数学人教版九年级上册24.探究四点共圆的条件

探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。

四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。

圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。

在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。

同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。

二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。

通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。

另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。

三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。

四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。

五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。

问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。

数学活动:探究四点共圆的条件学习目标：1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．2、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．一、复习回顾1、经过一点A可以作个圆；经过两点A、B可以作个圆,圆心在；经过不在同一直线上的三点A、B、C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，圆心是三角形三条边的.2、一个圆有多少个内接三角形，一个三角形有多少个外接圆？一个圆有多少个内接四边形，一个四边形有多少个外接圆？二、发现问题1、经过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说经过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？2、分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点能否作一个圆？三、探究问题四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？你能找出一个四边形来验证你的猜想吗？四、猜想结论猜想：五、证明猜想六、获得结论结论：七、归纳反思1、本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？2、回顾本节课的学习过程，你是怎么得到上述的知识的？你还有什么收获？八、目标检测1、如图1，∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE=∠A ,那么过点 A 、B 、C 、D （填“能”或“不能”）作一个圆．2、如图2，经过四边形ABCD 的四个顶点可以作一个圆若∠A =115°，则∠C 的度数为 ．3、如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD =26°, 则∠ABD 的度数为 ．如图3，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB ,那么同时过点 A 、B 、C 、D 能不能作一个圆？为什么？。

人教版数学九年级上册探究四点共圆的条件活动过程设计问题与情境4、按要求画出图形后，为什么有的四边形的四个顶点能共圆，有的却不行，那这些四边形有哪些不同呢？它们的边长有关系吗？它们的内角有如何呢？5、刚才我们是先画的四边形，再作的圆，得到了这样一个猜想。

还有没有另外的方法也能做到呢？【活动2】1通过活动，同学们推测出了四边形的四个顶点共圆的条件，可我们只画了几个图形，要想运用这个推断，还需要证明，那如何证明呢？2、不在同一条直线上的三点是能共圆的，如果四点不能共圆，但其中的三点是可以保证共圆的，余下的点与过三点的圆是什么位置关系呢？3、圆周角定理有哪些内容？4、怎样利用圆中的性质定理来解决问题呢?师生行为学生先进行讨论，思考最好的证明方法。

然后引导学生利用反证法进行证明。

在证明的过程中要让学生考虑到所有的图形情况。

证明过程：在四边形ABCD中，若/ B+/ ADC=18(0，那么A、B、C D 四点共圆吗？为什么？解：如图1:假设A、B、C D四点不共圆，过A、B C三点作圆，D点在圆内。

延长AD与圆交于点E,连接CE则：/ B+Z E=180o•••/ ADC >Z E•••Z B+Z ADC >180o这与已知条件Z B+Z ADC=18(0 矛盾，故假设不成立，原结论正确，A、B C、D四点共圆。

如图2,假设A B、C、D四点不共圆，D点在圆外。

证明方法与证明图1时同理。

BAEDC设计意图培养学生和情推理能力。

附图：。

第二十四章数学活动——活动2探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期效果一、说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。

学习目标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。

学习重点：四点共圆的条件的探究．（根据本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）二、说学情经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。

三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回顾旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观察、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。

四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回顾思考、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。

第一环节：复习回顾1、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：这样设计一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。

二是为本节课探究猜想作好垫铺。

第二环节：探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。

课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。

一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。

四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。

另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。

（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。

数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。

学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。

达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。

新人教探究四点共圆的条件第二十四章圆数学活动二探究四点共圆的条件学习目标1、通过动手作图、测量，猜测、证明后，得出四点共圆的条件。

2、在探究的整个过程中，体会分类讨论的方法，感受从“特殊到一般”的数学思想。

学习重点：通过动手操作，得到四点共圆的条件。

学习难点：得到四点共圆的条件，并证明结论。

学习过程：一、回顾思考：1、请说说你最喜欢生活中存在的哪种圆形图案。

那你也一定知道，作一个圆必须先确定圆心和半径。

2、从点和圆的位置关系思考（1）过一个点可以作无数个圆，圆心的位置，半径的大小，怎样确定。

（2）过两个点可以作无数个圆，圆心，半径的大小的确定。

（3）过三个点呢？二、类比探究四点共圆的条件。

过任意四点能作一个圆么？（类比三点的方法分类讨论）活动一：图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！（提示：可以类比使用三点确定圆的方法作图）选择1至2个自己喜欢的常见的四边形试试，看看过这些四边形的四个顶点能否作一个圆。

活动二：分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？猜想：如果四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角互补。

活动三：证明猜想已知：求证：（提示：可以利用圆周角定理来证明）如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间还有上面的关系吗？（提示：利用圆周角与其所对弧的大小关系，考虑∠B+∠D与180º之间的关系）由上面的探究，试归纳判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

三、归纳小结本节课你有什么收获？。