著名机构初中数学培优讲义角、角平分线.第03讲(A级).教师版

第1讲角平分线1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF.逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上.角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！模型讲解模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC理由：角平分线的性质结论：△DCB2△DEB模型2一BD平分∠ABC，且CD⊥BD理由：等腰三角形三线合一结论：△BDC≌△BDE模型3-BD平分∠ABC，AD//BC理由：平行线的性质结论：△ABD为等腰三角形【例题讲解】例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则BF EF的值是___________.【分析】要求BF EF 的值，一般来说不会直接把BF 和EF 都求出来，所以需要转化BF EF，当过点F 作FG ⊥AB 时，即可将BF EF 转化为BG AG ，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试.【解答】解：如图，作FG ⊥AB 于点GQ ∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF =BG AGQ AC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又Q BF 平分∠ABC ，∴FG =FC在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BF CF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BGQAC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴===- 例题2、如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________【分析】有AE 平分∠BAC ，且AE ⊥EC ，套用模型2，即可解决该题.【解答】解：如图，延长CE ，AB 交于点F .Q AE 平分∠BAC ，AE ⊥EC∴∠FAE =∠CAE ，∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中EAF EAC AE AEAEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△AFE ≌ACE （ASA ）∴AF =AC =16，EF =EC ，∴BF =6又Q D 是BC 的中点，∴BD =CD∴DE 是△CBF 的中位线∴DE =12BF =3 故答案为：3.例题3、如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .Q E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC∴∠CBM =∠EMBQ BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM∴EP +BP =EP +PM =EMQ CQ =13CE ，∴EQ =2CQ 由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ ∴ 2 212 12EM EQ EM BC EP BP BC CQ ==∴==∴+=【巩固练习】1、如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，做法用得到三角形全等的判定定方法是（）A.SASB.SSSC.ASAD.HL（第1题）（第3题）（第4题）2、三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点3、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于G.若使EF =14AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（）A.∠ABC =60°B.AB:BC =1：4C.AB:BC =5：2D.AB:BC =5：84、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC =10，则PQ的长为（）A.32B.52C.3D.45、如图，在△ABC中，∠C =90°，AC =BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE AB 于点E，若△BDE的周长是5cm，则AB的长为 .（第5题）（第6题）（第7题）6、如图，已知OB、OC为△ABC的角平分线，DE∥BC交AB、AC于D、E，△ADE 的周长为15，BC长为7，则△ABC的周长为 .7、如图，在△ABC中，点D在BC上，BM平分∠ABD，BM⊥AD，N是AC的中点，连接MN，若AB =5，BC =8，则MN = .8、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC =2，则DF的长为 .（第8题）（第9题）（第10题）9、如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB =6，AC =3，则BE = .10、如图所示，在四边形ABCD中，AD/∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，BE =2AE，若四边形AECD的面积为1，则四边形ABCD的面积为 .11、如图，在e O的内接四边形ABCD中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 .（第11题）（第12题）12、已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD =BE =6，则AC的长等于 .13、将弧BC沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=8，DB=10，则BC的长是.（第13题）14、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？15、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.16、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC=180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；17、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长；（2）求证：DG平分∠EDF.18、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A 不重合），∠BPC =∠BPA，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.19、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B （m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA =90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

内容基本要求略高要求 较高要求相交线 平行线了解余角、补角、对顶角，知道等角（同角）的余角相等，等角（同角）的补角相同；了解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，了解点到直线的距离的意义；了解线段垂直平分线及其性质；会用三角尺和直尺过直线外一点做这条直线的平行线；会用直尺或量角器过一点做已知直线的垂线；会用线段垂直平分线的性质解决简单问题；相交直线的概念及性质如果直线a 与直线b 只有一个公共点，则称直线a 与直线b 相交，O 为交点，其中一条是另一条的相交线． 相交线的性质：两直线相交只有一个交点．4321DCB A邻补角的概念：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做互为邻补角. 如图中，1∠和3∠，1∠和4∠，2∠和3∠，2∠和4∠互为邻补角. 互为邻补角的两个角一定互补，但两个角互补不一定是互为邻补角。

对顶角的概念及性质：（1）对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 我们也可以说，两条直线相交成四个角，其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.如图中，1∠和2∠，3∠和4∠是对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等。

垂线的概念及性质：（1）垂线的概念：垂直是相交的一种特殊情况，两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线，它例题精讲中考要求相交线们的交点叫垂足.如图所示，可以记作“AB CD 于O ”DCBA（2）垂线的性质：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短.同位角、内错角、同旁内角的概念：①同位角：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角(两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁)叫做同位角如图所示，∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8都是同位角.②内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且位置交错，(即分别在第三条直线的两旁)，这样的一对角 叫做内错角，如图中，∠3与∠5，∠4与∠6都是内错角③同旁内角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角，如图中，∠3与∠6，∠4与∠5都是同旁内角.87654321FE D CBA看图识角：（1）“F ”型中的同位角.如图.FMNDB F M NCAMNDB EMNECA（2）“Z ”字型中的内错角，如图.N MDANMBC（3）“U”字型中的同旁内角.如图.NMCAMNDB一、对顶角与邻补角【例1】 判断正误：（1）三条直线两两相交有三个交点（ ） （2）两条直线相交不可能有两个交点．（ ）（3）在同一平面内的三条直线的交点个数可能为0，1，2，3．（ ）（4）同一平面内的n 条直线两两相交，其中无三线共点，则可得()112n n -个交点．（ ）（5）同一平面内的n 条直线经过同一点可得()21n n -个角（平角除外）．（ ） 【解析】（1）⨯．因为“两两相交”包含三条直线交于一点的情况．（2）√．假设两条直线有两个交点，这说明经过两点的直线有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以两条直线相交只能有一个交点，不可能有两个． （3）√．因为如下图三直线的位置关系如下：（丁）（丙）（乙）（甲）（4）√．（5）√．【答案】（1）⨯；（2）√；（3）√；（4）√；（5）√．【例2】 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？【解析】很容易得到最少的交点个数是1个；对于最多的情况，不妨从简单情况入手，画图探索规律，1个交点 3个交点 6个交点 10个交点从中发现规律，平面内n 条直线两两相交最多有：(1)12(1)2n n n ⨯-+++-=L 个交点，那么平面内两两相交的6条直线最多有15个交点.n 条直线最多可将平面分成几部分？仍可以从简单情况入手，画图探索规律，(图可用上图)：1条直线最多可将平面分成2部分；1条直线最多可将平面分成4部分；1条直线最多可将平面分成7部分；1条直线最多可将平面分成10部分；……发现规律，n 条直线最多可将平面分成：(1)11212n n n ⨯+++++=+L 部分.【答案】最少有1个，最多有15个交点【例3】 如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC =100°，则∠BOD 的度数是（ ）A 、20°B 、40°C 、50°D 、80°【解析】利用角平分线的性质和对顶角相等即可求得．【答案】因为∠EOC =100°，OA 平分∠EOC ，所以∠BOD =∠AOC =×100°=50度．故选C ．【点评】本题考查了角平分线和对顶角的性质，在相交线中角的度数的求解方法．【例4】 以下说法正确的是（ ）A 、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角B 、两条直线相交，任意两个角都是对顶角C 、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角D 、两角的两边分别在同一直线上，这两个角互为对顶角 【解析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．两条直线相交，构成的四个角中相邻的角，有公共顶点，两角的两边分别在同一直线上，如果这两条直线互相垂直时，相邻的角还相等，但这样的角不是对顶角．【答案】A 、有公共顶点，并且相等的两个角是对顶角，不符合对顶角的定义，错误；B 、两条直线相交，只有两边互为反向延长线的两个角是对顶角，任意两个角都是对顶角的说法错误；C 、两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确；D 、两角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或者邻补角，错误． 故选C ．【点评】本题考查对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点．反向延长线等．【例5】 下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个【解析】根据对顶角的定义进行判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．【答案】根据对顶角的定义可知：图中只有第二个是对顶角，其它都不是．故选C【点评】本题考查对顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等．【例6】若∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB比∠BOC大18°，则∠AOB的度数是（）A、54°B、81°C、99°D、162°【解析】设∠AOB=x，则∠BOC=180°﹣x，根据题意∠AOB比∠BOC大18°可求出∠AOB的度数．【答案】设∠AOB=x°，则∠BOC=180°﹣x°，又∠AOB比∠BOC大18°，∴∠AOB﹣∠BOC=18°，即x°﹣（180°﹣x°）=18°，解得：x=99°．故选C．【点评】本题考查邻补角的知识，比较简单，注意在解答时要细心．【例7】如图所示，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2和∠3的度数．【解析】由已知∠FOC=90°，∠1=40°结合平角的定义，可得∠3的度数，又因为∠3与∠AOD互为邻补角，可求出∠AOD的度数，又由OE平分∠AOD可求出∠2．【答案】∵∠FOC=90°，∠1=40°，AB为直线，∴∠3+∠FOC+∠1=180°，∴∠3=180°﹣90°﹣40°=50°．∠3与∠AOD互补，∴∠AOD=180°﹣∠3=130°，∵OE平分∠AOD，∴∠2=∠AOD=65°．【点评】本题主要考查邻补角的概念以及角平分线的定义．【例8】如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠BOC﹣∠BOD=20°，求∠BOE的度数．【解析】根据邻补角的定义和性质，结合已知∠BOC﹣∠BOD=20°，可求∠BOC、∠BOD的度数，利用对顶角相等，得∠AOC的度数，利用角平分线的定义，可求∠EOC的度数，从而求出∠BOE．【答案】∵∠BOC﹣∠BOD=20°且∠BOC+∠BOD=180°，∴∠BOC=100°，∠AOC=80°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=∠AOC=40°，∴∠BOE=∠BOC+∠EOC=140°．【点评】本题考查邻补角的定义和对顶角的性质以及角平分线的定义，是一个需要熟记的内容．【例9】当光线射入水中，光线的传播方向发生改变，这就是折射现象．如图所示，插入水中的筷子变弯了，就是一种折射现象，图中的∠1和∠2是对顶角吗？比较∠1与∠2的大小关系并说明理由．【解析】两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．两条直线相交，构成两对对顶角．互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）．对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系．【答案】∠1和∠2不是对顶角，因为不是两条直线相交形成的角，∠1＞∠2，因为可延长入射光线即得到∠1的对顶角∠3而∠2在∠3的内部，故∠3＞∠2，即∠1＞∠2．【点评】本题考查对顶角的定义及性质，注意对顶角的定义中的关键词，如：一个公共顶点，反向延长线等．【例10】直线AB，CD相交于点O，∠BOC=40°．（1）写出∠BOC的邻补角；（2）求∠AOC，∠AOD，∠BOD度数．【解析】（1）根据邻补角的概念可求∠BOC的邻补角是∠BOD与∠AOC；（2）根据对顶角的性质可求∠AOC，根据邻补角的概念可求∠AOC，再利用对顶角的性质可求∠BOD．【答案】（1）∠BOC的邻补角是∠BOD与∠AOC．（2）∵∠BOC=40°，∴∠AOD=∠BOC=40°，∵∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣40°=140°，∴∠BOD=∠AOC=140°，∴∠AOC、∠AOD、∠BOD 的度数分别为140°、40°、140°．【点评】本题考查了邻补角、对顶角，解题的关键是理解邻补角、对顶角的概念，并会运用其性质．【例11】小明同学认为对顶角可以这样定义：顶点公共，而且相等的角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确请举一个反例，并对“对顶角”正确定义．【解析】不正确，可以通过作图举出反例，然后给出一个正确的定义即可．【答案】不正确，如图，∠AOB=∠COD，且其有公共的顶点O，但不是对顶角．对顶角的定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫对顶角．【点评】此题主要考查学生对对顶角定义的理解．二、垂直于垂线【例12】 下列说法中正确的是（ ）①点到直线的距离是点到直线所作的垂线; ②两个角相等，这两个角是对顶角;③两个对顶角互补，则构成这两个角的两条直线互相垂直; ④连接直线外一点到直线上所有点的线段中垂线段最短. A.①② B. ②③ C.③④ D.②④ 【解析】略【答案】C【例13】 如图，已知90ACB ∠=°．CD AB ⊥，垂足为D ，则点A 到直线CB 的距离为线段 的长；线段DB 的长为点 到直线 的距离．图1D CBA【解析】AC ，B ，CD初学的同学做此题很容易做错，有一种线段太多不易判断的感觉，实际上在看图时，只要把一相关的线暂时隐藏，问题就可以解决．例如：观察点A 到直线CB 的距离时，眼中只有点A 与CB ，然后自己画出其垂线段，再看所画线段与谁重合．【答案】AC ，B ，CD【例14】 如图，直线AB 与CD 相交于O ，OE CD ⊥，OF AB ⊥，65DOF ∠=°，求BOE ∠和AOC ∠的度数． 【解析】∴906525BOD ∠=-=°°°（垂直定义）．∴25AOC BOD ∠=∠=°（对顶角相等）．∵OE CD ⊥，∴902565BOE ∠=-=°°°（垂直定义）．本题综合运用了两角互余、对顶角相等等性质．由已知条件和观察图形，可知BOD ∠与DOF ∠互余，BOE ∠与BOD ∠互余，BOD ∠和AOC ∠的对顶角，利用这些关系可解此题．【答案】25AOC ∠=°；65BOE ∠=°【例15】 如图，在直角三有形ABC 中，90C ∠=°，CD AB ⊥于D ，比较线段AC 、AB 、CD 的大小．图1DC B A【解析】由90C∠=°可知，AC BC⊥，故AC AB<（垂线段最短）又CD AB⊥，故CD AC<（垂线段最短）故CD AC AB<<．【答案】CD AC AB<<【例16】如图，A点处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处，①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是什么？图2ABCO【解析】①走线段OA，因为两点之间线段最短；②如图，过点O作OD BC⊥，垂足为D，走线段OD，因为垂线段最短.【答案】如图图3ABCDO【例17】如图，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短?画图表示，并说明设计的理由。

卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。

这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。

年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．（2012扬州）EDB C A EDBC A【解析】 如图，连接DE ．设x AC =则x BC -=2，∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝x 22，CE ＝()x -222， ∴∠DCE ＝90°， 故()()1122221212222222+-=+-=-+=+=x x x x x CE DC DE ， 当1=x 时，2DE 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1．夯实基础模块一 实际应用问题知识导航【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。