第一章 量子力学公设及概念

量子力学的基本概念与假设量子力学，作为现代物理学的重要分支，研究了微观世界的奇妙现象和规律。

本文将介绍量子力学的基本概念与假设，以帮助读者了解和理解这一学科的重要内容。

一、基本概念1. 粒子与波的二象性根据量子力学的观点，微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

即微观粒子可以像粒子一样具有确定的位置和动量，同时也可以像波一样表现出干涉和衍射等现象。

2. 波函数波函数是描述微观粒子状态的数学函数，用Ψ表示。

根据量子力学的原理，波函数可以通过薛定谔方程来求解，从而得到微观粒子的运动规律和性质。

3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的核心概念之一，由海森堡提出。

它指出，对于一对互相对应的物理量（如位置和动量），无法同时精确知道它们的值。

即我们不能准确地知道一个粒子的位置和动量，只能知道它们的概率分布。

二、假设1. 波粒二象性假设根据这一假设，微观粒子既可以像粒子一样以局部实在的方式存在，也可以像波一样以与空间相关的波动方式存在。

这一假设为后来的量子力学理论提供了基础。

2. 粒子的量子化假设量子化假设指出，微观粒子的某些物理量（如能量、角动量等）并不连续地变化，而是以离散的方式变化。

这意味着微观粒子的某些性质只能以一系列离散值的形式存在，而不能取任意值。

3. 薛定谔方程假设薛定谔方程是量子力学的重要方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。

这一假设认为波函数的演化是根据薛定谔方程来进行的，从而得到了微观粒子的运动规律和物理性质。

4. 纠缠态假设纠缠态假设指出，当两个或多个微观粒子处于纠缠态时，它们之间存在着特殊的量子纠缠关系，即它们的状态不能被简单地分解为各自独立的状态。

这一假设为量子信息和量子计算等领域的发展提供了基础。

结语量子力学的基本概念与假设为我们认识和理解微观世界提供了重要的理论工具和框架。

通过学习和探索量子力学，我们可以更深入地理解自然界的基本规律和现象，为科学技术的发展提供新的思路和方法。

希望本文的介绍能够对读者加深对量子力学的认识有所帮助。

第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。

2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。

金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。

光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。

(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。

(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。

光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。

按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。

(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。

电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。

2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。

量子力学基础引言量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它揭示了物质和辐射在原子尺度上的基本规律。

本文将简要介绍量子力学的基本原理和概念。

波粒二象性量子力学的核心概念之一是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。

这一现象最早由德布罗意提出，他假设所有物质都具有波粒二象性，并提出了著名的德布罗意波长公式：λ = h/p，其中λ是波长，h是普朗克常数，p是粒子的动量。

不确定性原理另一个重要的概念是海森堡提出的不确定性原理，它指出我们无法同时精确测量一个粒子的位置和动量。

这个原理可以用数学公式表示为：Δx * Δp ≥ ħ/2，其中Δx是位置的不确定度，Δp是动量的不确定度，ħ是约化普朗克常数。

薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系统的演化。

对于非相对论性量子系统，薛定谔方程可以写为：iħ∂ψ/∂t = Hψ，其中ψ是波函数，H是哈密顿算符，它包含了系统的所有信息。

量子态和波函数在量子力学中，一个系统的状态由波函数ψ描述。

波函数是一个复数函数，其模方|ψ|^2表示了在某个位置找到粒子的概率密度。

波函数的归一化条件是∫|ψ|^2dV=1，确保总概率为1。

量子力学的应用量子力学在许多领域都有应用，包括原子物理、分子化学、凝聚态物理、核物理等。

例如，量子力学解释了原子的稳定性、化学反应的机制、半导体的工作原理等。

此外，量子力学还推动了新兴技术的发展，如量子计算、量子通信等。

总结总之，量子力学是一门深奥而美丽的学科，它改变了我们对自然界的认识。

虽然量子力学的概念可能难以直观理解，但它为我们提供了一种强大的工具来探索和理解微观世界的奥秘。

大学物理量子力学量子力学是物理学中一门重要的学科，它探索了微观领域中粒子的行为和性质。

量子力学的理论框架最早由康普顿、德布罗意等科学家在20世纪初提出，并经过多年的实验证实。

本文将详细介绍量子力学的基本概念、主要理论以及它在现代科技中的应用。

一、量子力学的基本概念量子力学的一个核心概念是量子，它表示物质在微观领域中存在的最基本单元。

与经典物理学不同，量子力学认为微观粒子的性质无法准确地同时确定，而是通过概率分布来描述。

这是由于量子力学的不确定性原理所决定的。

量子力学中的另一个重要概念是波粒二象性，即微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。

这个概念最早由德布罗意在他的波动力学理论中提出，并在实验证实了电子的波动性。

波粒二象性的存在使得量子力学的理论更加复杂和奇特。

二、量子力学的主要理论1. 波函数和薛定谔方程量子力学中，波函数是描述量子系统状态的数学工具。

它包含了有关粒子位置、动量和能量等信息。

薛定谔方程是描述波函数随时间演化的基本方程。

它是量子力学中的核心方程之一，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的能级和波函数的形式。

2. 算符和观测量在量子力学中，算符是一种数学工具，用来描述物理量的运算。

物理量通常用厄米算符表示，例如位置算符、动量算符等。

观测量则是通过测量来得到的物理量，量子力学认为观测量的结果是离散的，即只能取特定的值。

3. Heisenberg不确定性原理Heisenberg不确定性原理是量子力学中的重要原理之一，它表明在测量某个物理量时，不可能同时准确地确定另一个共轭物理量。

例如，位置和动量是共轭的物理量，根据不确定性原理，我们无法同时确定粒子的精确位置和动量。

三、量子力学的应用量子力学的理论不仅在理论物理学中有重要应用，而且在现代科技中也有广泛的应用。

以下是几个重要的应用领域：1. 量子计算与量子通信量子计算利用了量子叠加和量子纠缠的特性，可以实现比传统计算更快速和更强大的计算能力。

(壹x上) 量子力学基础第七节量子力学公设和定理一、量子力学公设二、态叠加原理三、多个物理量的同时准确测量小结作业思考题一、量子力学公设返回上页下页返回上页下页本节中将对量子力学公设进行系统的说明，其中有些公设已在前面的章节中介绍过.公设(一)体系状态的描述体系的状态用波函数Ψ描述，波函数Ψ(q ,t )是坐标q 和时间t 的函数，它包含了体系的可确定的全部知识.此外，还进一步假设，Ψ是平方可积、单值、连续的.(对物理量的连续谱状态，略去平方可积的要求)Ψ和c Ψ(常数c ≠0)指的是同一个状态.说明Ψ的统计诠释：|Ψ|2(即Ψ*Ψ)代表几率密度，|Ψ|2d τ是粒子在空间某点附近的小体积元d τ内出现的几率.返回上页下页公设(三) 量子力学算符的本征值对物理可观测量A 进行测量，可得到的仅有可能值是如下本征方程的本征值，⎯对应于物理量A 的算符；ˆi i i A a ϕϕ=ˆA⎯本征函数，要求是满足问题边界条件的品优函数.i ϕ说明作为理论的公设，彼此不会给出矛盾的结果.例如，公设㈡“量子力学算符是厄米算符”；㈢“量子力学算符的本征值代表物理量的可能值”. 皆表明本征值应该是实数.其中，返回上页下页公设(四) 量子力学算符的本征函数如果是代表物理可观测量的任一算符，则本征方程的全部本征函数{ϕi }构成一个完备集.ˆAˆi i iA a ϕϕ=说明本征函数构成“完备集”是指：任何与本征函数满足同样边界条件的品优函数f ，都可以展开成这些本征函数的线性组合∑=+++=iii c c c c f ϕϕϕϕ"332211(这个公设其实是一个数学公设).用一维势箱的能量本征函数n ψ(0)=0,二、态叠加原理返回上页下页返回上页下页Ψ*i i c d ϕτ=∫证①Ψj j jc ϕ=∑(求和指标是哑变量，可采用任意符号)用第i 个本征函数ϕi *乘上式，并积分Ψ**i j i j jd c d ϕτϕϕτ=∑∫∫∑=jij j c δ(本征函数正交归一)ii i c δ=(除了j =i 的项，其余都0)ic =三、多个物理量的同时测量返回上页下页返回上页下页在A 的本征态下，性质A 有确定值. 因此⎯⎯如果两个量子力学算符和有相同的本征函数完备集，那么，在这些本征函数描述的状态下，物理量A 和B 可同时准确测量.AˆB ˆ两个线性厄米算符和存在有共同的本征函数完备集的充分必要条件是ˆˆ[,]0AB =ˆAˆB 此定理不作证明(附录给出了一个不全的证明)定理在什么条件下，两个量子力学算符有共同的本征函数完备集？返回上页下页(2)对于多个物理量的同时准确测量，则要求彼此两两对易.； ； ˆˆˆˆˆˆ[,]0[,]0[,]0AB AC B C ===例如，三个物理量A , B , C 能同时准确测量的条件是(1)根据该定理，如果算符和可对易，那么相应的物理量A 和B 是可以同时准确测量的.AˆB ˆ说明四、小结作业思考题返回上页下页小结1量子力学公设①体系状态的描述(波函数)；②物理可观测量与量子力学算符的对应关系；③量子力学算符的本征值；④量子力学算符的本征函数；⑤物理量平均值；⑥含时间的薛定谔方程.；⑦自旋；⑧泡利不相容原理. (以后介绍)返回上页下页返回上页下页物理可观测量A 的平均值：ΨΨd *ˆA Aτ=∫(其中Ψ是归一化的)d d **ˆA A ττΨΨ=ΨΨ∫∫如果Ψ是未归一化的，则保守体系处于定态时，可以用(不含时间变量的)定态波函数ψ求平均值：τψψd A A ˆ*∫=(其中ψ为定态波函数)(A 的平均值不随时间变化)返回上页下页2态叠加原理体系任何状态的波函数Ψ可展开为任一量子力学算符的本征函数{ϕi}的线性组合∑=iii c ϕΨ其中ϕi 是算符的归一化本征函数，;Aˆi i i a A ϕϕ=ˆ①;∑=i ii a c A 2③Ψd *i i c τϕ=∫②;12=∑ii c 代表对性质A 测量时得到本征值a i 的几率.2i c A ˆ3物理量的同时准确测量.两个物理可观测量能够被同时准确测量的充分必要条件：相应的算符可对易.多个物理可观测量能够被同时准确测量的条件是相应的算符彼此两两对易.返回上页下页作业p.146，第29题返回上页下页返回上页下页思考题下列哪几点是属于量子力学的基本假设( )(A)电子自旋;(D)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足不准原理(C) 描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的；(B)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征;[答案](A)(B)返回上页下页附录两个线性厄米算符有共同本征函数完备集的充要条件返回上页下页返回上页下页定理两个线性算符和存在有共同的本征函数完备集的充分必要条件是：ˆˆ[,]0AB =ˆA ˆB 证必要性要证明，只需证明.i i A B B A ϕϕˆˆˆˆ=0]ˆ,ˆ[=B A设集合是和的全部线性无关的本征函数：B ˆi i i i i i b B a Aϕϕϕϕ==ˆ ; ˆ}{i ϕAˆ返回上页下页利用线性算符的定义，有()i i b A ϕˆ=i i A b ϕˆ=i i i a b ϕ=i i B a ϕˆ=()i i a B ϕˆ=i i i b a ϕ=i i A B B Aϕϕˆˆˆˆ=故i A Bϕˆˆi B A ϕˆˆ⎩⎨⎧充分性假设是的本征值为的本征函数，即Bˆi i i b Bϕϕ=ˆi b i ϕ现在要证明：若，则也是的本征函数.i ϕ0]ˆ,ˆ[=B AA ˆ返回上页下页i i i b Bϕϕ=ˆ用作用于上式的两端，Aˆˆˆˆ()()i i iA B A b ϕϕ=由于和是可对易的，即，并且是线性算符，因此有AˆB ˆA B B A ˆˆˆˆ=A ˆˆˆˆ()()i i iB A b A ϕϕ=上式说明也是的本征值为的本征函数.ˆ()iA ϕB ˆi b (进一步分两种情况讨论)返回上页下页①本征值是非简并的情形.i b 由于本征值是非简并的，则对应于该本征值只有一个线性无关的本征函数.i b 既然和同是的本征值为的本征函数，说明和是线性相关的，只相差一个常数乘因子c ，i ϕˆ()i A ϕB ˆˆi iA c ϕϕ=⋅i b i ϕˆ()iA ϕ上式表示也是的本征函数.Aˆi ϕ返回上页下页②本征值是简并的情形.i b 设本征值b i 是n 重简并的，即，对应于该本征值有n 个线性无关的本征函数.那么，这些本征函数的任意线性组合也将是.的属于本征值b i 的本征函数.Bˆ就可能是这样的一个线性组合，而不是常数乘ϕi .因此我们不能断言一定是的本征函数.ˆ()i A ϕi ϕA ˆ然而数学上可以证明(此处略去细节)：如果是线性厄米算符，将的这n 个线性无关的本征函数进行特定的线性组合，能构造出另外n 个线性无关的本征函数，使它们同时也是的本征函数.B ˆAˆBˆ。

量子力学公设
量子力学公设是指在量子力学中被普遍接受的一些基本假设或
原理，它们对于我们理解和应用量子力学理论具有至关重要的作用。

以下是一些常见的量子力学公设：
1. 粒子波动性：所有物质都具有粒子和波动的性质。

2. 波函数：用于描述量子体系的状态，它包含了所有关于该体系的可测量信息。

3. 离散能级：量子体系的能量是离散的而非连续的，这是与经典物理学最大的不同之处。

4. 线性叠加原理：当两个量子态叠加时，它们的波函数也会叠加。

5. 量子态的坍塌：当测量一个量子体系时，它的波函数会坍塌到一个确定的状态，这个状态对应着我们所观测到的结果。

这些公设为我们理解和利用量子力学提供了基础和框架，同时也指导着我们在实验和应用中的操作和研究。

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