探究四点共圆的条件

探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。

四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。

圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。

在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。

同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。

二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。

通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。

另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。

三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。

四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。

五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。

问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。

数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。

学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。

达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。

数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。

学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。

达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。

复平面上四点共圆的充要条件复平面上四点共圆的充要条件是这四点构成一个共轭四边形，即四个点依次连接起来形成一个四边形，且相对顶点所对的角互补。

下面将详细介绍这个条件及其性质。

共轭四边形是指以相互垂直相交的对角线为对称轴的四边形。

四个点A、B、C、D在复平面上依次连接起来组成的四边形ABCD就是一个共轭四边形，如果满足下面两个条件，即可证明这四个点共圆。

第一个条件是四边形的对角线相互垂直。

即AC和BD是垂直的，可以表示为AC⊥BD。

这意味着这两条对角线的斜率之积为-1。

如果我们分别用复数表示四个点A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2)、D(d1,d2)，那么我们可以用坐标形式表示为：AC⊥BD ⟺ ((c2-a2)/(c1-a1))*((d2-b2)/(d1-b1)) = -1第二个条件是四边形相对顶点所对的角互补。

也就是说，角ABC和角CDA是互补角，角ABD和角CAD是互补角。

互补角是指两个角的和为90度。

我们可以用复数表示角的度量，并利用向量之间的夹角公式来表示这个条件。

假设θ是两个向量的夹角，那么：角ABC互补于角CDA ⟺ arg((b2-a2)/(b1-a1)) + arg((d2-c2)/(d1-c1)) = π/2角ABD互补于角CAD ⟺ arg((b2-a2)/(b1-a1)) + arg((c2-d2)/(c1-d1)) = π/2当上述两个条件都满足时，我们可以断定四个点A、B、C、D共圆。

这是因为共轭四边形满足的条件实际上是正交圆的特征。

如果我们连接AD和BC，它们必定会相交于圆的圆心。

因此，这四点构成的四边形ABCD必然是一个正交圆。

这个定理具有重要的应用和指导意义。

通过这个定理，我们可以用复数的方法判断四个点是否共圆。

这在几何问题的解决中是非常有用的。

同时，我们还可以利用这个定理来证明其他几何定理。

例如，如果已知两个圆相交于两个点，并且通过这两个点引圆心连线，那么这条连线将垂直于两个圆的切线。

四点共圆托勒密定理托勒密定理是几何学中的重要定理之一，它描述了四个点共圆的条件和性质。

本文将以人类的视角来描述这一定理，使读者感到仿佛是真人在叙述。

四点共圆托勒密定理是指，如果四个不共线的点A、B、C和D满足AC与BD相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点A、B、C和D就共圆。

也就是说，存在一个圆可以通过这四个点。

这个定理的证明是基于几何学的基本性质和定理，但在本文中，我们将避免使用数学公式或计算公式，以便更好地理解这个定理。

让我们考虑一个简单的例子，以便更好地理解这个定理。

假设我们有一个草坪上的四个标志物，我们用A、B、C和D来表示它们。

现在，我们要证明这四个标志物共圆。

我们选取其中两个点A和B，然后画一条直线AB连接它们。

接下来，我们再选取另外两个点C和D，然后画一条直线CD连接它们。

我们可以发现，这两条直线AB和CD会相交于一点P。

现在，我们需要证明的是，是否存在一个圆可以通过这四个点A、B、C和D。

为了证明这一点，我们需要找到一个点O，使得OA=OB=OC=OD。

这就意味着这个点O到这四个点的距离都相等，即这四个点在以点O为圆心的圆上。

我们可以通过如下方法来找到这个点O。

首先，我们连接AC和BD，它们相交于一点O。

然后，我们测量OA、OB、OC和OD的长度，如果它们都相等，那么我们就找到了这个点O。

通过这个例子，我们可以看到四点共圆托勒密定理的基本原理。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD相交于一点O，且AB 与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

这个定理在几何学中有着广泛的应用。

例如，在三角形的外接圆中，三个顶点和三条边上的中点就共圆；在椭圆中，焦点和顶点也共圆。

这些例子都是基于四点共圆托勒密定理而得出的。

四点共圆托勒密定理是几何学中的重要定理之一。

它描述了四个点共圆的条件和性质。

无论这四个点在什么位置，只要满足AC与BD 相交于一点O，且AB与CD相交于一点P，那么这四个点就共圆。

四点共圆模型研究报告四点共圆模型是指一个平面上的四个点可以被同一个圆包围的几何模型。

这个模型在数学和几何学中都有着一定的应用，下面是一个关于四点共圆模型的研究报告：一、引言四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，研究四点共圆模型可以帮助我们理解圆的性质和相关定理。

本报告主要介绍四点共圆模型的定义、性质和应用，并通过实例展示其中的一些典型问题和解法。

二、定义和性质1. 定义：给定一个平面上的四个点A、B、C和D，如果存在一个圆，使得这四个点都在这个圆上，则称这四个点共圆。

2. 性质：四点共圆的充要条件是，任意三个点不能共线。

当且仅当四点共圆时，存在一个圆可以通过这四个点。

三、典型问题和解法1. 问题1：已知四个点的坐标，如何判断它们是否共圆？解法：我们可以使用数学方法来判断四个点是否共圆。

设四个点的坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)和D(x4, y4)。

如果存在一个圆的圆心为O(a, b)，半径为r，满足以下条件：（1）OA = OB = OC = OD = r；（2）(x1-a)^2 + (y1-b)^2 = r^2；（3）(x2-a)^2 + (y2-b)^2 = r^2；（4）(x3-a)^2 + (y3-b)^2 = r^2；（5）(x4-a)^2 + (y4-b)^2 = r^2；则可以判断四个点共圆。

2. 问题2：已知三个点共圆，如何确定另一个点使得四个点共圆？解法：已知A、B、C三点共圆，设其圆心为O(a, b)，半径为r。

我们可以通过以下步骤确定点D的坐标：（1）连接OA、OB和OC，确定三个角AOB、BOC和COA 的角平分线；（2）找出三个角平分线的交点，即点O；（3）设点O到任意角平分线的交点的距离为r，即OD = r；（4）根据点O和OD的坐标，可以计算出D的坐标。

四、应用领域四点共圆模型在数学、几何学以及物理学的研究中都有一定的应用。

例如，在计算机图形学中，四点共圆可以用来处理图形的变换和仿射变换；在弹道学中，四个点共圆可以描述追踪导弹的轨迹等。