换成点(5，7)与点(－3，6)． (1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在此变换下所得直线的解析式l ′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．自测反馈1. 求将曲线y 2＝x 绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．2. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．3. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l ′，若直线l ′过点(1，1)，求实数a 的值．1. 理解六种变换的含义，特别值得一提的问题：投影变换是一一映射吗？2. 在某个确定矩阵变换下求变换后的曲线一般方法是什么？已知变换前的曲线和变换后的曲线如何确定变换的矩阵？3. 你还有哪些体悟，写下来：第10课 几种常见的平面变换基础诊断1. ⑧ ②⑥ ③⑦⑨ ① ⑤⑩ ④评注：掌握恒等、伸压、反射、旋律、投影、切变变换的矩阵，不必死记，要从几何变换的角度去理解记忆．2. －2 解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4，所以m ＋k ＝－2. 3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232－3212解析：顺时针方向旋转π3，相当于逆时针方向旋转－π3，代入⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232－3212. 4. 解析：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上的任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y′＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y′，y ＝x′.因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y ，所以y ＝x 2，x ≥0.范例导航例1 解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤100－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－2，几何意义：由计算结果可知变换前后点的横坐标不变，纵坐标相反，这是关于x 轴对称的反射变换．解析：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，变换前后点的横、纵坐标交换，这是关于直线y ＝x 对称的反射变换．(2) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101⎣⎢⎡⎦⎥⎤52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×5＋（－1）×20×5＋1×2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，此变换保持点的纵坐标不变，横坐标按纵坐标的一倍减少，这是沿x 轴负方向的切变变换．例2 解析：在直线l 上的任取一点P(x ，y)，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )． 因为点P ′在直线l 上，所以3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1， 即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1.又因为方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎪⎨⎪⎧a ＝43，解析：设点P (x ，y )是直线l 上的任意一点，P ′(x ′，y ′)是点P 在矩阵对应变换下所得曲线上的点，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋4y ，代入3x ′＋y ′＋8＝0，得(3a ＋b )x ＋4y ＋8＝0，因为x ＋y ＋2＝0，所以3a ＋b ＝4.例3 解析：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20. (2) 取直线l 上的任意一点(x ，y )，其在M 作用下变换成对应点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －7y －13x －20y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ， 代入11x ′－3y ′－68＝0，得x －y －4＝0， 即直线l 的方程为x －y －4＝0.自测反馈 1. 解析：由题意得旋转变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos90°－sin90°sin90°cos90°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，设P (x 0，y 0)为曲线y 2＝x 上的任意一点，变换后变为另一点(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－y 0，y ＝x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝－x . 又因为点P (x 0，y 0)在曲线y 2＝x 上，所以y 20＝x 0，故(－x )2＝y ， 即y ＝x 2为所求的曲线方程． 2. 解析：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上的任意一点P(x ，y)，在矩阵M 对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C ′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1.又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝1，所以a ＋b ＝3.3. 解析：设P(x ，y)为直线l 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l ′上的点P ′(x ′，y ′)，则⎢⎡⎥⎤x ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ′＋y ′，y ＝x ′， 代入ax －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)x ′＋ay ′＝0. 将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.。

2012届高考数学一轮精品：26.2 几种常见的平面变换（考点疏理+典型例题+练习题和解析）26.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下 ( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍答案：B 。

（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是 ( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。

（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩ 代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。

高二数学平面知识精讲 人教版一. 本周教学内容 平面位置情况画 法 图 形记法说 明1、水平放置平面作平四边形，使其锐角为45°、一组对边成水平方向且每条长为邻边的两倍。

βα平面α 平面β 相当于画出正方体上（或下）表面的正方形来表示平面，所画的平四边形内角（45°或 135°）表示直角 2、竖直放置正对观察者作正方形（也可作矩形）γ平面γ 相当于画出正方形前（或后）表面的正方形来表示平面 侧对观察者作平行四边形，使其锐角为45°，一组对边成竖直方向且长为邻边的两倍。

CDAB C 1D1A 1B 1平面 ABCD 或 平面 A 1C 1相当于画出正方形左（或右）表面的正方形来表示平面2. 平面的性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。

（1）关于公理1可以使用集合的符号把它简明准确地表达。

A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α。

（2）公理1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。

（3）公理1说明平面具有无限延展性。

BAα公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

如图：lβα强调：1. “有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。

2. 如果两个平面α和β有一条公共直线，就说平面α和β相交，交线是a ，则可记作α∩β＝a3. 公理2可表示成如下形式：若A ∈α，A ∈β，则α∩β＝a ，且A ∈a 。

4. 两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。

5. 公理2是作出两个平面交线的依据。

6. 在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（1） ②再画出表示两个平面交线的线段，如图（2）③过图（1）中线段的端点分别引线段，使它平行且等于（2）中表示交线的线段，如图（3）。