第四章 数字控制器的直接设计

2.设定Φ(z)，把G(z)中所有单位圆上和圆外的零点作为自
己的零点 ，即 u -1 Φ(z) = [ ∏(1-biz )] F2(z)
（二）稳定性要求
在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳 定，而且要保证控制变量收敛，方能使闭环系统在物 理上真正稳定。 由式(4-1)导出： R(z) Φ (z) =U(z)G(z)=C(z) (4-32) Φ(z) 得： U(z)= R(z) (4-33) G(z)
1. 如果被控对象G(z)的所有零极点都在单位圆内，那么系 统是稳定的。 2.如果G(z)有单位圆上和单位圆外的零极点，即G(z)和 U(z)含有不稳定的极点，则控制变量u的输出也将不稳 定。
内容：
1. 2. 3. 4. 最少拍无差系统的设计 √ 最少拍无波纹系统的设计 √ W变换法设计 × 纯滞后对象的控制算法——大林算法 √
本章内容
第一节 第二节 第三节 第四节 最少拍无差系统的设计 最少拍无波纹系统的设计 W变换法设计 纯滞后对象的控制算法
第一节 最少拍无差系统的设计
定义：指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个 采样周期内达到稳态无静差的系统。 闭环z传递函数形式： Φ(z) = m1z-1+ m2z-2+ ……+ mnz-n （4-3）
第四章 数字控制器的直接设计
数字控制器的模拟化设计方法——间接设计法 优点：可充分运用工程设计者熟悉的各种连续系统的设
计方法和经验，将它移植到数字计算机上予以实现， 从而达到满意的控制效果。
缺点：采样周期必须足够小，除必须满足采样定理外，
还要求采样周期的变化对系统性能影响不大。
直接设计法：直接根据采样系统理论来设计数字控
∏(1-aiz-1)是广义对象在单位圆外和圆上的v个极点。
i=1
i=1 v
三、最少拍快速有波纹系统设计的一般方法
1. 设定Φe(z) ，把G(z)中单位圆上和单位圆外的极点作
为自己的零点，即
v i=1
Φe(z) = 1- Φ(z) = [ ∏(1-aiz-1)] F1(z)
(4-35)
F1(z)是关于z-1的多项式，且不包含G(z)中不稳定极点ai
一、典型输入下最少拍系统的设计方法
根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为 零，故必然有 p=q 且 F(z) =1 所以对典型的输入来说，有 Φe(z) = (1-z-1)q (4-11) Φ (z) = 1- Φe(z) =1- (1-z-1)q (4-12) 1. 单位阶跃输入 2. 单位速度输入 3. 单位加速度输入
1 2
D(z) =
G(z)(1-z-1)3 q Φe(z)
1 1- z-1
(4-27)
r(t)
1(t) t
1 2 t 2
R(z)
1 1-z-1 Tz-1 (1-z-1)2
Φ (z)
z-1 2z-1- z-2
3z-1- 3z-2 +z-3
D(z)
z-1 G(z)(1-z-1) z-1(2- z-2 ) G(z)(1-z-1)2
(4-4)
根据准确性要求，系统无稳态误差： E(s) = Φe(z) R(z) = [1- Φ(z) ]R(z) (4-5) 根据终值定理： z-1 z-1 e(∞) = lim[ E(z)] = lim[ Φe(z) R(z) ] =>0 z z 对于时间t为幂函数的典型输入函数 (4-6) r(t) = A0+ A1t + A2 t2 +……+ Aq-1 tq-1
1.单位阶跃输入
r(t) = 1(t) R(z)= 即q=1 由式(4-11)、(4-12)，有 Φe(z) = 1-z-1 (4-13) Φ (z) = 1- Φe(z) = z-1 (4-14) 1 -1）=1 E(z) = R(z) Φe(z) = （ 1z (4-15) 1-z-1 即 E(z) = 1+0 . z-1 +0 . z-2+0 . z-3+…… e(0)=1，e(1)=e(2)=…=0 说明系统只需一拍（一个采样周期），输出就能跟随输 z-1 入。此时 C(z)= Φ (z) R(z) = (4-16) -1 1除法得：C(z)=z-1 + z-2+ z-3+…… c(0)=0,c(1)=c(2)=c(3)=…=1 输出序列为 c(t)
1 0
1T
2T
3T
4T
t
将式(4-13)、(4-14)代入式(4-2)有 z-1 D(z) = G(z)(1-z-1)
(4-17)
2.单位速度输入
r(t) = t R(z)= 即q=2 由式(4-11)、(4-12)，有 Φe(z) = (1-z-1 )2 (4-18) Φ (z) = 1- Φe(z) =2z-1- z-2 (4-19) E(z) = R(z) Φe(z) =Tz-1 (4-20) 即 E(z) = 0+Tz-1 +0 . z-2+0. z-3+…… e(0)=0，e(1)=T，e(2)=e(3)…=0 说明系统只需两拍（两个采样周期），输出就能跟随输 -1(2z-1- z-2 ) Tz 入。此时 C(z)= Φ (z) R(z) = (1-z-1 )2 Tz-1 (1-z-1)2
2.单位速度输入
长除法得： = 2 Tz-2+3Tz-3+ 4Tz-4+…… (4-21) c(0)=0，c(1)=0，c(2)=2T，c(3)=3T，c(4)=4T，… 输出序列为 c(t)
3 2 1 0
1T
2T
3T
4T
t
将式(4-13)、(4-14)代入式(4-2)有 z-1(2- z-2 ) D(z) = G(z)(1-z-1)2
（二）稳定性要求
由式(4-1) C(z) D(z)G(z) Φ(z) = = R(z) 1+D(z)G(z) 能否用零极点对消的方法去掉G(z)不稳定的零极点？ 结论：不能 1. D(z)不稳定。 2. 参数漂 移，辨识有误，对消实现不了。 解决办法：要使系统补偿成稳定的系统，必须在确定闭 环脉冲传递函数Φ(z) 时增加附加条件 1 Φ(z) 1 Φ(z) D(z)= = G(z) 1- Φ(z) G(z) Φe(z) 1. 当G(z)有单位圆上或圆外的零点时在Φ(z) 表达式中应 把这些零点作为其零点而保留。 2.当G(z)有单位圆上或圆外的极点时在Φe(z) 表达式中应 把这些极点作为其零点而保留。
闭环系统的脉冲响应在n个采样周期后变为零，即系统在n拍后到达稳态。
对最少拍控制系统设计的要求： 1. 准确性要求
对典型的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值能 准确跟踪输入信号，不存在静差。
2. 快速性要求
在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信 号所需的采样周期数应为最少。
制器的方法。
优点：根据采样系统的特点进行分析和综合，并导出
相应的控制规律，所以它比模拟化设计具有更一般的 意义。计算机软件具有更强的功能和灵活性，可实现 复杂的控制规律，因此能大幅度提高控制系统的性能。
第四章 数字控制器的直接设计
Φ(z)
R(z) r(t) e*(t) G(z) u*(t) C(z)
+
－
E(z)
D(z)
U(z)
1-e-Ts s
零阶保持器
Gc(s)
c(t)
C(z) D(z)G(z) Φ(z) = = R(z) 1+D(z)G(z) 1 Φ(z) D(z) = G(z) 1- Φ(z)
(4-1)
(4-2)
第四章 数字控制器的直接设计
设计步骤：
1. 求得带零阶保持器的被控对象的广义脉冲传递函数 G(z) 。 2. 根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭 环z传递函数Φ(z) 。 3. 依据式(4-2)确定数字控制器的传递函数D(z) 。 4. 由D(z) 确定控制算法并编制程序。
2 1 1 2
T2z-1(1+z-1) (1-z-1)3
说明系统的过渡过程需三拍（三个采样周期），此时
3.单位速度输入
2z-1(1+z-1 )(3z-1- 3z-2 +z-3 ) T C(z)= Φ (z) R(z) = (4-26) -1 )3 (1-z -1 -1 -2 z (3-3z + z )
最少拍数
T 2T
3T
2 (1-z-1 )2
3 (1-z-1 )3
T2z-1(1+z-1) (1-z-1)3
z-1(3-3z-1+ z-2 ) G(z)(1-z-1)3
二、最少拍控制器的可实现性和稳定性
（一）物理上的可实现性 （二）稳定性要求
（一）物理上的可实现性
物理上的可实现性：指控制器当前的输出信号，只能 与当前时刻的输入信号，以前的输入信号和输出信号 有关，而与将来的输入信号无关。这就要求数字控制 器的z传递函数D(z)不能有z的正幂项。 D(z)的一般表达式为 m+ b zm-1+…+ b U(z) b z 0 1 m D(z) = = (4-28) E(z) n n-1 a0z + a1z +…+ an 上式中，要求 n≥m (4-29) 式(4-28)分子、分母同除zn，则 m-n+ b zm-n-1+…+ b z-n U(z) b z 0 1 m D(z) = = (4-30) -1 -n E(z) a0+ a1z +…+ an z 若n<m，则分子出现z的正幂项。
3.
稳定性要求
数字控制器D(z)必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。
本 节 内 容