初三数学反比例函数讲义

第1讲反比例函数【经典例题】1．下列函数：①y＝﹣2x；①y＝；①y＝x﹣1；①y＝5x2+1，是反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．若函数y＝（m+1）是反比例函数，则m的值为（）A．m＝1B．m＝﹣1C．m＝±1D．m≠﹣13．已知函数y＝（m2+2m）（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．4．（2020•青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．5．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣2，﹣1）C．（1，2）D．（2，1）6．（2020•营口）反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（2018•绥化）已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞38．（2020•广州）已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、第四象限，化简：﹣+．9．画出反比例函数y＝﹣的大致图象，结合图象回答：（1）当x＝2时，y的值；（2）当1＜x≤4时，y的取值范围；（3）当﹣2≤y≤﹣时，x的取值范围．10．已知反比例函数y＝的图象经过点A（2，﹣4）．（1）求k的值．（2）若点B（m，﹣6）在这个反比例函数的图象上，则m＝．（3）点A（x1，y1）B（x2，y2）均在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，比较y1，11．（2020•广州）如图，平面直角坐标系xOy中，▱OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．（1）求k的值和点M的坐标；（2）求□OABC的周长．12．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC ⊥x轴于点C，连接OA，AB．（1）求k的值．（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．二、作业：1．下列函数：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝，y是x的反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．反比例函数y＝（m+1）x﹣1中m的取值范围是（）A．m≠1B．m≠﹣1C．m≠±1D．全体实数3．（2020•威海）一次函数y＝ax﹣a与反比例函数y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．直线y＝k1x+b与双曲线y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式＞k1x+b 的解集为．5．（2018•河池）关于反比例函数y＝的图象，下列说法正确的（）A．经过点（2，3）B．分布在第二、第四象限C．关于直线y＝x对称D．x越大，越接近x轴6．直线y＝ax+b与双曲线y＝的图象，如图所示，则（）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＜0C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＜0，b＜0，c＞07．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，1）．（1）求k的值；（2）判断下列各点否在这个图象上（﹣0.5，2），（4，﹣0.5），（，﹣6）8．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y＝的图象经过点C（3，m）．（1）求菱形OABC的周长；（2）求点B的坐标．9．反比例函数在第二象限的图象与矩形OABC的边交于D，E，BE＝2CE，点B的坐标是（﹣6，3）．（1）求k的值；（2）求线段DE的解析式．。

《反比例函数》讲义一、什么是反比例函数在数学的世界里，函数就像是一座桥梁，连接着不同的变量和它们之间的关系。

而反比例函数，就是其中独特而重要的一种。

反比例函数的一般形式为：y ＝ k/x（k 为常数，k ≠ 0，x ≠ 0）。

通俗地说，当两个变量 x 和 y 的乘积始终等于一个非零常数 k 时，我们就说 y 是 x 的反比例函数。

例如，如果有一个矩形的面积始终为 12 平方米，设长为 x 米，宽为 y 米，那么就有 xy ＝ 12，即 y ＝ 12/x，这里的 y 就是 x 的反比例函数。

二、反比例函数的图像反比例函数的图像是一种特殊的曲线，它有自己独特的性质。

以 y ＝ 2/x 为例，我们来绘制它的图像。

首先，我们可以通过给 x 取值，计算出对应的 y 值，得到一些点的坐标。

比如，当 x ＝ 1 时，y ＝ 2；当 x ＝ 2 时，y ＝ 1；当 x ＝－1 时，y ＝－2 等等。

然后，把这些点在坐标系中描出来，并用平滑的曲线连接起来，就得到了反比例函数的图像。

反比例函数的图像有两个分支，分别位于第一、三象限或者第二、四象限，这取决于常数 k 的正负。

当 k ＞ 0 时，图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。

当 k ＜ 0 时，图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。

三、反比例函数的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称。

这意味着如果点（a, b) 在反比例函数的图像上，那么点（a, b) 也一定在图像上。

2、渐近线当 x 趋近于 0 或者无穷大时，反比例函数的图像会无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。

对于 y ＝ k/x，x 轴和 y 轴就是它的渐近线。

3、定义域和值域定义域为x ≠ 0，值域为y ≠ 0。

四、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有很多应用。

比如，在物理学中，当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。

第讲反比例函数1．掌握反比例函数的概念、图象及性质；2．利用相关知识解决实际问题．模块一反比例函数的图形与性质问题11.我们知道，导体的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR当U=220V时(1)你能用含有R的代数式表示I吗?(2)利用写出的关系式完成下表：R/Ω20 40 60 80 100I/A(4)变量I是R的函数吗?为什么?亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现。

因为当电流I较小时，灯光较暗；反之，当电流较大时，灯光较亮。

问题2京沪高速铁路全长约1300km ，列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系?变量t 是v 的函数吗?为什么?1、定义：一般地，形如 y =xk （k 是常数，k ≠0 ）的函数叫做反比 例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）在y = xk 中，自变量x 是分式xk 的分母，当x ＝０时，分式xk 无意义，所以x 的取值范围是x ≠ 0的一切实数；（3）解析式有三种常见的表达形式：①y =xk （k ≠ 0）；②xy = k （k ≠0）；③y =k 1x （k ≠0）；（4）反比例函数一定存在反比例关系，但存在反比例关系的函数不一定是反比例函数。

1、反比例函数的图象y=2x列表建立直角坐标系描点2、反比例函数的图象反比例函数)0,(≠=k k xk y 是常数的图象是（ ）线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象。

2、反比例函数的性质 如下图：3、k 的符号作用：4、K 值的几何意义：从反比例函数)0,(≠=k k xk y 是常数的图象上任选一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积：S =||21xy =12k 。

5、对称性：①关于原点对称，②关于直线x y ±=对称。

一、反比例函数的定义函数kyx=（k为常数，0k≠）叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二、反比例函数的图象反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数kyx=与kyx=-（0k≠）的图象关于x轴对称，也关于y轴对称．三、反比例函数的性质反比例函数kyx=（k为常数，0k≠）的图象是双曲线；当0k>时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当0k<时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意：⑴反比例函数kyx=（0k≠）的取值范围是0x≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当0k>时，双曲线kyx=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．这是由于0x≠，即0x>或0x<的缘故．如果笼统地叙述为0k<时，y随x的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图象和x轴、y轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．反比例函数的图象及性质四、反比例函数解析式的求法反比例函数的解析式(0)ky k x=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．五、比例系数k 的几何意义过反比例函数()0ky k x=≠，图象上一点()P x y ，，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.题型一 考察反比例函数的定义及解析式的确定【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有（ ） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【例2】 已知y 与2x 成反比例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（ ）A ． 正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．以上都不是【例3】 若函数||1a y x-=是反比例函数，则a 的值为（ ）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±【例4】 已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式．【例5】 已知反比例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是 ．【例6】 如图，点P 在反比例函数()10y x x=>的图象上，且横坐标为2． 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点'P ．则在第一象限内，经过点'P 的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．()50y x x=-> B ．()50y x x=> C ．()60y x x=->D ．()60y x x=> 【例7】 已知212y y y =+，其中1y 与x 成正比例，2y 与x 成反比例，且当2x =和3x =时，y的值都为l9，求y 与变量x 的函数关系式．二、反比例函数的图象及性质1.反比例函数的图象分布及增减性【例8】 在下图中，反比例函数21k y x+=的图象大致是（ ）ABC【例9】 函数ky x=（0k >）的图象可能是（ ）A. B. C. D.【例10】 函数ky x=与y kx b =+在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）ABCD【例11】 函数(0)ky k x=≠的图象如图所示，那么函数y kx k =-的图象大致是（ ）AD【例12】 函数y x m =+与(0)my m x=≠在同一坐标系内的图象可以是（）ABD【例13】 已知反比例函数12my x-=的图象上两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是__ ___．【例14】 已知反比例函数ky x=的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点()()12,5,A y B y ，则1y 与2y 的大小关系为（ ）A ．12y y >B ． 12y y =C ． 12y y <D ． 无法确定2.与反比例函数有关的面积不变性 【例15】 反比例函数xky =的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）A. 2B. 2-C. 4D. 4-【例16】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例17】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B点，矩形OAPB 的面积为9，则该反比例函数的解析式为 .【例18】 在平面直角坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．【例19】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． ⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．反比例函数与几何综合【例20】 已知点(1，3)在函数ky x=(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数ky x=(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.【例21】 如图，点A (m ，1m +)，B (3m +，1m -)都在反比例函数ky x=的图象上． （1）求m ，k 的值；（2）如果M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．【例22】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数4y x=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标.【例23】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例24】 如图，如果函数y x =-与4y x=-的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，求BOC ∆的面积.【例25】 如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例函数2k y x=的图像交于()()143A B m ，，，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．。

初中数学反⽐例函数讲义反⽐例函数的解析式1、反⽐例函数的定义函数ky x=（k 为常数，0k ≠）叫做反⽐例函数，其中k 叫做⽐例系数，x 是⾃变量，y 是函数， 2、反⽐例函数解析式的特征⑴等号左边是函数y ，等号右边是⼀个分式。

分⼦是不为零的常数k （也叫做⽐例系数k ），分母中含有⾃变量x ，且指数为1.⑵⽐例系数0≠k⑶⾃变量x 的取值为⼀切⾮零实数。

⑷函数y 的取值是⼀切⾮零实数。

3、反⽐例函数解析式的求法反⽐例函数的解析式(0)k y k x=≠中，只有⼀个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反⽐例函数的解析式；因此，只需给出⼀组x 、y 的对应值或图象上⼀点的坐标，利⽤待定系数法，即可确定反⽐例函数的解析式。

例1、下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，⼀定是反⽐例函数的有（） A ．1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个例2、若函数||1a y x-=是反⽐例函数，则a 的值为（）． A ． a 为任意实数 B ． 0a > C ． 1a ≠ D ． 1a ≠±例3、已知反⽐例函数的图象经过点()3,2和(),2m -，则m 的值是练习：1、已知y 与2x 成反⽐例，当3x =时，4y =，则y 是x 的（）A ．正⽐例函数B ．⼀次函数C ．反⽐例函数D ．以上都不是2、已知()2212m m y m m x +-=+是关于x 的反⽐例函数，求m 的值及函数的解析式．3、在反⽐例函数y=x2的图象上的⼀个点的坐标是（）A.（2，1)B.（－2，1)C.（2，21) D.（21,2） 4、已知212y y y =+，其中1y 与x 成正⽐例，2y 与x 成反⽐例，且当2x =和3x =时，y 的值都为19,求y 与变量x 的函数关系式．5、在平⾯直⾓坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂⾜为C ．若ABC ?的⾯积为2，求点B 的坐标．C B (m,n)A (1,2)Oyx6、点（1，3）在反⽐例函数y=xk的图象上，则k=__________，反⽐例函数的图象与性质反⽐例函数的图象与性质反⽐例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分⽀分别位于第⼀、三象限内，它们关于原点对称，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽减⼩（图1）；当0k <时，函数图象的两个分⽀分别位于第⼆、四象限内，它们关于原点对称，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽增⼤（图2）．O xy（图1）（图2）注意：⑴反⽐例函数k y x=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分⽀连接起来．②叙述反⽐例函数的性质时，⼀定要加上“在每⼀个象限内”，如当0k >时，双曲线k y x=的两⽀分别在⼀、三象限，在每⼀个象限内，y 随x 的增⼤⽽减⼩⑵由于反⽐例函数中⾃变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴⽆限贴近的趋势．例1、已知反⽐例函数y=x的图象经过点（a ，b ），（c ，d ），且b ＜d ＜0，则a 与c 的⼤⼩关系是（） A.a ＞c ＞0 B.a ＜c ＜0 C.c ＞a ＞0 D.c ＜a ＜0例2、已知3b =，且反⽐例函数1by x+=的图象在每个象限内，y 随x 的增⼤⽽增⼤，如果点（a ，3）在双曲线上1by x+=，则_____a =．例3、函数ky x=与y kx b =+在同⼀坐标系的图象⼤致是图中的（）例4、设反⽐例函数y=xm-3的图象上有两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），且当x 1<0则m 的取值范围是( ) 例5、三个反⽐例函数:(1)y=x k 1;（2）y=xk2;（3）y=x k 3在x 轴上⽅的图象如图17－1－7所⽰，由此推出k 1，k 2，k 3的⼤⼩关系是________.图17－1－7例6、已知0a ≠，0b ≠，0a b +≠则函数y ax b =+与a by x+=在同⼀坐标系中的图象不可能是( ) O yx xyO x yO x yO A. B. C. D.例7、若A （1a ，1b ），B （2a ，2b ）是反⽐例函数2图象上的两个点，且 12a a <，则1b 与2b 的⼤⼩关系是（）A ．12b b <B ．12b b = C ．12b b > D ．⼤⼩不确定练习：1、已知反⽐例函数k y x=的图象在第⼆、第四象限内，函数图象上有两点()()1227,,5,A y B y ，1y 与2y 的⼤⼩关系为（） A ．12y y > B ． 12y y = C ． 12y y < D ．⽆法确定2、如图，反⽐例函数1k y x-=与⼀次函数(1)y k x =+只可能是（） O yx xyO x yO x yO A. B. C. D.3、已知图中的曲线是反⽐例函数5m y x-=（m 为常数）图象的⼀⽀．⑴这反⽐例函数图象的另⼀⽀在第⼏象限？常数m 的取值范围是什么？⑵若该函数的图象与正⽐例函数2y x =的图象在第⼀象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂⾜为B ，当OAB ?的⾯积为4时，求点A 的坐标及反⽐例函数的解析式．4、⽐例函数y=x 的图象与反⽐例函数y=xk的图象有⼀个交点的纵坐标是2，求：（1）x=－3时反⽐例函数y 的值；（2）当－3反⽐例函数的⾯积类问题例1、反⽐例函数xky =的图像如图所⽰，点M 是该函数图像上⼀点，MN 垂直于x 轴，垂⾜是点N ，如果2MON S ?=，则k 的值为（）A.2C.4D.4-例2、如图，正⽐例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反⽐例函数k y x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ?和Rt COD ?的⾯积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（）ODCBAxy（图3）A ．12S S >B ．1S =2SC ．1S <2SD ．不能确定例3、如图3所⽰，已知直线y 1=x+m 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线y 2=xk（k<0）分别交于点C 、D ，且C 点坐标为（－1，2）. （1）分别求直线AB 与双曲线的解析式；（2）求出点D 的坐标；（3）利⽤图象直接写出当x 在什么范围内时，y 1>y 2.例4、已知⼀次函数y=kx+b 的图象与反⽐例函数y=x8-的图象交于A 、B 两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是－2，求：（1）⼀次函数的解析式；（2）△AOB 的⾯积.练习：1、在平⾯直⾓坐标系中，函数ky x=(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂⾜为C ．若ABC ?的⾯积为2，求点B 的坐标．2、过原点作直线交双曲线k y x=(0k >)于点A 、C ，过A 、C 分别作两坐标轴的平⾏线，围成矩形ABCD ，如图所⽰．⑴知矩形ABCD 的⾯积等于8，求双曲线的解析式；．3、如图，⼀次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A B P ，，为AB 上⼀点且PC 为AOB ?的中位线，PC 的延长线交反⽐例函数()0ky k x =>的图象于Q ，32OQC S ?=，则k 的值和Q 点的坐标？4、已知正⽐例函数1y k x =1(0)k ≠与反⽐例函数22(0)k y k x=≠的图象交于A B 、两点，点A 的坐标为(21)，．（1）求正⽐例函数、反⽐例函数的表达式；（2）求点B 的坐标．5、如图，反⽐例函数ky x=的图像与⼀次函数y mx b =+的图像交于()13A ，，()1B n -，两点．（1）求反⽐例函数与⼀次函数的解析式；（2）根据图像回答：当x 取何值时，反⽐例函数的值⼤于⼀次函数的值．作业：1、如图，已知()()424A n B --，，，是⼀次函数y kx b =+的图象和反⽐例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反⽐例函数和⼀次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ?的⾯积；（3）求⽅程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）；（4）求不等式0mkx b x+-=的解集（请直接写出）2、某医药研究所开发⼀种新药，成年⼈按规定的剂量限⽤，服药后每毫升⾎液中的含药量y（毫克）与时间t（⼩时）之间的。