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群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
群论在量子力学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是某种集合上带有某种运算的结构。
在量子力学领域，群论扮演着至关重要的角色。
本文将介绍群论在量子力学中的应用，揭示其在这一领域中的重要性和深远影响。
一、对称性与群论1.1 群的定义群是一个集合G，配备有一个二元运算（通常用乘法表示），并满足以下条件：（1）封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；（2）结合律：对于任意的a、b和c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；（3）存在单位元：存在一个元素e∈G，使得对于任意的a∈G，a*e=e*a=a；（4）存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^(-1)∈G，使得a*a^(-1)=a^(-1)*a=e。
1.2 对称群与守恒量在量子力学中，对称性与守恒量密切相关。
对称群指的是保持给定物理系统性质不变的所有操作的集合。
例如，对于一维无限深势阱中的粒子，其对称群为平移操作构成的无限循环群。
1.3 量子力学的对称变换量子力学中，对称变换是指将波函数进行某种变换后，系统的物理性质保持不变。
通过应用群论的概念，可以对对称性进行深入研究，从而探索守恒量和相应的算符。
二、群表示与物理量2.1 群表示的定义群表示是指将群中的元素映射到线性空间上的一个变换。
对于量子力学中的算符，常常用矩阵形式表示，称为线性算符表示。
2.2 群表示的重要性群表示在量子力学中有着广泛应用。
通过对称群的表示，可以得到守恒量的操作矩阵，从而进一步研究量子力学中的各种物理现象。
2.3 时空对称性与洛伦兹群时空对称性是指物理现象在时空坐标变换下具有不变性。
洛伦兹群是描述时空对称性的群，它包括平移、旋转和洛伦兹变换。
2.4 自旋与旋转群自旋是粒子的基本属性之一，与旋转群密切相关。
旋转群描述了自旋在角动量空间中的转动，通过群表示可以研究自旋的各种性质和行为。
三、群论与量子力学的实例3.1 氢原子与球面对称群氢原子是量子力学中研究的经典系统，其波函数具有球面对称性。
第五章 完全转动群§1 转动和欧拉角三维实空间中的任一转动均可由转动轴（n ：单位向量）和转动角θ来描写，即()θn R ，由于显然有关系()()θπθ−=−2n n R R ，故我们可取转动角θ的范围为πθ≤≤0。
现在考虑相继的两次转动，关于轴1转α角:()α1R 和关于轴2转β角:()β2R ,若有关系：()()()αβγ123R R R =，我们来看如何确定轴3和转动角γ。
首先我们作一个单位球面，球心O 点。
于是轴1对应球面上的A 点，轴2对应球面上的B 点。
（如右图所示）球面上的C 点和D 点使得CAB ∠（平面OAC 与平面OAB 的夹角）与DAB ∠（平面OAB 与平面OAD 的夹角）均为2/α和CBA ∠（平面OAB 与平面OBC 的夹角）与DBA ∠（平面OAB 与平面OBD 的夹角）均为2/β，于是很明显，()α1R 的作用将C 点变到D 点，而()β2R 的作用将D 点变到C点，于是，相继的()β2R ()α1R 作用使得C 点不动。
这样，OC 轴就是我们要找的Bα/2β/2图七、转动的乘积.轴3。
进一步，我们知道，()α1R 作用后，A 点是不动的，而()β2R 的作用将A 点变到'A 点，因此()γ3R 的作用也应该将A 点变到'A 点，于是转角γ即为平面OCA 与平面'OCA 的夹角。
上述事实确实表明，转动操作()θn R 构成一个群：完全转动群。
对任何两个转动相同角度θ的转动操作()θ1n R 和()θ2n R ，总是存在另一个转动Q ，使得()θ2n R =Q ()θ1n R 1−Q ，Q 转动将转动轴1n 变为2n ，转动操作()θ1n R 和()θ2n R 彼此共轭。
现在，我们用三个欧拉角来表述转动：任一三维的转动()θn R 均可表为下述三个相继转动：(1) 关于z 轴转α角()πα20≤≤：()αz R 。
此转动将使坐标轴z y x ,,变为z z y x =111,,；(2) 关于1y 轴转β角()πβ≤≤0：()β1y R 。
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r H ρˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g ρρ1-=，()r f ρ为任意函数，有：故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r Hρρ（由()r f ρ为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρρ='，()()()r H r H r g H ρρϖˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρˆˆ= 即当哈密顿算符()r H ρˆ在函数变换算符gP 的作用下不变时，则()r H ρˆ与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hρˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g Hg G H ρρˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hρρˆˆ= 令r g r ρρ='，则'1r g r ρρ-=，代入得：()'ˆ1r gg H ρ-，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
群论与哈密顿算符哈密顿算符的变换性质：设哈密顿算符为 ()Hr ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r =由于1()()()Rg r P g Rr g R Rr -==()()()g Rr H Rr f Rr =由此得1()()()()()()R R RH r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此1()()R RH r P H Rr P -= （1-1） 由于11,R E R R E R p p p p p p --==则11RR p p --=这样（1-1）可表示为1()()R RH r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r而 ()()HRr H r =则（1-2）变为 ()()R RH r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。
哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。
（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是HE ϕϕ=其中 ()22()2Hr V r m=-∇+我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。
但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2∇亦是不变的，因此()()H Rr H r =这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。
（晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数）H （r ）的本征函数与基函数：（1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数——设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ϕ存在，满足方程()(),(1,2,,)n nH r E r n l ϕϕ== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则()()R n R nH P r EP r ϕϕ= 上式表明，函数()R n P r ϕ同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征函数，由于E 是L 重简并的，所以，本征函数()R n P r ϕ必然是L 个本征函数{()}n r ϕ的线性组合，即1()()()lR n m nm m P r D R r ϕϕ==∑ （1-3）对每一个n （1—L ）都成立。
群论与量子力学外尔群论，作为数学的一个分支，在物理学中有广泛的应用，尤其是在量子力学中。
它为描述和分类物理系统的对称性提供了一种强大的数学工具。
外尔，德国数学家，物理学家，和天文学家，是群论在物理学中应用的先驱之一，尤其是他关于规范场论的工作，对现代理论物理学产生了深远的影响。
在量子力学中，波函数是一种用来描述粒子状态的数学函数。
然而，波函数的实际意义并不直观，因为它是一个复数函数，其数值没有直接的物理意义。
相反，波函数的模平方给出了粒子在特定状态下的概率。
因此，为了更好地理解和分类不同的量子系统，物理学家们开始寻找波函数的对称性。
群论在这个问题上发挥了关键作用。
群论提供了一种系统的方法来描述和分类对称性，这使得物理学家能够理解和分类各种不同的量子系统。
例如，当物理学家研究一种新的物质或现象时，他们可能会寻找描述该物质或现象的波函数的对称性。
通过将波函数表示为对称群的元素，他们可以更好地理解该物质或现象的性质和行为。
外尔对群论在物理学中的应用做出了重要的贡献。
他引入了规范场论的概念，这是一种描述物质和力在微观尺度上如何相互作用的理论框架。
规范场论在现代物理学中非常重要，尤其是在量子场论和粒子物理学中。
它不仅解释了许多已知的物理现象，而且为探索未知的物理现象提供了一种理论框架。
总的来说，群论在量子力学中发挥了重要的作用，而外尔的工作对群论在物理学中的应用产生了深远的影响。
通过将波函数表示为对称群的元素，物理学家可以更好地理解和分类不同的量子系统。
规范场论作为外尔的一个重要贡献，为探索物质和力的相互作用提供了一种重要的理论框架。
因此，无论是群论还是外尔的工作，都在推动我们对量子世界的理解上发挥了关键作用。
在未来，随着理论物理学的发展，群论和其他数学工具将继续在探索宇宙奥秘中发挥不可或缺的作用。
