初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版

初三数学对直角三角形的再认识 知识精讲 人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：对直角三角形的再认识二. 教学重难点：1. 锐角三角函数的概念。

2. 解直角三角形的理论依据。

（1）在ABC t R ∆中，∠C=90°b①两锐角互余——∠A+∠B=90°②三边关系——勾股定理：222c b a =+，变式2222bc a b a c -=+=③边、角关系——锐角三角函数：邻边对边，斜边邻边，斜边对边===tanA cosA A sin 。

（2）特殊的直角三角形：①含30°的直角三角形：在ABC t R ∆中，∠C=90°，∠A=30°，则AB 21BC ,60B =︒=∠，三边之比为2:3:1。

②含45°的直角三角形：在ABC t R ∆中，∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，AC=BC,三边之比为2:1:1。

（3）直角三角形中有斜边中线： 在ABC t R ∆中，D 为AB 中点，则AB 21CD =，即AD=DB=CD ，ADC ∆、CDB ∆均为等腰三角形。

（4）直角三角形中有斜边高线：在ABC t R ∆中，∠C=90°，AB CD ⊥，则∠1=∠B ，∠2=∠A 。

ACD t R ∆∽CBD Rt ∆∽ABC Rt ∆。

由相似得对应边成比例，可得到： .AB BD BC ;AB AD AC ;DB ADCD 222⋅=⋅=⋅=由面积公式，得AB CD BC AC ⋅=⋅3. 特殊角的三角函数值：记忆方法：3【典型例题】例1. （1）在ABC Rt ∆中，∠C=90°，a=1，c=4，则A sin 的值是（ ）A.1515B.41C.31D.415 （2）如图，在ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=6，32sinB =，那么AB 的长是（ ）A. 4B. 9C. 53D. 52（3）在ABC ∆中，∠B=45°，∠A=105°，AC=6，则AB 的长是（ ） A. 63 B. 23 C. 22 D. 26 解：（1）画出草图，运用定义求解。

九年级数学复习解直角三角形某某教育版【本讲教育信息】一、教学内容复习解直角三角形二、学习目标：1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用锐角三角函数来表示直角三角形中两边的比。

2. 熟记30、45、60角的各个三角函数值，会计算含有特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊角的三角函数值计算角。

3. 理解并掌握直角三角形中边、角之间的关系，会用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，锐角三角函数解直角三角形。

4. 会用解直角三角形的有关知识解某些简单实际问题，进一步理解数形结合的思想。

三、重点、难点重点理解锐角三角函数，应用其解直角三角形；难点是解决一些生活实际问题。

（一）熟练掌握直角三角形的边角关系如图，ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系：=A sin ba A tan ,cb A cos ,c a ==，所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素。

解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： 类型已知条件 解法两边两直角边a ，bA90B ,b aA tan ,b a c 22-︒==+= 一直角边a ，斜边cA90B ,c aA sin ,a c b 22-︒==-=一边、一锐角一直角边a ，锐角A斜边c ，锐角AA cos c b ,A sin c a ,A 90B ⋅=⋅=-︒=（二）弄清解直角三角形的涵义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

1. 隐含条件是直角，这是前提条件，也是已知条件。

2. 已知条件：必有两个，且必有一边才能解直角三角形。

因为边角的组合有边边、边角、角角，但角角不能确定三角形的大小，更无法求其边长，所以不能解三角形。

第一章直角三角形的边角关系一、本章知识要点：1、锐角三角函数的概念；2、解直角三角形。

二、本章教材分析：（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。

如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。

显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。

2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。

这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。

3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。

4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。

同时要强调三角函数的实质是比值。

防止学生产生sinX=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。

如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。

5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。

九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：直角三角形的边角关系二. 教学目标：1. 理解锐角三角函数的概念，熟练掌握直角三角形的边角之间的关系。

2. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。

3. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

三、重点及难点：重点：1. 会计算含30°，45°，60°角的三角函数值的问题。

2. 能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。

四. 课堂教学［知识要点］1. 如图，在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边的对边A A A tan ∠∠=∠A 的对边A ∠A 的邻边 C2. A tan 的值越大，梯子越陡。

3. 正切也经常用来描述山坡的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比））4. ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A sin ∠=5. ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A cos ∠=6. sinA 的值越大，梯子越陡； cosA 的值越小，梯子越陡。

7. 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。

8.9. 测量底部可以到达的物体的高度。

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离。

如图，要测量物体MN 的高度，可按下列步骤进行：（1）在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE=α。

（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l 。

（3）量出测倾器的高度AC=a （即顶线成水平位置时，它与地面的距离）。

则物体MN=ME+EN=l tan α+a10. 测量底部不可以到达的物体的高度。

陈老师家庭课堂辅导讲义A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D ．１∶211、在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.511题 图 12题图 13题图12、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A ．32 B ．76 C ．256D ．2 13、如图所示，已知点EF 、分别是ABC △中AC AB 、边的中点，BE CF 、相交于点G ，2FG =，则CF 的长为（ ）A ．4B ．4. 5C ．5D ．614、三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图7所示）.现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．14题图 15题图15如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD= ．16．如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=12，BC=9．则它的重心G 到C 点的距离是 ．17题 图AF E C BG B C A 16题 图17．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝_____cm18.如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在线段 BD 、AB 上，EF ∥AD ，DE ∶EB =2∶3，EF =9，那么BC 的长为 ．19如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE ＝2EB ，AD ＝8 cm ，AD ＝8 cm ，BC ＝14 cm ， 则S梯形A 。

教学过程课前检测1、不改变数的大小，把下面各小数改写成两位小数。

0.3 24.2500100.5 752、将下列小数按从小到大的顺序排列。

0.50.5060.605 0.056 0.065 0.56（）3、把3.33的小数点先向左移动1位，再向右移动2位，得到的数是（）。

4、填入适当的小数或整数。

82厘米=（）米 6.14元=6元（）角（）分9吨145千克 =（）吨 5.02千克=（）千克（）克7平方分米=（）平方米5.6平方分米=（）平方分米（）平方厘米5、把下面各数改写成以“万”作单位的数。

72500= 65200000吨=3200000人=6、把下面各数改写以“亿”作单位的数，再精确到个位。

426000000 24090000000知识纵横知识点一：三角形的特性①三角形的高：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段②三角形的底：这条对边叫做三角形的底三角形的性质：①物理特性：三角形具有稳定性（不易变形）②边的特性：三角形任意两边的和大于第三边知识点二：三角形的分类按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形1、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

2、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

（其他两个角必定是锐角）3、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

（其他两个角比定是锐角）4、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

知识点三：三角形的内角和180三角形的内角和等于。

1、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)2、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)3、等边三角形是特殊的等腰三角形知识点四：图形的拼组1、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。

解直角三角形的说课稿一、教材分析本节课是鲁教版初中数学九年级上册第一章的复习课，本章由锐角三角函数的定义、特殊角三角函数值、解直角三角形及应用三部分内容构成，这部分内容是初中数学的重要内容之一。

一方面是在学生已经学习了直角三角形及有关性质，如直角三角形的两锐角互余，勾股定理及其逆定理及直角三角形的相关性质，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半等知识的前提下，对直角三角形的边与角之间的关系的进一步探讨与学习、应用，也是在学习了方程、整式的计算、直角三角形的性质、全等和相似等知识的基础上对直角三角形的研究进一步深入和拓展;另一方面，也是前面所学知识的应用，和学生以后进一步学习三角函数和解斜三角形的预备知识。

本章内容既是前面所学知识的应用，也是学生以后进一步学习三角函数和解斜三角形的预备知识，它的学习还蕴含着深刻的数学思想方法（转化化归），另外由于解直角三角形在实际生活中应用非常广泛，且在后面的圆的相关运算中也多有涉及，本章主要讲解锐角的三角函数，学生升入高一级的学府还要继续学习三角函数，因此本章的内容具有承上启下的作用，所以本章内容在教材中有着非常重要的地位与作用。

二、教学目标：由于本节课主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。

在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前两者充分体现在过程与方法中，因此，我确定以下教学目标。

知识与技能：1.熟记锐角三角函数的定义，能进行有关计算。

2.牢记特殊角的三角函数值，能进行有关计算。

3.会应用三角函数解直角三角形。

4.会应用解直角三角形的知识解决实际问题。

过程与方法：通过学习，提高将实际问题转化为数学问题来解决的能力，培养生活中应用数学的意识。

情感与价值：通过学习，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识，能应用于社会实践，从而体会探索，发现科学的奥秘和意义。

第一章 直角三角形的边角关系第1节 锐角三角函数导入：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?【知识梳理】1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。

即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。

跟踪练习：1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.3、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.4、在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.5、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lha =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

■例2拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽BC 为6m ，坝高为3.2m ，为了提高拦水坝的拦水能力，需要将水坝加高2m ，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD 的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i=1：2变成i’=1：2.5（有关数据在图上已标明）。

求加高后的坝底HD 的宽为多少？跟踪练习：1、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)2、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-----锐角三角函数与解三角形授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握锐角三角函数的几何意义及计算公式；②掌握特殊角的三角函数值，并能进行熟练计算；③能根据题目已知条件，进行解三角形；④能利用三角函数进行简单的应用，并解决问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、 知识概念（一） 三角函数的概念1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范) 如图，在 ABC Rt ∆中，（1）的邻边的对边A A A ∠∠=tan ＝ a b（2）斜边的对边A A ∠=sin ＝ a c（3）斜边的邻边A A ∠=cos ＝ b c2、定义中应该注意的几个问题（1）sinA 、cosA 、tanA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形) （2）sinA 、 cosA 、tanA 是一个比值（数值）（3）sinA 、 cosA 、tanA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

（二）特殊角的三角函数值度 数 sin αcos αtan α30°2123 33 45°22 22 160°23 21 3ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边ABCABC（三）三角函数之间的关系1、余角关系：在∠A+∠B=90°时B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A2、同角关系sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan AAA = （四）斜坡的坡度1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示，l hi ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．（3）方向角：平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．（五）解三角形1、定义锐角A 的正弦，余弦和正切都是∠A 的三角函数，直角三角形中，除直角外，共5个元素：3条边和2个角．除直角外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可利用以上关系求出另外3个元素．2、解直角三角形应用题的步骤（1）根据题目已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系．（2）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决．3、解三角形关系解直角三角形时，正确选择关系式是关键：（1）求边时一般用未知边比已知边，去找已知角的某一个三角函数；（2）求角时一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个三角函数；（3）求某些未知量的途径往往不唯一，其选择的原则：①尽量直接使用原始数据；②计算简便；③若能用乘法应避免除法．考点一：三角函数的概念例1、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，AC=1，那么∠A的正切tanA等于（）A．B．2C．D．【解析】∵∠C=90°，AB=，AC=1，∴BC==2，则tanA==2，故选：B．例2、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【解析】B．例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．【解析】C．考点二：特殊角的三角函数值例1、在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣tanB）2=0，则∠C的度数为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】D．例2、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．【解析】原式=•+（）2﹣+2×=+﹣+=1+．例3、【解析】原式=1×﹣4××+×=﹣+=．考点三：斜坡的坡度例1、一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（）A．斜坡AB的坡度是10°B．斜坡AB的坡度是tan10°C．AC=1.2tan10°米D．AB=米【解析】B．例2、一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500米，则它上升的最大高度为（）A．500sinαB．C．500cosαD．【解析】A．考点四：解三角形例1、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于（）A．2B．3 C．3D．2【解析】∵AC=6，∠C=45°，∴AD=AC•sin45°=6×=6，∵tan∠ABC=3，∴=3，∴BD==2，故选：A．例2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，tanA=，AB=15，AC=9．【解析】9．例3、如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【解析】（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【解析】D．2、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【解析】D．3、在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB【解析】D．4、已知∠A为锐角，且tanA=，那么下列判断正确的是（）A．0＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【解析】B．5、在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2=0，则∠C=（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解析】D．6、如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为14+2米．【解析】如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD•cos∠DCE=8×=4（米），∴DE=4米，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴=，即=…①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，=…②，①②联立，解得x=14+2（米）．故答案为：14+2．7、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠BAC等于．【解析】设小正方形的边长为1，过C作CF⊥AB于F，由勾股定理得：AB==2，AC==2，BC=2，由三角形面积公式得：AB×CF=BC×AE，2×CF=2×2，解得：CF=，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AF==，tan∠BAC===，8、计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．【解析】原式=3×﹣2×﹣×1=﹣﹣=﹣．9、如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，AB与CE相交于点F，∠ACB=∠E=90°，∠A=30°，∠D=45°，BC=6，求CF的长．【解析】过F作FM⊥BC于M，则∠FMC=∠FMB=90°，∵∠ECD=45°，∴∠CFM=45°=∠FCM，∴CM=FM=CF×sin45°=CF，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠FBM=60°，∴BM==CF×=CF，∵BC=CM+BM=6，∴CF+CF=6，解得：CF=18﹣6．➢课后反击1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【解析】B．2、已知α为锐角，且sinα=，那么α的余弦值为（）A．B．C．D．【解析】D．3、在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．等边三角形C．含60°的任意三角形D．是顶角为钝角的等腰三角形【解析】A．4、在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinB，cosB，tanB中最小的是（）A．tanB B．sinB C．cosB D．sinB或cosB 【解析】C．5、如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为．【解析】6、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为【解析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AC=，AB=3，BC=4，△ABC的面积为：×AB×CE=6，∴×CB×AD=6，解得AD=，CD==，tan∠ACB==．7、某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为26米．【解析】268、计算：6tan260°﹣cos30°•tan30°﹣2sin45°+cos60°．【解析】原式=6×（）2﹣×﹣2×+=18﹣﹣+=18﹣．9、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，BC=10，试求CD的长．【解析】过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，BC=10，∴∠ABC=30°，AC=10，∵AB∥CF，∴BM=BC×sin30°=10×=5，CM=BC×cos30°=15，在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM﹣MD=15﹣5．直击中考1、【2015•丽水】如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A．B．C．D．【解析】C．2、【2012•内江】如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．【解析】B．3、如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）A．B．C．D．【解析】连接BD，选B．4、【2014•德州】如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）A．4米B．6米C．12米D．24米5、【2012•深圳】小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A．（6+）米B．12米C．（4﹣2）米D．10米【解析】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2（米），EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，CE=2（米），CE：DE=1：2，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故选：A．6、【2015•湖北】如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．【解析】过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、正弦，余弦，正切的概念2、特殊角的三角函数值3、斜坡的坡度4、解三角形名师点拨1、sinA、cosA、tanA是一个比值（数值），大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关2、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关键。

三角形讲义（一）知识讲解三角形：由不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的图形叫三角形。

三角形的三要素：⎪⎩⎪⎨⎧在三角形内部的角内角：相邻两边组成的端点顶点：相邻两边的公共线段边：组成三角形的三条三角形的表示方法：如果三角形的三个顶点为A 、B 、C ，三角形可表示为ABC ∆三角形三边的表示法：三角形的三边都是线段，可用表示线段的办法表示边。

用表示端点的两个大写字母或一个小写字母表示。

三角形的周长：用代数式表示为c b a C ++=。

三角形的面积：用代数式表示为Cab ah S ∠==sin 2121 三角形的稳定性：如果三角形的三边固定，那么三角形的形状和大小就固定了。

三角形的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧钝角三角形锐角三角形斜角三角形直角三角形按角分类等边三角形腰、底不相等等腰三角形不等边三角形按边分类三角形 三角形的三线和五心三线⎪⎩⎪⎨⎧高线中线角平分线角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的线段。

定理：三角形的三条角平分线交于一点。

已知：AD,BD 分别平分ABC ∆的内角B A ∠∠,，求证：CD 平分C ∠证明：过点D 作AC DF BC DE ⊥⊥,,AB DG ⊥CCD DFDE DEDG BCDE AB DG B DFDG ACDF AB DG A ∠∴=∴=∴⊥⊥∠=∴⊥⊥∠平分平分平分,,BD ,,AD注意：角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

三角形的中线：连接三角形一个顶点和它对边的中点的线段。

定理：三角形的三条中线交于一点。

已知：AF,BD 分别是ABC ∆的中线，CE 过AF,BD 的交点，求证：CE 是ABC ∆的中线。

证明：连接DF,与CE 交于点G 。

,,11//,,221212D E AC BC DF DH DF AB DG AE AB DB DG DH EB DB DG EB AE EB CE ABC ∴===∴==∴=∴=∴∆分别是的中点是的中线三角形的高线：从三角形的顶点向对边做垂涎，顶点与垂足之间的线段。

苏版初三数学三角形知识点整理下面是小编为了关心同学们学习数学知识而整理的人教版初三数学三角形知识点整理，期望能够关心到同学们!三角形分类：⑴按边分;⑵按角分1.定义(包括内、外角)2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。

⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

⑶角与边：在同一三角形中，3.三角形的要紧线段讨论：①定义②线的交点三角形的心③性质①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线⑴一样三角形⑵专门三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形4.专门三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质5.全等三角形⑴一样三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)⑵专门三角形全等的判定：①一样方法②专用方法6.三角形的面积⑴一样运算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7.重要辅助线⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线8.证明方法⑴直截了当证法：综合法、分析法⑵间接证法反证法：①反设②归谬③结论⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一样在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。

什么缘故在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在19 78年就尖锐地提出:“中小学语文教学成效差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时刻,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数只是关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其要紧缘故确实是腹中无物。

专门是写议论文,初中水平以上的学生都明白议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的差不多结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。

初三数学等边三角形的相关定理；直角三角形的相关定理北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 等边三角形的相关定理2. 直角三角形的相关定理教学目标：1. 熟练掌握并应用等边三角形的判定及性质定理2. 熟练掌握并应用直角三角形的性质定理、勾股定理及逆定理3. 熟练掌握并应用“HL”定理4. 结合具体例子掌握逆命题、逆定理5. 进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力二. 重点、难点：重点：1. 等边三角形的相关定理及直角三角形的相关定理的应用2. 准确地写出命题的逆命题，并会判断原命题及逆命题的真假难点：具体问题的分析思路和证明过程。

课堂教学：［知识要点］1. 等边三角形的性质：①等边三角形的三边相等，三个角相等且等于60°②等边三角形有三条对称轴2. 等边三角形的判定：①三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形③三个角相等（都是60°）的三角形是等边三角形3. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

4. 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

5. 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（HL）6. 定义：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

【典型例题】例1. 已知△ABC和△ADE都是等边三角形，B、C、D在同一条直线上。

求证：CE ＝CA+CD证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴====∠=∠=AB BC CA AD DE EA BAC DAE ，，60 又 ∠=∠+∠∠=∠+∠BAD BAC CAD CAE DAE CAD ，∴∠=∠BAD CAE在△ABD 和△ACE 中EAB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，， ∴≅=∆∆ABD ACE BD CE ，又 BD BC CD CE BC CD CA CD =+∴=+=+， 即CE CA CD =+例2. 如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD ＝AB ，AE ＝AC 。