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群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
第五章 完全转动群§1 转动和欧拉角三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系()()θπθ−=−2n n R R ，故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。
现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,若有关系：()()()αβγ123R R R =，我们来看如何确定轴3和转动角γ。
首先我们作一个单位球面，球心O 点。
于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。
（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。
这样，OC 轴就是我们要找的Bα/2β/2图七、转动的乘积.轴3。
进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。
上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个群：完全转动群。
对任何两个转动相同角度θ的转动操作()θ1n R 和()θ2n R ，总是存在另一个转动Q ，使得()θ2n R =Q ()θ1n R 1−Q ，Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1n R 和()θ2n R 彼此共轭。
现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述三个相继转动：(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。
此转动将使坐标轴z y x ,,变为z z y x =111,,；(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1y R 。
数学中的群论群论是数学中一个重要的分支，在代数学领域中占有重要地位。
它研究的是一种代数结构称为群。
群论的概念和理论对于深入理解和解决许多数学问题都起着关键的作用。
本文将介绍群论的基本概念、性质以及在数学中的应用。
一、群的定义和基本性质群是一个集合G，配合一个二元运算"*"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G.2. 结合性：对于任意的a，b，c∈G，(a*b)*c = a*(b*c).3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e = e*a = a.4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b = b*a = e.群论的基本性质包括：1. 结合律：对于群G中的任意元素a，b，c，有(a*b)*c = a*(b*c).2. 单位元唯一：群G的单位元是唯一的，记作e.3. 逆元唯一：群G中的每个元素a都有唯一的逆元b，满足a*b = b*a = e.4. 取消律：对于群G中的任意元素a，b和c，如果a*b = a*c，那么b = c.二、群的例子1. 整数加法群：整数集合Z构成一个群，其中的二元运算为加法。
2. 整数乘法群：非零整数集合Z*构成一个群，其中的二元运算为乘法。
3. 实数集合R上的乘法群：实数集合R中除去0以外的元素构成一个群，其中的二元运算为乘法。
4. 矩阵群：所有n阶可逆矩阵构成一个群，其中的二元运算为矩阵乘法。
5. 置换群：n个元素的置换构成一个群，其中的二元运算为置换的复合运算。
三、群的作用和应用1. 群在密码学中的应用：群论在密码学中具有广泛的应用，如素数取模、离散对数、RSA加密等加密算法都与群有关。
2. 群在物理学中的应用：群论在量子力学、粒子物理学等多个物理学领域中起着重要的作用，如对称群、李群等。
3. 群在图论中的应用：图的自同构和等价性质的研究中，群论的方法被广泛应用，极大地推动了图论的发展。
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
