(精品)初中数学讲义反比例函数(教师版)

初二数学反比例函数讲义上课时间：20XX 年__月___日一、本节课知识点梳理1、反比例函数的概念2、反比例函数的图像及其性质3、反比例系数k 的意义及其实际应用二、重难点点拨教学重点：反比例函数图像及其性质教学难点：反比例函数k 的几何意义三、典型例题与分析知识点一：反比例函数概念一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=xk ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数）1、在下列函数中，反比例函数是（）A11x yB xy=0 CxkyD xy212、如果函数12m xy为反比例函数，则m 的值是（）A 、1 B 、0 C、21 D 、1知识点二：反比例函数的图象与性质注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

函数解析式正比例函数：y=kx(k ≠0)反比例函数：y=x k(k ≠0) 图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围图象位置（性质）当k ＞0时，经过象限当K ＜0时，经过象限当K ＞0时，在象限当K ＜0时，在象限性质当K ＞0时，y 随x 的增大而当K ＜0时，y 随x 的增大而当K ＞0时，在每一个象限内．．．．．．，y 随x 的增大而当K ＜0时，在每一个象限内。

．．．．．．．y 随x 的增大而（1）已知y=xk （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。

（2）已知y=xk （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)①若x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2②若x 1＜0＜x 2，则y 1与y 2大小关系是y 1 y 2③若x 1＜x 2，则y 1与y 2大小关系是。

初三反比例函数讲义第1节 反比例函数本节容：反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）1、 反比例函数的定义电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。

当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。

一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的自变量x 不能为零。

小注：（1）x k y =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。

下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。

①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-= ⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k2、 反比例函数定义的应用（重点）确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

本节作业：1、小明家离学校1.5km ，小明步行上学需x min ，那么小明的步行速度min)/(m y 可以表示为xy 1500=；水名地面上重1500N 的物体，与地面的接触面积为x 2m ，那么该物体对地面的压强)/(2m N y 可以表示为x y 1500=。

反比例函数一、反比例函数的概念1、概念：反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x =(k为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．2、注意：(1)k 为常数，k ≠0；（2）kx中分母x 的指数为1； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数．3、xk y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 4、有表格数据判断是否为反比例函数关系时主要判断x 与y 的乘积是否相等。

例题：例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y =（2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y（5）x y 23-=（6）31+=xy （7）y ＝x －4 例2、若函数y ＝（m 2－1）x235m m +-为反比例函数，则m ＝________．课上练习：1.下列函数中哪些是y 是x 的正比例函数？哪些是y 是x 的反比例函数?①1-x 3=y ②22x y = ③xy 1= ④32x y =⑤x y 3= ⑥x y 1-= ⑦xy 31= ⑧x y 23=2．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）有下面的关系：那么弹簧总长（cm ）与所挂物体质量（kg ）之间的函数关系式为_____________．3．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 4．若函数28)3(m xm y -+=是反比例函数，则m 的取值是5．矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 6．已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝7．函数21+-=x y 中自变量x 的取值范围是二、反比例函数解析式的确定1、在反比例函数关系式 y= kx 中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入y= kx 中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式．2、定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y= kx (k ≠0)；②根据已知条件（自变量与函数的对应值）列出含k 的方程； ③由代入解待定系数k 的值； ④把k 值代人函数关系式y= kx 中.例题：例1．已知：y 与 x 2成反比例，并且当x =3时，y =4， 求: 当x =1.5时，y 的值。

讲义反比例函数(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除教师： 学生： 时间：一般地，形如ky x=(k 为常数，k 不等于零)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数或叫因变量，ky x=也可以写成:,.要点诠释： 1、y=k x 中分母x 的指数为1，如，2ky x =就不是反比例函数；2、y= k x()可以写成()的形式，自变量x 的指数是-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件；3、y=k x()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式。

两个变量的积均是一个常数（或定值），这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键。

典例分析1．下列哪个等式中的y 是x 的反比例函数？思楷教育学生辅导讲义期末复习专题：反比例函数23y x =（ ）12y x -=（ ）1y x =（ ）31y x =-（ ）6xy =（ ）k y x=（ ） 32y x =（ ）4x y =（ ） 12y x -=（ ）11y x =-（ ） 11y x=- （ ） 2.下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 ( ) A.()12x y -= B.12y x =- C.21y x = D.17y x=- 3.若函数()221ny n x -=-是反比例函数，则n 的值是 ( )A. ±1B. -1C. 1D. 2 4.已知函数2211k k y k x --=-（）是反比例函数,你知道k 的值是多少吗？5.已知函数()211m y m x -=-.请你探求当m 取何值时:(1)该函数是正比例函数 (2)该函数是反比例函数图象性质①x的取值范围是x≠0，y的取值范围是y≠0.②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限。

在每个象限内，y随x的增大而减小。

反比例函数一、反比例函数的概念1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于0的常数． 2、解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数．3、反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．例1、下列变化过程中的两个变量是否成反比例?为什么？ （1）被除数为100，变量分别是除数r 和商q ；（2）三角形面积S 一定时，三角形一边上的长a 和这条边上的高h ；（3）一位男同学练习1000米长跑，变量分别是男生跑步的平均速度v （米/秒）和跑完全程所用时间t （秒）；（4）完成工作量Q 一定时，完成工作量所需的时间t 与工人人数n （假设每个工人的 工作效率相同）例2、一个长方体的体积是20cm 3，它的长是ycm ，宽是5cm ，高是xcm .写出长y 与高x 之间的函数关系式.例3、下列函数（其中x 是自变量）中，哪些是反比例函数？哪些不是，为什么？（1）23y x = (2)1y x -= (3)3xy =（4）3y x=（5）27y x =+（6）y =8x+7例4、已知y 是x 的反比例函数，且3x =-时，2y =，那么y 关于x 的函数解析式是________．例5、已知y 4x =时，2y =-，求y 与x 的函数解析式．例6、若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________．例7、如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．例8、已知y 是x 的反比例函数，且当2x =时，2y ，那么当1y =时，x 的值是________．例9、如果变量1x 和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．例10、已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值例11、已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．例12、已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =；（1）求y 与x 间的函数关系式； （2）求当3y =-时，x 的值．例13、已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点-，求反比例函数的解析式．一、 反比例函数的图像1、反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支． 二、 反比例函数的性质 1、当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．2、当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．3、图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交．例1、已知反比例函数3y x=-，那么当x ＜0时，y 的值随着x 的增大而________． 例2、反比例函数25(2)my m x -=+在它的图像所在的每个象限内，y 随x 的增大而________．例3、若反比例函数的图像经过点(25)-，，那么函数图像在________象限． 例4、已知反比例函数2k y x-=，其图象在第一、第三象限内，则k 的取值范围是________． 例5、函数135k y x --=的图像在一、三象限，那么k 的取值范围是________ 例6、已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限．例7、如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？例8、若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．例9、已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．1y 与2y 的大小关系无法确定例10、反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________． 例11、已知反比例函数21k y x+=（1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．例12、直线y kx =(k ＞0)与双曲线xy 4=交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．例13、反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ； （1） 求矩形ABOC 的面积；（2） 当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？例14、若P （a ，b ）是反比例函数图像上的一点，且a 是b 是的小数部分，求反比例函数的解析式．例15、已知：点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，求△ABC 的面积．例16、反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3，求k 和m 的值．例17、已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4． （1）写出反比例函数的解析式； （2）求出点B 的坐标；（3）若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积． 练习11、下列问题中的两个变量是否成反比例？如果是，可以用怎样的数学式来表示？ （1）平行四边形的面积为20平方厘米，变量分别是平行四边形的一条边长a （厘米）和这条边上的高h （厘米）；（2）一位男同学练习一千米长跑，变量分别是男生跑步的的平均速度v （米）和跑完全程所用时间t （秒）.2、下列函数是不是反比例函数？为什么？ （1）13y x =-； （2）4xy =；（3）15y x =-； （4）2(0)ay a a x =≠为常数，； （5）1y x π= ； （6）21y x= ．3、若函数223()kk y k k x --=+是反比例函数，则k 的值是________．4、在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像．（1）4y x=； （2）4y x=-． 求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？ （3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？5、已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________．6、已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．7、若点(34)，是反比例函数221m m y x ++=图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ）A.(34)-，B.(26)-，C.(43)-，D. (26)，8、已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若4AOMS =，则这个反比例函数的解析式是（ ） A ．8y x =； B ．8y x =-； C ．8y x =或8y x =-； D ．4y x =或4y x=-. 9、已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．10、已知第三象限内的点B （3m ，m ）在反比例函数的图像上，且10OB =A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积．11、11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=（x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标．12、两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在ky x =的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．练习21、反比例函数ay x=的图像在第二、四象限，则a ________． 2、当n =________时，函数224(3)n n y n x --=-是反比例函数．3、函数21(1)my m x -=-是反比例函数，且图像经过第二、四象限，则m =________．4、已知反比例函数13ky x-=，当k ________时，它的图像在第二、四象限，此时，在每个象限内，y 随x 的增大而________．5、已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．6、反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．7、在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．8、（1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值； （2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．9、已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y 关于x 的函数解析式．10、点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积．11、已知n 是正整数，111()P x y ，，222()P x y ，，…()n n n P x y ，，…是反比例函数图像上的一列点，其中11x =， 22x =，…，n x n =，…．记112A x y =，223A x y =，…，1n n n A x y +=，…，若1A a =(a 是非零常数)，求12n A A A ⋅⋅⋅的值(用含a 和n 的代数式表示)．。

反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。

如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。

ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

反比例例函数（一）一、知识点：1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。

x k y =还可以写成kx y =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，xk y =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。

⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4二、范例讲解： （一）考察概念例1 已知函数 y = （5m — 3）x n -2 + （n+m ）（1）当m ，n 为何值时，是一次函数？（2）当m ，n 为何值时，为正比例函数？（3）当m ，n 为何值时，为反比例函数？例2 已知y=y 1+y 2 ,y 1与x ＋1成正比例，ｙ2与x ＋1成反比例，当x ＝0时，ｙ＝－5；当x ＝2时，ｙ＝－7。

（1）求ｙ与x 的函数关系式；（2）当ｙ＝5时，求x 的值（二）考察函数图象和性质例3 在反比例函数y = x k 3-的图象上，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为 。

例4 反比例函数y = x6的图象上有三点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）、（x 3，y 3），其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3用“＜”连接 。

初中数学反⽐例函数讲义反⽐例函数的解析式1、反⽐例函数的定义函数ky x=（k 为常数，0k ≠）叫做反⽐例函数，其中k 叫做⽐例系数，x 是⾃变量，y 是函数， 2、反⽐例函数解析式的特征⑴等号左边是函数y ，等号右边是⼀个分式。

分⼦是不为零的常数k （也叫做⽐例系数k ），分母中含有⾃变量x ，且指数为1.⑵⽐例系数0≠k⑶⾃变量x 的取值为⼀切⾮零实数。

⑷函数y 的取值是⼀切⾮零实数。

3、反⽐例函数解析式的求法反⽐例函数的解析式(0)k y k x=≠中，只有⼀个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反⽐例函数的解析式；因此，只需给出⼀组x 、y 的对应值或图象上⼀点的坐标，利⽤待定系数法，即可确定反⽐例函数的解析式。

例1、下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，⼀定是反⽐例函数的有（） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个例2、若函数||1a y x-=是反⽐例函数，则a 的值为（）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±例3、已知反⽐例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是练习：1、已知y 与2x 成反⽐例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（）A ．正⽐例函数B ．⼀次函数C ．反⽐例函数D ．以上都不是2、已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反⽐例函数，求m 的值及函数的解析式．3、在反⽐例函数y=x2的图象上的⼀个点的坐标是（）A.（2，1)B.（－2，1)C.（2，21) D.（21,2） 4、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正⽐例，2y 与x 成反⽐例，且当2x =和3x =时，y 的值都为19,求y 与变量x 的函数关系式．5、在平⾯直⾓坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂⾜为C ．若ABC ?的⾯积为2，求点B 的坐标．C B (m,n)A (1,2)Oyx6、点（1，3）在反⽐例函数y=xk的图象上，则k=__________，反⽐例函数的图象与性质反⽐例函数的图象与性质反⽐例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分⽀分别位于第⼀、三象限内，它们关于原点对称，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽减⼩（图1）；当0k <时，函数图象的两个分⽀分别位于第⼆、四象限内，它们关于原点对称，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽增⼤（图2）．O xy（图1）（图2）注意：⑴反⽐例函数k y x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分⽀连接起来．②叙述反⽐例函数的性质时，⼀定要加上“在每⼀个象限内”，如当0k >时，双曲线k y x=的两⽀分别在⼀、三象限，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽减⼩⑵由于反⽐例函数中⾃变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴⽆限贴近的趋势．例1、已知反⽐例函数y=x的图象经过点（a ，b ），（c ，d ），且b ＜d ＜0，则a 与c 的⼤⼩关系是（） A.a ＞c ＞0 B.a ＜c ＜0 C.c ＞a ＞0 D.c ＜a ＜0例2、已知3b =，且反⽐例函数1by x+=的图象在每个象限内，y 随x 的增⼤⽽增⼤，如果点（a ，3）在双曲线上1by x+=，则_____a =．例3、函数ky x=与y kx b =+在同⼀坐标系的图象⼤致是图中的（）例4、设反⽐例函数y=xm-3的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0则m 的取值范围是( ) 例5、三个反⽐例函数:(1)y=x k 1;（2）y=xk2;（3）y=x k 3在x 轴上⽅的图象如图17－1－7所⽰，由此推出k 1，k 2，k 3的⼤⼩关系是________.图17－1－7例6、已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a by x+=在同⼀坐标系中的图象不可能是( ) O yx xyO x yO x yO A. B. C. D.例7、若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反⽐例函数2图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的⼤⼩关系是（）A ．12b b <B ．12b b = C ．12b b > D ．⼤⼩不确定练习：1、已知反⽐例函数k y x=的图象在第⼆、第四象限内，函数图象上有两点()()1227,,5,A y B y ，1y 与2y 的⼤⼩关系为（） A ．12y y > B ． 12y y = C ． 12y y < D ．⽆法确定2、如图，反⽐例函数1k y x-=与⼀次函数(1)y k x =+只可能是（） O yx xyO x yO x yO A. B. C. D.3、已知图中的曲线是反⽐例函数5m y x-=（m 为常数）图象的⼀⽀．⑴这反⽐例函数图象的另⼀⽀在第⼏象限？常数m 的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正⽐例函数2y x =的图象在第⼀象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂⾜为B ，当OAB ?的⾯积为4时，求点A 的坐标及反⽐例函数的解析式．4、⽐例函数y=x 的图象与反⽐例函数y=xk的图象有⼀个交点的纵坐标是2，求：（1）x=－3时反⽐例函数y 的值；（2）当－3反⽐例函数的⾯积类问题例1、反⽐例函数xky =的图像如图所⽰，点M 是该函数图像上⼀点，MN 垂直于x 轴，垂⾜是点N ，如果2MON S ?=，则k 的值为（）A.2C.4D.4-例2、如图，正⽐例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反⽐例函数k y x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ?和Rt COD ?的⾯积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（）ODCBAxy（图3）A ．12S S >B ．1S =2SC ．1S <2SD ．不能确定例3、如图3所⽰，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=xk（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（－1，2）. （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利⽤图象直接写出当x 在什么范围内时，y 1>y 2.例4、已知⼀次函数y=kx+b 的图象与反⽐例函数y=x8-的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求：（1）⼀次函数的解析式；（2）△AOB 的⾯积.练习：1、在平⾯直⾓坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂⾜为C ．若ABC ?的⾯积为2，求点B 的坐标．2、过原点作直线交双曲线k y x=(0k >)于点A 、C ，过A 、C 分别作两坐标轴的平⾏线，围成矩形ABCD ，如图所⽰．⑴知矩形ABCD 的⾯积等于8，求双曲线的解析式；．3、如图，⼀次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上⼀点且PC 为AOB ?的中位线，PC 的延长线交反⽐例函数()0ky k x =>的图象于Q ，32OQC S ?=，则k 的值和Q 点的坐标？4、已知正⽐例函数1y k x =1(0)k ≠与反⽐例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正⽐例函数、反⽐例函数的表达式；（2）求点B 的坐标．5、如图，反⽐例函数ky x=的图像与⼀次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点．（1）求反⽐例函数与⼀次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反⽐例函数的值⼤于⼀次函数的值．作业：1、如图，已知()()424A n B --，，，是⼀次函数y kx b =+的图象和反⽐例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反⽐例函数和⼀次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ?的⾯积；（3）求⽅程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出）2、某医药研究所开发⼀种新药，成年⼈按规定的剂量限⽤，服药后每毫升⾎液中的含药量y（毫克）与时间t（⼩时）之间的。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点10 反比例函数考点总结一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y =x 和y =-x ，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•河北模拟）直线y＝ax+b与双曲线y=cx的图象如图所示，则a﹣b+c的结果（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法确定【分析】根据一次函数和反比例函数图象和系数的关系即可求得a＞0，b＜0，c＞0．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∵双曲线y=cx的图象在一、三象限，∴c＞0，∴a﹣b+c＞0，故选：A．2．（2021•滦南县二模）如图，菱形OABC在第二象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为2√3，则k的值为（）A．2√3B．−2√3C．4√3D．−4√3【分析】连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，由菱形的性质可得，AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE=12△AOC=12△AOD=√3=|k|2，即可求解．【解答】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，∵四边形OABC 是菱形，∴AO ∥CB ，OA ＝OC ，且∠AOC ＝60°， ∴△AOC 是等边三角形，且AE ⊥OC ， ∴S △AOE =12S △AOC =12S △AOD =√3， ∴|k|2=√3，∵k ＜0， ∴k ＝﹣2√3． 故选：B ．3．（2021•海港区模拟）如图，图①是函数y =1x （x ＞0）的图象，图②与图①关于直线y =−12对称，则②表示的函数是（ ）A ．y =1x −1(x ＞0) B ．y =1x +1(x ＞0) C ．y =−1x −1(x ＞0)D ．y =−1x +1(x ＞0)【分析】根据图象可知，原来的对称轴为x 轴，后来对称轴向下平移12单位，从而可以写出②表示的函数．【解答】解：∵图①是函数y =1x （x ＞0）的图象，图②与图①关于直线y =−12对称， ∴②表示的函数是y =−1x −1（x ＞0）， 故选：C ．4．（2021•河北模拟）如图，点A （1，n ）在双曲线y =3x(x ＞0)上，点A '从点A 开始，沿双曲线y =3x(x ＞0)向右滑动，则在滑动过程中，OA '的长（ ）A ．增大B ．减小C ．先增大，再减小D ．先减小，再增大【分析】先求出双曲线y =3x (x ＞0)与直线y ＝x 的交点坐标，然后结合图象可判断OA ′的长度随x 的变换情况．【解答】解：把A （1，n ）代入y =3x 得n ＝3，则A （1，3），∵双曲线y =3x(x ＞0)关于直线y ＝x 对称，与直线y ＝x 的交点坐标为（√3，√3）， ∴当1≤x ＜√3时，OA ′的长减小，当x ≥√3时，OA '的长增大． 故选：D ．5．（2021•路南区二模）如图，已知动点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上，动点P 在反比例函数y =1x （x ＞0）图象上，PA ⊥x 轴，当点A 的横坐标逐渐增大时，△PAB 的面积将会（ ）A ．越来越小B ．越来越大C ．不变D ．先变大后变小【分析】设点P （x ，1x） （x ＞0），过点B 作BC ⊥PA 可得BC ＝OA ＝x ，根据S △PAB =12PA •BC =12⋅1x ⋅x =12，可得出结果．【解答】解：如图，过点B 作BC ⊥PA 于点C ，则BC ＝OA ，设点P （x ，1x ） （x ＞0），则S △PAB =12PA •BC =12⋅1x ⋅x =12，当点A 的横坐标逐渐增大时，S △PAB 不变，始终等于12．故选：C ．6．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）在反比例函数y =4x（x ＞0）的图象上，若m 从1逐渐增大到5，则OP 的长（ ） A ．逐渐减小 B ．逐渐增大C ．先增大后减小D ．先减小后增大【分析】根据当P 为直线y ＝x 与反比例函数y =4x（x ＞0）的图象的交点时，OP 的长最小即可判断．【解答】解：∵当P 为直线y ＝x 与反比例函数y =4x （x ＞0）的图象的交点时，OP 的长最小，∴OP 的长先减小后增大， 故选：D ．7．（2021•路南区三模）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图，则一次函数y ＝ax +b 2﹣4ac 与反比例函数y =b+cx ．在同一坐标系内的图象大致为（ ）A．B．C．D．【分析】根据抛物线开口判断a的取值范围，与x轴交于两点判断b2﹣4ac＞0，抛物线交y轴负半轴得c的取值范围，根据对称轴的位置判断b的取值范围，从而判断两个函数所经过的象限，最后得出结论．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵−b2a＞0，∴b＜0．∵抛物线交y轴负半轴，∴c＜0．∴b+c＜0，∴反比例函数过二四象限．∵抛物线与x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0．∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac经过一二三象限．故选：C．8．（2021•路北区三模）小芳说：“我的矩形面积为6．”小丽说：“我的矩形周长为6．”则下面说法不正确的是（）A．小芳：我的矩形一组邻边满足反比例函数关系，你的矩形一组邻边满足一次函数关系B．小丽：你的矩形周长不可能是6，我的矩形面积也不可能是6C．同学小文：你们的矩形都可能是正方形D．同学小华：小丽的矩形面积没有最大值【分析】画出图形，根据选项依次判断即可．【解答】解：如图所设：A选项：由题意，可知ab＝6，2（x+y）＝6，∴b=6a，y＝﹣x+3，故A正确；B选项：2（a+6a）＝6，a+6a=3，∴a2﹣3a+6＝0，∵△＝9﹣4×6＜0，∴此方程无解，故小芳的矩形周长不可能等于6，S＝x（3﹣x），∴a2＝6，∴x2﹣3x+6＝0，此方程无解，故小丽的矩形面积不可能等于6，故B正确；C选项：a=6 a，∴a2＝6，∴a=√6（a=−√6不合题意，舍去），x＝﹣x+3，∴2x＝3，∴x=3 2，∴这两个矩形都可能是正方形，故C正确；D选项：S＝x（3﹣x），当x=32时，S有最大值，故D错误，故选：D．9．（2021•遵化市模拟）如图，是一个闭合电路，其电电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（）A．1A B．2A C．3A D．5A【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．【解答】解：设I=UR，当R＝4Ω时，I＝3A时，则3=U 4，解得：U＝12，故I=12 R，若电阻R增大2Ω，则电流I为：I=124+2=2（A）．故选：B．10．（2021•衡水模拟）已知反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=−34x+n的图象如图所示，点A（a，b），B（c，d）是两个图象的交点，下列命题：①过点A作AM⊥x轴，M为垂足，连接OA，若△AMO的面积为3，则k＝6；②若x＞c，则y1＞y2；③若a＝d，则b＝c；④直线AB分别与x轴、y轴交于点C，D，则BC＝AD．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．【解答】解：①过点A作AM⊥x轴，M为垂足，连接OA，∵△AMO的面积为3，∴|k|＝6，∵反比例函数y=kx的图象分别位于第一象限，∴k＞0，∴k＝6，正确，是真命题；②根据图象，当x＞c时，反比例函数的图象在一次函数y2=−34x+n的图象的上方，∴y1＞y2，正确，是真命题；③∵点A（a，b），B（c，d）是反比例函数y1=kx的图象上的点，∴k＝ab＝cd，∵a＝d，∴b＝c，正确，是真命题；④如图，作AM⊥x轴于M，BN⊥y轴于N，连接MN、AN、BM，∵S△AMN=k2，S△BMC=k2，∴S△AMN＝S△BMC，∴A、B两点到MN的距离相同，∴MN∥AB，∵AM∥OD，∴四边形AMND是平行四边形，∴AD＝MN，同理BC＝MN，∴AD＝BC，正确，是真命题，真命题有4个，故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）如图，四边形ABCD是菱形，已知A（1，2），B（2，1），D（2，3），反比例函数y=mx(x＞0)．（1）C点的坐标为（3，2）．（2）若双曲线y=mx(x＞0)的函数图象经过点A时，则双曲线一定经过图中的B（2，1）点．（3）双曲线与菱形ABCD有公共点时，请写出m的取值范围2≤m≤254．【分析】（1）设C （x ，y ），再由菱形的对角线互相平分即可得出结论；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m ＝1×2＝2而2×1＝2＝m ，即可判断双曲线一定经过图中的B 点；（3）求得双曲线过四个顶点m 的值，根据图象即可求得． 【解答】解：（1）设C （x ，y ），∵四边形ABCD 是菱形，A （1，2），B （2，1），D （2，3）， ∴1+x 2=2+22，2+y 2=1+32，解得x ＝3，y ＝2， ∴C （3，2）， 故答案为（3，2）； （2）∵双曲线y =mx(x ＞0)的函数图象经过点A （1，2）， ∴m ＝1×2＝2， ∵2×1＝2＝m ， ∴双曲线一定经过点B ， 故答案为B （2，1）；（3）∵C （3，2），D （2，3）， ∴CD 的中点为（52，52），当双曲线经过CD 的中点时，m =52×52=254，此时双曲线y =mx(x ＞0)与线段CD 相切， 当双曲线经过点A 或B 时，m ＝1×2＝2×1＝2， 当双曲线经过点D 或C 时，m ＝2×3＝3×2＝6， ∴双曲线与菱形ABCD 有公共点时，m 的取值范围2≤m ≤254， 故答案为：2≤m ≤254． 12．（2021•安次区一模）如下图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3…是分别以A 1，A 2，A 3…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y =4x （x ＞0）的图象上，则点C 1的坐标为 （2，2） ；y 1＝ 2 ；y 1+y 2+y 3+…+y 10的值为 2√10 ．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，分别求出C1，C2，C3…的坐标，进而确定y1，y2，y3…，再求和即可．【解答】解：过点C1，C2，C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1，D2，D3…，由题意可得，OD1＝C1D1＝D1A1，A1D2＝C2D2＝D2A2，A2D3＝C3D3＝D3A3，…，设OD1＝a，则C1（a，a），由点C1（a，a）在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，∴a•a＝4，解得a＝2（取正值），∴C1（2，2），∴y1＝2，设A1D2＝b，则C2（4+b，b），由点C2（4+b，b），在在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，∴（4+b）•b＝4，解得b＝2√2−2（取正值），∴y2＝2√2−2，设A2D3＝c，则C3（4√2+c，c），由点C3（4√2+c，c），在反比例函数y=4x（x＞0）的图象上，∴（4√2+c）•c＝4，解得c＝2√3−2√2（取正值），∴y3＝2√3−2√2，同理可求y4＝2√4−2√3，y5＝2√5−2√4，y6＝2√6−2√5，…，y10＝2√10−2√9，∴y1+y2+…+y10＝2+2√2−2+2√3−2√2+2√3−2√2+⋯+2√10−2√9=2√10，故答案为：（2，2），2，2√10．13．（2021•安次区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边三角形AOB 的顶点A 在第一象限，点B （3，0），双曲线y =kx （k ＞0，x ＞0）把△AOB 分成两部分． （1）双曲线与边OA ，AB 分别交于C ，D 两点，若OC ＝2，则k ＝ √3 ．（2）横纵坐标都为整数的点称为整点，若双曲线y =kx（k ＞0，x ＞0）把△AOB 分成的两部分内的整点个数相等（不含边界），则k 的取值范围为 1＜k ＜2 ． （3）点D 的横坐标为3+√52．【分析】（1）作CE ⊥OB 于E ，AF ⊥OB 于F ，根据等边三角形的性质得到A （32，3√32），进而求得C 的坐标，根据待定系数法即可求得k 的值；（2）根据反比例函数y =kx （k 为常数，k ≠0）的图象上点的横纵坐标之积为k 求得即可； （3）根据待定系数法求得直线AB 的解析式，解析式联立构成方程组，解方程组即可求得D 的横坐标．【解答】解：（1）作CE ⊥OB 于E ，AF ⊥OB 于F ， ∵△AOB 是等边三角形，B （3，0）， ∴OF ＝OB =32，OA ＝OB ＝AB ＝3， ∴AF =3√32，∴A （32，3√32）， ∵CE ∥AF ， ∴OE OF=CE AF=OC OA=23，∴OE =23OF ＝1，CE =23AF =√3， ∴C （1，√3），∵双曲线y =k x（k ＞0，x ＞0）与边OA ，AB 分别交于C ，D 两点， ∴k ＝1×√3=√3， 故答案为√3；（2）∵等边三角形△AOB 的顶点B （3，0）， ∴△AOB 内部的整数点为（1，1）和（2，1），∴双曲线y =kx （k ＞0，x ＞0）把△AOB 分成的两部分内的整点个数相等（不含边界），则k 的取值范围为1＜k ＜2，故答案为1＜k ＜2；（3）设直线AB 的解析式为y ＝ax +b ， ∵A （32，3√32），B （3，0）， ∴{32a +b =3√323a +b =0，解得{a =−√3b =3√3， ∴直线AB 的解析式为y =−√3x +3√3，解{y =−√3x +3√3y =√3x得x =3+√52或x =3−√52（舍去）， 故D 的横坐标为3+√52，故答案为：3+√52．14．（2021•桥东区二模）如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD 的顶点分别为A （1，2），B （4，2），C （7，5），曲线G ：y =kx （x ＞0）． （1）点D 的坐标为 （4，5） ．（2）当曲线G 经过▱ABCD 的对角线的交点时，k 的值为 14 ．（3）若G 刚好将▱ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则k 的取值范围是 12＜k ＜15 ．【分析】（1）根据平行四边形的性质，以及平移坐标变化规律即可得出答案； （2）根据两点中点坐标计算公式求出对角线交点E 的坐标，再代入反比例函数关系式可得答案；（3）先确定▱ABCD 边上及其内部的“整点”数，再结合反比例函数进行判断即可． 【解答】解：（1）∵▱ABCD 的顶点A （1，2），B （4，2）， ∴AB ＝CD ＝4﹣1＝3， 又∵C （7，5）， ∴点D （4，5）， 故答案为：（4，5）；（2）∵A （1，2），C （7，5）， ∴点E 的坐标为（1+72，2+52），即E （4，72），代入反比例函数关系式得，k ＝4×72=14，故答案为：14；（3）设直线AD 的解析式为y ＝mx +n ，则有{m +n =24m +n =5，解得{m =1n =1，∴直线AD 的解析式为：y ＝x +1，∴边AD 上的整点为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）， 由于 AB ＝DC ，故每一行均有4个整点，∴▱ABCD 边上及其内部的“整点”数为：4×4＝16（个）， 如图，当k ＝12时，y =12x 过点（3，4），（4，3），此时及y =12x下方共有8个整点， 而y =15x 过点（5，3），且（4，4）在y =15x 的上方，∴要使整点在两侧数量相同，则12＜k ＜15， 故答案为：12＜k ＜15．15．（2021•河北模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意的实数a （a ≠0），直线y ＝ax +a ﹣2都经过平面内一个定点A ．（1）点A 的坐标为 （﹣1，﹣2） ．（2）反比例函数y=bx的图象与直线y＝ax+a﹣2交于点A和另外一点P（m，n）．①b的值为 2 ．②当n＞﹣2时，m的取值范围为m＞0或m＜﹣1 ．【分析】（1）解析式化为y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，即可求得；（2）①根据待定系数法即可求得；②根据反比例函数的性质即可判定点P（m，n）在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．【解答】解：（1）∵y＝ax+a﹣2＝a（x+1）﹣2，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴直线y＝ax+a﹣2都经过平面内一个定点A（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2）；（2）①∵反比例函数y=bx的图象经过点A，∴b＝﹣1×（﹣2）＝2；②若点P（m，n）在第一象限，当n＞﹣2时，m＞0，若点P（m，n）在第三象限，当n＞﹣2时，m＜﹣1，综上，当n＞﹣2时，m＞0或m＜﹣1，故答案为2，m＞0或m＜﹣1．三．解答题（共3小题）16．（2021•路南区一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0，k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C．（1）求该反比例函数解析式；（2）当△ABC面积为4时，求点B的坐标；（3）在（2）的情况下，直线y＝ax﹣1过线段AB上一点P，求a的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝1×2＝2，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn ＝2，再根据△ABC 面积为4，可得12×BC ×（2﹣n ）＝4，解可得m 的值，进而可得n 的值，从而可得点B 的坐标；（3）把A 和B 的坐标代入y ＝ax ﹣1可得a 的取值范围．【解答】解：（1）∵反比例函数y =k x 的图象经过点A （1，2），∴k ＝2，∴反比例函数的解析式为y =2x ．（2）∵点B （m ，n ）的y =2x 图象上，∴n =2m ，即mn ＝2，∵S △ABC =12⋅m •（2﹣n ）=12m （2−2m ）＝4，∴m ＝5，∴n =2m =25， ∴B 的坐标为（5，25）．（3）将A （1，2），B （5，25）分别代入y ＝ax ﹣1得：a 1＝3，a 2=725， ∴a 的取值范围为725≤a ≤3．17．（2021•平泉市一模）如图，直线OC ：y ＝k 1x 与双曲线y =k 2x （x ＞0）交于点C （6，12），且横坐标为1的点P 也在双曲线y =k2x （x ＞0）上，直线l 经过点P ，C ． （1）k 1＝ 112 ，k 2＝ 3 ；（2）求直线l 的解析式；（3）设直线l 与y 轴交于点A ，将直线OC 沿射线CP 方向平移至点A 为止，直接写出直线OC 在平移过程中与x 轴交点横坐标的取值范围；（4）直接写出直线l 与双曲线y =k2x （x ＞0）围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点（横坐标和纵坐标都是整数）的坐标．【分析】（1）将C （6，12）代入y ＝k 1x 与y =k 2x 即得答案； （2）由y =3x 得P 坐标，再用待定系数法即可得直线l 解析式为y =−12x +72；（3）求出A 的坐标，即可得直线OC 平移后经过A 时的直线解析式，从而求得此时直线与x 轴交点横坐标，即可得答案；（4）画出图象，即可得到答案．【解答】解：（1）将C （6，12）代入y ＝k 1x 与y =k 2x 得：12=6k 1，12=k 26， 解得：k 1=112，k 2＝3， 故答案为：112，3；（2）由（1）可得双曲线y =3x ，将x ＝1代入y =3x 得y ＝3，∴P （1，3），设直线l 解析式为y ＝mx +n ，则{3=m +n12=6m +n ， 解得{m =−12n =72， ∴直线l 解析式为y =−12x +72；（3）在y =−12x +72中，令x ＝0得y =72，∴A （0，72）， ∴直线OC 沿射线CP 方向平移，平移后的直线过点A 时，直线解析式为：y =112x +72，在y=112x+72中，令y＝0得x＝﹣42，∴直线OC在平移过程中与x轴交点横坐标的取值范围是﹣42≤x≤0；（4）如图：由图可得：直线l与双曲线y=k2x（x＞0）围成的区域内（不含边界）整点的坐标是（2，2）、（4，1）．18．（2021•路南区三模）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使代数式x2﹣3xy与y2+xy和的值为1的（x，y）出现的概率；（3）求在y=−1x图象上的点（x，y）出现的概率．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）求出代数式x2﹣3xy与y2+xy和为（x﹣y）2，找出使其值为1的（x，y）出现的概率即可；（3）在y=−1x图象上的点（x，y）有（1，﹣1），（﹣1，1），再求出其概率即可．【解答】解：（1）用列表法表示（x，y）所有可能出现的结果如下：（2）所有可能出现的等可能结果共9种，其中使x2﹣3xy+y2+xy＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，和的值为1的（x，y）有：（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1），所以，满足条件的概率=2 9；（3）在y=−1x图象上的点（x，y）有（1，﹣1），（﹣1，1），所以，满足条件的概率=2 9．。

第一讲 反比例函数知识要点1、反比例函数的图象和性质：反比例函数(0)ky k x=≠ k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．2函数 正比例函数反比例函数解析式 (0)y kx k =≠(0)ky k x=≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围 全体实数0x ≠的一切实数图象的位置当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限．性质当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0k >时，y 随x 的增大而减小；当0k <时，y 随x 的增大而增大．xyOxyO一、定义1、下列函数中，y 是x 的反比例函数是（ ） （A ） 1)1(=-y x （B ） 11+=x y （C ） 21xy = （D ） x y 31=2、已知22)1(--=a xa y 是反比例函数，则a=____ ．3、若反比例函数y = (2m -1)22-m x 的图象在第二、四象限，则m = ，该反比例函数的解析式为 ；4. 已知y 与x -1成反比例，当x = 12 时，y = - 13，那么，当x = 2时，y 的值为 ；二、增减性1.如果点A (7，y 1)，B (5，y 2)在反比例函数y = x1的图象上，那么，y 1与y 2的大小关系是 ； 2、若M(12-,1y )、N(14-,2y )、P(12,3y )三点都在函数xy 4=的图象上， 则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）（A ）132y y y >> （B ）312y y y >> （C ） 213y y y >> （D ）123y y y >>3.点A (a ，b )，B (a -1，c )均在反比例函数y = 1x 的图象上，若a < 0, 则b c (填“>”、“<”或“=”)；4、在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>， 则k 的取值范围是 ．三、函数图像1、在同一直角坐标系中，函数y=kx-k 与(0)ky k x=≠的图像大致是（ ）2、如图，A 为反比例函数ky x=图象上一点，AB 垂直x 轴 于B 点，若AOB S ∆＝5，则k 的值为（ ） （A ） 10 （B ） 10- （C ） 5- （D ）25-3、某村的粮食总产量为a （a 为常数）吨，设该村的人均粮食产量为y 吨，人口数为x ， 则y 与x 之间的函数关系式的大致图像应为（ ）4、已知：甲、乙两地相距100千米，如果把汽车从甲地到乙地所用的时间y （小时）表示为汽车行驶的平均速度x （千米/小时）的函数，则此函数的图象大致是（ ）；四、综合题：1.已知y 与12-x 成反比例，且当1=x 时，2-=y 。