最新新初三2区暑假数学能力提高训练七图形变换优秀名师资料

北京市西城区重点中学-第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 解决问题的思路更加简明、清晰. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度分析图形, 更容易发现不变量和特殊图形.一、《考试说明》的要求二、图形变换在近年中考中的呈现方式显性: 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.隐性: 解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考, 并能适当添加辅助线构造所需图形.三、对图形变换的认识过程1. 掌握图形变换的概念和性质;2. 对已学图形和常用辅助线的再认识:(1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.(2) 从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质. 3. 掌握基本辅助线:(1) 中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线(2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短; (3) 平行四边形、梯形——平移; (4) 正多边形、共端点的等线段——旋转;4. 利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题, 用变换的观点研究函数的平移和对称.四、复习建议1. 基本概念明晰平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.平移轴对称旋转相同点都是全等变换, 即变换前后的图形全等.不 同 点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换, 叫~. 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~.把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~. 图形要素平移方向 平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度 性质连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等. 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分.对应点到旋转中心的距离相等; 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即: 对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.(2) 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到 中心对称性质.ABC A'B'C'ABCC'A'B'旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心.2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形2. 三种变换之间的一些联系.①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.②以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.③以两相交直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现旋转变换.例: 已知△ABC, 直线PQ、PR, 作△ABC关于PQ的对称图形△A'B'C', 再作△A'B'C'关于PR的对称图形△A''B''C'', 则△ABC与△A''B''C''的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A''B''C'' . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.3. (1) 常见的平移有: 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.(2) 涉及到“对称”均可考虑对称变换.如沿等腰三角形的底边上的高翻折, 沿角的平分线翻折等.(3) 常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60º, 绕正方形的一个顶点旋转90º、绕等腰三角形的顶点旋转, 旋转角等于等腰三角形的顶角等.五、专题复习ABCA'B'C'OABCA'B'C'O平移变换1. (湖北黄冈) 如图, 把Rt △ABC 放在直角坐标系内, 其中 ∠CAB =90°, BC =5, 点A 、B 的坐标分别为(1, 0) 、(4, 0) , 将△ABC 沿x 轴向右平移, 当点C 落在直线y =2x -6上时, 线段 BC 扫过的面积为( C ) A . 4 B . 8 C . 16 D . 822. 如图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠B =90°, ∠C =45°, AD =1, BC =4, E 为AB 中点, EF //DC 交BC 于点F , 求EF 的长．2233. (北京) 如图, 已知△ABC .(1) 请你在BC 边上分别取两点D , E (BC 的中点除外) , 连结AD , AE , 写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件, 并表示出面积相等的三角形; (2) 请你根据使(1) 成立的相应条件, 证明AB +AC > AD +AE . 4. 如图, 在Rt △ABC 中, AD =BC , CD =BE . 求∠BOE 的度数? 45︒轴对称变换BO ADCE ABCOyxF E DCBAOFE DCBAOFE D CBAOFE DCB A O ABCCBDEAAFG●轴对称计算．5. (怀柔二模) 如图(a ) , 有一张矩形纸片ABCD , 其中AD =6cm , 以AD 为直径的半圆, 正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠, 使点A 落在BC 上, 如图(b ), 则半圆被覆盖部分(阴影部分) 的面积为___π23349+_____.6. (江苏南京) 如图, 菱形纸片ABCD 中,∠A =60︒, 将纸片折叠, 点A 、D 分别落在A'、D' 处,且A'D' 经过B , EF 为折痕, 当D' F ⊥CD 时, FD CF的值为( A ) A . 213- B . 63 C . 6132-D .813+7. (1) 如图, 在直角坐标系中, 将矩形OABC 沿OB 对折, 使点A 落在点A '处, 若OA =3, 1=AB , 则点A' 的坐标是多少? (23,23) (2) 如图, 把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中, 使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结OB , 将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在A' 的位置, 若OB =5,21tan =∠BOC , 则点A' 的坐标是多少?●最短路径问题．(a )AB CDCBFE AA'DD'xO A 'C BAA 'A BC O x yA BCA 'OxyxO C BAA '基本图形已经归纳总结在总复习书中8.(天津)在平面直角坐标系中, 矩形OACB 的顶点O 在坐标原点, 顶点A 、B 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上, 3OA =, 4OB =, D 为边OB 的中点.(Ⅰ) 若E 为边OA 上的一个动点, 当△CDE 的周长最小时, 求点E 的坐标; (1, 0)(Ⅱ) 若E 、F 为边OA 上的两个动点, 且2EF =, 当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标. (31, 0), (37, 0)9. 如图1, 已知等边△ABC 的边长为1, D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点(均不与点A 、B 、C 重合) , 记△DEF 的周长为p .(1) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点, 则p =_____;23(2) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点, 则p 的取值范围是 .23≤ p < 3 小亮和小明对第(2) 问中的最小值进行了讨论, 小亮先提出了自己的想法: 将△ABC 以AC 边为轴翻折一次得1AB C △, 再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △, 如图2所示. 则由轴对称的性质可知, 112DF FE E D p ++= , 根据两点之间线段最短, 可得2p DD ≥ . 老师听了后说: “你的想法很好, 但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化, 所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说: “那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法, 写出你的答案.●轴对称证明题．A BDFC E1图AB DFCE 1F 1A 1B 2D 1D 1E 2图A BCO DD'Ey xxy C BDOA10. (西城)已知: 在如图1所示的锐角三角形ABC 中, CH ⊥AB 于点H , 点B 关于直线CH 的对称点为D , AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A , 直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证: BF ∥AC ;(2) 若AC 边的中点为M , 求证: 2DF EM ;(3) 当AB =BC 时(如图2) , 在未添加辅助线和其它字母的条件下, 找出图2中所有与BE 相等的线段, 并证明你的结论．旋转变换●旋转变换的常见应用(一) 以等边三角形为背景的旋转问题11.如图, C 为BD 上一点,分别以BC , CD 为边向同侧作等边△ABC 与△ECD , AD , BE 相交于点M . ①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?②当△ECD 绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE 和AD 有何关系. 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?③如图, A 、D 、E 在一直线上, △ABC 、△CDE 是等边三角形, 若BE =15cm, AE =6cm, 求CD 的长度及∠AEB 的度数. 9cm, 60°12. 如图, D 是等边△ABC 内一点, 将△ADC 绕C 点逆时针旋转, 使得A 、D 两点的对应点分别ABCD EM ABEDCAB CDEM图1图2为B 、E , 则旋转角为_60︒_, 图中除△ABC 外, 还有等边三角形是_△DEC __.13. 已知E 为正△ABC 内任意一点. 求证: 以AE 、BE 、CE 为边可以构成一个三角形. 若∠BEC =113︒, ∠AEC =123︒, 求构成三角形的各角度数. 63︒, 53︒, 64︒14. 如图, △ABC 是等边三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM 的最大值、最小值. 5, 1(二) 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题15. 如图①, B ,C ,E 是同一直线上的三个点, 四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形.连接BG ,DE . (1) 探究BG 与DE 之间的大小关系, 并证明你的结论; (2) 当正方形CEFG 绕点C 在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时, 线段BG 和ED 有何关系? 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?16. 如图1, 已知点D 在AC 上, △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, 点M 为EC 的中点.图①图②MCA BM'MCBA第12题图 第13题图A B C D EFGA B CDEF G(1) 求证: △BMD为等腰直角三角形.(2) 将△ADE绕点A逆时针旋转︒135, 如图2, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”成立吗?. (3) 我们是否可以猜想, 将△ADE绕点A任意旋转一定的角度, 如图3, (1)中的“△BMD为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由) .(三) 以一般等腰三角形为背景的旋转问题17. (1)如图①, 已知在△ABC中, AB=AC, P是△ABC内部任意一点, 将AP绕A顺时针旋转至AQ, 使∠QAP =∠BAC, 连接BQ、CP. 求证: BQ = CP.(2) 如图②,将点P移到等腰三角形ABC之外, (1)中的条件不变, “BQ=CP” 还成立吗?18. 在等腰△ABC中, AB=AC, D是△ABC内一点, ∠ADB =∠ADC. 求证: ∠DBC =∠DCB.小结: (1) 只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.(2) 当旋转角是60︒时, 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90︒时, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系.●旋转变换在综合题中的应用AB CPQAB CPQ图①图②图1图2图319. 在Rt△ABC 中, △ACB =90°, tan△BAC = 21, 点D 在边AC 上(不与A , C 重合) , 连结BD , F 为BD 中点.(1) 若过点D 作DE △AB 于E , 连结CF 、EF 、CE , 如图1． 设CF kEF =, 则k = ; 1 (2) 若将图1中的△ADE 绕点A 旋转, 使得D 、E 、B 三点共线, 点F 仍为BD 中点, 如图2所示. 求证: BE - DE = 2CF ;(3) 若BC =6, 点D 在边AC 的三等分点处, 将线段AD 绕点A 旋转, 点F 始终为BD 中点, 求线段CF 长度的最大值. 4 −5320. △ABC 和△DBE 是绕点B 旋转的两个相似三角形, 其中∠ABC 与∠DBE 、∠A 与∠D 为对应角. (1) 如图1, 若△ABC 和△DBE 分别是以∠ABC 与∠DBE 为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一直线上的位置时, 请直接写出线段AD 与线段EC 的关系; 垂直相等 (2) 若△ABC 和△DBE 为含有30︒角的两直角三角形, 且两个三角形旋转到如图2的位置时, 试确定线段AD 与EC 线段的关系, 并说明理由; AD ⊥EC , 33=EC AD(3) 若△ABC 和△DBE 为如图3的两个三角形, 且∠ACB = α, ∠BDE = β, 在绕点B 旋转的过程中, 直线AD 与EC 夹角的度数是否改变? 若不改变, 直接写出用含α、β 的式子表示夹角的度数; 若改变, 请说明理由. 180° − α – β21. (2008北京) 请阅读下列材料:ABEDCABCDE30︒30︒图1 ABCDE图2 图3B CA DE FB DEA FCBAC1图2图备图问题: 如图1, 在菱形ABCD 和菱形BEFG 中, 点A , B , E 在同一条直线上, P 是线段DF 的中点, 连结PG , PC . 若∠ABC = ∠BEF = 60︒, 探究PG 与PC 的位置关系及PCPG的值. 小聪同学的思路是: 延长GP 交DC 于点H , 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题: (1) 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG的值; (2) 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转, 使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变(如图2) . 你在(1) 中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明.(3) 若图1中∠ABC =∠BEF = 2α (0︒ < α < 90︒), 将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度, 原问题中的其他条件不变, 请你直接写出PCPG的值(用含α的式子表示) .函数与变换22. (2014房山二模) 已知关于x 的一元二次方程 x 2 – 3x + k – 1 = 0有实数根, k 为正整数. (1) 求k 的值;(2) 当此方程有两个不为0的整数根时, 将关于 x 的二次函数y = x 2 – 3x + k – 1的图象向下平移 2个单位, 求平移后的函数图象的解析式; (3) 在(2) 的条件下, 将平移后的二次函数图象 位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折, 图象的其余 部分保持不变, 得到一个新的图象G . 当直线 y = 5x + b 与图象G 有3个公共点时, 请你直接写出b 的取值范围.23. (2012北京)已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等. CB F EAPDGCBG F APDE图1 图21 x y -1 O 12 3 4 -2 -4-1-3 2 34 -2 -3 -4(1) 求二次函数的解析式;(2) 若一次函数y = kx + 6的图象与二次函数的图象都经过点A (3-, m ) , 求m 与k 的值; (3) 设二次函数的图象与x 轴交于点B , C (点B 在点C 的左侧 ) , 将二次函数的图象B , C 间的部分(含点B 和点C ) 向左平移n (0n >) 个单位后得到的图象记为G , 同时将(2) 中得到的 直线y = kx + b 向上平移n 个单位.请结合图象回答: 平移后的直线与图象G 有公共点时, n 的取值范围.24. (2014丰台二模) 如图, 经过原点的抛物线 y = -x 2 + bx (b > 2) 与x 轴的另一交点为A , 过点P (1,2b) 作直线PN ⊥x 轴于点N , 交抛物线于点B . 点B 关于抛物线对称轴的 对称点为C . 连结CB , CP .(1) 当b = 4时, 求点A 的坐标及BC 的长; (2) 连结CA , 求b 的适当的值, 使得CA ⊥CP ;(3) 当b = 6时, 如图2, 将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转, 得到△CB'P', CP 与抛物线 对称轴的交点为E , 点M 为线段B'P' (包含端点) 上任意一点, 请直接写出线段EM 长度 的取值范围.yxA OCP B N图1图2。

初三数学图形变换练习题数学是一门抽象而有趣的学科，图形变换是其中一个重要的概念。

通过图形变换的练习，可以帮助学生更好地理解和掌握数学中的图形概念和变换规律。

本文将为初三学生提供一些图形变换的练习题。

1. 平移变换（1）将△ABC向右平移5个单位，得到△A'B'C'，求A'、B'、C'的坐标。

（2）将⬜DEFG向上平移3个单位，得到⬜D'E'F'G'，求D'、E'、F'、G'的坐标。

2. 旋转变换（1）将△PQR以点P为中心逆时针旋转90°，得到△P'Q'R'，求P'、Q'、R'的坐标。

（2）将⬜ABCD以点A为中心顺时针旋转180°，得到⬜A'B'C'D'，求A'、B'、C'、D'的坐标。

3. 对称变换（1）将点E关于x轴进行对称变换，得到点E'，求E'的坐标。

（2）将线段AB关于y轴进行对称变换，得到线段A'B'，求A'、B'的坐标。

4. 缩放变换（1）将△XYZ以点X为中心缩小到原来的一半，得到△X'Y'Z'，已知点X(1,2)，求X'、Y'、Z'的坐标。

（2）将⬜MNPQ以点M为中心放大2倍，得到⬜M'N'P'Q'，已知点M(3,4)，求M'、N'、P'、Q'的坐标。

5. 复合变换（1）将⬜ABCD先绕点A逆时针旋转90°，再向右平移3个单位，得到⬜A'B'C'D'，已知点A(1,1)，求A'、B'、C'、D'的坐标。

（2）将△PQR先以点Q为中心放大到原来的两倍，再以点P为中心顺时针旋转60°，得到△P'Q'R'，已知点P(2,3)，Q(4,5)，R(6,3)，求P'、Q'、R'的坐标。

2022-2023学年九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于E．（1）如图1，猜想∠QEP＝；（2）如图2，若当∠DAC是锐角时，其他条件不变，猜想∠QEP的度数，并证明；（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．2．如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD为中线，将线段AC绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接BE交直线AD于点F，连接CF．（1）若∠BAC＝30°，则∠FBC＝°；（2）若∠BAC是钝角时，①请在图2中依题意补全图形，并标出对应字母；②探究图2中△BCF的形状，并说明理由；③若AB＝5，BC＝8，则EF＝．3．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．4．已知△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后，点A的对应点为点D，点C的对应点为点E，直线DE与直线AC交于点F，连接FB．（1）如图1，当∠BAC＜45°时，①求证：DF⊥AC；②求∠DFB的度数；（2）如图2，当∠BAC＞45°时，①请依意补全图2；②用等式表示线段FC，FB，FE之间的数量关系，并证明．5．实验探究：如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD、CE延长线交于点P．【问题发现】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是（“相等”或“不相等”），请直接写出答案；【类比探究】（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为．6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．7．[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连接AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连接EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．8．如图，在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点，连EB、EC，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．（1）在图1中画出图形：①求∠CEF的度数；②探究线段AB，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图2，若AB＝4，点G为AC的中点，连DG，将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，直线BM、AN交于点P，连CP，在△CDG旋转一周过程中，请直接写出△BCP 的面积最大值为．9．在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E．求证：PM＝PE；（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时S△BMP+S△CNP＝7，BM＝1，CN＝3，求MN的长度．（3）若过P点作PG⊥直线a于点G，试探究线段PG、BM和CN的数量关系．10．在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．（1）观察猜想如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．（3）问题解决在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．11．如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上一点，且点E不与A、B重合，ED ⊥AC于点D．（1）当sin B＝时，①求证：BE＝2CD；②当△ADE绕点A旋转到如图2的位置时（60°＜∠CAD＜90°），BE＝2CD是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（2）当sin B＝时，将△ADE绕点A旋转到∠DEB＝90°，若AC＝10，AD＝2，请直接写出线段CD的长．12．如图，已知点A（0，8），B（16，0），点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），连接AP，把△OAP沿着AP折叠后，点O落在点C处，连接PC，BC，设P（t，0）．（1）如图1，当AP∥BC时，试判断△BCP的形状，并说明理由．（2）在点P的运动过程中，当∠PCB＝90°时，求t的值．（3）如图2，过点B作BH⊥直线CP，垂足为点H，连接AH，在点P的运动过程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，请说明理由．13．如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形．连接AB，DF，延长DF交AB于点E．（1）如图1，若AD＝BD，DE是△ABD的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE＝CE+AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点F在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP．取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．14．综合与实践问题情境从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图形具有的普遍规律．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD为BC边上的中线，E为AD上一点，将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，AD的延长线交线段BF于点P．探究线段EP，FP，BP之间的数量关系．数学思考（1）请你在图1中证明AP⊥BF；特例探究（2）如图2，当CE垂直于AD时，求证：EP+FP＝2BP；类比再探（3）请判断（2）的结论在图1中是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．15．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，求证：BM＝AN+MN；（3）当α＝45°时，旋转∠MON至图3位置，请你直接写出线段BM、MN、AN之间的数量关系．16．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接P A、PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现P A与PB完全重合．由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点求证：P A＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得P A ＝PB．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程；（2）如图②，在△ABC中，直线l，m，n分别是边AB，BC，AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点；（请将下面的证明过程补充完整）证明：设直线l，m相交于点O．（3）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝15，则DE的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标18．如图1，在Rt△ACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A 点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出△ACH的面积．19．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为°；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到．小明在数学学习中遇到了这样一个问题：“如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝α，点P在AB边上，过点P作PQ⊥AC于点Q，△APQ绕点A逆时针方向旋转，如图2，连接CQ．O 为BC边的中点，连接PO并延长到点M，使OM＝OP，连接CM．探究在△APQ的旋转过程中，线段CM，CQ之间的数量关系和位置关系”小明计划采用从特殊到一般的方法探究这个问题．特例探究：（1）填空：如图3，当α＝30°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；如图4，当α＝45°时，＝，直线CQ与CM所夹锐角的度数为；一般结论：（2）将△APQ绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段CQ，CM之间的数量关系如何（用含α的式子表示）？直线CQ与CM所夹锐角的度数是多少？请仅就图2所示情况说明理由；问题解决（3）如图4，在Rt△ABC中，若AB＝4，α＝45°，AP＝3，将△APQ由初始位置绕点A逆时针方向旋转β角（0°＜β＜180°），当点Q到直线AC的距离为2时，请直接写出线段CM的值．参考答案1．解：（1）∠QEP＝60°；证明：如图1，QE与CP的交点记为M，∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠BCQ＝∠ACP，则△CQB和△CP A中，，∴△CQB≌△CP A（SAS），∴∠CQB＝∠CP A，在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，∴∠QEP＝∠QCP＝60°．故答案为：60°；（2）∠QEP＝60°．理由如下：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，即∠ACP＝∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴∠APC＝∠Q，∵∠BOP＝∠COQ，∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP＝BQ，∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，∴∠HAC＝45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH＝CH＝AC＝3，在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，∴P A＝PH﹣AH＝3﹣3，∴BQ＝3﹣3．2．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°，∵AE⊥AC，∴∠EAC＝90°，∴∠BAE＝30°+90°＝120°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝75°﹣30°＝45°．故答案为：45．（2）①图形如图2所示．②结论：△BCF是等腰直角三角形理由如下：如图2中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，又AB＝AC，AF＝AF，∴△ABF≌△ACF（SSS），∴∠1＝∠2，由旋转可知AE＝AC，又AB＝AC，∴AB＝AE，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3．又∠4＝∠5，∴∠CFE＝∠CAE＝90°即∠CFB＝90°，又FB＝FC，∴△BCF为等腰直角三角形．③如图3中，作EH⊥DF交DF的延长线于H．∵AB＝AC＝5，BD＝CD＝4，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝＝3，∵∠ADC＝∠EAC＝∠H＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠DAC+∠HAE＝90°，∴∠ACD＝∠HAE，∵AE＝AC，∴△ADC≌△EHA（AAS），∴EH＝AD＝3，∵△BDF是等腰直角三角形，FD⊥BC，∴∠DFB＝∠BFC＝45°，∴∠HEF＝∠HFE＝45°，∵∠H＝90°，∴∠EHF＝∠HFE＝45°，∴EH＝FH＝3，∴EF＝EH＝，故答案为：3．3．解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝4．解（1）①由旋转知，∠ABD＝∠ABC＝90°，∠D＝∠A，∴∠D+∠BED＝90°，∴∠A+∠BED＝90°，∵∠BED＝∠AEF，∴∠A+∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AC；②如图1，过点B作BG⊥BF交DF于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠D＝∠A，BD＝AB，∠ABD＝90°，∴∠FBG＝∠ABD，∴∠DBG＝∠ABF，∴△BDG≌△BAF（ASA），∴BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°；（2）①如图2所示，②CF﹣EF＝BF．过点B作BG⊥BF交AC于G，∴∠FBG＝90°，由旋转知，∠C＝∠E，BC＝BE，∵∠ABC＝90°，∴∠FBG＝∠ABC，∴∠CBG＝∠EBF，∴△BCG≌△BEF（ASA），∴CG＝EF，BG＝BF，∵∠FBG＝90°，∴∠BFD＝45°，∴FG＝BF，∵CF＝FG+CG，∴FG＝CF﹣CG＝CF﹣EF＝BF，即：CF﹣EF＝BF．5．解：（1）BD、CE的关系是相等．理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．（2）如图2，3即为旋转后的图形．①如图2，当C在AD上时，由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC又∵∠PCD＝∠ACE，∴△PCD∽△ACE，∴又∵CE＝＝＝CD＝AD﹣AC＝5﹣3＝2∴，解得；如图3，当C在AD反向延长线上时，同理△PEB∽△ABD＝∵BD＝BE＝AE﹣AB＝5﹣3＝2∴＝解得PB＝∴PD＝DB+PB＝+＝．答：此时PD的长为或．（3）如图4所示，以点A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在圆A下方与圆A相切时，PD的值最小．在Rt△ACE中，CE＝＝＝4在Rt△ADE中，DE＝＝＝5∵四边形ABPC是正方形，∴PC＝AB＝3∴PE＝PC+CE＝3+4＝7在Rt△DEP中，PD＝＝＝1∴线段PD的最小值为1．故答案为：1．6．解：（1）∵∠AOC＝90°，∴∠OAC+∠ACO＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCF+∠ACO＝90°，∴∠DCF＝∠OAC，∵∠OAC＝38°，∴∠DCF＝38°；（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°∴∠AOC＝∠CHD＝90°，∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，由（1）知，∠DCF＝∠OAC，∴△AOC≌△CHD（AAS），∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，∴点D的坐标（n+3，n）；（3）不会变化，理由：∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，∴AO＝BO，又∵OC⊥AB，∴x轴是AB垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，又∵AC＝CD，∴BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵∠ACD＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝270°，∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝45°，∵∠BOF＝90°，∴∠OFB＝45°，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴OB＝OF＝3，∴OF的长不会变化．7．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．8．解：（1）如图1所示：延长BE，①∵等边△ABC中，点D为BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∵∠CEF＝∠FEH+∠HEC＝∠EBF+∠BFE+∠EBC+∠ECB＝2∠ABE+2∠EBC，∴∠CEF＝2∠ABC＝120°；②AB＝AF+AE，理由如下：如图1﹣1，在AB上截取BM＝AF，连接ME，过点E作EN⊥AB于N，∵BM＝AF，∠AFE＝∠EBM，BE＝EF，∴△BME≌△F AE（SAS），∴AE＝EM，又∵EN⊥AB，∴AN＝MN＝AM，∵∠BAD＝30°，∴AE＝2NE，AN＝NE，∴AN＝AE，∴AM＝AE，∴AB＝BM+AM＝AF+AE；（3）如图2，∵△ABC是等边三角形，AB＝4，点G为AC的中点，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，CG＝CD＝2，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴CM＝CN＝CG＝CD＝2，∠MCN＝∠ACB＝60°，∴∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN（SAS），∴∠CAN＝∠CBM，∴点A，点B，点C，点P四点共圆，∴∠BPC＝∠BAC＝60°，∵将△CDG绕点C顺时针旋转得到△CMN，∴点M在以点C为圆心，CM为半径的圆上，∴当BM与⊙C相切于点M时，△BCP的面积有最大值，如图所示，过点P作PH⊥BC 于H，∵BM是⊙C的切线，∴∠BMC＝90°＝∠PMC，又∵∠BPC＝60°，∴∠PCM＝30°，∴CM＝PM＝2，∴MP＝，∵BM＝＝＝2，∴BP＝BM+MP＝，∵sin∠PBC＝，∴PH＝＝，∴△BCP的面积最大值＝×4×＝，故答案为．9．（1）证明：如图1中，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMA＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC边中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE（2）解：延长MP与NC的延长线相交于点E．∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°∴∠BMN+∠CNM＝180°，∴BM∥CN∴∠MBP＝∠ECP，又∵P为BC中点，∴BP＝CP，又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE（ASA），∴PM＝PE，S△PBM＝S△PCE，∴AE＝CN+CE＝4，∵S△BMP+S△CNP＝7，∴S△PNE＝7，∴S△MNE＝2S△PNE＝14，∴×MN×4＝14，∴MN＝7．（3）解：如图1﹣1中，当点B，P在直线a的异侧时，∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵PM＝PE，∴MG＝GN，∴PG＝EN＝（CN﹣EC），∵EC＝BM，∴PG＝（CN﹣BM）．如图2﹣2中，当点B，P在直线a的同侧时，延长MP交NC的延长线于Q．∵PG⊥a，CN⊥a，∴PG∥CN，∵BM∥CQ，∴∠BMP＝∠Q，∵∠BPM＝∠CPQ，BP＝CP，∴△PMB≌△PQC（AAS），∴PM＝PQ，BM＝CQ，∴MG＝GN，∴PG＝AQ＝（CN+BM）．综上所述，PG＝（CN﹣BM）或PG＝（CN+BM）．10．解：（1）观察猜想∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC ＝DC＝，∴AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，∴BC＝1，AB＝2，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴CG＝AE＝，CG＝AG，CF＝AB＝1，CF＝AF，∴CG＝CF，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠F AC＝30°，∴∠FCG＝90°，∴CF⊥CG，故答案为：CG＝CF，CF⊥CG；（2）类比探究仍然成立，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，∴∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，∴＝，∴△BCD∽△ACE，∴，∠CAE＝∠CBD，∵点F，G分别是BD，AE的中点，∴BF＝BD，AG＝AE，∴∴△ACG∽△BCF，∴，∠BCF＝∠ACG，∴CG＝CF，∠ACB＝∠FCG＝90°，∴CF⊥CG；（3）问题解决如图，延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DH，∵点F是BD中点，BC＝CH＝1，∴CF＝DH，由（2）可知，CF⊥CG，∴△CFG的面积＝×CF×CG＝CF2，∴△CFG的面积＝DH2，∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，∵CD＝，∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，∴△CFG的面积最大值＝（+1）2＝，当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，∴△CFG的面积最小值＝（﹣1）2＝．11．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，①如图1，过点E作EH⊥BC于点H，∵ED⊥AC∴∠ADE＝∠C＝90°，∴四边形CDEH是矩形，即EH＝CD，∴在Rt△BEH中，∠B＝30°，∴BE＝2EH∴BE＝2CD；②BE＝2CD成立，理由：∵△ABC和△ADE都是直角三角形，∴∠BAC＝∠EAD＝60°，∴∠CAD＝∠BAE，又∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴，又∵Rt△ABC中，＝2，∴＝2，即BE＝2CD；（2）∵sin B＝，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∵ED⊥AD，∴∠AED＝∠BAC＝45°，∴AD＝DE，AC＝BC，将△ADE绕点A旋转∠DEB＝90°，分两种情况：①如图3所示，过A作AF⊥BE交BE的延长线于F，则∠F＝90°，当∠DEB＝90°时，∠ADE＝∠DEF＝90°，又∵AD＝DE，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF＝EF＝2，∵AC＝10＝BC，根据勾股定理得，AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF﹣EF＝4，又∵△ABC和△ADE都是直角三角形，且∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAD＝∠BAE，∵，，∴，∴△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝2；②如图4所示，过A作AF⊥BE于F，则∠AFE＝∠AFB＝90°，当∠DEB＝90°时，∠DEB＝∠ADE＝90°，又∵AD＝ED，∴四边形ADEF是正方形，∴AD＝EF＝AF＝2，又∵AC＝10＝BC，∴AB＝10，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴BE＝BF+EF＝8，又∵△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，∴CD＝4，综上所述，线段CD的长为2或4．12．解：（1）等腰直角三角形，理由如下：∵AP∥BC，∴∠APC＝∠BCP，∠APO＝∠CBP，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠APO＝∠APC，OP＝PC，∴∠PCB＝∠PBC，∴PC＝PB＝OP＝8，∴△BCP是等腰三角形，∵OA＝OP＝8，∴∠OP A＝∠APC＝45°，∴∠OPC＝90°，∴△BCP是等腰直角三角形；（2）当t＞0时，如图，∵△OAP沿着AP折叠，∴∠AOP＝∠ACP＝90°，OP＝PC＝t，∴∠ACP+∠BCP＝180°，∴点A，点C，点B三点共线，∵点A（0，8），B（16，0），∴OA＝8，OB＝16，∴AB＝＝＝8，∵tan∠ABO＝，∴，∴t＝4﹣4；当t＜0时，如图，同理可求：t＝﹣4﹣4；（3）∵△OAP沿着AP折叠，∴AC＝AO＝8，∠ACP＝∠AOP＝90°，∵BH⊥CP，∴∠ACP＝∠BHC＝90°，∵AH＝BC，CH＝CH，∴Rt△ACH≌Rt△BHC（HL）∴AC＝BH，∴四边形AHBC是平行四边形，如图2，当0≤t≤16时，点H在PC上时，连接AB交CH于G，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝8；如图3，当0≤t≤16时，点H在PC的延长线上时，∵四边形AHBC是平行四边形，∴AG＝BG＝4，HG＝CG，AC＝BH＝8，∴HG＝＝＝4，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝；如图4，当t＜0时，同理可证：四边形ABHC是平行四边形，又∵AH＝BC，∴四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（16﹣t）2＝64+（t+8）2，∴t＝16﹣8；当t＞16时，如图5，∵四边形ABHC是矩形，∴AC＝BH＝8，AB＝CH＝8，CP＝OP＝t，在Rt△PHB中，PB2＝BH2+PH2，∴（t﹣16）2＝64+（t﹣8）2，∴t＝16+8．综上所述：当t＝8或或16﹣8或16+8时，存在AH＝BC．13．（1）解：∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，FC＝BC＝1，FB＝，∵AD＝BD，DE是△ABD的平分线，∴DE垂直平分AB，∴F A＝FB＝，∴AC＝F A+FC＝，∴CD＝；（2）证明：如图2，过点C作CH⊥CE交ED于点H，∵△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，∴AC＝DC，FC＝BC，∠ACB＝∠DCF＝90°；∴△ABC≌△DFC（SAS），∴∠BAC＝∠CDF，∵∠ECH＝90°，∴∠ACE+∠ACH＝90°，∵∠ACD＝90°，∴∠DCH+∠ACH＝90°，∴∠ACE＝∠DCH．在△ACE和△DCH中，，∴△ACE≌△DCH（ASA），∴AE＝DH，CE＝CH，∴EH＝CE．∵DE＝EH+DH＝CE+AE；（3）解：如图3，连接OE，将OE绕点E顺时针旋转90°得到EQ，连接OQ，PQ，则OQ＝OE．由（2）知，∠AED＝∠ABC+∠CDF＝∠ABC+∠BAC＝90°，在Rt△AED中，点O是斜边AD的中点，∴OE＝OD＝AD＝AC＝，∴OQ＝OE＝，在△OED和△QEP中，，∴△OED≌△QEP（SAS），∴PQ＝OD＝．∵OP≤OQ+PQ＝，当且仅当O、P、Q三点共线时，取“＝”号，∴OP的最大值是．14．证明：（1）如图1，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，∴AP⊥BF；（2）如图2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°＝∠CEP，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴△AEC≌△BFC，∠ECF＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，CE＝CF，∴四边形CEPF是正方形，∴EP＝PF＝CE＝CF，∠EPF＝90°，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDE＝∠BDP，∠CED＝∠BPD＝90°，∴△CDE≌△BDP（AAS），∴CE＝BP，∴EP＝PF＝BP，∴EP+FP＝2BP；（3）结论仍然成立，理由如下：如图1，过点C作CN⊥AD于N，作CM⊥BF，交BF的延长线于M，∵将△AEC以点C为旋转中心，逆时针旋转90°得到△BFC，∴∠CAE＝∠CBF，CE＝CF，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠CBF+∠EAB+∠CBA＝90°，∴∠APB＝90°，又∵CN⊥AD，CM⊥BM，∴四边形CNPM是矩形，∵∠CAE＝∠CBF，∠ANC＝∠BMC＝90°，AC＝BC，∴△ACN≌△BCM（AAS），∴CM＝CN，∴四边形CNPM是正方形，∴CN＝CM＝NP＝MP，∵AD为BC边上的中线，∴CD＝BD，又∵∠CDN＝∠BDP，∠CND＝∠BPD＝90°，∴△CDN≌△BDP（AAS），∴CN＝BP，∴CN＝BP＝NP＝MP，∴EP+FP＝EN+NP+FP＝NP+MF+PF＝NP+MP＝2BP．15．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）证明：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS），∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，∵∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，∵MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS），∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA），∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS），∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．16．证明：（1）如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．在△P AC和△PBC中，，∴△P AC≌△PBC（SAS），∴P A＝PB．（2）如图②中，设直线l、m交于点O，连接AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（3）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝15，∴DE＝AC＝5．故答案为5．17．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．18．解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，∴∠ACD＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，∴＝2，∵AC＝BC＝6，∴BD＝，CD＝，∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，∴EH＝BH，设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，∴3m＝6，∴m＝2，∴EH＝2，CH＝4，∴EC＝＝＝2，∴DE＝CD﹣CE＝﹣2＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．∵EJ＝EG，∴∠EJG＝∠EGJ，∵∠CFG＝EGJ，∴∠CFG＝∠EJG，∴∠AFC＝∠AJE，∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，∴∠ACT＝∠CBD，∵AC＝BC，∴△ATC≌△CDB（AAS），∴CT＝BD，∵EC＝2BD，∴CT＝ET，∵AT⊥EC，∴AC＝AE，∴∠ACT＝∠AEC，∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∴∠ACF＝∠EAJ，∴△ACF≌△EAJ（AAS），∴AF＝EJ＝EG．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，∴AT＝＝＝3，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝90°，∴DT＝BC＝3，∴AD≥AT﹣DT，∴AD≥3﹣3，∴AD的最小值为3﹣3，∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴DH＝EH，∴AH＝DE＝AD，∴AH的最小值为﹣，此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA 的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．∵DQ∥CT，∴＝＝，∴＝＝，∴DQ＝，AQ＝，由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，∴PJ＝JQ，∴JH＝（PE+DQ）＝∴△ACH的面积＝×6×＝．19．解：（1）①如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，故答案为：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，故答案为：AD＝BE；（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝135°．∴∠BEC＝135°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°，∴AD2+AE2＝AB2，∵AD＝a，AE＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2；（3）如图3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠CAB＝∠CBA＝60°，∴∠OAB+∠OBA＝120°，∴∠AOE＝180°﹣120°＝60°，如图4，同理求得∠AOB＝60°，∴∠AOE＝120°，∴∠AOE的度数是60°或120°．20．解：（1）如图3中，连接PB，延长BP交CQ的延长线于J，延长QC到R，设AC交BJ于点K．∵∠P AQ＝∠BAC，∴∠CAQ＝∠BAP，∵＝＝cos30°＝，∴△QAC∽△P AB，。

中考数学总复习《图形变换综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图1，在Rt△ABC中∠C=90°,AC=BC=5，等腰直角三角形BDE的顶点点D是边BC上的一点，且α(0°≤α<360°)．的值为________，直线AE,CD相交形成的较小角的度数为________；(1)【问题发现】当α=0°时，AECD(2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)【问题解决】当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．2．已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．(1)如图1，判断线段AP与BQ的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；(3)如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于√3，请直接4写出线段AP的长度．3．在中Rt△ABC中∠ABC=90°，AB=BC点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当BE=2，BC=2√3时，则∠EAB=_________°；②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．(3)点E在射线CB上运动BC=√3，设BE=x，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．4．如图1，在矩形ABCD中AB=6，AD=8把AB绕点B顺时针旋转α(0<α<180°)得到，连接，过B点作BE⊥AA′于E点，交矩形ABCD边于F点．(1)求DA′的最小值；(2)若A点所经过的路径长为2π，求点A′到直线AD的距离；(3)如图2，若CF=4，求tan∠ECB的值；(4)当∠A′CB的度数取最大值时，直接写出CF的长．5．【问题探究】（1）如图1锐角△ABC中分别以AB AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD 使AE＝AB AD＝AC∠BAE＝∠CAD＝90°连接BD CE试猜想BD与CE的大小关系不需要证明．【深入探究】（2）如图2四边形ABCD中AB＝5BC＝2∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形将BD进行转化再计算请你准确的叙述辅助线的作法再计算；【变式思考】（3）如图3四边形ABCD中AB＝BC∠ABC＝60°∠ADC＝30°AD＝6BD ＝10则CD＝．6．如图1所示在菱形ABCD和菱形AEFG中点A B E在同一条直线上P是线段CF的中点连接PD PG．(1)若∠BAD=∠AEF=120°请直接写出∠DPG的度数及PG的值______．PD(2)若∠BAD=∠AEF=120°将菱形ABCD绕点A顺时针旋转使菱形ABCD的对角线AC恰好与菱形AEFG的边AE在同一直线上如图2 此时（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明．(3)若∠BAD=∠AEF=180°−2α(0°<α<90°)将菱形ABCD绕点A顺时针旋转到图3的位置求出PGPD 的值．7．如图1 在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2 0）B两点与y轴交于点C OB＝OC．连接BC点D是BC的中点．(1)求抛物线的表达式；(2)点M在x轴上连接MD将△BDM沿DM翻折得到△DMG当点G落在AC上时求点G的坐标；(3)如图2 E在第二象限的抛物线上连接DE交y轴于点N将线段DE绕点D逆时针旋转45°交ABOM直接写出点E的坐标．与点M若ON＝438．[证明体验]（1）如图1 在△ABC和△BDE中点A B D在同一直线上△A＝△CBE＝△D＝90° 求证：△ABC△△DEB．（2）如图2 图3 AD＝20 点B是线段AD上的点AC△AD AC＝4 连结BC M为BC中点将线段BM绕点B顺时针旋转90°至BE连结DE．ME时求AB的长．[思考探究]（1）如图2 当DE=√22[拓展延伸]（2）如图3 点G过CA延长线上一点且AG＝8 连结GE△G＝△D求ED的长．9．新定义：如图1（图2图3）在△ABC中把AB边绕点A顺时针旋转把AC边绕点A逆时针旋转得到△AB′C′若∠BAC＋∠BA′C′=180°我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形” △AB′C′的中线AD叫做△ABC的“旋补中线” 点A叫做“旋补中心”(1)【特例感知】①若△ABC是等边三角形（如图2）BC=4则AD=________；②若∠BAC=90°（如图3）BC=6AD=_______；(2)【猜想论证】在图1中当△ABC是任意三角形时猜想AD与BC的数量关系并证明你的猜想；（提示：过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′连接C′E则四边形AB′EC是平行四边形．）(3)【拓展应用】如图4点A B C D都在半径为5的圆P上且AB与CD不平行AD=6△APD是△BPC的“旋补三角形” 点P是“旋补中心” 求BC的长．10．如图① 抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(x10) 点C(x20) 且x1x2满足x1+x2＝2x1•x2＝﹣3 与y轴交于点B E(m0)是x轴上一动点过点E作EP△x轴于点E交抛物线于点P．(1)求抛物线解析式．(2)如图② 直线EP交直线AB于点D连接PB．①点E在线段OA上运动若△PBD是等腰三角形时求点E的坐标；②点E在x轴的正半轴上运动若△PBD+△CBO＝45° 请求出m的值．(3)如图③ 点Q是直线EP上的一动点连接CQ将线段CQ绕点Q逆时针旋转90° 得到线段QF 当m＝1时请直接写出PF的最小值．11．如图△ABC与△DEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O连接BF CD．(1)如图① 当FE△AB时易证BF=CD（不需证明）；(2)当△DEF绕点O旋转到如图②位置时猜想BF与CD之间的数量关系并证明；(3)当△ABC与△DEF均为等边三角形时其他条件不变如图③ 猜想BF与CD之间的数量关系直接写出你的猜想不需证明．12．已知Rt△ABC中AC＝BC△C＝90° D为AB边的中点△EDF＝90° △EDF绕D点旋转它的两边分别交AC CB（或它们的延长线）于E F．(1)如图1 当△EDF绕D点旋转到DE△AC于E时易证S△DEF＋S△CEF与S△ABC的数量关系为__________；(2)如图2 当△EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时上述结论是否成立？若成立请给予证明；(3)如图3 这种情况下请猜想S△DEF S△CEF S△ABC的数量关系不需证明．13．如图① 将一个直角三角形纸片ABC放置在平面直角坐标系中点A(−2,0)点B(6,0)点C在第一象限∠ACB=90°∠CAB=30°．(1)求点C的坐标；(2)以点B为中心顺时针旋转三角形ABC得到三角形BDE点A C的对应点分别为D E．①如图② 当DE∥AB时BD与y轴交于点F求点F的坐标；②如图③ 在（1）的条件下点F不变继续旋转三角形BDE当点D落在射线BC上时求证四边形FDEB为矩形；(3)点F不变记P为线段FD的中点Q为线段ED的中点求PQ的取值范围（直接写出结果即可）．14．如图在Rt△ABC中∠ACB=90∘∠A=30∘点O为AB中点点P为直线BC上的动点（不与点B C重合）连接OC OP将线段OP绕点P逆时针旋转60∘得到线段P Q连接BQ．(1)如图1 当点P在线段BC上时请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图2 当点P在CB长线上时（1）中结论是否成立？若成立请加以证明；若不成立请说明理由；(3)如图3 当点P在BC延长线上时若∠BPO=45∘AC=√6请直接写出BQ的长．15．如图在RtΔABC中∠BAC=90°AB=AC点P是AB边上一动点作PD⊥BC于点D连接AD把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE连接CE DE PE．(1)求证：四边形PDCE是矩形；(2)如图2所示当点P运动BA的延长线上时DE与AC交于点F其他条件不变已知BD=2CD的值；求APAF(3)点P在AB边上运动的过程中线段AD上存在一点Q使QA+QB+QC的值最小当QA+QB+QC的值取得最小值时若AQ的长为2 求PD的长．16．感知：如图① △ABC和△ADE都是等腰直角三角形∠BAC=∠DAE=90°点B在线段AD上点C在线段AE上我们很容易得到BD=CE不需要证明；(1)探究：如图② 将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)连结BD和CE此时BD=CE是否依然成立?若成立写出证明过程；若不成立说明理由；(2)应用：如图③ 当△ADE绕点A逆时针旋转使得点D落在BC的延长线上连接CE；①探究线段BC CD CE之间的数量关系．②若AB=AC=√2CD=1求线段DE的长．17．如图抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8与x轴相交于A B两点（点A在点B的左侧）已知点B的横坐标是2 抛物线C的顶点为D．(1)求a的值及顶点D的坐标；(2)点P是x轴正半轴上一点将抛物线C绕点P旋转180°后得到的抛物线C1记抛物线C1的顶点为E抛物线C1与x轴的交点为F G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1）求抛物线C1的表达式；(3)如图2 在（2）的条件下从A B D中任取一点E F G中任取两点若以取出的三点为顶点能构成直角三角形我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时求点P的坐标．18．如图点B坐标为（5 2）过点B作BA△y轴于点A作BC△x轴于点C点D在第一象限内．(1)如图1 反比例函数y1＝mx （x＞0）的图象经过点B点D且直线OD的表达式为y＝52x求线段OD的长；(2)将线段OD从（1）中位置绕点O逆时针旋转得到OD′（如图2）反比例函数y2＝nx（x＞0）的图象过点D' 交AB于点E交BC于点F连接OE OF EF．①若AE+CF＝EF求n的值；②若△OEF＝90°时设D′的坐标为（a b）求（a+b）2的值.19．已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF BE＝EF△BEF＝90° 按图1放置使点F在BC上取DF的中点G连接EG CG．(1)探索EG CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图（1）中△BEF绕点B顺时针旋转45° 再连接DF取DF中点G（见图2）（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图（1）中△BEF绕点B顺时针转动任意角度（旋转角在0°到90°之间）再连接DF取DF中点G（见图3）（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．20．如图1 已知正方形BEFG点C在BE的延长线上点A在GB的延长线上且AB＝BC过点C作AB的平行线过点A作BC的平行线两条平行线相交于点D．(1)证明：四边形ABCD是正方形；(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度得到图2 使得点G在射线DB上连接BD和DF点Q是线段DF的中点连接CQ和QE猜想线段CQ和线段QE的关系并说明理由；(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时当△CGB等于45°时直线AE交CG于点H探究线段CH EG AH的长度关系．参考答案1．（1）解：Rt△ABC中∵∠C=90°,AC=BC=5∴AB=√AC2+BC2=√52+52=5√2∵ED⊥BC BD=ED=√2∴EB=√DB2+DE2=2,∠B=45°∴AE=AB－EB=5√2−2,CD=BC−DB=5−√2∴AECD =5√2−25−√2=√2故答案为：√2,45°；（2）解：（1）中的两个结论不发生变化理由如下：如图延长AE CD交于F由旋转可得∠CBD=∠ABE∵AB=5√2,BC=5,BE=2,DB=√2∴ABBC =5√25=√2EBDB=2√2=√2∴ABBC=EBDB∴ΔAEB∽ΔCDB∴AECD =ABCB=√2∠EAB=∠DCB∵∠BAC+∠ACB=90°+45°=135°∴∠BAC+∠ACD+∠DCB=∠BAC+∠ACD+∠EAB=135°即∠FAC+∠ACD=135°∴∠F=180°−(∠FAC+∠ACD)=45°∴（1）中的两个结论不发生变化．（3）解：分情况讨论：如图当点D在线段AE上时过点C作CF⊥AD于点F在RtΔABD中AB=5√2,BD=√2∴AD=√AB2−DB2=√(5√2)2−(√2)2=4√3由（2）知ΔEAB∽ΔDCB∠ADC=45°AE=AD+DE=4√3+√2∴CDAE=CBAB∴CD4√3+√2=55√2∴CD=2√6+1在Rt△CDF中CF=CD·sin∠ADC=(2√6+1)·sin45°=2√3+√22∴S△ADC=12AD·CF=12×4√3×(2√3+√22)=12+√6；当点E在线段AD上时如图过点C作CF⊥AD于点F在RtΔADB中AB=5√2,DB=√2∴AD=√AB2−DB2=√(5√2)2−(√2)2=4√3∴AE=AD−DE=4√3−2由（2）知△CDB∽△AEB∴CDAE=BCAB∴CD4√3−2=55√2∴CD=2√6−1由（2）知∠ADC=45°∴CF=CD·sin45°=(2√6−1)×√22=2√3−√22∴SΔACD=12AD·CF=12×4√3×(2√3−√22)=12−√6综上△ADC的面积为12+√6或12−√6．2．（1）解：AP＝BQ．理由如下：在等边△ABC中AC＝BC△ACB＝60°由旋转可得CP＝CQ△PCQ＝60°△△ACB＝△PCQ△△ACB﹣△PCB＝△PCQ﹣△PCB即△ACP＝△BCQ△△ACP△△BCQ（SAS）△AP＝BQ；（2）证明：在等边△ABC中AC＝BC△ACB＝60°由旋转可得CP＝CQ△PCQ＝60°△△ACB＝△PCQ△△ACB﹣△PCB＝△PCQ﹣△PCB即△ACP＝△BCQ△△ACP△△BCQ（SAS）△AP＝BQ△CBQ＝△CAP＝90°；△BQ＝AP＝AC＝BC.△AP＝AC△CAP＝90°△△BAP＝30° △ABP＝△APB＝75°△△CBP＝△ABC+△ABP＝135°△△CBD＝45°△△QBD＝45°△△CBD＝△QBD即BD平分△CBQ△BD△CQ且点D是CQ的中点即直线PB垂直平分线段CQ；（3）解：AP 的长为：√3或√33或2√3+√212． 理由如下：①当点Q 在直线l 上方时 如图所示 延长BQ 交l 于点E 过点Q 作QF ⊥l 于点F由题意可得AC ＝BC PC ＝CQ △PCQ ＝△ACB ＝60°△△ACP ＝△BCQ△△APC △△BCQ （SAS ）△AP ＝BQ △CBQ ＝△CAP ＝90°△△CAB ＝△ABC ＝60°△△BAE ＝△ABE ＝30°△AB ＝AC ＝4△AE ＝BE =4√33△△BEF ＝60°设AP ＝t 则BQ ＝t△EQ =4√23−t在Rt △EFQ 中 QF =√32EQ =√32（4√23−t ） △S △APQ =12AP •QF =√34 即12•t √32（4√23−t ）=√34 解得t =√3或t =√33．即AP 的长为√3或√33．②当点Q 在直线l 下方时 如图所示 设BQ 交l 于点E 过点Q 作QF ⊥l 于点F由题意可得AC ＝BC PC ＝CQ △PCQ ＝△ACB ＝60°△△ACP ＝△BCQ△△APC △△BCQ （SAS ）△AP ＝BQ △CBQ ＝△CAP ＝90°△△CAB ＝△ABC ＝60°△△BAE ＝△ABE ＝30°△△BEF ＝120° △QEF ＝60°△AB ＝AC ＝4△AE ＝BE =4√33设AP ＝m 则BQ ＝m△EQ ＝m −4√33在Rt △EFQ 中 QF =√32EQ =√32（m −4√33） △S △APQ =12AP •QF =√34 即12•m •√32（m −4√33）=√34 解得m =2√3+√213（m =2√3-√213 负值舍去）．综上可得 AP 的长为：√3或√33或2√3+√213． 3．（1）解：①△AB =BC =2√3 BE =2 △ABC =90°△tan∠EAB =BE AB =22√3=√33△△EAB =30°故答案为：30；②过点F 作FD △BC 于D 如图3△△BAE + △AEB = 90° △DEF +△AEB =90°△△BAE = △DEF△AE = EF △ABE =△EDF = 90°△△АВЕ △△ЕDF△AB = ED = BC△FD = DC△CF =√2CD AC =√2AB =√2ED△AC + CF=√2CD +√2ED=√2 (CD + ED )=√2CE ；故答案为：AC +CF =√2CE ；（2）过F 作FH △BC 交BC 的延长线于H 如图4△△AEF =90° AE =EF易证△ABE △△EHF△FH =BE EH =AB =BC△△FHC 是等腰直角三角形△CH =BE =√22FC△EC =BC -BE =√22AC -√22FC 即CA -CF =√2CE ；（3）如图3 当点E在点B左侧运动时y=12×CE×(AB+FD)=12×(√3+x)×(√3+x)=1 2x2+√3x+32；如图4 当点E在点B右侧运动时连接AF 根据勾股定理得AE=√AB2+BE2=√3+x2由旋转得AE=EF△EC=EH-CH=BC-BE=√3−x△y=12×AE×EF+12×EC×FH=1 2x2+32+12(√3−x)x=√3 2x+32综上当点E在点B左侧运动时y=12x2+√3x+32；当点E在点B右侧运动时y=√32x+32．4．（1）解：连接BD DA′ 如图△四边形ABCD是矩形△△BAD=90°△AB=6 AD=8△BD=10由旋转可得BA′=BA=6△BA′+DA′≥BD△当点A′落在BD上时DA′最小最小值为10-6=4△DA′最小值为4；（2）解：由题意得απ×6180=2π解得：α=60°△AB=A′B△△ABA′是等边三角形△△BAA′=60° AB=A′B=AA′=6△△DAA′=30°过点A′作A′M△AD于M点△A′M=12AA′=3△点A′到直线AD的距离为3（3）解：△BC=8 CF=4△BF=4√5△△BAE+△ABE=90° △CBF+△ABE=90°△△BAE=△CBF△△AEB=△BCF=90°△△ABE△△BFC△BE CF =ABBF△BE=6√55过E作EH△BC于H点△EH∥CD△△BEH△△BFC△BE BF =EHCF=BHBC△EH=65BH=125△CH=285△tan∠ECB=EHCH =314；（4）解：当A′C与以B为圆心AB为半径的圆相切时△A′CB最大此时△BA′C=90°分两种情况：当A′在BC的上方时如图1△AB=A′B AE△AA′于E△△ABF=△A′BF△BF=BF△△ABF△△A′BF△△BA′F=△BAF=90°△C A′ F在一条直线上△S△BCF=12BC×AB=12A′B×CF△CF =BC =8如图2当A ′在BC 的下方时连接AF A ′F 则AF =A ′F△A ′B =6 BC =8△A′C =2√7过A ′作A ′P △CD 垂足落在DC 的延长线上△△BCA ′+△A ′CP =90° △A ′CP +△CA ′P =90°△△BCA ′=△CA ′P△△BA ′C =△A ′PC△△A ′BC △△PCA ′△A ′B PC =BC CA ′=A ′CPA ′△A′P =72 PC =32√7△AD 2+DF 2=A ′P 2+PF 2△82+(6−CF )2=(72)2+(32√7+CF)2△CF =83(4−√7)．综上 CF 的长为8或83（4−√7)．5．解：（1）BD ＝CE ．理由是：△△BAE ＝△CAD△△BAE +△BAC ＝△CAD +△BAC 即△EAC ＝△BAD在△EAC 和△BAD 中{AE =AB∠EAC =∠BAD AC =AD△△EAC △△BAD△BD ＝CE ；（2）如图2 在△ABC 的外部 以A 为直角顶点作等腰直角△BAE使△BAE ＝90° AE ＝AB 连接EAEB EC ．△△ACD＝△ADC＝45°△AC＝AD△CAD＝90°△△BAE+△BAC＝△CAD+△BAC即△EAC＝△BAD 在△EAC和△BAD中{AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD△△EAC△△BAD△BD＝CE．△AE＝AB＝5△BE＝√52+52=5√2△ABE＝△AEB＝45°又△△ABC＝45°△△ABC+△ABE＝45°+45°＝90°△EC2=BE2+BC2=(5√2)2+22=54△BD2=CE2=54．（3）如图△AB＝BC△ABC＝60°△△ABC是等边三角形把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE连接DE 则BE＝AD△CDE是等边三角形△DE＝CD△CED＝60°△△ADC＝30°△△BED＝30°+60°＝90°在Rt△BDE中DE＝√BD2−BE2＝√102−62＝8△CD＝DE＝8．6．解：（1）延长GP交CD于H如图1所示：∵在菱形ABCD和菱形AEFG中AB=CD=AD BE//CD AG=FG FG//BE∴FG//CD∴∠PFG=∠PCH ∵P是线段CF的中点∴PF=PC在△PFG和△PCH中{∠PFG=∠PCHPF=PC∠FPG=∠CPH ∴△PFG≅△PCH(ASA)∴FG=CH PG=PH∴AG=CH∴DG=DH∴DP⊥GH（三线合一）∴∠DPG=90°；∵∠BAD=120°∴∠ADC=60°∴∠PDG=∠PDH=12∠ADC=30°∴PGPD =tan∠PDG=tan30°=√33；（2）（1）中的两个结论不发生改变；理由如下：延长GP交CE于H连接DH DG如图2所示：∵四边形AEFG为菱形∴FG//EC∴∠GFP=∠HCP ∵P是线段CF的中点∴PF=PC在△PFG和△PCH中{∠GFP=∠HCPPF=PC∠FPG=∠CPH ∴△PFG≅△PCH(ASA)∴FG=CH PG=PH∵FG=AG∴AG=CH∵四边形ABCD是菱形∴AC=CD∵∠BAD=∠AEF=120°∴∠ACD=60°∴△ACD是等边三角形∴AD=CD∴∠EAG=∠ADC=60°∠DAC=∠DCA=60°∴∠GAD=180°−∠EAG−∠DAC=60°在△ADG和△CDH中{AD=CD∠GAD=∠DCHAG=CH ∴△ADG≅△CDH(SAS)∴DG=DH∠ADG=∠CDH∴DP⊥GH∴∠DPG=90°∠GDH=∠ADC=60°∴∠GDP=30°∴PGPD =tan30°=√33；（3）延长GP到H使得PH=GP连接CH DG DH延长DC交EA的延长线于点M如图3所示：同（2）可证△PFG≅△PCH∴∠GFC=∠HCF FG=CH∴FG//CH∵FG//AE∴CH//EM∴∠DCH=∠M∵CD//AB∴∠M=∠MAB∴∠DCH=∠MAB∵∠BAD=∠AEF=180°−2α∴∠EAG=∠ADC=2α∴∠GAM=180°−2α∴∠GAD=∠BAM∴∠GAD=∠DCH∵AG=FG∴AG=CH在△ADG和△CDH中{AD=CD∠GAD=∠DCHAG=CH ∴△ADG≅△CDH(SAS)∴∠ADG=∠CDH DG=DH∴∠GDH=∠ADC=2α∴∠DPG =90° ∠GDP =12∠GDH =α∴ PGPD =tanα．7．（1）解：△抛物线y =ax 2+bx +4与y 轴交于点C△点C 的坐标为（0 4）△OC =4△OB=OC =4△B （4 0）将A （-2 0）和B （4 0）的坐标分别代入y =ax 2+bx +4中得：{4a −2b +4=016a +4b +4=0解得：{a =−12b =1△y =−12x 2+x +4（2）解：△A （－2 0） C （0 4）设直线AC 的解析式为y =kx +4将点A （－2 0）代入y =kx +4中 得：−2k +4=0 解得：k =2△直线AC 的解析式为y =2x +4设G （x 2x ＋4）△点D 是BC 的中点△D（2 2）△翻折△△MDB△△MDG△DB=DG△(x−2)2+(2x+4−2)2=(2−4)2+(2−0)2△5x2+4x=0△x1=0，x2=−45△y1=4，y2=125△G（0 4）G（−45125）（3）解：E(2−2√13314−2√139)如图过点D作DP△OC于点P DQ△OB于点Q点D作DH△DN交OB于点H∵∠PDQ=∠NDM=90°∴∠PDQ−∠NDQ=∠NDM−∠NDQ∴∠PDN=∠QDH在ΔDPN和ΔDQH中{DP=DQ∠DON=∠DQH=90°∠PDN=∠QDH∴ΔDPN≅ΔDQH(ASA)∴DN=DH∠NDM=90°−∠PDN−∠QDM=90°−∠QDH−∠QDM=∠HDM 在ΔDMN和ΔDMH中{DN=DH∠NDM=∠HDMDM=DM∴△DMN≌△DMH(SAS)∴MN=MQ+PN△ON =43OM 设OM =x 则ON =43x QM =2－x PN =2－43x △MN =MQ ＋PN =4－73x在Rt △OMN 中 △MON=90°MN 2=ON 2+OM 2即(4−73x)2=(43x)2+(2−x )2△2x 2−x +9=0△x =1 x =92(舍) △N (0 43) △D （2 2）设直线DN 的解析式为y =k 1x +b 1将点N (0 43)和点D （2 2）代入y =k 1x +b 1中 得：{b 1=432k 1+b 1=2 解得：{b 1=43k 1=13△直线DN 的解析式为y =13x +43△y =−12x 2+x +4 △−12x 2+x +4=13x +43△x =2−2√133 x =2+2√133（舍） △y =14−2√139 △E (2−2√133 14−2√139). 8．解：（1）证明 △△A ＝90° △CBE ＝90°△△C ＋△CBA ＝90° △CBA ＋△DBE ＝90°△△C ＝△DBE （同角的余角相等）．又△△A ＝△D ＝90°△△ABC △△DEB ；（2）①△M绕点B顺时针旋转90°至点E M为BC中点△△BME为等腰直角三角形BEBC =BMBC=12△BE=√22ME又△DE=√22ME△BE＝DE．如图过点E作EF△AD垂足为F则BF＝DF △△A＝△CBE＝△BFE＝90°△由（1）得：△ABC△△FEB△BF AC =BEBC=12△AC＝4△BF＝2△AB＝AD－BF－FD＝20－2－2＝16；②如图过点M作AD的垂线交AD于点H过点E作AD的垂线交AD于点F过D作DP△AD过E作NP△DP交AC的延长线于N△M为BC中点MH△AC∴MHAC =BMBC=BHAB=12△MH=12AC=2BH＝AH△△MHB＝△MBE＝△BFE＝90°由（1）得：∠HBM=∠FEB△MB＝EB△△MHB△△BFE△BF＝MH＝2 EF＝BH设EF＝x则DP＝x BH＝AH＝x EP＝FD＝20－2－2x＝18－2x GN＝x＋8 NE＝AF＝2x＋2由(1)得△NGE△△PED△PE NG =PDNE即18−2xx+8=x2x+2解得x1=6x2=−65（舍去）△FD＝18－2x＝6△ED=√EF2+FD2=√62+62=6√2．9．（1）解：①△△ABC是等边三角形BC=4△AB=AC=4∠BAC=60°△AB′=AC′=4∠B′AC′=120°△AD为等腰△AB′C′'的中线△AD⊥B′C′∠C′=30°△∠ADC′=90°在Rt△ADC′'中∠ADC′=90°AC′=4∠C′=30°△AD=12AC′=2；②△∠BAC=90°△∠B′AC′=90°在△ABC和△AB′C′'中{AB=AB′∠BAC=∠B′AC′AC=AC′△△ABC≌△AB′C′（SAS）△B′C′=BC=6△AD=12B′C′=3；故答案为：①2；②3（2）AD＝12BC理由如下：证明：在图1中过点B′作B′E∥AC′且B′E＝AC′连接C′E DE则四边形AB′EC是平行四边形．△∠BAC＋∠B′AC′=180°∠B′AC′+∠AB′E=180°△∠BAC=∠AB′E又△AC＝AC′△CA=EB′在△BAC和△AB′E中{BA=AB′∠BAC=∠AB′E CA=EB′△△BAC≌△AB′E（SAS）△BC=AE又△AD＝12AE△AD＝12BC；（3）如图过点P作PF⊥BC则BF＝CF△PB=PC PF⊥BC△PF为△BC的中线△PF＝12AD=3．在Rt△BPF中∠BFP=90°PB=5PF=3△BF＝√PB2−PF2＝4△BC=2BF=8．10．（1）解：△x 1 x 2满足x 1+x 2＝2 x 1•x 2＝﹣3△b =2 c =3△抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3（2）解：①抛物线y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A (x 1 0) 点C (x 20) 与y 轴交于点B △当y =0时 ﹣x 2+2x +3=0解得x 1=3 x 2=-1当x =0时y ＝3△A (3 0) C (-1 0) B (0 3)△△AOB 为等腰直角三角形△△BAO =45°又EP △x 轴△△ADE 为等腰直角三角形△△ADE =45°又△△PDB =△ADE△△PDB =45°设直线AB 的解析式为y =kx +b则{3k +b =0b =3 解得{k =−1b =3△直线AB 的解析式为y =-x +3△E (m 0) 直线EP 交直线AB 于点D△设点D 为（m -m +3） 点P 为（m ﹣m 2+2m +3）点E 在线段OA 上运动 若△PBD 是等腰三角形 则0＜m ＜3当PD =PB 时△PBD 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形△﹣m 2+2m +3-（-m +3）=m解得m=2或m=0（舍去）△点E为（2 0）当BD=BP时△PBD是以B为直角顶点的等腰直角三角形△2 m =﹣m2+2m+3-（-m+3）解得m=1或m=0（舍去）△点E为（1 0）当DB=DP时△PBD是以D为顶点的等腰三角形△△OBD=45°△BD=√2OE=√2m△√2m=﹣m2+2m+3-（-m+3）解得m=3-√2或m=0（舍去）△点E为（3-√20）综上可知点E为（2 0）或（1 0）或（3-√20）②当P在x轴上方时连接BC延长BP交x轴于点F△△BAO=△ABO=45°又△PBD+△CBO＝45°△△CBP=90°△△OBF+△CBO＝90°又△BCO+△CBO＝90°△△OBF=△BCO△△BOC△△FOB△BO FO =OC OB△C(-1 0) B(0 3)△3 FO =1 3△OF=9△点F为（9 0）设直线PB 的解析式为y =mx +n则{9m +n =0n =3解得{m =−13n =3△直线PB 的解析式为y =-13x +3△P B 都在抛物线上△{y =−13x +3y =−x 2+2x +3解得{x =0y =3 （舍去）{x =73y =209△点P 为（73 209）△m =73当P 在x 轴下方时连接BC 设BP 与x 轴交于点H△△PBD +△CBO =45° △OBH +△PBD =45°△△CBO =△OBH又OB =OB △COB =△BOH∴△BOH △△BOC （ASA ）△OC =OH =1△点H （1 0）设直线BH 解析式为：y =kx +b△{k +b =0b =3 解得{k =−3b =3△直线BH 解析式为：y =-3x +3△联立方程组{y =−3x +3y =−x 2+2x +3解得{x =0y =3 （舍去）{x =5y =−12△点P 为（5 -12）△m =5综上可知 m 的值为73或5． （3）解：当m ＝1 得点E （1 0） P （1 4）过点F 作FH △PE又PE △x 轴 △CQF =90°△△CQH +△FQH =90° △CQH +△QCH =90°°△QEC =△QHF =90°△△FQH =△QCH△线段CQ 绕点Q 逆时针旋转90° 得到线段QF△CQ=QF△△QCE △△FQH （AAS ）△CE=QH QE=FH又E （1 0） C （-1 0）△CE=QH =2令Q 为（1 a ）QE=FH=a△点F 的坐标为（1+a a -2）△PF=√(1+a −1)2+(a −2−4)2=√2a 2−12a +36△2＞0△当a =-−122×2=3时 PF 有最小值 且最小值为3√2．11．解：（1）证明：如图① 连接OC∵ΔABC与ΔDEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O∴OC⊥AB OC=12AB=OB OD⊥EF OD=12EF=OF∵FE⊥AB于O∴C F O三点共线在ΔBOF与ΔCOD中{∠OB=OC∠BOF=∠COD=90°OF=OD∴ΔBOF≅ΔCOD(SAS)∴BF=CD；（2）解：猜想BF=CD理由如下：如图② 连接OC OD∵ΔABC与ΔDEF都是等腰直角三角形AC=BC DE=DF．边AB EF的中点重合于点O∴OC⊥AB OC=12AB=OB OD⊥EF OD=12EF=OF∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF ∴∠BOF=∠COD．在ΔBOF与ΔCOD中{OB=OC∠BOF=∠COD OF=OD∴ΔBOF≅ΔCOD(SAS)∴BF=CD；（3）解：猜想BF=√33CD理由如下：如图③ 连接OC OD．∵ΔABC为等边三角形点O为边AB的中点∴∠BCO=∠ACO=30°∠BOC=90°∴tan∠BCO=OBOC=tan30°=√33∵ΔDEF为等边三角形点O为边EF的中点∴∠FDO=∠EDO=30°∠DOF=90°∴tan∠FDO=OFOD=tan30°=√33∴OBOC =OFOD=√33∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF∴∠BOF=∠COD∴ΔBOF∽ΔCOD∴BFCD =OBOC=√33∴BF=√33CD．12．解：（1）当△EDF 绕D 点旋转到DE △AC 时 四边形CEDF 是正方形．设△ABC 的边长AC =BC =a 则正方形CEDF 的边长为12a ．△S △ABC =12a 2 S 正方形DECF =（12a ）2=12a 2 即S △DEF +S △CEF =12S △ABC ；故答案为：S △DEF +S △CEF =12S △ABC ； （2）（1）中的结论成立；证明：过点D 作DM △AC DN △BC 则△DME =△DNF =△MDN =90°又△△C =90°△DM △BC DN △AC△D 为AB 边的中点由中位线定理可知：DN =12AC MD =12BC △AC =BC△MD =ND△△EDF =90°△△MDE +△EDN =90° △NDF +△EDN =90°△△MDE=△NDF在△DME 与△DNF 中{∠DME ＝∠DNFMD ＝ND ∠MDE ＝∠NDF△△DME △△DNF （ASA ）△S △DME =S △DNF△S 四边形DMCN =S 四边形DECF =S △DEF +S △CEF由以上可知S 四边形DMCN =12S △ABC △S △DEF +S △CEF =12S △ABC ．（3）连接DC证明：同（2）得：△DEC △△DBF △DCE =△DBF =135°△S △DEF =S 五边形DBFEC=S △CFE +S △DBC=S △CFE +S ΔABC2△S △DEF -S △CFE =S ΔABC2．故S △DEF S △CEF S △ABC 的关系是：S △DEF -S △CEF =12S △ABC ．13．（1）解：如图 过点C 作C G ⊥x 轴∵点A(−2,0)点B(6,0)△AB=8 又∵∠ACB=90°∠CAB=30°△在Rt△ABC中BC=4 在Rt△GBC中BG=2 CG=2√3．又∵点C在第一象限△C(4,2√3)；（2）①∵以点B为中心顺时针旋转三角形ABC得到三角形BDE点A C的对应点分别为D E 且DE//AB△∠FBA=∠EDB=∠CAB=30°．△在Rt△FOB中∵OB=6△OF=2√3．△F(0,2√3)；②△点D落在射线BC上△∠ABD=60°．由①知∠FBA=30°△∠FBD=30°．△∠FBD=∠BDE△DE//FB．又DE=FB=4√3△四边形FDEB是平行四边形.又∠BED=90°△四边形FDEB是矩形.（3）如图连接PQ,FE∵P,Q分别为FD,DE的中点∴PQ=1EF2∵FB=4√3BE=4∵旋转则点E在以B为圆心BE为半径的圆上运动∴FB−BE≤EF≤FB+BE 即4√3−4≤EF≤4√3+4∴2√3−2≤PQ≤2√3+2 14．（1）解：CP=BQ理由：如图1 连接OQ由旋转知PQ=OP△OPQ=60°△△POQ是等边三角形△OP=OQ△POQ=60°在Rt△ABC中O是AB中点△OC=OA=OB△△BOC=2△A=60°=△POQ△△COP=△BOQ在△COP和△BOQ中{OC=OB∠COP=∠BOQOP=OQ△△COP△△BOQ（SAS）；（2）解：CP=BQ理由：如图2 连接OQ由旋转知PQ=OP△OPQ=60°△△POQ是等边三角形△OP=OQ△POQ=60°在Rt△ABC中O是AB中点△OC=OA=OB△△BOC=2△A=60°=△POQ△△COP=△BOQ在△COP和△BOQ中{OC=OB∠COP=∠BOQOP=OQ△△COP△△BOQ（SAS）△CP=BQ；（3）解：BQ＝√6−√22．在Rt△ABC中△A＝30° AC＝√6△BC＝AC·tan A＝√2如图③ 过点O作OH△BC于点H△△OHB＝90°＝△BCA△OH △AC△O 是AB 中点△CH ＝12BC =√22 OH ＝12AC ＝√62△△BPO ＝45° △OHP ＝90°△△BPO ＝△POH△PH ＝OH ＝√62△CP ＝PH －CH ＝√62－√22＝√6−√22连接OQ 同（1）的方法得 BQ ＝CP ＝√6−√22． 15．（1）证明：△AB ＝AC △BAC ＝90°△△B ＝△ACB ＝45°△△DAE ＝△BAC ＝90° AD ＝AE△△BAD ＝△CAE在△BAD 和△CAE 中 {AB =AC∠BAD =∠CAE AD =AE△△BAD △△CAE （SAS ）△△B ＝△ACE ＝45° BD ＝CE△△ECD ＝△ACE +△ACB ＝90°△PD △BC△△BDP ＝△ECD ＝90°△PD △CE△△B ＝△BPD ＝45°△PD ＝BD△PD ＝EC△四边形PDCE 是平行四边形△△PDC ＝90°△四边形PDCE 是矩形；（2）解△如图 过点A 作AM △BC 于点M 过点F 作FN △BC 于点N设CD ＝2m 则BD ＝2CD ＝4m BC ＝6m△AB ＝AC △BAC ＝90° AM △BC△BM ＝MC ＝3m△AM ＝BM ＝3m AB ＝AC ＝3√2m DM =CM -CD =m△BD ＝PD ＝4m△PB ＝4√2m△P A ＝√2m△△ABD △△ACE△BD ＝EC ＝4m设CN ＝FN ＝x△FN △CE△△DFN △△DEC△FN EC ＝DN DC△FNDN ＝EC DC=4m2m =2 △DN ＝12x△12x +x ＝2m△x ＝43m △CF ＝4√23 m△AF ＝AC -CF ＝3√2m －4√23m ＝5√23m △AP AF =√2m 5√23m=35；（3）即：如图 将△BQC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BNM 连接QN△BQ＝BN QC＝NM△QBN＝60°△△BQN是等边三角形△BQ＝QN△QA+QB+QC＝AQ+QN+MN△当点A点Q点N点M共线时QA+QB+QC值最小如图连接MC△将△BQC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM△BQ＝BN BC＝BM△QBN＝60°＝△CBM△△BQN是等边三角形△CBM是等边三角形△△BQN＝△BNQ＝60° BM＝CM又△AB＝AC△AM垂直平分BC△AD△BC△BQD＝60°△△DBQ=30°BQ△QD=12△BD＝√3QD△AB＝AC△BAC＝90° AD△BC△AD＝BD此时P与A重合设PD＝x则DQ＝x－2△x＝√3（x－2）△x＝3+√3△PD＝3+√3．16．（1）解：成立理由是：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形△AB=AC AD=AE△将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)连结BD和CE△∠BAD=∠CAE△△ABD≌△ACE(SAS)△BD=CE；（2）解：①△AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE△△ACE≌△ABD(SAS)△BD=CE△BC+CD=BD=CE．②△△ACE≌△ABD△∠ACE=∠ABD=45°又△∠ACB=45°△∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°在Rt△BAC中△AB=AC=√2△BC=√AB2+AC2=2又△CD=1CE=BC+CD=3△在Rt△CDE中17．（1）解：△抛物线C：y=ax2+6ax+9a−8与x轴相交于A B两点点B的横坐标是2△B (2,0)△a ×22+6a ×2+9a −8=0解得a =825△抛物线C 的解析式为：y =825x 2+4825x −12825 对称轴：x =−48252×825=−3△当x =−3时 y =825×(−3)2+4825×(−3)−12825=−8 △顶点D 的坐标为(−3,−8)．△a =825 D (−3,−8)．（2）△抛物线C 与x 轴相交于A B 两点△当y =0时 得：825x 2+4825x −12825=0 即(x +8)(x −2)=0解得：x 1=−8 x 2=2△A (−8,0)△点P 与点B 重合△点P 的坐标为(2,0)当抛物线C 绕点P 旋转180°后得到的抛物线C 1 且点P 与点B 重合时△在抛物线C 1中 点B 的坐标仍为(2,0)△点F 与点A 关于点P 对称△点F 的坐标为(12,0)同理点E 与点D 关于点P 对称 设E (m,n ) 则△点P 的坐标为(m−32,n−82) △{m−32=2n−82=0△{m =7n =8△点E 的坐标为(7,8)设抛物线C 1的表达式为：y =a 1(x −12)(x −2)△(7−12)×(7−2)a 1=8△a 1=−825 △y =−825(x −12)(x −2)=−825x 2+11225x −19225 △抛物线C 1的表达式为：y =−825x 2+11225x −19225．（3）根据题意可知 在构成的直角三角形三个顶点中 有两个顶点是从点E F G 中选取 有一个点是从A B D 中任取．由图可知 当点为E G 或F G 时 与A B D 中任意一点构成的三角形是钝角三角形 故只有点E F 为直角三角形其中的两个顶点．设P (m,0)又△抛物线C 绕点P 旋转180°后得到的抛物线C 1 A (−8,0) B (2,0) D (−3,−8)△E (2m +3,8) F (2m +8,0)①当A 为顶点时△在抛物线C 1中 ∠EFO 是一个锐角 点A 在点P 的左侧△∠AEF =90°△AE 2+EF 2=AF 2△(√(2m +11)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(2m +16)2解得：m =910；②当B 为顶点时同理可得∠BEF =90°△BE 2+EF 2=BF 2△[√(2m +1)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(2m +6)2 解得：m =5910；③当D 为顶点时分两种情况：第一种：∠DEF =90°△DE 2+EF 2=DF 2△(√(2m +6)2+(8+8)2)2+(√52+(−8)2)2=(√(2m +11)2+82)2解得：m =495第二种：∠DFE =90°△DF 2+EF 2=DE 2△(√(2m +11)2+82)2+(√52+(−8)2)2=(√(2m +6)2+(8+8)2)2 解得：m =910．△点P 的坐标为(910,0)或(5910,0)或(495,0)． 18．（1）解：∵D 在直线y =52x 上 ∴设D(t,52t)∵y 1=m x 经过点B (5,2)． ∴m =10．∵D(t,52t)在反比例函数的图象上∴52t 2=10 ∴t =2（负值已舍去）．∴由两点间的距离公式可知：OD =√22+52=√29．（2）解：①∵函数y 2=n x 的图象经过点E ∴OA ⋅AE =OC ⋅CF =n ．∵OC =5 OA =2∴AE =52CF ．∴可设：AE =52t∴EF =AE +CF =72t EB =5−52t在Rt △EBF 由勾股定理得：EF 2=BF 2+BE 2 ∴494t 2=(5−52t)2+(2−t)2． 解得t =7√29−2910∴n =5t =7√29−292． ②∵∠OEF =90°∴∠AEO +∠BEF =90°∵BA ⊥y 轴 BC ⊥x 轴∴∠ABC=90°∴∠BEF+∠BFE=90°∴∠AEE=∠BFE∴△AOE∽△BEF∴OA:AE=BE:BF∵CF=n5,AE=n2,BE=5−n2,BF=2−n5∴2:n2=(5−n2):(2−n5)解得：n=85或n=10（舍）∵D′(a,b)∴ab=8 5由（1）得OD=√29∴OD′=√29∴a2+b2=29∴(a+b)2=29+2×85=1615故(a+b)2的值为1615．19．解：（1）EG＝CG且EG△CG．证明如下：如图① 连接BD．△正方形ABCD和等腰Rt△BEF△△EBF＝△DBC＝45°．△B E D三点共线．△△DEF＝90° G为DF的中点△DCB＝90°△EG＝DG＝GF＝CG．△△EGF＝2△EDG△CGF＝2△CDG．△△EGF＋△CGF＝2△EDC＝90°即△EGC＝90°△EG△CG．（2）仍然成立证明如下：如图② 延长EG交CD于点H．。

人教版中考数学知识点专题集训《图形的变换》经典题型突破与提升练习一．选择题.1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B C D2.如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,平移距离为6,则阴影部分的面积为( )A.48B.96C.84D.423. 如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上,AB边的中点是坐标原点O,将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后,点B的对应点B′的坐标是( )A.(-1,2)B.(1,4)C.(3,2)D.(-1,0)4.下图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是（）A B CA.(0,0)B.(1,1)C.(0,1)D.(1,0)5. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．33 B ．4 C ．5 D ． 6 6. 如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（ ）A ．2B ．32α C ．α D ．180°－α 7. 剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是( )8. 如图，在四边形ABCD 中（AB ＞CD ），∠ABC =∠BCD =90°AB =3，BC ＝3，把Rt △ABC 沿着AC 翻折得到Rt △AEC ，若tan ∠AED ＝32，则线段DE 的长度为（ ）A D EB C A ． B ． C ． D ．A．63B．73C．32D．2759. 如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为（）A B C D10.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角顶点B在y轴上，点A的坐标为(1，将Rt△AOB沿直线y＝－x翻折，得到Rt△A′OB′，过A′作A′C 垂直于OA′交y轴于点C，则点C的坐标为( )A．(0，－) B．(0，－3) C．(0，－4) D．(0，－)二．填空题.11. 如图,将Rt△ABC(其中∠B=30°,∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置,使得点C,A,B1在同一条直线上,那么旋转角等于.12.如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______．13. 如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是______．14. 如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2√2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为.15.如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻析，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝．16. 如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则EF•ED的值为 .17.如图，矩形纸片ABCD，AB＝6cm，BC＝8cm，E为边CD上一点．将△BCE 沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，过点F作FM⊥BE，垂足为点M，取AF的中点N，连接MN，则MN＝cm．18.△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3,则AB= .三．解答题.19. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．20. 如图，AB的垂直平分线MP交BC于点P，AC的垂直平分线NQ交BC于点Q，若△APQ的周长为16cm，求BC的长.21.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．(1)求证：DC平分∠ADE；(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由;(3)若BE＝BD，求tan∠ABC的值．22.图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置(如图2所示)．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E 、E ′两点的距离．23. 已知: △ABC 为等边三角形,点E 为射线AC 上一点,点D 为射线CB 上一点, AD=DE.(1)如图1,当E 在AC 的延长线上且 CE=CD 时,AD 是 △ABC 的中线吗?请说明理由.(2)如图2,当E 在AC 的延长线上时, AB+BD 等于AE 吗?请说明理由.(3)如图3,当D 在线段CB 的延长线上,E 在线段AC 上时,请直接写出AB,BD,AE 的数量关系.24. 如图1，在等腰直角三角形ADC 中，4,90==∠AD ADC .点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接CE AG ,.将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为)900( <<αα.（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD ∆与CED ∆是否全等，并说明理由；②当CD CE =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长.（2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P .①求证：CP AG ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.。

数学九年级上册阶段强化专训图形的变换与坐标一、学习目标掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律。

能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题。

二、学习重点能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题。

三、自主预习1.我们目前主要学习了哪些图形的变换，其中哪些图形在变换前后是全等的？哪些是相似的？分别有哪些主要特征？2.填空：点A（x，y）关于y轴对称的坐标是（）点A（x，y）关于x轴对称的坐标是（）点A（x，y）关于原点o中心对称的坐标是（）3．如图，△ ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2).（1）将△ ABC向左平移三个单位得到△ A1B1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；（2）将△ ABC向下平移三个单位得到△ A2B2C2，三个顶点A2、B2、C2的坐标；（3）将△ ABC向上平移2个单位长度得到△ A3B3C3，三个顶点A3、B3、C3的坐标；总结：点A（x，y）向右平移a(a>0)个单位后坐标为（）点A（x，y）向左平移a(a>0)个单位后坐标为（）点A（x，y）向上平移a(a>0)个单位后坐标为（）点A（x，y）向下平移a(a>0)个单位后坐标为（）四、合作探究1.在平面直角坐标系中有两点A （6，3），B （6，0），以原点O 为位似中心，相似比为1:2，把线段AB 缩小。

方法一： 方法二：探究：（1）在方法一中，'A 的坐标是 ，'B 的坐标是 ，对应点坐标之比是 ；（2）在方法二中，''A 的坐标是 ，''B 的坐标是 ，对应点坐标之比是 。

2．如图，ABC 三个顶点坐标分别为 2,3A 2,1B 3,1C ，以点O 为位似中心，相似比为２，将ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？位似变换后,,A B C 的对应点坐标为：'A 'B 'C归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；五、巩固反馈1.教材课后习题。

图形与变换从三个方向看、图形的展开与折叠一、知识要点几何体的三视图，直棱柱、圆锥的侧面展开图.二、课前演练1.如图是由叫个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（A.叫面体B.直三棱柱C.直叫棱二、例题分析主翻g 翻翻例1如图，是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体.画出这个几何体的三视图.叫、巩固练习1.图巾所示几何体的.俯视图是（）2.曲姆咖相同的正A体木块土视图左视图俯视图主视图左视图Z口2.如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是（）3.在下面的图形中，不是正方体表面展开图的是（）A. 52B. 32C. 24D. 94.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（主棚左翻俯视I主视方向例2如图，是由若千个完全相同的小正7/体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ A. 3个或4个 C. 5个或6个B. 4个或5个D.6个或7个所示，则该几何体中正方体木块的个数是（）① ② ③®4. 有一正方体木块，它的六个而分别标上数字1一一6,这是这个正方体木块从不同而所观察到的数字惜况.请问数字1和5对而的数字各是多少？1 // 46/2521 /4195. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是^,高为2,若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C 点，则小虫爬行的S 短 路程是 __________________ （结果保留根号）.A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个3.右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是 _____________6.M出下面左边立体图的三视图.一、知识要点阁形的轴对称轴对称的概念，轴对称图形的基本性质，按要求作简单图形经过轴对称(两次以内)后的图形.二、课前演练1.下而的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有( )A. 4个B. 3个C. 2个2.点八3, -5)关于x轴对称的点的坐标为( )A. (-3, -5)B. (5, 3)C. (-3, 5)D. (3, 5)3.如图给出了一个图案的一半，其中的虚线就是这个图案的对称轴，请画出这个图案的另一半.5.若等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为35°.则这个三角形的顶角为三、例题分析例1如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是()A.①B.②C.⑤D.⑥D. 1个11•—■例2如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，AABC 的顶点均在格点上，0、M也在格点上.(1)画岀AABC关于直线0\1对称的⑵画出将AABC绕点0按顺时针方向旋转90n后所得的⑶△A I B I C I^AA2B2CJSJ^的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请阃出对称轴.♦B*34?/\4?♦51-J MPP四、巩固练习1.以下环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是()A B C D2.如图，坐标平面内一点A(2, -1)，0为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P, 0, A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5• >•（第3题图）（第4题图）（第2题图）3.在4X4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有_____________ 种.4.如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边八D的F处，如果AB 2那么tanZDCF的值是5.如图所示，AABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F,使AENF的周长最小，并说明理由.6.（1）操作发现：如图①，D是等边AABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边ADCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论.（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边AABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：1 .如图③，当动点D在等边AABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC,以DC 为边在BC上方、下方分别作等边ADCF和等边ADCF'，连接AF、BF',探究AF、BF'与AB有何数量关系？并证明你探究的结论.II.如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，I中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.图形的平移知识要点平移的基本性质，按要求作山简单的平而图形.课前演练1.如图，将AABC沿直线AB向右平移后到达ABDE的位置，若ZCAB=50°,ZABC=100°,则ZCBE的度数为 .（第2题图）例2如图，抛物线yF~|x2+l、y2=-|x2-l，求过点0），（2, 0）且平行于y轴的两条平行线与两抛2.如图，C、B、E分别是等边AADF三边的中点，则图中共有 _______ 个等边三角形.其中，有_______ 个是rflAABC平移得到的.3.如图，由2个边长为6的正方形拼成一个长方形，则阁屮阴影部分的而积为______________ .4.将图中三角形向右平移3格，作山平移后的图形.三、例题分析例1 一块长105m、宽60m的长方形土地，上而修了两条道路互相垂直的小路，宽都是5m，将阴影部分种上草坪，则草坪的而积是多少？叫、巩固练习6.已知：抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如樹所示： （1） 求此抛物线的解析式；（2） 将抛物线作怎样的一次平移，才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写山此时抛物线的解析式.\J7B-2.V1.如图，当半径为30cm 的转动轮转过120"角时，传送带上的物体A 平移的距离为cm-（第1题图） A（第3题图）2. 如图在8X6的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，的半径为2个单位长度，的半径为1个单位长度，要使运动的O 及与静止的0/1内切，应将巾图示位置向左平移 _______________ 个单位长度.3. 如图，EF 是AABC 的中位线，将AAEF 沿AB 方向平移到△EBD 的位置，点D 在BC 上，己知AAEF 的而积为5,贝ij 图中阴影部分的而积为 ___________ .4. 如图，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为__________ .5.如图，将RtAABC 沿射线BC 的方向平移得到ADEF.求图中阴影部分的而积.I阁形的旋转一、知识要点图形的旋转及其基本性质，作fli 简单的平而图形. 二、课前演练1. 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90"，所得图形一定与原图形重合的是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形2. 如图1,点A 、B 、C 、D 、0都在方格纸的格点上，若AC0D 是由AA0B 绕点0按逆时针方昀旋转而得, 则旋转的角度为（ ）3.如图 2, RtAABC 中，ZABC=90°，ZBAC=30°，AB=2#cm,将AABC 绕顶点 C 顺时针旋转至AA'BV 的位 置，且A 、C 、B'三点共线，则点A 经过的最短路线的长度是（ ）三、例题分析 例1如图，正方形网格屮每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的卩4个顶点都在格点上，0为AD 的中点，若把四边形ABCD 绕着点0顺时针旋转.试解决下列问题： （1） 画出四边形ABCD 旋转后的阁形； B （2） 求点C 旋转过程中所经过的路径长； O （3） 设点B 旋转后的对应点为B'，求tanZDAB'的值. cD例2平面内有一等腰直角三角板（ZACB=90° ）和一直线MN.过点C 作CE 丄MN 于点E ，过点B 作BF 丄MN 于点F.当点E 与点A 重合时（如图1）,易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位 置时，上述结论是否仍然成立？若成立，清给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量 关系，清直接写出你的猜想，不需证明.阁3A. 8cmB. 4-\/3cmC.32 T8 D. — cm4.如图3, AABC 的三个顶点都在5X5的网格海个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将么 ABC 绕点B 顺时针旋转到AA'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是 平方单位（结果保留n ）.D. 135°图1IS2 图3四.巩固练习1.如图，该图形围绕点0按下列角度旋转后，不能与其白身重合的是()A. 72B. 108阁1C 阁32.如图，等腰RtAABC的直角边AB的长为6cm，将AABC绕点A逆时针旋转15°后得到AABV,则图中阴影部分的面积等 ________ c m2.3.如图，在方格纸中的AABC经过变换得到ADEF,正确的变换是( )A.把AABC向右平移6格B.把AABC向右平移4格，再向上平移1格C.把AABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D.把AABC绕着点A逆时针旋转90Q4.按要求分别画出旋转图形：(1)画AABC绕0点顺时针方向旋转90° 后得到△A'B'C';(2)把四边形ABCD绕0点逆时针方向旋转90°后得四边形/VB'C'D'.再向右平移6格5.已知AABC，以AB、AC为边分别作正方形ADEB、ACGF,连接DC、BF.(1)利用旋转的观点，在此题中，AADC绕着_点旋转___________ 度可以得到△.(2)CD与BF相等吗?请说明理由.(3)CD与BF互相垂直吗？清说明理由.6.如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，AB=6,(1)旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3)如果连接EF,那么ADEF是怎样的三角形？(4)求四边形DEBF的周长和面积？AE=2, ADAR旋转后能与ADCF重合.B C F。

第06讲正方形的判定模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测 1.掌握平行四边形、矩形、菱形与正方形的概念之间的从属关系及性质之间的区别；2．能熟练应用正方形的性质、判定等知识进行有关证明和计算。

一、正方形的判定1.定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形；2.先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；3.先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.二、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：三、中点四边形：顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.考点一：正方形的判定定理理解例1．（23-24八年级下·北京·期中）下列命题中，能判断四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直的矩形B．对角线相等的平行四边形C．对角线互相垂直的平行四边形D．对角线互相垂直平分的菱形【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意；B、对角线相等的平行四边形不一定是正方形，例如矩形也满足条件，不符合题意；C、对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形，不符合题意；D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；故选：A．【变式1-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错．误的是（）A．①对角相等B．②对角线互相垂直C．③有一组邻边相等D．④对角线相等【答案】A【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．【详解】解：A 、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A 符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B 不符合题意；C 、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C 不符合题意；D 、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D 不符合题意．故选：A ．【变式1-2】（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A ．当AB BC =时，它是菱形B ．当AC BD ⊥时，它是菱形C ．当90ABC ∠=︒时，它是矩形D ．当AC BD =时，它是正方形【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【详解】解：A 、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，当AB BC =时，它是菱形，故A 选项正确，不符合题意；B 、 四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形，故B 选项正确，不符合题意；C 、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C 选项正确，不符合题意；D 、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC BD =时，它是矩形，不是正方形，故D 选项错误，符合题意．故选：D ．【变式1-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列命题中，真命题的个数是（）①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形；②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线相等且互相平分的四边形是菱形；⑤四个内角都相等的四边形是矩形；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可．【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题；②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题；⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题．故选：B ．考点二：添一个条件使四边形是正方形例2.（2024·陕西榆林·三模）在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点Q ，请添加一个条件：使得矩形ABCD 是正方形．（只写一个）【答案】AB BC =（答案不唯一）【分析】本题考查正方形的判定，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．【详解】解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB BC =或BC CD =或CD DA =或DA AB =或AC BD ⊥，故答案为：AB BC =（答案不唯一）．【变式2-1】（21-22八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，不添加任何辅助线，请你添加一个条件，使四边形ABCD 是正方形（填一个即可）．【答案】90BAD ∠=︒（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．根据有一个直角的菱形为正方形添加条件．【详解】解： 四边形ABCD 为菱形，∴当90BAD ∠=︒时，四边形ABCD 为正方形．故答案为：90BAD ∠=︒．【变式2-2】（22-23八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，连接DE DF EF ，，，要使四边形DECF 是正方形，只需增加一个条件为．【答案】AC BC=【分析】根据中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形添加条件即可．【详解】∵90ACB D E F ∠=︒，，，分别是AB AC BC ，，的中点，∴1122DE BC DE BC DF AC DF AC ==，，，，P P ∴四边形DECF 是矩形，∵四边形DECF 是正方形，∴1122DF DE BC AC ===，故AC BC =，故添加的条件是：AC BC =．【点睛】本题考查了中位线定理，和一组邻边相等的矩形是正方形，熟练掌握中位线定理和正方形的判定定理是解题的关键．使四边形EFGH 是正方形，BD 、AC 应满足的条件是．【答案】AC BD =且AC BD⊥【分析】依据条件先判定四边形EFGH 为平行四边形，再根据又AC BD =，EF EH =，得出四边形EFGH 为菱形，再根据90FEH ∠=︒，即可得到菱形EFGH 是正方形．【详解】应满足的条件是：AC BD =且AC BD ⊥，理由：E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在ADC △中，HG 是ADC △的中位线，HG AC ∴∥，12HG AC =，同理EF AC ∥，12EF AC =，同理，12EH BD =，则HG EF ∥且HG EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC BD = ，EF EH ∴=，∴四边形EFGH 为菱形，AC BD ^ ，EF AC ∥，EF BD ∴⊥，EH BD ∥ ，EF EH ∴⊥，90FEH ∴∠=︒，∴菱形EFGH 为正方形，故答案为：AC BD =且AC BD ⊥．【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．考点三：证明四边形是正方形例3.（2024·陕西咸阳·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，求证：四边形BMPN 为正方形．【答案】详见解析【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识点，由BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，得出ABP CBP ∠=∠，由过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N 和90ABC ∠=︒得出四边形BMPN 为矩形，再由MP MB =即可得出结论，熟练掌握矩形的判定和性质是解决此题的关键．【详解】∵BP 平分ABC ∠交AC 于点P ，∴ABP CBP ∠=∠，∵过点P 作PM AB ⊥于点M ，PN BC ⊥于点N ，∴90BMP BNP ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴四边形BMPN 为矩形，∴PM BN ∥，∴CBP MPB ABP ∠=∠=∠，∴MP MB =，∴四边形BMPN 为正方形．【变式3-1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 的中点，过点A ，D 分别作BC 与AB 的平行线，相交于点E ，连接EC ，AD ，DE 与AC 交于点O ．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，求证：四边形ADCE 是正方形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）先由AB AC =，点D 是边BC 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD CD =，AD BC ⊥，，再由AE BD ∥，DE AB ∥得出四边形AEDB 为平行四边形，那么AE BD CD ==，又AE DC ∥，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE 是平行四边形，又90ADC ∠=︒，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE 是矩形；（2）由矩形的性质可得AC DE ⊥，又由（1）知四边形ADCE 是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE 是正方形．【详解】（1）证明：∵AB AC =，点D 是边BC 的中点，∴BD CD =，AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∵AE BD ∥，DE AB ∥，∴四边形AEDB 为平行四边形，∴AE BD CD ==，又∵AE DC ∥，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形；（2）证明：∵DE AB ∥，90BAC ∠=︒，∴90DOC BAC ∠=∠=︒，即AC DE ⊥，由（1）知四边形ADCE 是矩形，∴四边形ADCE 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，连接CD ，过点C 作AB 的平行线，并在此直线上截取CE AD =，连接BE ．(1)判断四边形CDBE 的形状并请说明理由；(2)直接写出当ABC 满足什么条件时，四边形CDBE 是正方形．【答案】(1)四边形CDBE 是菱形，理由见解析(2)当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形【分析】（1）说明CE DB =，证明四边形CDBE 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到12CD BD AB ==，即可得证；（2）当ABC 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，即可得证．【详解】（1）解：四边形CDBE 是菱形．理由：∵CE AB ∥，点D 是边AB 的中点，∴CE DB ∥，AD DB=∵CE AD =，∴CE DB =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，点D 是边AB 的中点，∴12CD BD AB ==，∴平行四边形CDBE 是菱形；（2）当ABC 是等腰直角三角形时，四边形CDBE 是正方形．理由：∵90ACB ∠=︒，且ABC 是等腰直角三角形，∴CA CB =，∵点D 是边AB 的中点，∴CD AB ⊥，∴90CDB ∠=︒，由（1）知：四边形CDBE 是菱形，∴四边形CDBE 是正方形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质．熟练掌握平行四边形的判定及特殊平行四边形的判定，并能进行推理论证是解题的关键．【变式3-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）在ABC 中，AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，过点B 作BE AD ∥交BAF ∠的平分线于点E ．(1)求证：四边形ADBE 是矩形；(2)当BAC ∠满足什么条件时，四边形ADBE 是正方形．【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒，见解析【分析】（1）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，可得12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，由AE 是ABC 的外角平分线，可得12BAE BAF ∠=∠，则90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，AD AE ⊥，证明AE BC ∥，进而可证四边形ADBE 是矩形；（2）由AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，可得45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，则AD BD =，进而结论得证．【详解】（1）证明：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴12BAD BAC AD BC ∠=∠⊥，，∵AE 是ABC 的外角平分线，∴12BAE BAF ∠=∠，∵180BAC BAF ∠+∠=︒，∴90BAD BAE ∠+∠=︒，即=90DAE ∠︒，∴AD AE ⊥，∵AD BC ⊥，∴AE BC ∥，又∵BE AD ∥，=90DAE ∠︒，∴四边形ADBE 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形ADBE 是正方形．理由如下：∵AB AC =，AD 平分BAC ∠，90BAC ∠=︒，∴45ABC C BAD CAD ∠=∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，∴矩形ADBE 为正方形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，角平分线，矩形的判定，正方形的判定是解题的关键．考点四：与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）例4.（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知：如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 和BC 上的点，且满足BE CF =．(1)不用圆规，请只用不带刻度的直尺作图：在边CD 和DA 上分别作出点G 和点H ，DG AH BE CF ===（保留作图痕迹，不写做法作法）；(2)判断：四边形EFGH 的形状是．【答案】(1)见解析(2)正方形【分析】（1）根据正方形是中心对称图形作图即可；（2）证明()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，推出EF FG GH HE ===，得到四边形EFGH 是菱形，再证明90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，即可得到四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）解：如图所示：DG AH BE CF ===；；（2）解：四边形EFGH 是正方形，∵正方形ABCD 中，∴AB CD ∥，OB OD =，∴EBO GDO ∠=∠，∵EOB GOD ∠=∠，∴()ASA EOB GOD ≌，∴BE DG =，同理AH CF =，∵BE CF =，∴EF FG GH HE ===，∵正方形ABCD 中，BAD ABCBCD CDA ∠=∠=∠=∠，AB BC CD DA ===，∵DG AH BE CF ===，∴AE BF CG DH ===，∴()SAS AEH BFE CGF DHG ≌≌≌，∴EF FG GH HE ===，∴四边形EFGH 是菱形，∴AEH BFE ∠=∠，∵90AEH BEF BFE BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴四边形EFGH 是正方形．故答案为：正方形．【点睛】本题考查了中心对称图形作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定．掌握正方形是中心对称图形是解题的关键．【变式4-1】（23-24九年级下·山东淄博·期中）如图，点,E F 在正方形ABCD 的边,AB CD 上．(1)请用尺规作图法，在,AD BC 上分别取点,M N 使得MN EF ⊥且平分正方形ABCD 的面积．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：MN EF=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了正方形的性质，作线段的垂线，全等三角形的性质与判定．（1）平分正方形ABCD 的面积，会经过正方形的中心O ，过点O 作EF 的垂线即可；（2）过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，证明()AAS EFG NMH ≌，即可得证．【详解】（1）解：如图，MN 即为所作，（2）解：如图所示，过点E 作EG CD ⊥于点G ，过点N 作NH AD ⊥，设,EG MN 交于点P ，∴四边形,AEGD ABNH 是矩形，90NHM EGF ∠=∠=︒∴,EG AD AB HN ==，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，AB AD ⊥，∴EG HN =，HN EG⊥∵AD EG∥∴EPN HMN∠=∠∵EF MN ⊥，HN EG⊥∴90,90PEF EPN HNM EPN ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴PEF HNM ∠=∠即GEF HNM∠=∠在,EFG NMH 中，90NHM EGF HNM GEF EG HN ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS EFG NMH ≌∴MN EF=【变式4-2】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 上，点F 在BC 的延长线上，AE CF =，连接EF ．(1)求证：45F ∠=︒；(2)如图，当点E 为AD 边中点时，请仅用无刻度的直尺作矩形CDOF （保留作图痕迹）．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，先证明四边形AEFC 是平行四边形，可得AC EF ，即有45F ACB ∠=∠=︒；（2）设EF 、CD 交于点T ，连接AC 、BD ，二者交于点P ，连接DF ，连接PT ，并延长交PT 于点G ，连接CG ，并延长交AD 的延长线于点O ，连接FO ，问题得解．【详解】（1）证明：连接AC ，如图，在正方形ABCD 中，有AD BC ∥，45ACB ACD ∠=∠=︒，∵AE CF =，AD BC ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形，∴AC EF ，∴45F ACB ∠=∠=︒；（2）如图，矩形CDOF 即为所求．证明：根据点E 为AD 边中点，AE CF =，可得DE CF =，进而可证明DET CFT ≌，则有DT CT =，ET FT =，即点T 为EF 、CD 的中点；根据正方形的性质可得点P 为BD 、AC 的中点；即有：PT AD ∥，PT BC ∥，结合点P 为BD 、AC 的中点，可得点G 为CO 、DF 的中点，即可证明四边形CDOF 是平行四边形，结合90DCF DCB ∠=∠=︒，则平行四边形CDOF 是矩形．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键．【变式4-3】（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知正方形,ABCD E 为BC 上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(1)在边AD 上找点F ，使得直线EF 将正方形ABCD 的面积平均分成相等的两部分；（在图1中完成）(2)在边AB 上找点G ，使得BG BE =；（在图2中完成）(3)连接AE ，将ABE 绕点A 逆时针旋转90 ，作出旋转后的三角形．（在图3中完成）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）利用经过对角线的交点的直线平分平行四边形的面积，与对角线的交点进行连线即可求解；（2）利用正方形关于任意一条对角线对称即可作出所作图形；==，利用全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定（3）在第（2）问所作图的基础上构造DH BE BG=，即可作出所作图形．与性质，得到DM BG【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）旋转后的三角形为ADM△，如图所示：【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解题关键是掌握正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、轴对称等知识．考点五：正方形的性质与判定的综合问题例5.（23-24八年级下·江苏无锡·期中）实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后在把纸片展平；第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，再把纸片展平．问题解决：(1)如图1，求证：四边形AEA D '是正方形；(2)如图2，若2AC '=，4DC '=，，求AC M '△的面积．【答案】(1)见解析(2)AC M '△的面积是83【分析】（1）由折叠性质得AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形AEA D '是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形AEA D '为正方形；（2）连接C E '，证明Rt Rt EAC C BE ''' ≌，得C EA EC B '''∠=∠，从而有MC ME '=，设AM x =，则6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，利用勾股定理列方程求出x ，得到AM ，即可求出AC M '△的面积．【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，∵将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，∴AD AD ='，AE A E '=，45ADE A DE '∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴AED A DE '∠=∠，∴AED ADE ∠=∠，∴AE AD =，∴AD AE A E A D ''===，∴四边形AEA D '是菱形，∵90A ∠=︒，∴四边形AEA D '是正方形；（2）解：如图，连接C E '，由（1）知，AD AE =，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，∴AE BC '=，EAC B ''∠=∠，在Rt EAC ' 和Rt C BE '' 中，EC C E AE BC '''=⎧⎨=⎩∴()Rt Rt EAC C BE HL ''' ≌，∴C EA EC B '''∠=∠，∴MC ME '=，设AM x =，∵2AC '=，4DC '=，∴2+46AE AD ===，∴6C M BM x '==-，在Rt MC A ' 中，由勾股定理，得222+AC AM MC ''=，即2222+(6)x x =-，2243612x x x +=-+，1232x =，解得83x =，即83AM =，∴AC M '△的面积1188=22233AC AM '=⨯⨯=g ．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．(1)EAF ∠=________°（直接写出结果不写解答过程）(2)①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求AEF △的面积．(3)如图（2），在PQR 中，45QPR ∠=︒，高7PH =，3QH =，则HR 的长度是________（直接写出结果不写解答过程）．【答案】(1)45；(2)①证明见解析；②15；(3)2.8．【分析】（1）由90C ∠=︒可得90CEF CFE ∠+∠=︒，进而得270BEF DFE ∠+∠=︒，再根据角平分线的定义可得()11352AEF AFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=︒，最后根据三角形内角和定理即可求解；（2）①过点A 作AG EF ⊥于G ，由角平分线的性质可得AB AD =，再证明四边形ABCD 是矩形即可求证；②证明()Rt Rt HL ABE AGE ≌得3BE GE ==，同理得DF GF =，设DF GF x ==，得3EF x =+，又由3BE EC ==可得6CD AB CG ===，得到6CF x =-，在Rt CEF △中，利用勾股定理得()()222363x x +-=+，得到2x =，即得5EF =，再根据三角形面积公式即可求解；（3）如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，同理（2）即可求解；本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：∵90C ∠=︒，∴90CEF CFE ∠+∠=︒，∴180********BEF DFE ∠+∠=︒+︒-︒=︒，∵AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠，∴12AEF BEF ∠=∠，12AFE DFE ∠=∠，∴()11112701352222AEF AFE BEF DFE BEF DFE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴18013545EAF ∠=︒-︒=︒，故答案为：45；（2）①证明：过点A 作AG EF ⊥于G ，∵AE 平分BEF ∠，AB EB ⊥，AG EF ⊥，∴AB AG =，同理可得AD AG =，∴AB AD =，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形，∵AB AD =，∴四边形ABCD 是正方形；②∵AG EF ⊥，∴90AGE AGF ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt AGE 中，AB AG AE AE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE AGE ≌，∴3BE GE ==，同理可得DF GF =，设DF GF x ==，∴3EF x =+，∵3BE EC ==，∴336BC =+=，∴6CD AB AG ===，∴6CF x =-，在Rt CEF △中，222CE CF EF +=，∴()()222363x x +-=+，解得2x =，∴325EF =+=，∴11·561522AEF S EF AG ==⨯⨯= ；（3）解：如图2所示，把PQH 沿PQ 翻折得PQD △，把PRH △沿PR 翻折得PRM △，延长DQ MR 、交于点G ，由折叠可得7PD PH PM ===，3QD QH ==，MR HR =，DPQ HPQ ∠=∠，MPR HPR ∠=∠，90D PHQ ∠=∠=︒，90M PHR ∠=∠=︒，∴()222290DPM HPQ HPR HPQ HPR QPR ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴90D DPM M ∠=∠=∠=︒，∴四边形PMGD 是矩形，∵PD PM =，∴四边形PMGD 是正方形，∴7DG MG PD ===，∴734GQ DG QD =-=-=，设MR HR a ==，则3QR a =+，7GR a =-，在Rt GQR △中，222GQ GR QR +=，∴()()222473a a +-=+，解得 2.8a =，∴ 2.8HR =，故答案为：2.8．上的一个动点，延长CD 到点E ，使DE BP =，连接AE AP ，，以AE AP ，为边作平行四边形APFE ，直线PF 和直线CD 相交于点M ．(1)如图1，点P 在边BC 上，判断四边形APFE 的形状，并说明理由；(2)在（1）的条件下，若点P 为BC 的中点，求点F 到边CD 的距离；(3)若2CP =，求CM 的长．【答案】(1)正方形，理由见解析(2)2(3)1或3【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：（1）先证明()SAS ABP ADE ≌得到AP AE BAP DAE =∠=∠，，进而证明90PAE ∠=︒，即可证明四边形APFE 是正方形；（2）如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，证明()AAS ADE EHF ≌，得到ED FH BP ==，求出122PB BC ==，则2FH =，即点F 到CD 距离为2；（3）分点P 在BC 上和点P 在BC 得延长线上两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：四边形APFE 是正方形，理由如下：解：在正方形ABCD 中，90AB AD B ADC ∠∠===︒，，∴90B ADE BAD ∠=∠=∠=︒，∵DE BP =，∴()SAS ABP ADE ≌，∴AP AE BAP DAE =∠=∠，，∵90BAD BAP PAD ∠=∠+∠=︒，∴90PAE DAE PAD ∠=∠+∠=︒，又∵四边形APFE 是平行四边形，∴四边形APFE 是正方形；（2）解：如图所示，作FH CD ⊥，垂足为H ，∵四边形APFE 是正方形，∴90AE EF AEF =∠=︒，，∵9090AED MEF EFH MEF ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴AED EFH ∠=∠，∵90ADE EHF ∠=∠=︒，∴()AAS ADE EHF ≌，∴ED FH BP ==，又DE BP =，∴FH BP =，∵点P 是BC 中点，∴122PB BC ==，∴2FH =，∴点F 到CD 距离为2；（3）解：①点P 在线段BC 上，∵2CP =，∴2BP =，∴22220AP AB BP =+=，由（2）可得2FH DE ==，ADE EHF ≌，∴4EH AD ==，设MH x =，则4EM x =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()22222420x x +=+-，解得1x =，∴24411CM CD DE EH HM =+--=+--=；②点P 在BC 延长线上，如图所示，作FH DE ⊥，垂足为H ，同理可得22252AP AB BP =+=，同理可证明ADE EHF ≌，∴4264HF DE BP EH AD ===+===，，设MH m =，则4EM m =+，由勾股定理得22222MF HM HF ME EF =+=-，∴()2226452m m +=+-，解得9m =，∴3CM HM CD DE =--=；综上所述，CM 得长为1或3．【变式5-3】（23-24八年级下·四川广安·期中）问题情境：如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，90，∠=︒⊥AEB BF BE ，且BF BE =，延长AE 交CF 于点G ，连接DE ．猜想证明：（1）如图①，试判断四边形BEGF 的形状，并说明理由．（2）如图②，若DA DE =，请猜想线段CG 与GF 的数量关系，并加以证明．解决问题：（3）如图①，若159，==AB GF ，请直接写出DE 的长．【答案】（1）四边形BEGF 是正方形．理由见解析；（2）CG GF =，证明见解析；（3）317【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．（1）证明90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB 即可；（2）过点D 作DH AE ⊥于点H ，证明AEB DHA △≌△，结合ABE CBF △≌△，得到12GF CF =，得证；（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，证明DAM ABE ≌，结合ABE CBF △≌△，得到===+DM AE CF FG CG ，设CG x =，则9===+DM AE CF x ，根据勾股定理，求得x 的值，再利用DE 222=+DM ME 计算即可．【详解】解：（1）四边形BEGF 是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,ABC AB BC ∠=︒=，∴90BEG ∠=︒．∵BF BE ⊥，∴90EBF ∠=︒．∴ABE CBF ∠=∠，∵BE BF =，∴(SAS)ABE CBF △≌△，∴AEB CFB ∠=∠，90∠=∠=∠=︒BEG EBF GFB ，∴四边形BE FE '是矩形，又∵BE BF =，∴四边形BEGF 是正方形．（2）CG GF =．证明：如图，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则90,1390∠=︒∠+∠=︒DHA ．DA DE = ，12AH AE ∴=，∵四边形ABCD 是正方形，,90∴=∠=︒AB DA DAB ，2190∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，90AEB DHA ∠=∠=︒ ，AEB DHA ∴△≌△，AH BE ∴=，由（1）知四边形BEGF 是正方形，BE GF ∴=，∴=AH GF ，ABE CBF △≌△，AE CF ∴=，12∴=GF CF ，CG GF ∴=．（3）过点D 作DM AE ⊥，垂足为M ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，90,∴∠=︒=DAB DA AB ，90BAE DAM ∴∠+∠=︒，90ADM DAM ∠+∠=︒ ，BAE ADM ∴∠=∠，90DMA AEB ∠=∠=︒ ．()ADM BAE AAS ∴ ≌，,AM BE DM AE ∴==，根据（2），得到CBF ABE ≌，∴===+DM AE CF FG CF ，设CG x =，∵四边形BFGE 是正方形，9GF =，9∴===+DM AE CF x ，222AB AE BE =+ ，222(9)915∴++=x ，解得3,21==-x x （舍去），93912,1293∴===+=+==-=-=DM CF AE x ME AE AM ，22222123∴=+=+DE DM ME ，解得317DE =．考点六：中点四边形例6.（23-24八年级下·广西玉林·期中）已知：如图1，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG GH HE 、、，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．(1)四边形EFGH 的形状是__________，证明你的结论．(2)如图2，请连接四边形ABCD 的对角线AC 与BD ，当AC 与BD 满足__________条件时，四边形EFGH 是正方形，证明你的结论．【答案】(1)平行四边形，证明见解析(2)互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明见解析【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．（1）如图1，连接BD ，由点E 、H 分别是AB AD 、中点，可得EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，则EH FG ∥，EH FG =，进而可证四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，由AC BD ⊥，可得EH HG ⊥，证明平行四边形EFGH 是矩形，由AC BD =，可得EH HG =，进而可证四边形EFGH 是正方形．【详解】（1）证明：四边形EFGH 是平行四边形，证明如下；如图1，连接BD ，点E 、H 分别是AB AD 、中点，∴EH BD ∥，12EH BD =，同理，FG BD ∥，12FG BD =，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形；（2）解：互相垂直且相等（AC BD ⊥且AC BD =），证明如下；如图2，连结AC BD 、，同理（1）可知，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴EH HG ⊥，∴平行四边形EFGH 是矩形，∵AC BD =，∴EH HG =，∴四边形EFGH 是正方形．垂足为O ，顺次连接四边形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；再顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ，…如此下去得到四边形n n n n A B C D ．(1)判断四边形1111D C B A 的形状，并说明理由．(2)求四边形1111D C B A 的面积．(3)直接写出四边形n n n n A B C D 的面积（用含n 的式子表示）．【答案】(1)四边形1111D C B A 是矩形，理由见解析(2)12(3)1242n⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据中位线的性质可得11A D BD ∥，1112D A D B =，11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；即有1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，证得四边形1111D C B A 是平行四边形，结合AC BD ⊥，问题得解；（2）由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，可得1112B C BD =，从而得到113A B =，114B C =，再由矩形的面积公式计算，即可．（3）由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，即可求解．【详解】（1）解：四边形1111D C B A 是矩形，理由如下：在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形1111D C B A ，∴1A 、1D 分别为AB AD 、的中点，∴11A D 是ABD △的中位线，∴11A D BD ∥，1112D A D B =，同理可得：11B C BD ∥，1112B C BD =，11C D AC ∥，1112C D AC =，11A B AC ∥，1112A B AC =；∴1111A D B C ∥，1111A B C D ∥，∴四边形1111D C B A 是平行四边形，∵AC BD ⊥，∴1111A B A D ⊥，∴平行多边形1111D C B A 是矩形，（2）解：由（1）得四边形1111D C B A 是矩形，1112A B AC =，11B C 是BCD △的中位线，∴1112B C BD =．又∵6AC =，8BD =，∴113A B =，114B C =，。

专题04三角形的证明目录【考点1等腰三角形中求角度、边长】...................................................................................................................3【考点2等腰三角形的判定和性质】.......................................................................................................................7【考点3等边三角形中求角度、边长】.................................................................................................................11【考点4等边三角形的判定和性质】.....................................................................................................................16【考点5全等的性质和HL 综合】..........................................................................................................................21【考点6与等腰三角形，直角三角形有关的多解题】.........................................................................................26【考点7利用线段的垂直平分线的性质求解】.....................................................................................................32【考点8利用角平分线的性质求解】.....................................................................................................................34【考点9线段的垂直平分线的判定和性质】.........................................................................................................37【考点10角平分线的判定和性质】.......................................................................................................................41【过关检测】..............................................................................................................................................................461.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等；（2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒；（3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形；（2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形.5.直角三角形全等的判定图形定理符号如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L）在'''Rt ABC Rt A B C ∆∆与中，'',''AC A C AB A B == ，'''(.)Rt ABC Rt A B C H L ∴∆∆≌6.直角三角形的性质定理及推论定理1直角三角形的两个锐角互余；定理2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30︒.7.勾股定理图形名称定理符号表示边的定理在直角三角形中，斜边大于直角边.在Rt ABC ∆中，,c a c b >>勾股定理直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒ ，222c a b ∴=+勾股定理逆定理如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.在Rt ABC ∆中，222c a b =+ ，90C ∴∠=︒8.线段的垂直平分线⎧⎨⎩线段垂直平分线的：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两端点的距离相等；线段垂直平分线的：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上性质定理判.定定理9.角的平分线⎧⎪⎨⎪⎩角的平分线的：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等；角的平分线的：在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点， 在这个角的平分线上.性质定理性质定理考点剖析【考点1等腰三角形中求角度、边长】例题1：（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 和AC 上，且AD AE =，若40BAD ∠=︒，则EDC ∠的度数是．【答案】20︒【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键．设EDC x ∠=，B C y ∠=∠=，根据ADE AED x y ∠=∠=+，ADC B BAD ∠=∠+∠即可列出方程，从而求解．【详解】解：设EDC x ∠=，B C y ∠=∠=，AED EDC C x y ∠=∠+∠=+，又AD AE = ，ADE AED x y ∴∠=∠=+，则2ADC ADE EDC x y ∠=∠+∠=+，又ADC B BAD ∠=∠+∠ ，240x y y ∴+=+︒，解得20x =︒，EDC ∴∠的度数是20︒．故答案为：20︒．例题2：（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在等腰ABC 中，AB AC =，D 为BC 上一点，且60ADB ∠=︒，若6AD =，4CD =，则BC 的长是．【答案】14【分析】此题考查了含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过A 点作AE BC ⊥于E ，根据含30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：过A 点作AE BC ⊥于E ，60ADB ∠=︒ ，30DAE ∴∠=︒，6AD = ，132DE AD ∴==，347CE DE CD ∴=+=+=，在等腰ABC 中，AB AC =，214BC CE ∴==．故答案为：14．1．（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使CP CA =，连接AP ，则BAP ∠的度数为．【答案】15︒或75︒【分析】根据等腰三角形的性质可以得到ABC 各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出BAP ∠的度数即可．本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答．【详解】解：如图所示，当点P 在点B 的左侧时，AB AC = ，70ABC ∠=︒，70ACB ABC ∴∠=∠=︒，180180707040BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1CA CP = ，111180180705522ACP CAP CP A ︒-∠︒-︒∴∠=∠===︒，11554015BAP CAP CAB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；当点P 在点C 的右侧时，AB AC = ，70ABC ∠=︒，70ACB ABC ∴∠=∠=︒，180180707040BAC ACB ABC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，2CA CP = ，221703522ACB CAP CP A ∠∴∠=∠==⨯︒=︒，22354075BAP CAP CAB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；由上可得，BAP ∠的度数是15︒或75︒，故答案为：15︒或75︒．2.（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，点在ABC 边AC 上，,,AE BC BC AD CED BAD =∠=∠∥.若30ACB ∠=︒，则BCD ∠的度数为．【答案】105︒【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、三角形的外角性质、平行线的性质，根据平行线的性质得DAE ACB ∠=∠，再根据三角形的外角的性质得EDA BAC ∠=∠，再利用AAS 可得ADE CAB △≌△，进而可得AC AD =，进而可得180752DACACD ADC ︒-∠∠=∠==︒，再根据BCD ACB DCA ∠=∠+∠即可求解，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．【详解】解：BC AD Q ∥，DAE ACB ∴∠=∠，CED BAD ∠=∠ ，且BAD BAC DAE ∠=∠+∠，CED EDA DAE ∠=∠+∠，EDA BAC ∴∠=∠，在ADE V 和CAB △中，EDA BAC DAE ACB AE CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADE CAB ∴ ≌，AC AD ∴=，180752DACACD ADC ︒-∠∴∠=∠==︒，3075105BCD ACB DCA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：105︒．3．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知AOB ∠为60︒，点P 在边OA 上，12OP =，点M 、N 在边OB 上，PM PN =．若MN 为4，则OM 为．【答案】4【分析】本题主要考查的是含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质；过P 作PD OB ⊥，交OB 于点D ，先说明30OPD ∠=︒，再根据含30度直角三角形的性质可得OD 的长；由PM PN =，利用等腰三角形三线合一可得D 为MN 中点，再根据MN 求出MD 的长，最后根据OM OD MD =-即可解答．【详解】解：如图：过P 作PD OB ⊥交OB 于点D ，在Rt OPD 中，60AOB ∠=︒∴30OPD ∠=︒，∵12OP =，162OD OP ∴==，PM PN = ，PD MN ⊥，4MN =，122MD ND MN ∴===，624OM OD MD ∴=-=-=．故答案为：4．4．（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E 、F ，若点D 为底边BC 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 的周长的最小值为．【答案】8【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质；连接AD ，由于ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ⊥，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC ∴⊥，1141222ABC S BC AD AD ∴=⋅=⨯⨯= ，解得6AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，AD ∴的长为CM MD +的最小值，CDM ∴△的周长最短11()6462822CM MD CD AD BC =++=+=+⨯=+=．故答案为：8．【考点2等腰三角形的判定和性质】例题：（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，在Rt AOP △中，以OA 为边作等边OAB ，以AP 为边作等边APQ △，连QB 并延长交OP 于点C ．(1)求证：OP BQ =；(2)判断COB △的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)COB △是等腰三角形【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质：（1）根据等边三角形的性质得OA BA =，AP AQ =，60OAB PAQ ∠=∠=︒，进而可得OAP BAQ ∠=∠，再利用SAS 可证得OAP BAQ ≌，进而可求证结论；（2）由（1）得：OAP BAQ ≌，60AOB ABO ∠=∠=︒，进而可得90ABQ AOP ∠=∠=︒，进而可得30BOC OBC ∠=∠=︒，进而可求解；熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．【详解】（1）证明：OAB 和APQ △都是等边三角形，OA BA ∴=，AP AQ =，60OAB PAQ ∠=∠=︒，OAP PAB BAQ PAB ∴∠+∠=∠+∠，即OAP BAQ ∠=∠，在OAP △和BAQ 中，OA BA OAP BAQ AP AQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS OAP BAQ ∴ ≌，OP BQ ∴=．（2）由（1）得：OAP BAQ ≌，60AOB ABO ∠=∠=︒，AOP 是直角三角形，且90AOP ︒=∠，90ABQ AOP ∴∠=∠=︒，906030BOC AOP AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，18030OBC ABQ ABO ∠=︒-∠-∠=︒，30BOC OBC ∴∠=∠=︒，OC BC ∴=，∴COB △是等腰三角形．【变式训练】1．（22-23八年级上·北京密云·期末）如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，BAC ∠与ABC ∠的角平分线AD 、BE 分别交BC 、AC 边于点D 和点E ．(1)求证：BEC 是等腰三角形；(2)用等式表示线段AB AC BD 、、之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)AB BD AC+=【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出EBC C ∠=∠，进而得出EB EC =，即可得出结论；（2）延长AB 至F ，使BF BD =，连接DF ，利用等边对等角和三角形的外角得出F C ∠=∠，再证明AFD ACD △≌△，根据全等三角形的性质得出AF AC =，再根据线段的和差即可得出AB BD AC +=．【详解】（1）解：证明：在ABC 中，60BAC ∠=︒，40C ∠=︒，80ABC ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，40EBC =∴∠︒，EBC C ∴∠=∠，EB EC ∴=，BEC ∴ 是等腰三角形．（2）AB BD AC +=，证明：延长AB 至F ，使BF BD =，连接DF ，F BDF ∴∠=∠，80ABC F BDF ∠=∠+∠=︒ ，280F ∴∠=︒，40F ∴∠=︒，40C ∠=︒ ，F C ∴∠=∠，AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，AD AD = ，(ASA)AFD ACD ∴△≌△，AF AC ∴=，AB BF AC ∴+=，即AB BD AC +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，已知点O 在等边ABC 的内部，105AOB ∠=︒，BOC α∠=，以OC 为边作等边COD △，连接AD ．(1)求证：AD BO =；(2)当150α= 时，试判断AOD △的形状，并说明理由；【答案】(1)证明见解析(2)等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）证明BOC ADC ≌，即可得证；（2）根据BOC ADC ≌，得到150ADC BOC ∠=∠=︒，进而得到90ADO ∠=︒，利用360AOB BOC ︒-∠-∠，求出AOC ∠，推出45AOD ∠=︒，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵ABC ，COD △为等边三角形，∴,,60AB AC BC OC OD CD BAC ABC ACB COD OCD CDO ====∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴60OCB DCA ACO ∠=∠=︒-∠，在BOC 和ADC △中：OC CD OCB DCA BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BOC ADC V V ≌，∴AD BO =；（2）解：AOD △是等腰直角三角形，理由如下：∵BOC ADC ≌，∴150ADC BOC α∠=∠==︒，∴90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒，∵105AOB ∠=︒，∴360105AOC AOB BOC ∠=︒-∠-∠=︒，∴45AOD AOC DOC ∠=∠-∠=︒，∴9045OAD AOD AOD ∠=︒-∠=︒=∠，∴AD OD =，∴AOD △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．【考点3等边三角形中求角度、边长】例题1：（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE AD =，则AED =∠．【答案】75︒/75度【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形任意一边的三线合一得到DAC ∠。