群论-5 群论与量子力学

群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。

哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。

（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。

但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。

（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。

第五章 完全转动群§1 转动和欧拉角三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系()()θπθ−=−2n n R R ，故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。

现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,若有关系：()()()αβγ123R R R =，我们来看如何确定轴3和转动角γ。

首先我们作一个单位球面，球心O 点。

于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。

（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。

这样，OC 轴就是我们要找的Bα/2β/2图七、转动的乘积.轴3。

进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。

上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个群：完全转动群。

对任何两个转动相同角度θ的转动操作()θ1n R 和()θ2n R ，总是存在另一个转动Q ，使得()θ2n R =Q ()θ1n R 1−Q ，Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1n R 和()θ2n R 彼此共轭。

现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述三个相继转动：(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。

此转动将使坐标轴z y x ,,变为z z y x =111,,；(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1y R 。

数学中的群论群论是数学中一个重要的分支，在代数学领域中占有重要地位。

它研究的是一种代数结构称为群。

群论的概念和理论对于深入理解和解决许多数学问题都起着关键的作用。

本文将介绍群论的基本概念、性质以及在数学中的应用。

一、群的定义和基本性质群是一个集合G，配合一个二元运算"*"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a*b仍然属于G.2. 结合性：对于任意的a，b，c∈G，(a*b)*c = a*(b*c).3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e = e*a = a.4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b = b*a = e.群论的基本性质包括：1. 结合律：对于群G中的任意元素a，b，c，有(a*b)*c = a*(b*c).2. 单位元唯一：群G的单位元是唯一的，记作e.3. 逆元唯一：群G中的每个元素a都有唯一的逆元b，满足a*b = b*a = e.4. 取消律：对于群G中的任意元素a，b和c，如果a*b = a*c，那么b = c.二、群的例子1. 整数加法群：整数集合Z构成一个群，其中的二元运算为加法。

2. 整数乘法群：非零整数集合Z*构成一个群，其中的二元运算为乘法。

3. 实数集合R上的乘法群：实数集合R中除去0以外的元素构成一个群，其中的二元运算为乘法。

4. 矩阵群：所有n阶可逆矩阵构成一个群，其中的二元运算为矩阵乘法。

5. 置换群：n个元素的置换构成一个群，其中的二元运算为置换的复合运算。

三、群的作用和应用1. 群在密码学中的应用：群论在密码学中具有广泛的应用，如素数取模、离散对数、RSA加密等加密算法都与群有关。

2. 群在物理学中的应用：群论在量子力学、粒子物理学等多个物理学领域中起着重要的作用，如对称群、李群等。

3. 群在图论中的应用：图的自同构和等价性质的研究中，群论的方法被广泛应用，极大地推动了图论的发展。

第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。

【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。

群论在量子力学中的应用量子力学是描述微观世界的一种理论框架，它涉及到原子、分子、以及更小尺度的粒子。

在这个领域中，群论作为一种数学工具得到广泛应用。

群论能够帮助我们理解并解决许多与量子力学相关的问题。

本文将探讨群论在量子力学中的应用。

1. 群论的基本概念在谈论群论在量子力学中的应用之前，我们首先需要了解群论的基本概念。

群论是一种抽象代数学的分支，用于研究对象之间的对称性。

群是指由一组元素和一种二元运算构成的代数结构，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。

2. 对称性与守恒量在量子力学中，对称性与守恒量密切相关。

对称性描述了系统在变换下的不变性，而守恒量是因为对称性而导致的物理量保持不变。

群论提供了一种系统研究和分类对称性的工具，通过分析体系的群结构，我们可以确定守恒量的性质以及它们之间的关系。

3. 角动量的群表示角动量是量子力学中的重要概念，描述粒子的旋转性质。

通过群论的方法，我们可以分析系统的对称性以及对称操作对应的群表示。

在量子力学中，角动量的群表示是非常重要的工具，可以用来推导粒子的能谱、选择定则等物理现象。

4. 能带理论中的群表示能带理论是固体物理学中重要的理论框架，用于描述电子在晶格结构中的行为。

在能带理论中，群表示提供了一种研究晶体对称性和电子能带性质的方法。

通过将晶体的对称操作与群表示相联系，我们可以解释和预测金属、绝缘体、半导体等材料的电子结构特性。

5. 量子力学中的对称性破缺群论不仅适用于描述对称性，也适用于描述对称性破缺的现象。

在量子力学中，对称性破缺是一种重要的现象，它导致了许多重要的物理效应，如超导性、反常霍尔效应等。

通过群论的方法，我们可以研究对称性破缺的机制以及其对系统性质的影响。

6. 几何相位和拓扑物态几何相位和拓扑物态是现代量子力学研究的热点领域。

群论在研究几何相位和拓扑物态中发挥了重要作用。

通过群表示和拓扑群等工具，我们可以研究材料的拓扑性质、拓扑不变量等重要概念，为新型材料的设计和发现提供了理论基础。

物理学中的群论 教材类别
在物理学中，群论通常作为一门数学工具被引入，用于研究对称性、守恒律、场论等方面。

因此，关于物理学中的群论，你可以在以下几个教材类别中寻找相关资料：
数学物理教材：
这类教材专注于将数学方法引入物理学中，包括群论在对称性和守恒律方面的应用。

通常，这些教材可以帮助学生理解群论在解决物理问题中的重要性。

量子力学教材：
量子力学是一个广泛应用群论的领域，特别是在描述粒子的对称性和态空间的变换方面。

相关的量子力学教材通常会涉及群论的基本概念和应用。

场论和对称性教材：
场论和对称性是物理学中群论应用最为显著的领域之一。

在这方面的教材通常会深入讨论群论在对称性研究、拉格朗日场论等方面的应用。

高能物理和粒子物理学教材：
群论在描述基本粒子和它们之间相互作用时发挥了关键作用。

相关的教材通常会介绍群论的基本概念，以及在研究高能物理和粒子物理学中的应用。

数学教材：
有一些专注于数学本身的教材，其中包括群论的基础知识和高级应用。

这对于那些希望深入了解数学背后的理论的学生和研究人员可能会有帮助。

你可以在学术图书馆、在线图书商店或大学教材部分找到相关的教材。

一些常见的作者包括Michael Artin、Georgi、Wu-Ki Tung等。

在选择教材时，建议查看教材的内容、目录以及是否包含与物理学中群论应用相关的章节。

量子力学5条基本假设
1、量子力学假设粒子由基本的结构元素组成，称为“渊子”，他们是由波函数来描述的。

渊子有无穷多种不同状态，受到物理环境影响，可以发出或接收粒子，通常表现为潮汐或光子。

2、量子力学假设所有质子行为都可以用群论（集合论）来描述，它们都可以按照一定的系统和结构来描述，如坐标系等。

3、量子力学假设物体间相互作用，会靠着能量的交换，引起不同的物理现象，比如势垒的形成，电磁场的形成，以及磁力场的产生。

4、量子力学假设物质性质是由物质的组成成分所决定的，而不是物质的本身所决定的，即同样的物质，其物理性质是因为它组成元素的不同而有所差异的。

5、量子力学假设受激原子在受到激发或沟通时，只能处于特定的状态，称为量子态，即只能处于以某个特定频率辐射能量的情况下，这称为量子态禁限定律。

1 群论在化学中的应用
2 科学家
若尔当（1838～1922）Jordan 法国数学家(2013-03-16 06:29:35)
若尔当（1838～1922）
Jordan，Marie Ennemond Camille
法国数学家。

又译约当。

1838年1月5日生于里昂。

若尔当的主要工作是在分析和群论方面。

他的《分析教程》是19世纪后期分析学的标准读本。

他指出简单闭曲线将平面分成两个区域，现称若尔当定理。

30岁时他已系统地发展了有限群论并应用到E.伽罗瓦开创的方向上，是使伽罗瓦理论显著增色的第一个人。

他研究了有限可解群。

他在置换群方面的工作收集在《置换论》一书中，这是此后30年间群论的权威著作。

他最深入的代数工作是群论中的一系列有限性定理。

他的著名的学生有F.克莱因和M.S.李等。

恩格尔(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing) 3 事件。

代数学中的群论知识代数学是数学的一个重要分支，研究的是各种代数结构及其性质。

而群论则是代数学中的一个重要分支，它研究的是一种抽象的代数结构，称为群。

群论的发展对于数学的发展起到了重要的推动作用。

本文将介绍一些群论的基本概念和性质，以及一些与群论相关的应用。

群的定义和基本性质群是代数学中一个基本的概念，它是一个集合，配上一个二元运算，并满足四个基本性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。

首先，群的封闭性指的是对于群中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于该群。

这意味着群的运算是“内部”的，不会产生新的元素。

其次，群的结合律指的是对于群中的任意三个元素进行运算，先对前两个元素进行运算，然后再与第三个元素进行运算，或者先对后两个元素进行运算，然后再与第一个元素进行运算，得到的结果是相同的。

再次，群中存在一个单位元，它是群中的一个特殊元素，对于群中的任意元素，与单位元进行运算后得到的结果等于该元素本身。

单位元在群中的作用类似于数学中的零元。

最后，群中的每个元素都有一个逆元，对于群中的任意元素，存在一个与之相乘后得到单位元的元素，称为该元素的逆元。

逆元的存在保证了群中的每个元素都可以“撤销”。

群的基本性质还包括唯一性、消去律和幂等性等。

群的唯一性指的是在给定群的情况下，群的定义是唯一确定的。

消去律指的是如果群中的两个元素的乘积等于另外两个元素的乘积，那么这两个元素相等。

幂等性指的是群中的任意元素与自身进行运算后得到的结果等于该元素本身。

群的例子和分类群的例子有很多，其中最简单的例子就是整数集合Z上的加法运算构成的群。

在这个群中，单位元是0，每个整数都有一个相反数作为逆元。

这个群满足群的所有基本性质。

另一个例子是正整数集合N上的乘法运算构成的群。

在这个群中，单位元是1，每个正整数都有一个倒数作为逆元。

这个群也满足群的所有基本性质。

群的分类是群论的一个重要问题。

根据群的性质，可以将群分为有限群和无限群、交换群（或称为阿贝尔群）和非交换群等。