几种常见的平面变换 (1)

平面形的旋转旋转是一种常见的平面变换，它可以改变一个平面形状的方向和位置。

在二维几何中，旋转通常是通过将平面形绕着一个中心点旋转一定的角度来实现的。

本文将探讨平面形的旋转，包括旋转的定义、公式和具体的例子。

一、旋转的定义平面形的旋转是指将一个平面形沿着一个轴进行旋转，使其绕着轴旋转一定的角度，从而改变其方向和位置。

在二维平面中，旋转可以描述为一个点围绕着另一个点旋转一定角度所形成的轨迹。

旋转可以是顺时针或逆时针方向。

二、旋转的公式在二维几何中，旋转可以通过变换矩阵来表示。

对于一个点P(x, y)，绕着原点旋转θ角度后的新坐标P'(x', y')可以通过以下公式计算得出：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中，cosθ和sinθ分别表示旋转角度θ的余弦和正弦值。

这个公式可以用来计算平面上任意点的旋转后的新坐标。

三、旋转的例子（1）旋转正方形考虑一个边长为a的正方形，我们将其绕着原点逆时针旋转45度。

根据旋转公式，我们可以计算出旋转后每个顶点的坐标。

顶点A的坐标为(-a/2, a/2)，旋转后的坐标为：x' = (-a/2) * cos45 - (a/2) * sin45 = -a/2y' = (-a/2) * sin45 + (a/2) * cos45 = 0顶点B的坐标为(a/2, a/2)，旋转后的坐标为：x' = (a/2) * cos45 - (a/2) * sin45 = 0y' = (a/2) * sin45 + (a/2) * cos45 = a顶点C的坐标为(a/2, -a/2)，旋转后的坐标为：x' = (a/2) * cos45 - (-a/2) * sin45 = a/2y' = (a/2) * sin45 + (-a/2) * cos45 = 0顶点D的坐标为(-a/2, -a/2)，旋转后的坐标为：x' = (-a/2) * cos45 - (-a/2) * sin45 = 0y' = (-a/2) * sin45 + (-a/2) * cos45 = -a通过计算可以得到旋转后正方形的新顶点坐标为A'(-a/2, 0)，B'(0, a)，C'(a/2, 0)，D'(0, -a)。

2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵0 ⎪B. C.D.A.  ⎝ 0 1 ⎪⎭-1 0⎪⎭0 -1⎪⎭0 1⎪⎭2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ⎢cos θ -sin θ ⎤x sin θ + ycos θ ⎥⎦ ⎩ y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ⎦ ⎣ y '⎦ ⎣ 1⎥⎦⎣0 026.2 几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；，3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】⎛ 1 0 ⎫ 1 ⎪ 的作用下()⎪ ⎝ 5 ⎭A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5倍C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5倍答案：B 。

（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是()⎛ 1 0⎫ ⎛ -1 0⎫⎛ 0 1 ⎫⎛ 10 ⎫⎪ ⎪⎝⎝⎝答案：D 。

（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后 (0 < θ <π（）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75°⎣sin θ cos θ ⎦⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x cos θ - y sin θ ⎤ ⎧ x = x ' c os θ + y ' s in θT ： ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥ = ⎢ ，从而有 ⎨ ⎣代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足π π2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。

选修4－2 ⎪⎪⎪矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量 (1)矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 315，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法①[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]； ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2．几种常见的平面变换(1)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 k (k >0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换． (6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1确定的变换称为切变变换．3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22，规定乘法法则如下：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. 4．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n ＝M ·M ·…·M . 5．矩阵乘法的运算性质 (1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A ，B 来说，尽管AB ，BA 均有意义，但可能AB ≠BA . (2)矩阵乘法满足结合律设A ，B ，C 为二阶矩阵，则一定有(AB )C ＝A (BC )． (3)矩阵乘法不满足消去律．设A ，B ，C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C . [小题体验]1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 82 3，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y 3.若A ＝B ，则x ＋y ＝________.解析：因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，所以x ＋y ＝10.答案：102．已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3y x ＋y ，则它所对应的变换矩阵为________．解析：将它写成矩阵的乘法形式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以它所对应的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3111．矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，易颠倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律． [小题纠偏]1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7，若AB ＝BA ，则实数k 的值为________．解析：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 4＋2k 1612＋4k 34， BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 2k 7⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10 16k ＋21 2k ＋28，因为AB ＝BA ，故k ＝3. 答案：3 2．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1，计算AB ，AC . 解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 0.考点一 二阶矩阵的运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1－1 －1，计算A 2，B 2.解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 1212 12.B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.2．(2014·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121 x，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋y 4－y ， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，试判断(AB )α与A (Bα)的关系．解：因为AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1， 所以(AB )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，因为Bα＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 3 4 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04， A (Bα)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤04＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08. 所以(AB )α＝A (Bα)．[谨记通法]1．矩阵的乘法规则两矩阵M ，N 的乘积C ＝MN 是这样一个矩阵； (1)C 的行数与M 的相同，列数与N 的相同；(2)C 的第i 行第j 列的元素C ij 由M 的第i 行与N 的第j 列元素对应相乘求和得到． [提醒] 只有M 的行数与N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义． 2．矩阵的运算律 (1)结合律(AB )C ＝A (BC )；(2)分配律A (B ±C )＝AB ±AC ，(B ±C )A ＝BA ±CA ； (3)λ(AB )＝(λA )B ＝A (λB )．考点二 平面变换的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －22 22 22对应的变换将曲线C 变为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C ′上一点(x ，y )，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y .所以x ′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x ′y ′＝x ＋y 2×y －x 2＝1， 所以曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.[由题悟法]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解．(2)已知曲线C ′是曲线C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (a >0，b >0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y 24＝1，求a ，b 的值．解：设P (x ，y )为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by .又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y 24＝1.由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4. 因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k－2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)． 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |， 则由题设知：|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.[由题悟法]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则M ＝QP ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0.设A (x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x 0′，y 0′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0′＝－2y 0，y 0′＝x 0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y 0′，y 0＝－x 0′2.又因为点A (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y 0′)2＋⎝⎛⎫－x 0′22＝1. 故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1.1．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 0 12，求MN .解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0 012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 12 1 0.2．(2016·南京三模)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′， 所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.3．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R)，求a ＋b 的值．解：设P (x ，y )是直线x ＋y －2＝0上任意一点，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a 1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋ay x ＋2y ，得(x ＋ay )＋(x ＋2y )－b ＝0，即x ＋a ＋22y －b 2＝0. 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝1，－b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝4，所以a ＋b ＝4.4．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3，W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－3 1，试求满足MZ ＝W 的二阶矩阵Z .解：设Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则MZ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －22 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d . 又因为MZ ＝W ，且W ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－3 1， 所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a －2c b －2d 2a ＋3c 2b ＋3d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－3 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －2c ＝2，b －2d ＝－1，2a ＋3c ＝－3，2b ＋3d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－17，c ＝－1，d ＝37.故Z ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －17－137. 5．(2016·苏锡常镇一调)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程．解：由题意得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 设曲线y ＝sin x 上任意一点P (x ，y )在矩阵MN 变换下得到点P ′(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝2y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝12y ′.因为y ＝sin x ，所以12y ′＝sin 2x ′，即y ′＝2sin 2x ′.因此所求的曲线方程为y ＝2sin 2x .6．(2017·苏锡常镇调研)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，5a ＝－1，5c ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15 －1320251120. 7．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A (－1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01对应的变换作用下得到点A ′，将点B (3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y )，依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1y －2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)． 8．已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1，求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程．解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2， 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－2 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝－2x ′＋2y ′， 于是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝x ＋y 2.代入2x 2－2xy ＋1＝0得xy ＝1，所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵． (2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.(3)利用行列式解二元一次方程组． 2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，当ad －bc ≠0时，矩阵A 可逆，且它的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .3.特征值与特征向量的定义设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0即为矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．6．A n α(n ∈N *)的简单表示 (1)设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，α，β是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t 1α＋t 2β(其中t 1，t 2为实数)，则A n γ＝t 1λn 1α＋t 2λn 2β(n ∈N *)．[小题体验]1．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 6－2 －6 的特征值为__________．解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －6 2 λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f (λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.答案：－2或－3 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2的一个特征向量，则实数a 的值为________．解析：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋6＝2λ，12＝3λ解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1.答案：11．不是每个二阶矩阵都可逆，只有当⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 中ad －bc ≠0时，才可逆，如当A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，因为1×0－0×0＝0，找不到二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 成立，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0不可逆． 2．如果向量α是属于λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量tα与向量α共线，故tα也是属于λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[小题纠偏] 1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 356的逆矩阵为____________． 解析：法一：设矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2x ＋3z 2y ＋3w 5x ＋6z 5y ＋6w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3z ＝1，2y ＋3w ＝0，5x ＋6z ＝0，5y ＋6w ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，z ＝53，w ＝－23.故所求的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2153－23. 法二：注意到2×6－3×5＝－3≠0， 故A 存在逆矩阵A －1，且A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6－3 －3－3－5－32－3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53 －23.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 53－23 2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4的一个特征值为λ，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3是矩阵A 的属于λ的一个特征向量，则a ＋λ＝_____.解析：因为Aα＝λα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2a －4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－6＝2λ，2a ＋12＝－3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，λ＝－2，所以a ＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5考点一 求逆矩阵与逆变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.所以矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12. 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.[由题悟法]求一个矩阵A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义AB ＝BA ＝E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．法二：利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ：①若ad －bc ＝0，则A 的逆矩阵不存在．②若ad －bc ≠0，则A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .[即时应用]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，求矩阵AB 的逆矩阵．解：法一：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012，且1×12－0＝12≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1212 －012－012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， 同理B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1. 因此(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.法二：因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 12，且1×12－0×1＝12≠0，所以(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1212 －112012 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.考点二 特征值与特征向量的计算及应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量． 解：(1)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4⇒a ＝3.(2)由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，则矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.把λ＝－1代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得x ＋y ＝0，所以矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；把λ＝4代入二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－2)x －3y ＝0，－2x ＋(λ－1)y ＝0，得2x －3y ＝0.所以矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.[由题悟法](1)求矩阵A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式f (λ)，再由f (λ)＝0求出该矩阵的特征值，然后把特征值代入矩阵A 所确定的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0，即可求出特征向量． (2)根据矩阵A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，根据Aα＝λα构建a ，b ，c ，d 的方程求解．[即时应用]1．(2015·江苏高考)已知x ，y ∈R ，向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x1y 0的属于特征值 －2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解：由已知，得Aa ＝－2a ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2， 所以矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 2 0.从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.2．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. 又⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 4－3 6. 考点三 根据A ，α计算A n α(n ∈N *)(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]给定的矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A 4B .解：(1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，所以λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2，故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝24α1＋34α2＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤113 97. [由题悟法]已知矩阵A 和向量α，求A n α(n ∈N *)，其步骤为： (1)求出矩阵A 的特征值λ1，λ2和对应的特征向量α1，α2. (2)把α用特征向量的组合来表示：α＝sα1＋tα2.(3)应用A n α＝sλn 1α1＋tλn2α2表示A n α.[即时应用]已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，令⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3x ，2x ＋y ＝3y ， 从而求得λ1＝3的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝mα1＋nα2，则m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.1．(2016·无锡期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 1，若矩阵AB －1对应的变换把直线l变为直线l ′：x ＋y －2＝0，求直线l 的方程．解：由题意得B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1，所以AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2， 设直线l 上任意一点(x ，y )在矩阵AB －1对应的变换下为点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝2y ，将x ′，y ′代入l ′的方程，得(x －2y )＋2y －2＝0，化简后得l ：x ＝2.2．(2016·江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解：设B ＝⎣⎡⎦⎤a cb d ，则B －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2⎣⎡⎦⎤a c bd ＝⎣⎡⎦⎤10 01， 即错误!＝错误!，故⎩⎪⎨⎪⎧a －12c ＝1，b －12d ＝0，2c ＝0，2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14，c ＝0，d ＝12，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1412. 因此，AB ＝⎣⎡⎦⎤102－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 14012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1540 －1. 3．(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点(2,3)变成(3,4)．(1)求a ，b 的值；(2)若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：(1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，所以6＋3a ＝3,2b －6＝4， 所以a ＝－1，b ＝5.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －15 －2. 由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3. 所以B 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －15 －3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 1－5 4. 4．(2016·常州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P (－1,2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，所以点Q 的坐标为(－2,4)． 5．(2016·苏州暑假测试)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 26的特征值和特征向量．解：特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －4 －2 λ－6＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)， 由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.将λ1＝7代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧8x －4y ＝0，－2x ＋y ＝0，即y ＝2x ，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤12为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．同理，λ2＝－2时，特征方程组是⎩⎪⎨⎪⎧－x －4y ＝0，－2x －8y ＝0，即x ＝－4y ，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.6．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，计算M 3α.解：令α＝me 1＋ne 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以α＝e 1－3e 2.所以M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3M3e 2＝λ31e 1－3λ32e 2＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤65－3×(－3)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479. 7．(2016·泰州期末)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：把λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，第 21 页 共 21 页所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 52 3，所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 45 14. 8．已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4). 求：(1) 矩阵M;(2) 矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3) 直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4. 联立以上两方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4. (2) 由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3) 设点(x ，y )是直线l 上的任意一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简，得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.。

高中数学回归课本校本教材25（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。

由4个元素a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。

2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A= a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的乘积为 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；①数乘平面向量：设x yα→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，λ是任意一个实数，则x y λλαλ→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；.②平面向量的加法：设11x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，22x y β→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1212x x y y αβ→→+⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦③数乘结合律：()A A λαλα→→=；分配律：()A A A αβαβ→→→→+=+； ④二阶行矩乘法a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦；⑤复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：A B BA →→；如：已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标． 解M ＝M 2 M 1＝[]0 －11 0[]1 00 －1＝[]0 11 0 ．C 坐标是(1，2)．说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序M 2M 1． 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换）则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。

逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1。

26.2几种常见的平面变换【知识网络】1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即()A A A λαλβλαλβ1212+=+；3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

【典型例题】例1：（1）平面上任意一点在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛51001的作用下( ) A. 横坐标不变,纵坐标伸长5倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到51倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长5倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到51倍 答案：B 。

（2） 表示x 轴的反射变换的矩阵是( )A. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110 D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001 答案：D 。

（3）已知二次曲线22220x y x y +++--=，若将其图形绕原点逆时针旋转θ角后(0)2πθ<<，所得图形的新方程式中不含xy 项，则θ= （）A 、30°B 、45°C 、60°D 、75° 答案：C 。

解析：由已知得旋转变换矩阵M =cos -sin sin cos θθθθ⎡⎤⎢⎥⎣⎦T ：cos sin sin cos x x x y y y x y θθθθ'-⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，从而有cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=+⎧⎨''=-+⎩代入原二次曲线方程，得到关于,x y ''的新方程式，要使其中不含,x y ''项，必须满足222sin cos sin )0θθθθ+-=，即tan 2θ=(0,),23ππθθ∈∴=。

（4）设△OAB 的三个点坐标为O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵M =1 k 0 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下作用后形成△OA B ''则△OAB 与△OA B ''的面积之比为___________。

平面形的变换在平面几何中，平面形的变换是一个既具有理论意义又有实际应用的重要概念。

本文将介绍平面形的变换及其分类、性质和应用。

一、平面形的变换平面形的变换指在平面上将一个图形按照一定的规则移动、翻转、旋转或拉伸等操作后得到的新图形。

常见的平面形变换有平移、旋转、对称和相似变换。

1. 平移变换平移变换是指不改变图形形状和大小，将图形沿着平行线移动的操作。

如果平移的向量为(u,v)，则对于平面上的点(x,y)，平移后的点坐标为(x+u,y+v)。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形按照一个固定点为中心，以一定的角度θ逆时针旋转后得到的新图形。

通常以原坐标系为基准，旋转中心为坐标原点。

旋转中点为(x,y)，则旋转后的点坐标为(xcosθ-ysinθ,ycosθ+xsinθ)。

3. 对称变换对称变换是指以一个直线或点为对称轴或对称中心，将图形中的每个点沿着对称轴或对称中心对应的点重合后得到的新图形。

如果对称轴或对称中心不在原点，则需要将图形沿着对称轴或对称中心平移后再进行对称变换。

4. 相似变换相似变换是指将图形沿着一定方向放缩一定比例，得到的新图形与原图形相似的变换。

其中放缩比例称为相似比，通常使用k表示。

相似变换可以通过平移、旋转和等比变换的组合实现。

二、平面形的分类根据平面形在变换中的性质，可以将平面形分为不动点、对称形和中心对称形三类。

1. 不动点形若变换前后平面形在同一个位置，则这种平面形被称为不动点形。

即变换前后该图形上的所有点都不改变位置。

不动点形的变换只能是平移，数学家将其称为平移样本。

2. 对称形如果图形变化后仍然和变化前保持对称，这种平面形被称为对称形。

对称形的变换包括了对称和滑动，数学家将对称形的变换称为欧氏变换。

3. 中心对称形如果图形变化后和变化前保持中心对称，这种平面形被称为中心对称形。

中心对称形的变换包括旋转、平移和中心对称三种，数学家将其称为仿射变换。

三、平面变换的应用平面形的变换具有广泛的应用，如以下几个例子：1. 图案设计利用对称变换可以制作出各种独特的图案。

4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即(y －3)24－(x －2)29＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0. 根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0－(－2)＝2，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′)由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l ：3x －2y ＋12＝0按向量a ＝(2，－3)平移后的方程是________． 【答案】 3x －2y ＝03．曲线x 2－y 2－2x －2y －1＝0的中心坐标是________． 【解析】 配方，得(x －1)2－(y ＋1)2＝1. 【答案】 (1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________． 【解析】 开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x 2＝4y ，所以所求抛物线的方程是(x －3)2＝4(y －2)．【答案】 (x －3)2＝4(y －2)1．已知函数y ＝x 2图象F 按平移向量a ＝(－2,3)平移到F ′的位置，求图象F ′的函数表达式．【解】 在曲线F 上任取一点P (x ，y )，设F ′上的对应点为P ′(x ′，y ′)，则x ′＝x－2，y ′＝y ＋3，∴x ＝x ′＋2，y ＝y ′－3. 将上式代入方程y ＝x 2， 得：y ′－3＝(x ′＋2)2，∴y ′＝(x ′＋2)2＋3，即图象F ′的函数表达式为y ＝(x ＋2)2＋3.2．求椭圆4x 2＋9y 2＋24x －18y ＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】 因椭圆方程可化为(x ＋3)29＋(y －1)24＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x ＝－3±955. 3．圆x 2＋y 2＝25按向量a 平移后的方程是x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，求过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线按向量a 平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为(y －1)2a 2－(x ＋3)2b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b ＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c ②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c＝5.故所求双曲线方程为(y －1)216－(x ＋3)29＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k . 将其代入y ＝x 2－4x －8，得 y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8， 化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12. 所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k .第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎨⎧x ＝1kx ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1k x ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1k y ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得： λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin 3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎨⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b2＝a 2， 设⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′，y ＝a b y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，b a y ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk a x ＋b am . 由a b y ′＝－1k x ′，得y ′＝－b ka x ′，所以直线y ＝－1k x 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝ban ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x 2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________． 【答案】 x 216＋y 24＝14．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 得到⎩⎨⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y后，方程x 2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1， 得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即(x ′－3)29＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是(x －3)29＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎨⎧x4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，k y 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则 A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)． 所以A ′B ′＝(kx 1－kx 2)2＋(ky 1－ky 2)2＝|k |(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′， S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1(x 2－x 1)1＋λ，k 2(y 2－y 1)1＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2.所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ＞0)，y ′＝μy (μ＞0)，其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C 按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x 3)2－(y 2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 35．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r 得⎩⎨⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎨⎧ r ＝22π3，φ＝π4. 所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)． 【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π) 9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________. 【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)， 因此|CP |＝2 3.【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________． 【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ). 所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

4.3 平面坐标系中几种常见变换4．3.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量．2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1．平移在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移，若以向量a 表示移动的方向和长度，也称图形F 按向量a 平移．2．平移变换公式设P (x ，y )，向量a ＝(h ，k )，平移后的对应点P ′(x ′，y ′)，则(x ，y )＋(h ，k )＝(x ′，y ′)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋h ＝x ′，y ＋k ＝y ′.1．求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】 步骤：(1)设平移前曲线上一点P 的坐标为(x ，y )，平移后的曲线上对应点P ′的坐标为(x ′，y ′)；(2)写出变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k ，并转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k ；(3)利用上述公式将原方程中的x ，y 代换；(4)按习惯，将所得方程中的x ′，y ′分别替换为x ，y ，即得所求曲线的方程． 2．在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】 其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量．其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M (8，－10)按a 平移后的对应点M ′的坐标为(－7,4)，求a .【自主解答】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧－7＝8＋h ，4＝－10＋k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－15，k ＝14，即a ＝(－15,14)．把点A (－2,1)按a ＝(3,2)平移，求对应点A ′的坐标(x ′，y ′)． 【解】 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2＋3＝1，y ′＝1＋2＝3，即对应点A ′的坐标(1,3)．平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x 2－9y 2－16x ＋54y －29＝0的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程．【思路探究】 把双曲线方程化为标准方程求解．【自主解答】 将方程按x ，y 分别配方成4(x －2)2－9(y －3)2＝－36， 即y －324－x －229＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y －3，方程可化为y ′24－x ′29＝1.双曲线y ′24－x ′29＝1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，－2)，焦点坐标为(0，13)和(0，－13)，对称轴方程为x ′＝0，y ′＝0，准线方程为y ′＝±41313，渐近线方程为y ′2±x ′3＝0.根据公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3＋13)和(2,3－13)，对称轴方程为x ＝2，y ＝3，准线方程为y ＝3±41313，渐近线方程为y －32±x －23＝0，即2x ＋3y －13＝0和2x －3y ＋5＝0.几何量a ，b ，c ，e ，p 决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量．已知抛物线y ＝x 2＋4x ＋7. (1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式．【解】 (1)设抛物线y ＝x 2＋4x ＋7的顶点O ′的坐标为(h ，k )，那么 h ＝－42＝－2，k＝4×7－424＝3，即这条抛物线的顶点O ′的坐标为(－2,3)． (2)将抛物线y ＝x 2＋4x ＋7平移，使点O ′(－2,3)与点O (0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量O ′O →平移得到的，设O ′O →的坐标为(m ，n )，那么⎩⎪⎨⎪⎧m ＝022，n ＝0－3＝－3.所以抛物线按(2，－3)平移，平移后的方程为y ＝x 2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物线y 2＝8x 按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程．(2013·无锡质检)将函数y ＝2x 的图象l 按a ＝(0,3)平移到l ′，求l ′的函数解析式．【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用．【解】 设P (x ，y )为l 的任意一点，它在l ′上的对应点P ′(x ′，y ′) 由平移公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋0，y ′＝y ＋3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝y ′－3.将它们代入y ＝2x 中得到y ′－3＝2x ′， 即函数的解析式为y ＝2x ＋3.1．将点P (7,0)按向量a 平移，得到对应点A ′(11,5)，则a ＝________. 【答案】 (4,5)2．直线l：3x－2y＋12＝0按向量a＝(2，－3)平移后的方程是________．【答案】3x－2y＝03．曲线x2－y2－2x－2y－1＝0的中心坐标是________．【解析】配方，得(x－1)2－(y＋1)2＝1.【答案】(1，－1)4．开口向上，顶点是(3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是________．【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x2＝4y，所以所求抛物线的方程是(x－3)2＝4(y－2)．【答案】(x－3)2＝4(y－2)1．已知函数y＝x2图象F按平移向量a＝(－2,3)平移到F′的位置，求图象F′的函数表达式．【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F′上的对应点为P′(x′，y′)，则x′＝x－2，y′＝y＋3，∴x＝x′＋2，y＝y′－3.将上式代入方程y＝x2，得：y′－3＝(x′＋2)2，∴y′＝(x′＋2)2＋3，即图象F′的函数表达式为y＝(x＋2)2＋3.2．求椭圆4x2＋9y2＋24x－18y＋9＝0的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程．【解】因椭圆方程可化为x＋329＋y－124＝1，其中心为(－3,1)，焦点坐标为(－3±5，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为53，准线方程为x＝－3±955.3．圆x2＋y2＝25按向量a平移后的方程是x2＋y2－2x＋4y－20＝0，求过点(3,4)的圆x2＋y2＝25的切线按向量a平移后的方程．【解】 由题意可知a ＝(1，－2)，因为平移前过点(3,4)的圆x 2＋y 2＝25的切线方程为3x ＋4y ＝25，所以平移后的切线方程为3(x －1)＋4(y ＋2)＝25，即3x ＋4y －20＝0.4．已知两个点P (1,2)、P ′(2,10)和向量a ＝(－3,12)．回答下列问题： (1)把点P 按向量a 平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a 平移得到对应点P ′，求这个点的坐标； (3)点P 按某一向量平移，得到的对应点是P ′，求这个向量的坐标．【解】 (1)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ＝1，y ＝2，解得x ′＝－2，y ′＝14，即所求的对应点的坐标为(－2,14)．(2)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝x －3，y ′＝y ＋12.由x ′＝2，y ′＝10，解得x ＝5，y ＝－2，即所求点的坐标为(5，－2)．(3)平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋h ，y ′＝y ＋k .由x ＝1，y ＝2，x ′＝2，y ′＝10，解得h ＝1，k ＝8，所以所求的向量的坐标为(1,8)．5．将二次函数y ＝x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y ＝2x －5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(h ，k )，所以y ＝x 2平移后的解析式为y －k ＝(x －h )2，即y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 与直线y ＝2x －5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知y ＝x 2－2hx ＋h 2＋k 在(3,1)处切线的斜率为6－2h ，从而6－2h ＝2，h ＝2.又点(3,1)在y －k ＝(x －h )2上，解得k ＝0，所以向量a 的坐标为(2,0)．6．抛物线y ＝x 2－4x ＋7按向量a 平移后，得到抛物线的方程是y ＝x 2.求向量a 及平移前抛物线的焦点坐标．【解】 抛物线方程可化为y －3＝(x －2)2，平移后的抛物线方程为y ＝x 2，所以a ＝(－2，－3)，因为y ＝x 2的焦点坐标为(0，14)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(0＋2，14＋3)，即(2，134)．7．已知双曲线的渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0与4x －3y ＋15＝0，一条准线的方程为y ＝－115，求此双曲线的方程．【解】 两渐近线的交点即双曲线中心，故由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＋9＝0，4x －3y ＋15＝0，解得交点为(－3,1)，即中心为(－3,1)．又一条准线方程为y ＝－115，说明焦点所在的对称轴平行于y 轴，所以可设双曲线方程为y －12a 2－x ＋32b 2＝1，它的渐近线方程可写成y －1a ±x ＋3b＝0①，准线方程为y －1＝±a 2c②，而已知渐近线方程为4x ＋3y ＋9＝0，即4(x ＋3)＋3(y －1)＝0，另一条渐近线方程为4x －3y ＋15＝0，即4(x ＋3)－3(y －1)＝0，合并即为y －14±x ＋33＝0.对照①，得a b ＝43③.而已知准线方程y ＝－115，即y －1＝－165.对照②，得a 2c ＝165④.由③④，解得a ＝4，b ＝3，c ＝5.故所求双曲线方程为y －1216－x ＋329＝1.教师备选8．已知抛物线y ＝x 2－4x －8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，－2)时的抛物线方程； (2)将此抛物线按怎样的向量a 平移，能使平移后的方程是y ＝x 2?【解】 (1)将抛物线y ＝x 2－4x －8配方，得y ＝(x －2)2－12，故抛物线顶点的坐标为P (2，－12)，将点(2，－12)移到(3，－2)时，其平移向量a ＝(1,10)，于是平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋1，y ′＝y ＋10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－1，y ＝y ′－10.因为点(x ，y )在抛物线y ＝x 2－4x －8上，所以y ′－10＝(x ′－1)2－4(x ′－1)－8， 即y ′＝x ′2－6x ′＋7.所以平移后的方程为y ＝x 2－6x ＋7.(2)法一 设平移向量a ＝(h ，k )，则平移公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－h ，y ＝y ′－k .将其代入y ＝x 2－4x －8，得y ′－k ＝(x ′－h )2－4(x ′－h )－8，化简整理，得y ′＝x ′2－(2h ＋4)x ′＋h 2＋4h ＋k －8.令⎩⎪⎨⎪⎧2h ＋4＝0，h 2＋4h ＋k －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－2，k ＝12，此时y ′＝x ′2.所以当图象按向量a ＝(－2,12)平移时，可使函数的解析式化为y ＝x 2. 法二 将抛物线y ＝x 2－4x －8，即y ＋12＝(x －2)2平移到y ＝x 2. 只需要作变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2，y ′＝y ＋12.所以平移对应的向量坐标为(－2,12)．4．3.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换．2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1．横坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，y ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着y 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．2．纵坐标的伸缩变换一般地，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，ky ＝y ′(k ＞0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着x 轴的伸缩变换(当k ＞1时，表示伸长；当0＜k ＜1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍(这里(x ，y )是变换前的点，(x ′，y ′)是变换后的点)．3．伸缩变换一般地，设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换．1．如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】 x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆：x 24＋y 2＝1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状． 2．如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】 在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)．(1)y ＝kx ＋b ；(2)(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.【自主解答】 设P (x ，y )是变换前的点，P ′(x ′，y ′)是变换后的点，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k x ′，y ＝1k y ′.(1)由1k y ′＝k (1kx ′)＋b ，y ′＝kx ′＋kb ，得直线y ＝kx ＋b 经过伸缩变换后的方程为y ＝kx ＋kb ，仍然是一条直线．当b ＝0时，该直线和原直线重合；当b ≠0时，该直线和原直线平行．(2)由(1k x ′－a )2＋(1ky ′－b )2＝r 2，(x ′－ka )2＋(y ′－kb )2＝(kr )2，得圆(x －a )2＋(y－b )2＝r 2经过伸缩变换后的方程为(x －ka )2＋(y －kb )2＝(kr )2，它是一个圆心为(ka ，kb )，半径为|kr |的圆．在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0y ′＝μy ，μ＞0，代入直线方程2x ′－y ′＝4 得：2λx －μy ＝4，即λx －μ2y ＝2，比较系数得：λ＝1，μ＝4，即直线x －2y ＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x ′－y ′＝4.伸缩变换的应用曲线y ＝2sin 3x 变换成曲线y ＝3sin 2x ，求它的一个伸缩变换．【思路探究】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0代入y ′＝3sin 2x ′，所得式再与y ＝2sin3x 比较即可求λ、μ.【自主解答】 将变换后的曲线y ＝3sin 2x 改成y ′＝3sin 2x ′.设伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μyμ＞0代入y ′＝3sin 2x ′；得μy ＝3sin(2λx )即y ＝3μsin(2λx )，与y ＝2sin 3x 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧2λ＝3，3μ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝32，μ＝32，所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ，y ′＝32y .确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可．(1)圆x 2＋y 2＝a 2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜a )?(2)分析圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线和经过该弦中点的直径所在直线经过上述伸缩变换后的位置关系．【解】 (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1可以化为x 2＋a 2y 2b 2＝a 2，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，y ＝aby ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′，bay ＝y ′.所以圆x 2＋y 2＝a 2经过向着x 轴方向上的伸缩变换，伸缩系数k ＝b a ，可以使方程变为x 2a 2＋y 2b2＝1. (2)若圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦所在直线的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝kx ＋m ，根据垂径定理，经过该弦中点的直径所在直线的方程为y ＝－1kx .由a b y ′＝kx ′＋m ，得y ′＝bk a x ′＋b a m .所以直线y ＝kx ＋m 经过变换，方程可变为y ＝bk ax ＋b am . 由a by ′＝－1kx ′，得y ′＝－b kax ′，所以直线y ＝－1kx 经过变换，方程可变为y ＝－b kax .此时，两条直线的斜率乘积是定值－b 2a2.若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为x ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为y ＝0，伸缩变换后其方程分别变为x ＝n ，y ＝0.此时两直线依然垂直．若圆x 2＋y 2＝a 2的弦所在直线的方程为y ＝n ，则经过其中点的直径所在直线的方程为x ＝0，伸缩变换后其方程分别变为y ＝b an ，x ＝0.此时两直线依然垂直．(教材第41页习题4.3第8题)对下列曲线向着x 轴进行伸缩变换，伸缩系数k ＝2：(1)x 2－4y 2＝16；(2)x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.(2013·南京模拟)求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y 2＝1变成曲线x ′29＋y ′24＝1.【命题意图】 本题主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】 设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0，代入方程x ′29＋y ′24＝1，得λ2x 29＋μ2y 24＝1.与x 2＋y 2＝1比较，将其变形为λ29x 2＋μ24y 2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y ，即将圆x 2＋y 2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得椭圆x ′29＋y ′24＝1.1．直线x ＋4y －6＝0按伸缩系数12向着x 轴的伸缩变换后，直线的方程是________．【答案】 x ＋8y －6＝02．直线2x －3y ＝0按伸缩系数3向着y 轴的伸缩变换后，直线的方程是________． 【答案】 2x －9y ＝03．曲线x 2＋y 2＝4按伸缩系数2向着y 轴的伸缩变换后，曲线的方程是________．【答案】x 216＋y 24＝1 4．y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后，曲线方程变为______．【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′y ＝13y ′，代入y ＝cos x ，得13y ′＝cos 12x ′， 即y ′＝3cos 12x ′.【答案】 y ＝3cos x21．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后的方程．(1)2x ＋3y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.【解】 由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′.①(1)将①代入2x ＋3y ＝0，得到经过伸缩变换后的方程为x ′＋y ′＝0，所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y后，直线2x ＋3y ＝0变成直线x ＋y ＝0.(2)将①代入x 2＋y 2＝1，得x ′24＋y ′29＝1.所以，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2xy ′＝3y 后，方程x2＋y 2＝1变成x 24＋y 29＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程．【解】 把⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y ，代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1.3．设F ：(x －1)2＋(y －1)2＝1在⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′的伸缩变换下变为图形F ′，求F ′的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝x ′，y ＝y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝y ′.所以(x －1)2＋(y －1)2＝1变换为(13x ′－1)2＋(y ′－1)2＝1，即x ′－329＋(y ′－1)2＝1，所以F ′的方程是x －329＋(y －1)2＝1.4．双曲线x 216－y 29＝1经过伸缩变换能化为等轴双曲线x 2－y 2＝1吗？【解】 双曲线方程x 216－y 29＝1可以化为(x 4)2－(y3)2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x 4＝x ′，y3＝y ′，则x ′2－y ′2＝1.所以双曲线x 216－y 29＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线x 2－y 2＝1，具体步骤是：按伸缩系数14向着y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数13向着x 轴进行伸缩变换．5．已知G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数k 向着x 轴(或y 轴)的伸缩变换后，得到G ′和△A ′B ′C ′.试判断G ′是否为△A ′B ′C ′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，则G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．经过伸缩系数k 向着x 轴的伸缩变换后，得到△A ′B ′C ′的三个顶点及点G ′的坐标分别为A ′(x 1，ky 1)、B ′(x 2，ky 2)，C ′(x 3，ky 3)，G ′(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋y 2＋y 33)．由于△A ′B ′C ′的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，ky 1＋ky 2＋ky 33)，所以G ′仍然是△A ′B ′C ′的重心．同理可证，若伸缩变换向着y 轴方向，G ′同样也是△A ′B ′C ′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧kx ＝x ′，ky ＝y ′(k ≠0，且k ≠1)后，得到△A ′B ′C ′.求证：△A ′B ′C ′和△ABC 相似，且面积比为k 2.【证明】 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A ′(kx 1，ky 1)、B ′(kx 2，ky 2)．所以A ′B ′＝kx 1－kx 22ky 1－ky 22＝|k |x 1－x 22y 1－y 22＝|k |AB .同理可得A ′C ′＝|k |AC ，B ′C ′＝|k |BC ， 所以△A ′B ′C ′∽△ABC ，所以∠A ＝∠A ′，S △A ′B ′C ′＝12(|k |AB )·(|k |AC )sin A ′＝k 2[12(AB ·AC )sin A ]＝k 2S △ABC .7．设P 1、P 2是直线l 上的两点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使P 1P →＝λPP 2，称λ为点P 分有向线段P 1P 2所成比．设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，点P 分有向线段P 1P 2所成比为λ，经过伸缩变换后，点P 1、P 2和P 分别变为P 1′、P 2′和P ′.求证：P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.【证明】 设P (x 0，y 0)，由P 1P →＝λPP 2→，得(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 0，y 2－y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋λx 21＋λ，y 0＝y 1＋λy21＋λ.设给定伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧k 1x ＝x ′，k 2y ＝y ′，则有P 1′(k 1x 1，k 2y 1)、P 2′(k 1x 2，k 2y 2)、 P ′(k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 1＋λy 21＋λ)．P 1′P ′→＝(k 1x 1＋λx 21＋λ－k 1x 1，k 2y 1＋λy 21＋λ－k 2y 1)＝λ(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，P ′P 2′→＝(k 1x 2－k 1x 1＋λx 21＋λ，k 2y 2－k 2y 1＋λy 21＋λ)＝(k 1x 2－x 11＋λ，k 2y 2－y 11＋λ)，所以P 1′P ′→＝λP ′P 2′→.所以P 1′、P 2′和P ′三点依然共线，且P ′分有向线段P 1′P 2′所成比等于λ.教师备选8．在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 216－y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．【解】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，双曲线x 216－y 29＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，双曲线x 216－y29＝1的图形如下：选修4－4阶段归纳提升坐标系错误!))极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标互化的公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，当不能直接使用公式时，可通过适当变换，化成能使用的形式．把下列极坐标化为直角坐标：(1)M (5，56π)；(2)N (2，32π)；(3)P (2，54π)；(4)Q (2，－π6)．【解】 (1)由题意知x ＝5cos 56π＝5×(－32)＝－532，y ＝5sin 56π＝5×12＝52.所以M 点的直角坐标为(－532，52)．(2)x ＝2cos 32π＝2×0＝0，y ＝2sin 32π＝2×(－1)＝－2.所以N 点的直角坐标为(0，－2)． (3)x ＝2cos 54π＝2×(－22)＝－2，y ＝2sin 54π＝2×(－22)＝－ 2. 所以P 点的直角坐标为(－2，－2)． (2)x ＝2cos(－π6)＝2×32＝3，y ＝2sin(－π6)＝2×(－12)＝－1.所以Q 点的直角坐标为Q (3，－1).极坐标的应用主要应用极坐标与直角坐标的互化公式解决问题，注意极坐标系中的ρ和θ的含义．(2012·陕西高考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．【解析】 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 【答案】3伸缩变换变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxλ＞0y ′＝μy μ＞0其中P (x ，y )为变换前的点，P ′(x ′，y ′)为变换后的点．将圆锥曲线C按伸缩变换公式⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y 变换后得到双曲线x ′2－y ′2＝1，求曲线C 的方程．【解】 设曲线C 上任意一点P (x ，y )，通过伸缩变换后的对应点为P ′(x ′，y ′)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ′＝x ，2y ′＝y得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，代入x ′2－y ′2＝1得(x3)2－(y2)2＝1，即x 29－y 24＝1为所求．综合检测(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 3 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】22 13．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝5x y ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得： 2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1.【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|1222＝855. 【答案】855 二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0.(2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点，∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1， 得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14. 该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆． 17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2p ρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos π2＋θsin 2π2＋θ. 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos π2＋θsin 2π2＋θ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B .设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos θ|＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。

回归课本专题七 理科附加题部分 第 1页回归课本专题七：附加题部分（理科）一、概率分布1、互斥事件有一个发生的概率公式为：()P A B +=()()P A P B +； 相互独立事件同时发生的概率公式为()()()P AB P A P B =；如果事件A 与B 互斥，那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件； 如果事件A 、B 相互独立，那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1()1()()P A B P A P B -=-； 条件概率:已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率，记作(|)P A B .对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为(|)P AB P A B P B （）＝（）2、随机变量的概念,常用希腊字母ξ、η等表示.对于随机变量可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.注：随机变量ξ是关于试验结果的函数，即每一个试验结果对应着一个实数；随机变量ξ的线性组合η=a ξ+b(a 、b 是常数)也是随机变量. 3、离散性随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量ε可能取得值为： X1，X2，…，X3，…， ε取每一个值Xi （I=1，2，…）的概率为P （P xi ==)，则称表两条基本性质：①,2,1(0=≥i p i ...)；②P 1+P 2+ (1)4、独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. (1)两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A·B ）=P （A ）·P （B ）；(2)如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：P n (k)=C kn P k (1－P)n-k . 5、随机变量的均值和方差（1）随机变量的均值++=2211p x p x E ε…；反映随机变量取值的平均水平.（2）离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.基本性质：b aE b a E +=+εε)(；εεD a b a D 2)(=+. 6、几种特殊的分布列（1）两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则我们可用随机变量⎩⎨⎧=. 0,1乙结果发生甲结果发生η，来描述这个随机试验的结果.如果甲结果发生的概率为P ，则乙结果发生的概率必定为1－P ，均值为E η=p ，方差为D η=p （1－p ）.（2）超几何分布:若有一批产品共有N ,其中有M 件不合格品,随机取出的n 件产品,不合一般地,若一个随机变量X 的发布列为()r n r M N MnNC C P X r C --==,其中0,1,2,3,,,r l l n M == ,则称X 服从超几何分布,记为(,,)X H n M N .（3）二项分布:如果我们设在每次试验中成功的概率都为P ，则在n 次重复试验中，试验成功的次数是一个随机变量，用ξ来表示，则ξ服从二项分布．则在n 次试验中恰好成功k 次的概率为：()().p 1p C k P kn kk n --==ξ 记ε是n 次独立重复试验某事件发生的次数，则ε～B （n ，p ）；其概率,2,1,0,1()(=-==-k p q q p C k P kn k k n n …),n .期望Eε=np ，方差Dε=npq .二、矩阵变换1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线.2. 二阶行矩与平面向量的乘法 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ax+by cx+dy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 二阶行矩的乘法:一般地M N NM ≠，n M MM M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦e f g h ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=ae bg af bh ce dg cf dh ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦.cos sin sin cos A θθθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,nA 表示几何意义是什么？4.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）： (2) 伸压变换: 100n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,001m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (3) 反射变换：1001⎡⎤⎢⎥-⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（4）旋转变换：cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦（5）投影变换：1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦（6）切变换：101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 如何求曲线在矩阵A 的变换下的曲线方程呢?5. 逆矩阵：设Ａ是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝E ，则称二阶矩阵Ａ是可逆矩阵，称Ｂ是二阶矩阵Ａ的逆矩阵（简称逆阵）记作A -1. 6利用逆矩阵解方程组ax b m cx dy n+=⎧⎨+=⎩可以表示成a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，简写成 AX B =,111A AX A B X A B ---=⇒=7.特征值和特征向量回归课本专题七 理科附加题部分 第 2页（1）a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,如果存在λ和非零向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦满足a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=λx y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即A αλα=,则λ叫A 的一个特征值，x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦叫特征向量.(2)特征多项式: a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,2()||()a b f a b ad bc c d λλλλλ--==-++--- 8. λ是A 的一个特征值，求特征向量：解方程组()0()0()0a x by a x by cx d y λλλ-+=⎧⇔-+=⎨+-=⎩，取1x =或者1y =，写出相应的向量；9.如何求n A α的值. 三、参数方程、极坐标1.极坐标：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥.2.极坐标和直角坐标互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x yy x θρ ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.（1）它们互化的条件则是：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合. （2）将点(,)ρθ变成直角坐标(cos ,sin )ρθρθ，也可以根据几何意义和三角函数的定义获得. ⑶几种常见曲线的参数方程和极坐标方程是什么?关注互化中,x y 的范围. 3.求轨迹方程的常用方法：⑴直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成(,)0F x y =,是求轨迹的最基本的方法.⑵待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可.⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程.⑸交轨法(参数法)：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.四、用向量方法求空间角和距离⑴求异面直线所成的角：设a 、b分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α满足：||||||cos a b a b α⋅⋅=；⑵求线面角：设l 是斜线l 方向向量,n是平面α法向量, 与直线l 则斜线l的锐夹角为ϑ,||||||cos l n l n θ⋅⋅=，则斜线l 与平面α成角为ϑ-090，或||||||sin l n l n α⋅⋅=；注意：||||||cos l n l n θ⋅⋅=得到的角ϑ是法向量与直线的夹角，并不是直线和平面成的角；⑶求二面角(法一)在α内a l ⊥ ,在β内b l ⊥,其方向如图(略),则||||cos a b a b α⋅⋅= ；(法二)设1n ,2n是两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角1212||||cos n n n n α⋅⋅=；注：12120||||cos n n n n α<⋅⋅=不能判断二面角是钝角，还要根据图形辨别；⑷求点面距离：设n是α法向量,在α内取一点B ,则A 到α距离|||||cos |||AB n d AB n θ⋅==(即AB 在n 方向上投影的绝对值) （5）坐标系的建立：作空间直角坐标系O-xyz 时，使∠xOy =135°（或45°），∠yOz =90°.(1)让右手拇指指向x 轴正方向，食指指向y 轴正方向，中指能指向z 轴的正方向，则称为右手直角坐标系； (2) OQ=x 、OR=y 、PA=z 分别叫做点A 的横坐标、纵坐标和竖坐标，记作A （x,y,z ）； (3) 平面法向量：由直线与平面垂直的判断定理可知，不共线b a ,，b n a n ⊥⊥,则为平面α的法向量 关注斜体的空间坐标系的建立和相应点的坐标. 五、排列、组合、二项式定理1.分类计数原理（加法原理）:12n N m m m =+++ .2.分步计数原理（乘法原理）:12n N m m m =⨯⨯⨯ .3.排列数公式 :mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.4.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+；（2）1mm n n n A A n m-=-；（3）11m m n n A nA --=；（4）11n n nn n n nA A A ++=-；（5）11m m m n n nA A mA -+=+；(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 5.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 6.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .7.组合恒等式 （1）mn nmn C C -=；11--+=n n mn mn C C C ；k n k n C C k n =--11；11mm n n n m C C m--+=；回归课本专题七 理科附加题部分 第 3页（2）1mm n n n C C n m -=-；（3）11m m n n n C C m--=； （4）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ； (5)n nn r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (6)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m nm m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC CCCCC C C C C C C8.排列数与组合数的关系m m n nA m C =⋅！ . 9．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m kn k kAA --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. （5）隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .9．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.10.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(，二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 二项式系数具有下列性质：(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等； (2) 若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； （3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=11.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为)]1()1([21--f f ；偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f ； 六、数学归纳法如果（1）当n 取第一个值0n （例如01,2n =等）时结论正确；（2）假设当n k =（*k N ∈，且0k n ≥）时结论正确，证明当1n k =+时结论也正确． 那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）x 2x 4回归课本专题七 理科附加题部分 第 4页是判断命题的正确性能否递推下去的保证； （2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即1n k =+时为什么成立？1n k =+ 时成立是利用假设n k =时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证1n k =+出时成立，而不是直接代入，否则1n k =+时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，要具体问题具体分析． 七、练习：1.研究直线3210x y -+=在矩阵1 01 -1⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变成什么图形，并说明其几何意义.2.如图矩形OABC 在变换T 的作用下变成了平行四边形OA B C '''，求 变换T 所对应的矩阵M ．3.已知 2 13 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦A 2 2 2 45 3 1 3⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A= .4.已知,,A B C 为二阶矩阵，且AB AC =,若矩阵A 存在逆矩阵，则B C =5.利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩6.求矩阵AB 的逆矩阵，其中1101,20201A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.设A=，则A 6= .8.甲乙两个种群相互影响，其数量分别为{}{}n n a b ，116,4,a b ==且有关系式11232n n nn n n a a b b a b ++=+⎧⎨=+⎩，试求20个时段后甲乙两个种群的数量.9. 已知矩阵M=11a b ⎛⎫⎪⎝⎭，20c N d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2020MN ⎛⎫= ⎪-⎝⎭， （Ⅰ）求实数,,,a b c d 的值；（Ⅱ）求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换下的像的方程10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1).设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值.11.将双曲线C ：221x y -=上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C '，试求C '的方程.12.曲线22142x y +=经过变换T 变成曲线22124x y +=．求变换T 对应的矩阵．（要求写出两个不同的矩阵）13. 在极坐标系中，5(3,),(8,)1212A B ππ,求,A B 间的距离.14. 在极坐标系中，（1）求点(,)P ρθ关于极轴的对称点的坐标；（2）求点(5,)6M π关于直线4πθ=的对称点的坐标.15. 求直线或圆的极坐标方程 （1）经过点(2,)4A π,且垂直于极轴的直线；(2) 经过点(4,0)C ,且倾斜角是34π直线； （3）以)4F π为圆心，1为半径的圆16. 直角坐标与极坐标方程互化：（1）2220x y ax +-=；（2）26y x =（3）2cos 216ρθ=；（4）612cos ρθ=+.17. 已知O 为极点，OR 为圆cos a ρθ=的弦，在直线OR 上取点,P Q ，使得RP RQ a ==.当点R 在圆上运动时，试求点,P Q 的轨迹方程.回归课本专题七 理科附加题部分 第 5页18. 过抛物线 22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数）的顶点任作互相垂直的两条弦,OA OB ，交抛物线与,A B 两点，求证：此两点的中点M 的轨迹仍为一条抛物线.19. 已知P 为半圆C ： cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，πθ≤≤0）上的点，点A 的坐标为（1,0），O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧的长度均为3π.（I ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；（II ）求直线AM 的参数方程.20. 在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.21. 在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a =0相切，求实数a 的值.22. ,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 种23.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 种24.12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有 __________种.25.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有 _________种.26.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有 种.27.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有 种 28.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 种29.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 种30. 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为 种 31.如图，一个.地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）32.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A 到B 的最短路径有多少种？33.43(1)(1x -的展开式 2x 的系数是34.(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为__________.A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n === 35.若20092009012009(12)()x a a x a x x R -=+++∈ ,则20091222009222a a a +++ 的值为______. 36.在10)32(y x -的展开式中,求:①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.37.已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.AB回归课本专题七 理科附加题部分 第 6页38.已知四棱锥P ABCD -中PA ⊥平面ABCD ，且44PA PQ ==，底面为直角梯形，090,CDA BAD ∠=∠=2,1,AB CD AD ==,M N 分别是,PD PB 的中点． （1）求证：MQ // 平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小； （3）求点A 到平面MCN 的距离．39.口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．40.在0，1，2，3，…，9这十个自然数中，任取3个不同的数字． （1）求组成的三位数中是3的倍数的有多少个？ （2）将取出的三个数字按从小到大的顺序排列，设ξ为三个数字中相邻自然数的组数（例如：若取出的三个数字为0,1,2，则相邻的组为0,1和1,2，此时ξ的值是2），求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．41.过抛物线y 2=4x 上一点A (1，2)作抛物线的切线，分别交x 轴于点B ，交y 轴于点D ，点C (异于点A )在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE =λ1EC ；点F 在线段BC 上，满足BF =λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD 与EF 交于点P ．(1)设DP PC λ= ，求λ；(2)当点C在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程42.⑴当*k N ∈时，求证：(1(1k k +是正整数； ⑵试证明大于2(1n 的最小整数能被12n +整除（*n N ∈）.答案:。