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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计

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数字控制器的连续化设计步骤-概述说明以及解释

数字控制器的连续化设计步骤-概述说明以及解释

数字控制器的连续化设计步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数字控制器的连续化设计步骤是指将传统的离散控制器转化为连续化控制器的过程。

在数字控制领域，离散控制器常常由于采样时间过长或采样频率过低而导致性能不佳，无法满足实际控制需求。

为了克服这一问题，连续化设计步骤被提出，旨在将离散控制器转化为连续时间域的控制器，从而提高控制系统的动态性能。

在连续化设计步骤中，首先需要对系统进行建模和分析，以获得系统的数学模型。

然后，通过使用连续化设计方法，对离散控制器进行调整和改进。

这个过程包括参数调节和滤波器设计等步骤，以获得更高的控制性能。

通过连续化设计，离散控制器可以更好地适应连续时间域的控制系统，从而提高了系统的响应速度和稳定性。

此外，连续化设计还可以有效地减少系统的抖动和震荡现象，使系统更加平稳。

本文将详细介绍数字控制器的连续化设计步骤。

首先，会对连续化设计的概念和背景进行概述，阐明其在数字控制领域的重要性和意义。

接下来，会详细介绍连续化设计的具体步骤，包括系统建模、参数调节和滤波器设计等内容。

最后，对连续化设计的优点和局限性进行总结，并展望其未来的发展方向。

通过本文对数字控制器的连续化设计步骤的详细介绍，读者将能够深入了解如何将离散控制器转化为连续时间域的控制器，并在实际应用中取得更好的控制效果。

同时，本文还将展示连续化设计在控制领域的巨大潜力，并为相关领域的研究和应用提供有益的参考。

1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要围绕数字控制器的连续化设计步骤展开讨论，分为引言、正文和结论三个主要部分。

引言部分主要对本文的研究背景和意义进行介绍。

首先对数字控制器进行了概述，指出了数字控制器在工业自动化领域的重要性和应用广泛性。

随后介绍了本文的结构，以便读者更好地理解本文的组织框架。

最后明确了本文的目的，即通过对数字控制器的连续化设计步骤进行研究，为相关领域的研究人员提供指导和参考。

正文部分按照步骤进行了详细的介绍。

第5、6章数字控制器设计

第5、6章数字控制器设计
控制() 第5章 数字 章 数字PID控制 控制
引言: 引言:
-在计算机控制系统中,控制计算机代替了传统的模拟调 在计算机控制系统中, 在计算机控制系统中 节器(常规仪表控制器),成为系统的数字控制器; ),成为系统的数字控制器 节器(常规仪表控制器),成为系统的数字控制器; -控制系统中的被控对象一般具有连续的特性 -控制系统中的被控对象一般具有连续的特性,而计算机 控制系统中的被控对象一般具有连续的特性, 作为一种数字装置,具有离散的特性, 作为一种数字装置,具有离散的特性,因此计算机控制 系统是一个既有连续部分,又有离散部分的混合系统. 系统是一个既有连续部分,又有离散部分的混合系统.
-模拟控制系统PID控制结构图:
KP R(s)
+
E(s)
-
KP TI S
+
+ +
U(s)
被控对象
Y(s)
K PTDS
数字PID PID控制算法 5.2 数字PID控制算法
- 比例控制:能迅速反映误差,从而减小误差,但比例控制不能完全消 比例控制:能迅速反映误差,从而减小误差,但比例控制不能完全消
除稳态误差,加大K 还会引起系统的不稳定; 除稳态误差,加大 P还会引起系统的不稳定; - 积分控制:只要系统存在误差,积分控制作用就不断积累,并且输出 积分控制:只要系统存在误差,积分控制作用就不断积累, 控制量以消除误差,因而只要有足够的时间,积分作用将能完全消除误 控制量以消除误差,因而只要有足够的时间,积分作用将能完全消除误 但是如果积分作用太强会使系统的超调量加大,甚至出现振荡; 差,但是如果积分作用太强会使系统的超调量加大,甚至出现振荡; - 微分控制:可以减小超调量,克服振荡,使系统的稳定性提高,还能 微分控制:可以减小超调量,克服振荡,使系统的稳定性提高, 加快系统的动态响应速度,减小调整时间,从而改善系统的动态性能 改善系统的动态性能, 加快系统的动态响应速度,减小调整时间,从而改善系统的动态性能, 但在特定情况下,微分响应过于灵敏,反而容易引起控制过程振荡, 但在特定情况下,微分响应过于灵敏,反而容易引起控制过程振荡,降 低调节品质; 低调节品质;

2数字控制器的设计数字控制器的PID设计方法1

2数字控制器的设计数字控制器的PID设计方法1

即实部
图5-23 3种离散化方法s的左半平面映射到z平面的图
令z=R+jI 则
即R 2-1+I 2<0 或 R 2+I 2<1
5.2.1 PID设计方法 不同点： 前向差分法的特点：
将S左半平面变换到Z平面的σ=1左边平面；
稳定的D(s)可能变换成不稳定的D(z)。 后向差分法的特点：
将整个S左半平面变换到Z平面（1/2,0）半径1/2的圆内；
稳定的D(s)变换成稳定的D(z)，不稳定D(s)可变换成稳定D(z). 双线性变换的特点：
将整个S左半平面变换到Z平面的单位圆内； 稳定的D(s)变换成稳定的D(z)，不稳定D(s)变换成不稳定D(z). 共同点：
(1)D(z)不能保持D(s)的频率响应。 (2) 不用查表，使用方便。
5.2.1 PID设计方法
双线性变换法的几何意义是梯形法求积分，如图5-22所示。 – 设积分控制规律为 – 经过变换，数字控制器为
图5-21 双线性变换的几何意义
jA
2 T
1 e jDT 1 e jDT
2 e e jDT / 2
jDT / 2
T
e jDT / 2
e jDT / 2
2 T
2 j sin(DT / 2) 2cos(DT / 2)
用时域表示为：
u(k) a1u(k 1) a2u(k 2) ... anu(k n) b0e(k) b1e(k 1) ... bme(k m)
j 2 tan DT
T2
s域角频率A
(s域)
A
2 T
tan
DT
2
z域角频率为D
采样频率足够小
A
2 T

第5章计算机控制系统间接设计法

第5章计算机控制系统间接设计法

s 平面的稳定域为 Re(s) 0，z 平面的稳定域为：
Re
z 1 T
0
令z
j
，则可写成：Re
j
T
1
0
j
s平面
Im z平面
0
0
0
Re
z 1
正向差分变换s平面与z平面的对应关系
双线性变换法
3、双线性变换法
双线性变换法又称突斯汀（Tustin）法，是一种基于梯 形积分规则的数字积分变换方法。
➢ G(s)所有的在 s 处的零点变换成在 z 1 处的零
点。
➢如需 D(z) 要的脉冲响应具有一单位延迟，则 D(z) 分子 的零点数应比分母的极点数少1。
➢要保证变换前后的增益不变，还需进行增益匹配。
零、极点匹配z变换
例5.2
求G(s) 1/(s a) 的零、极点匹配z变换。
零、极点匹配z变换
双线性变换法
例5.1
用双线性变换法将模拟积分控制器 D(s) U (s) 1 离散化
为数字积分控制器
E(s) s
脉冲响应不变法
4、脉冲响应不变法
所谓脉冲响应不变法就是将连续滤波器D(s) 离散得 到离散滤波器D(z) 后，它的脉冲响应gD (kT ) Z 1[D(z)]与 连续滤波器 g(t) L1[D(s)] 的脉冲响应在各采样时刻的值
数字PID算法
2、增量式PID控制算法
增量式PID是指数字控制器的输出只是控制量的增量
u(k) 由递推原理可得
k 1
u(k 1) KPe(k 1) KI e( j) KD e(k 1) e(k 2) j0
用式u(k)减去u(k-1)，可得
u(k) KP e(k) e(k 1) KIe(k) KD e(k) 2e(k 1) e(k 2)

第5章 数字控制器直接设计法(2)

第5章 数字控制器直接设计法(2)
1 R( z ) , (q 1) 1 1 z 根据最小拍无静差条件 ，可确定：
1 （ z ） 1 z e
（z） z 1
1 （z） 1 z 1 则控制器为：D（z） G（z） （ 1 z 1 e z） G（z）
输出曲线分析：
( z ) c( z ) R( z )
最少拍控制系统设计步骤
求带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传函 G ( Z )
1 e Ts G( z ) GP ( s) s
根据性能指标要求和约束条件，确定闭环传递函数 ( z ) 和误差脉冲传函 e ( z ) 。 由公式 D( z)
1 ( z) 1 ( z) G( z ) 1 ( z ) G( z ) e ( z )
对于阶跃、速度、加速度等典型输入信号R（t）， 1 R ( z ) (阶跃输入）； 1 q 1 (1 z ) 1 z
Tz 1 R（z） （速度输入） 1 2 （ 1 z ）
1 T 2z （ 1 z 1） R（z） （加速度输入） 3 （ 2 1 z 1）
系统达到稳态无静差控制要求： A( z ) 1 1 e ( ) im ( 1 z )[ 1 ( z )] R ( z ) im ( 1 z )[ 1 ( z )] 所以 z 1 z 1 (1 z 1 ) q 为使
1 q e() 0, 则（ z ） 1 （ z ）应包含（ 1 z ）因子， e 1 q 所以，按 （ z ） （ 1 z ） F（z）确定 （ e e z）和 （z）。
下图是最少拍控制系统结构图,其中H0(s)为零阶保持 器，GP(s)为被控对象，D(z)即为待设计的最少拍控制器。

数字PID控制器

数字PID控制器
TI
t
0 e( )d u0
积分时间
控制器输出信 号的起始值
当有偏差存在时，积分输出将随时间增长（或 减小）；当偏差消失时，输出能保持在某一值上。
积分作用具有保持功能 e
，故积分控制可以消除余差
E
。
t
y
积分输出信号随着时间
逐渐增强，控制动作缓慢，
故积分作用不单独使用。
t
2. PID控制原理---积分控制
2024/1/1
22
1、P（比例）控制
R2
R1 -
ui(t)
+
uo(t)
Gc (s)
Uo (s) Ui (s)
R2 R1
KP
控制器的输出信号u与输入偏差信号e成比例关系
u(t) Kce(t) u0
比例增益
控制器输出信号 的起始值
增量形式 u(t) Kce(t)
比例调节器
e
控制规律：
u(t ) K Pe(t ) u0 其中：K P 为比例系数；
U(z)=(-a1z-1-a2z- ２ -…-anz-n)U(z)+(b0+b1z-1+…+bmzm)E(z）
u(k)=-a1u(k-1)-a2u(k-2)-…-anu(k-n) +b0e(k)+b1e(k-1)+…+bme(k-m))
5.校验
控制器D(z)设计完并求出控制算法后，须按图4-1所 示的计算机控制系统检验其闭环特性是否符合设计要求， 这一步可由计算机控制系统的数字仿真计算来验证，如 果满足设计要求设计结束，否则应修改设计。
动态质量变坏，引起被控量振荡甚至
导致闭环不稳定。
25

第5章(2)常规数字控制器的设计方法

第5章(2)常规数字控制器的设计方法


t
0
e(t )dt TD
de(t ) ] dt
U (s) 1 K p (1 TD s ) 传递函数D(s) ： D( s ) E (s) TI s
其中：Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td为微分时间常数。
PID控制的特点：
比例作用：迅速反应误差，但不能消除稳态误差， KP大稳态误差小, 但过大会引起不稳定； 积分作用：消除静差，但容易引起超调，甚至出现 振荡； 微分作用：减小超调，克服振荡，提高稳定性，改 善系统的动态特性; 是干扰放大器,抗干 扰能力下降.
令|z|=1，则对应到s平面上是一个圆，有：
即当D(s)的极点位于左半平面以（-1/T,0)为圆心， 1/T为半径的圆内，D(z)才在单位圆内，才稳定。 结论：稳定的系统经前向差分法转换后可能不稳定。
4、双线性变换法（Trstin 突斯汀变换法）
推导1：级数展开z=esT, T很小。 得到
•推导2：梯形法数值积分 积分控制器
积分计算: 微分计算: 代入
e(t ) Te (i)
t 0 i 0
k
e(k)
数字PID
u(k)
de(t ) e(k ) e(k 1) dt T
1 u (t ) K p [e(t ) TI
t
k

t
0
e(t ) dt TD
de(t ) ] dt
T u (k ) K p [e(k ) TI
第5章 数字控制器设计（2）
－常规数字控制器设计方法
主要内容
1. 连续化设计方法
重点：数字PID设计
2. 直接离散化设计方法
重点：最少拍控制算法
3. 大林算法与纯滞后控制

最新第5章数字控制系统的连续——离散化设计PPT课件

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（5）再设计
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10

第5章 数字控制器的连续设计方法(改)综述

第5章 数字控制器的连续设计方法(改)综述

令 s j 则 z 1 jTs
S平面的虚轴，映射到Z平面是一 条过实轴1，平行于虚轴的直线
0

-1
0
0
1
Re
令
前向差分法的映射关系
s j
z 1 Ts jTs z (1 Ts ) 2 (Ts ) 2
图5-11前向差分变换法的映射关系
则
要使 z 1 除 0 外，还要 Ts 较小时才行， 可见这种变换会产生不稳定的 D ( z ) 显见，前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳 定的D(z)，要稳定采样周期缩小，且不能保证有相同的脉冲 2019/3/12 响应和频率响应。
说明:

从
0
z 的相角单调的从0变换到

s平面的虚轴，唯一映射到z平面的单位圆上
设
s j
则
z
(2 Ts )2 2 (2 Ts )
2 2
s 0, z 1
s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内
结论：从这样的映射关系可以看出，如果 D ( s ) 是稳定的， D ( z ) 也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象 双线性变换后 2019/3/12 11
离散化设计方法（也称为直接设计方法）：将被控 对象和保持器组成的连续部分离散化，直接应用离 散控制理论的方法进行分析和综合，设计出满足控 制指标的离散控制器，由计算机实现。
连续化设计方法(也称模拟化设计方法)：忽略控制 回路中所有的零阶保持器和采样器，在s域中按连 续系统进行初步设计，求出连续控制器，再通过某 种近似，将连续控制器变换为离散控制器，由计算 机去实现。

2019/3/12 3

第五章_常用数字控制器设计

第五章_常用数字控制器设计
u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0 .37e(k-1)+ 0.185e(k-2)
3.零极点匹配法
S域中零极点的分布直接决定了系统的 特性，Z域中亦然。因此，当S域转换到Z域
时，应当保证零极点具有一一对应的映射 关系，根据S域与Z域的转换关系z=eTs，可 将S平面的零极点直接一一对应地映射到Z 平面上，使D(z)的零极点与连续系统D(s) 的零极点完全相匹配，这等效离散化方法 称为“零极点匹配”或“根匹配法”。
1 1 1 z 1 0 .2 Ts 2

0 .4 5 5 1 z
1
0 .4 5 5 z
2
等效差分方程（控制算法）为：
u(k)= 0.455e(k)- u(k-1)+ 0.455u(k-2)
2.双线性变换法 由z变换定义可知，z 展开可得
TS
e
TS
，利用级数
1 1 TS 2 TS 2

t
F (s )
• Z变换主要是针对离散信号的分析 。
• 因为有的信号主要在时域表现其特性，如
电容充放电的过程；而有的信号则主要在 频域表现其特性，如机械的振动，人类的 语音等。若信号的特征主要在频域表示的 话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无 章，但在频域则解读非常方便。在实际中， 当我们采集到一段信号之后，在没有任何 先验信息的情况下，直觉是试图在时域能 发现一些特征，如果在时域无所发现的话， 很自然地将信号转换到频域再看看能有什 么特征。信号的时域描述与频域描述，就 像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同， 但实际上都是同一个东西。
被控对象：其输入输出均为模拟量，是系统的连续 部分。 数字控制器:可以是计算机，工业控制机或数字控制 器等。

数字控制器的设计方法

数字控制器的设计方法

THANKS
数字控制器的实时性与精度问题
要点一
实时性
要点二
精度问题
数字控制器需要快速地处理输入信号并输出控制指令，以 满足系统的实时性要求。
数字控制器的精度取决于其位数和量化误差，位数越高， 精度越高。
数字控制器的可靠性与稳定性问题
可靠性
数字控制器的可靠性取决于其硬件和软件的可靠性设计 。
稳定性问题
数字控制器的稳定性与系统的动态特性和控制参数有关 。
参数优化
根据仿真结果，对控制器的参数进行 优化，提高系统的性能。
仿真与优化
数字仿真
利用数字计算机对控制系统进行仿真，评估控制效果。
优化调整
根据仿真结果，对控制器参数进行优化调整，提高系统的性能指标。
03
常见控制算法
PID控制器
比例环节
根据误差信号的大小调整输出，以快速减小误 差。
积分环节
对误差进行积分，以消除长期误差。
VS
状态空间模型
如果需要，可以建立系统的状态空间模型 ，以更全面地描述系统的动态特性。
选择合适的控制算法
PID控制算法
常用的控制算法，通过比例、积分和微分环节来调整系统输 出。
模糊控制算法
适用于非线性、时变系统，通过模糊逻辑和规则进行控制决 策。
设计数字控制器
离散化控制器
将连续的模拟控制器离散化为数字控 制器，号。
求解方法
03
使用数学优化方法或启发式算法来求解最优解。
04
设计实例与案例分析
实例一：温度控制系统设计
总结词
通过PID算法实现温度的精确控制。
详细描述
在温度控制系统中，数字控制器通过接收温度传感器采集的温度数据，根据设定的温度目标，利用 PID算法计算出控制信号，以调节加热元件的功率，实现对温度的精确控制。

第五章数字控制器直接设计方法

第五章数字控制器直接设计方法

此时采样周期T的选择主要取决于对象特而不是受分析方法的 限制，所以，比起模拟化设计方法，采样周期T可以选的大一 些。在数字控制器的直接设计法中，通常假定系统为图5.1所 示的典型采样控制系统结构。其中零阶保持器Gh(s)和连续对 象GO（s）组成的广义对象G（S）为系统的连续部分，G（s）或 其对应的G(z)认为是以知的，并将其作为讨论的出发点。
例5-2 在图5.1中，设第五章数字控制器直接设计方法 T=1s ,按前面 的
方法对单位阶跃输人信号设计最少拍无差系统的数字控制器D （Z）。
解：广义对象的脉冲传递函数为
按前面的方法，则有
所以 系统的输出为
从上面计算结果来看，系统似乎一拍后就稳定了，但是否真 的稳定，还要进一步研第五究章数控字制控制量器直。接设由计方法
例5-1 在图5.1中，设
T=1 s要求针对单位等
速输入信号设计最少拍无差系统的数字控制器D（Z）。
解：广义对象的脉冲传递函数为
广义对象稳定，不含单位圆外零点，G0（z）不含纯滞后，
故查表5．1得
第五章数字控制器直接设计方法
所以
以上考虑的最少拍无差系统的设计，实际上针对的是稳定无滞 后的特殊控制对象。在对一般对象设计最少拍无差控制时，还 要考虑保证控制器的可实现性和控制系统的稳定性。
其中
为广义对象在单位圆上或圆外的零点 , 为第广五义章数对字控象制器在直单接设位计方圆法上或圆外的极点。
由
可以看出，为了避免使G(z)在单位圆外或圆上的零、极点与G(z) 的零、极点对消，同时又能实现对系统的补偿，选择系统的闭 环脉冲传递函数时必须满足下面的约束条件：
（1）Φ(z)的零点中，包含G(z)在z平面单位圆外或圆上的所有 极点。因为Φe(z)含有单位圆外或圆上的零点，并不影响Φ（z） 自身的稳定性，这样Φe(z)的零点就可以和G（Z）的极点相互 对消。因此成Φe（Z）应具有如下形式

数位控制器设计藉由连续系统的设计法

数位控制器设计藉由连续系统的设计法

直接設計法4-1、S 平面與Z 平面的關係根據z 值的定義sT T j T T z e e e e T σωσω==⋅=∠,,001T z e z T z σωσ=∠=<⇒<<σ<0則映射至Z 平面的圓內，為穩定系統。

根據s 值的定義：,n n σξωω==ξ=0，則無阻尼則映射至Z 平面的單位圓。

由連續時間系統知，當二階系統的特性方程式，其判別式為0時，系統處於臨界阻尼比的狀況。

4-2、二階特性方程式特別說明二階特性方程式2220n n s s ζωω+⋅+=，系統特性的根n n s ζω=-⋅± 經由sT z e =的映射，將系統特性的根映射至z 平面，產生n n T T z e ζω-⋅±=由一極點觀察，有下列結果：(cos[]sin[])n T n n z e T j T ζω-⋅=+令 n T R e ζω-⋅=，cos )n T θ=n T θω=由上列式子，則得ζθ-⋅=/R e各種阻尼值在Z 平面的根軌跡圖，如下圖所示離散系統的二階特性方程式可寫成下式：20z bz c -+=系統特性的根：2bz =±則1cos cos b b θθ-==，且R =ζθ-⋅=/e 經由上列式子整理得到：0cos c ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 將上述的式子，以圖形表示相對應的關係如下圖所示；方便學習時容易記憶。

畫z 轉換的根軌跡圖，可依據下列三個步驟：(1) 用離散系統的環路增益函數[]()()()D z G z H z ，再Z 平面上標出系統的零、極點。

(2) 利用判別式找出分離點，由240b c -=找出K 值及分離點。

(3) 利用下式找出特定阻尼比的K 值：0cos c ⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例1、控制系統已經在s-domain 完成領先補償設計，若要將此系統轉成離散在電腦作測試，要求系統的無阻尼頻率為 2.6(/)n rad s ω=，阻尼比0.707ζ=，則所需增益及極點位置為何？解︰選擇取樣時間0.1sec ，加入ZOH 程序1()(0.2)( 2.5)G s s s =++變成00045990004160980107789..()(,)(.)z G z z z +=-- 將Pole-Zero Matching 技巧代入控制器0.2()s D s K s b +=+變成109801.()z D z K z B-=- 系統的特性方程式︰21077890004599077890004160(..)..z B z B K -+-++= 112601.cos .b -=， 09664.= 05096640cos(.ln ).c --=， 05945.c = 10778900041605945...B K +=， 09664.=，14903.b =1000459907114..B K -=，解得152207354.,.K B ==例2、單位迴授系統的順向增益20.3160.0849()()0.4180.0183Kz K G z D z z z +=-+，若系統的阻尼比為0.707，則其K 值為何? 系統的最大可能K 值為何？【解】系統的零點位於 0.269z =- 系統的極點位於 0.3680.04z o r = 系統的特性方程式：2(0.4180.316)0.01830.08490z K z K --++=系統的最大可能K 值判別式2(0.4180.316)4(0.01830.0849)0K K ∆=--+=解得 0.17 5.86K and =0.17K =，系統的特性方程式：20.3640.03270z z -+=解得 0.182z = 5.86K =，系統的特性方程式：2 1.4340.5160z z ++=解得 0.72z =- 0.182z =、0.72z =-分別為break away 及 break in 點所以可知，1z =- 是系統的最大可能K 值位置，將特性方程式代1z =-解得 6.24K = 阻尼比為0.707系統的K 值可使用圓規，在各種阻尼值在Z 平面的根軌跡圖上製圖，以0.182z =、0.72z =-為直徑兩端畫圓，與0.7ζ=交於D 點，D 點位置約為0.080.25z j =+，代回特性方程式解K 值， 實部0.72b ≈，則(0.4180.316)0.082K -≈解得0.81K ≈ 精確計算由0c o s l n b c ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，代0.7ζ=[]-+=0418031605001830084049cos .ln(..)K K 使用疊代法解得 0.75K = 因計算非常煩瑣，可使用MATLAB 程式代勞。

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对上式做 Z 变换，可得
D (z) U (z) E (z) T 1 z
1

Tz z 1
由此可得离散化公式为
D(z) D(s)
s z1 Tz
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
★ 向后差分法的物理意义
用 矩形面积的和 来近似代替 r(t) 曲线 下的面积。
将原模拟调节器 D(s) 直接离散化得到 D(z) ， 设频率特性完全等效，即 D(jw) = D(ejwT)，则计 算机控制系统比原连续系统性能差。
因为，数控系统的等效控制器为
D e ( j ) D ( e
j T
)e
j T / 2
D ( j )e
j T / 2
比原控制器多了一个相位滞后环节，频率特性会下降。 在采样周期很小时，滞后环节的影响也较小，此时也 可直接近似等效。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
第5章 基于连续系统理论的数字 控制器设计

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
设计原理 连续控制器的离散化方法 数字PID控制 数字PID控制改进算法 数字PID控制参数整定 史密斯预测补偿控制
处理起来不方便。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
2. 阶跃响应不变法

该方法要求离散环节和连续环节的阶跃响应的采样值保持 不变 将连续传函做带零阶保持器的 Z 变换，即
1 e sT D z Z D ( s ) s
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
典型的计算机控制系统图
计算机控制系统的简化结构图
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
2、等效控制器 的数学描述

A/D 转换器
2
( T )
2
令
z 1
（即对应单位圆），则有
(1 T ) ( 1 T )
2
( T )
2
2
1 1
2

T
2
z 平面的单位圆映射为 s 平面左半平面以点（－1/T， 0）为圆心，以 1/T 为半径的圆。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
实际设计时， e－sT/2 有时也可取为如下的一阶或 二阶近似：e sT / 2 11 sT 2
e
sT / 2
1 sT 2
1 ( sT ) 8
2
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其对应的微分方程为
d u (t ) dt e (t )
以一阶向前差分代替微分
e(kT ) d u (t ) dt
t kT
≈
u ( k 1) T u ( k T ) T
可得
u ( k 1) u ( k ) T e ( k )
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
如令 n = k+1，则
u ( n ) u ( n 1) Te ( n 1)
对上式做 Z 变换
D (z) U (z) E (z) Tz
1 1
1 z

1 z 1 T
比较D (s) 与D (z) ，可得s 与z 的关系为
s z 1 T
j T / 2
D e ( s ) D dc ( s ) e
其中， Ddc(s) 为数字算法 D(z) 的等效传函，即设计对象；滞后 环节为 A/D 和D/A 的近似 ，反映了ZOH 相位滞后特性。考 虑到采样对系统的影响，一般需加前臵滤波器，其等效结构 图为
G(s)是将被控对象、执 行机构、传感器、前臵 滤波器等合在一起构成 的广义对象传函
第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
★ 向前差分法的特点


臵换公式简单，且有串联性（与采样开关无关），应用 方便； 当采样周期T 较大时，等效精度较差； 稳态增益维持不变，即
lim D ( s ) lim D ( z )
s 0 z 1
只能将s 左半平面一个半径为1/T 的圆映射到 z 平面单位圆， 所以D (s) 稳定，经臵换后， D (z) 不一定稳定。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
■ 等效控制器De(s) 综合起来可得等效控制器 De(s) 的频率特性
D e ( j ) ≈ 1 T
sT / 2
D (e
j T
) Te
j T / 2
D (e
j T
)e

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4. 向后差分法
设连续环节为
D (s) U (s) E (s) 1 s
以一阶向后差分近似代替微分，有
du ( t ) dt u ( k ) u ( k 1) T e(k )
lim D ( s ) lim D ( z )
s 0 z 1

以上两种方法均要做 Z 变换，且无串联特性，工 程应用并不方便
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
3.
设连续环节传函为
向前差分法
用一阶向前差分近似代替微分
D (s) U (s) E (s) 1 s
T
( z 1)
T
(z e
)
2

0 . 368 ( z 1 ) ( z 0 . 368 )
2
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计

特点：

若连续环节D (s) 稳定，则离散后的D (z) 也一定稳定； 带ZOH 的 Z 变换同样无串联特性； 由于 ZOH 具有低通作用，频率混叠现象较单纯的 Z 变换 法能显著减轻，离散前后频率特性畸变较小； 离散前后稳态增益保持不变，即
由此可得一阶向前差分法离散化的一般公式
D(z) D(s)
s z1 T
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
★ 向前差分法的物理意义
对于 r(t) 的积分，相当于用矩形面积的和 来近似代 替 r(t) 曲线下的面积。
显然，当采样周期较小时，矩形面积之和能较好地 近似等于曲线下的面积；反之，采样周期越大，等效精 度越差。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
连续域－离散化设计步骤

根据系统的性能指标要求，选择采样频率，并设计抗混 叠的前臵滤波器； 考虑ZOH 的相位滞后，根据性能指标的要求和连续域设 计方法，设计数字控制算法的等效传递函数Ddc(s) ； 选择合适的离散化方法，将Ddc(s) 离散化，得到D(z)，并 使二者尽量等效；
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
5.1
1. 基本思想
设计原理
◆计算机控制系统是由计算机及相应的信号变换装臵取代 了常规的模拟控制器，基于此，将原来的模拟控制规律 离散化，变为数字算法，并由计算机实现，便可完成计 算机控制系统的设计，即所谓连续域－离散化设计。 ◆连续域－离散化设计是一种间接设计法，其实质是将数 字控制器部分看作一个整体，并等效为连续传函 De(s)， 从而用连续系统理论来设计De(s) ，再将其离散化而得 到 D(z)。



检验系统闭环性能，如指标满足，进行下一步；否则重
新改进设计，包括：

选择更合适的离散化方法 提高采样频率
修正连续域设计

将 D(z) 变为数字算法，并用计算机编程实现。
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5.2 连续控制器的离散化方法
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
★ 向前差分法 s 平面与 z 平面的映射关系
由 可得 取模
s
z 1 T
， 并令
s j
z 1 Ts ( 1 T ) j T
z
2
(1 T )
第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计
向前差分法 s 平面与 z 平面的映射关系(图）
由此可见，只有当连续环节D (s) 的所有极点均位于s 左半平面以点（－1/T，0）为圆心，以 1/T 为半径的圆 内，才能将离散化后D (z) 的极点映射到 z 平面的单位圆 内。
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第5章 基于连续系统理论的数字控制器设计