第六讲：分子的对称性与群论基础 群论与量子力学_1721353242

物理学中的对称性与群论近代物理学的发展给我们揭示了许多宇宙的奥秘，其中一个重要的思想就是对称性与群论。

对称性是指物理系统在某种变换下保持不变的性质，而群论则是研究对称性的数学工具。

在物理学中，对称性和群论的研究既为理论模型的构建提供了基础，也为实验结果的解释提供了重要线索。

对称性在物理学中扮演着至关重要的角色。

它不仅仅是美丽和优雅的数学概念，更是揭示了物理规律的基本性质。

物理系统的对称性可以分为几个方面，例如空间对称性、时间对称性和粒子对称性等。

其中最为著名的是空间对称性，即物理系统在空间变换下保持不变。

这包括平移、旋转和反射等变换。

通过研究系统的对称性，我们可以揭示其内在的物理规律和守恒量。

例如，根据空间平移对称性，我们可以推导出动量守恒定律；根据空间旋转对称性，我们可以推导出角动量守恒定律。

这些守恒定律是物理学中最基本的定律之一，无论是描述微观粒子还是宏观物体，都是普适适用的。

对称性的研究需要借助群论这一数学工具。

群论是研究集合上的变换和运算规律的数学分支。

通过将变换和运算抽象化，我们可以根据其性质将它们归类为不同的群。

而对称性的数学表达正是通过群的概念来进行描述的。

一个物理系统的对称性可以表示为它所对应的变换群的性质。

例如，一个物理系统具有旋转对称性，那么它所对应的变换群就是旋转群。

通过研究变换群的性质，我们可以揭示物理系统的对称性，并进一步推导出关于该系统的物理定律。

群论在物理学领域的应用非常广泛。

举例来说，对称性和群论在粒子物理学中扮演着重要角色。

粒子物理学研究的是构成宇宙的基本粒子和相互作用的规律。

通过对粒子物理模型的对称性进行研究，科学家们发现了许多物理规律，例如电荷守恒、弱力相互作用和强力相互作用等。

这些规律的背后都是对称性的数学表达。

通过群论的方法，科学家们建立了众多的粒子物理模型，并通过实验验证了它们的正确性。

这些成果不仅丰富了对物理规律的认识，也为我们解释宇宙的奥秘提供了有力工具。

量子力学中的分子对称性与它的应用量子力学是物理学的重要分支，研究物质微观结构和性质，探索自然规律的本质。

分子对称性是量子力学中一个重要的研究领域，它与分子的结构、反应和性质密不可分。

本文将从量子力学的角度探讨分子对称性及其应用。

一、分子对称性的概念分子对称性是指分子在空间中的形态与结构的对称性。

在分子中，如果存在一些对称面、对称轴和旋转反演中心等元素，它们的存在会导致分子在空间中具有不同种类的对称性。

这种对称性在分子的性质和反应中具有重要影响。

在量子力学中，分子对称性体现在分子的波函数中。

分子的波函数是描述分子可能存在的各种状态的函数，它与分子的对称性密切相关。

当分子具有一定的对称性时，其波函数具有更简单的形式，能帮助我们更快速地确定分子的结构和性质。

二、分子对称性的种类分子的对称性可分为平面对称、轴对称和中心对称等几种。

1.平面对称若分子具有至少一个平面面镜对称面，则分子具有平面对称。

平面对称面可以分为两类，一类是垂直于分子轴的平面对称面，称为垂直平面对称面；另一类是包含分子轴的平面对称面，称为水平平面对称面。

例如，水分子（H2O）具有一条C2 轴和一面垂直平面对称面（yz平面），因此具有C2v的对称性。

2.轴对称若分子存在至少一个轴对称，分子则具有轴对称性。

轴对称可分为单轴对称和多轴对称两种。

单轴对称指围绕分子某一固定轴旋转一定角度后，分子的形态和结构不变。

多轴对称指围绕分子多个轴旋转一定角度后，分子的形态和结构不变。

例如，NH3分子具有三条C3轴，因此具有C3v的对称性。

3.中心对称若分子存在旋转反演中心，即分子中一个点绕任何方向旋转180°后回到原位，分子具有中心对称性。

例如，CH4分子具有旋转反演中心，因此具有Td的对称性。

三、分子对称性的应用分子对称性的研究对化学、物理等领域具有重要意义。

以下是分子对称性的几个应用：1.分子的结构预测通过研究分子的对称性，可以快速预测分子的结构及其性质。

分子的对称性与点群摘要：分子也像日常生活中见到的物体一样,具有各种各样的对称性。

分子的对称性是分子的很重要的几何性质,它是合理解释许多化学问题的简明而重要的基础。

例如,往往从对称性入手,我们就能获得有关分子中电子结构的一些有用的定性结论,并从光谱推断有关分子的结构。

关键词：对称性点群对称操作一．对称操作与点群如果分子的图形相应于某一几何元素(点、线、面)完成某种操作后,所有原子在空间的排布与操作前的排布不可区分,则称此分子具有某种对称性。

一般将能使分子构型复原的操作,称为对称操作,对称操作所据以进行的几何元素称为对称元素。

描述分子的对称性时,常用到“点群”的概念。

所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。

而全部对称元素的集合构成对称元素系。

每个点群具有一个持定的符号。

一个分子的对称性是高还是低,就可通过比较它们所属的点群得到说明。

二．分子中的对称元素和对称操作2.1 恒等元及恒等操所谓点群,就是指能使一个分子的图象复原的全部点操作的集合。

作分别用E、 E^表示。

这是一个什么也没有做的动作，保持分子不动，是任何分子都具有的对称元素与对称操作。

2.2旋转轴和旋转操作分别用C n、C^n表示。

如果一个分子沿着某一轴旋转角度α能使分子复原，则该分子具有轴C n，α是使分子复原所旋转的最小角度，若一个分子中存在着几个旋转轴，则轴次高的为主轴（放在竖直位置），其余的为副轴。

分子沿顺时针方向绕某轴旋转角度α，α=360°/n （n=360°/α（n=1,2,3……）能使其构型成为等价构型或复原，即分子的新取向与原取向能重合，就称此操作为旋转操作，并称此分子具有 n 次对称轴。

n是使分子完全复原所旋转的次数，即为旋转轴的轴次，对应于次轴的对称操作有n个。

C n n=E﹙上标n表示操作的次数，下同﹚。

如NH3 （见图 1）旋转 2π/3 等价于旋转 2π (复原)，基转角α=360°/n C3 - 三重轴；再如平面 BF3 分子，具有一个 C3 轴和三个 C2 轴，倘若分子中有一个以上的旋转轴，则轴次最高的为主轴。

量子力学中科大课件 Q6讲稿第六章对称性分析和应用第六章对称性分析和应用§6.1 一般叙述1，对称性的含义对称性含义有广义和狭义两种：广义来说，Einstein说，“自然界最不可理解的就是它竟然是可以理解的！”追求和理解自然界最深层次的对称性一直是物理学发展的主旋律之一。

常常是对某种基本对称性的信念，激励人们去发展物理学。

Weyl说：“对称性是这样一种意念，人们长年累月地试图以它去理解并创造秩序、美和完善。

”狭义来说，给定系统的某种对称性是指某种不可分辨性，是对某种属性的不可观测。

这就是说，在某种操作或变换下系统依然保持不变，表现为系统的Hamilton量在这些变换下保持不变。

一般说，不同体系所具有的对称性不一定相同。

但是，所有使体系全部物理性质保持不变的对称变换，必定构成此体系的一个对称群。

研究对称性的意义：第一，构造发展理论。

按Heisenberg的观点，“必须寻找的是基本对称性”。

第二，增强物理直觉，利于迅速抓住问题要点，化简提法。

第三，简化一些计算。

不经求解dingerSchr 方程即可得到态及本征o值的某些知识。

包括能级特征、矩阵元计算、禁戒规则等。

2,量子力学中的对称性134无论就对称性的种类和程度来说，QM的对称性都高于CM中的对称性。

CM中存在的对称性QM中也都对应存在，如时间、空间的均匀、各向同性对称性；而且，QM还存在一些CM中所没有的对称性，如全同性原理、同位旋对称性。

然而，个别对称性除外，弱等效原理这种对称性在CM中存在，但在QM中被破坏，只当向经典过渡时才又逐渐显现出来。

这是说，弱等效原理被量子涨落所破坏。

QM中常见的对称性有一些是普遍存在的基本对称性，有一些则是特殊系统才具有的特殊对称性。

从另一角度来说，有一些是严格成立的对称性，有一些则是近似成立的对称性。

QM中的时间均匀性、空间均匀性、空间各向同性、同类粒子的全同性原理（或交换对称性）是普适的、严格成立的基本对称性；而空间反射不变性、时间反演不变性对大部分情况都严格成立，可算是基本对称性，但毕竟不是普适的。