四点共圆的条件

四点共圆的充要条件矩阵四点共圆是指四个点在同一圆周上，这种情况在几何学中非常常见。

那么，我们如何判断四个点是否共圆呢？这里，我们介绍一种基于矩阵运算的方法。

首先，我们定义一个四阶矩阵 A：$$A=begin{bmatrix}x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1end{bmatrix}$$其中，$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$、$(x_4,y_4)$ 分别是四个点的坐标。

那么，如果这四个点共圆，那么矩阵 A 的行列式等于零，即 $det(A)=0$。

为什么这个矩阵的行列式可以判断四个点是否共圆呢？我们可以用向量叉积的方法来证明。

设有三个向量 $vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$，那么 $vec{a} times vec{b}$ 表示 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 所在平面的法向量，其大小等于 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 所组成平行四边形的面积，方向满足右手定则。

回到四点共圆的问题，我们考虑三个点 $P_1$、$P_2$、$P_3$，它们分别在圆周上，那么这三个点所在的向量可以表示为$vec{a}=overrightarrow{P_1O}$、$vec{b}=overrightarrow{P_2O}$、$vec{c}=overrightarrow{P_3O}$，其中 $O$ 是圆心。

由于三个点在同一圆周上，所以 $vec{a} times vec{b}$ 和 $vec{b} timesvec{c}$ 在同一直线上，即 $(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}=0$。

四边形的“对角互补”和“四点共圆”知识点总结一、中学数学中的四边形分类四边形包括“平面四边形”和“空间四边形”两种。

二、平面四边形“四点共圆”的等价条件（充要条件）四点共圆的平面四边形的每一个内角都可以看成是其外接圆的圆周角，因此，四点共圆的平面四边形的任意一组对角所对应的两个圆弧的长度和正好是整个圆的周长。

根据“圆周角是圆心角的一半”和“圆弧与所对的圆周角的对应可加性”，可知：满足“四点共圆”的平面四边形的任意一组对角都互补。

进一步地，我们根据“平面四边形的内角和为360度”和“平面上任意三点一定共圆”的性质，容易得到：有一组对角互补的平面四边形，一定满足四点共圆。

【注】平面四边形“四点共圆”是平面四边形“对角互补”的充要条件。

即：“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价。

三、不满足“四点共圆”的平面四边形的重要性质因为“平面四边形四点共圆”与“平面四边形对角互补”等价。

所以我们很容易得到以下两条重要的性质。

1、不满足“四点共圆”的平面四边形的任意一组对角都不互补。

原因：假如平面四边形中有一组对角互补，由“平面四边形内角和等于360度”可知另一组对角也互补。

此时，根据“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价，就会得到“平面四边形四点共圆”。

所以，如果一个平面四边形的四个顶点不满足“四点共圆”，则它的任意一组对角都不互补。

2、如果一个平面四边形中有一组对角不互补，则这个平面四边形一定不满足“四点共圆”原因：如果一个平面四边形中有一组对角不互补，根据“平面四边形的内角和等于360度”可知其另一组对角也一定不互补。

此时，根据平面四边形“四点共圆”的等价条件（“平面四边形四点共圆”与“平面四边形的对角互补”等价）可知，这个平面四边形一定不满足“四点共圆”。

四、空间四边形的“四点共圆”和“对角互补”问题1、空间四边形是不能把所有边和顶点放在同一个平面内的四边形，所以，空间四边形都不满足“四点共圆”。

证明四点共圆的基本方法1、利用圆的定义根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以定点到这几个点中任一点的距离为半径。

2、利用三角形的关系 (1)同斜边的直角三角形的各顶点共圆； (2)同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。

已知C 、D 在线段AB 的同侧，且∠ACB=∠ADB 。

求证：A ，B ，C ，D 四点共圆。

证明：如图7-39，过A ，B ，C 三点作⊙O 。

(1)如果D 点在⊙O 内部，则延长BD 交⊙O 于D '，连A D '。

∵∠D '=∠C ，且∠ADB ＞∠D '。

∴∠ADB ＜∠C ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。

因此D 点不可能在⊙O 的内部。

(2)如图7-40，如果D 点在⊙O 的外部，连AD ，BD 。

则必有一条线段与⊙O 相交，设BD 与⊙O 交于D '，连A D '。

∵∠A D 'B=∠ACB ，且∠D ＜∠A D 'B 。

∴∠D ＜∠ACB ，这与∠ADB=∠ACB 矛盾。

因此，D 点不可能在⊙O 的外部。

综上所述，D 点必在⊙O 上。

3、利用四边形的关系 (1)如果四边形的一组对角互补，那么它的两个顶点共圆(图7-41)；(2)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆(7-42) 4、利用线段的乘积式的关系(1)线段AB ，CD 相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆。

证明：如图7-43，连AD ，BC ，AC 。

在△APD 和△BPC 中，∵PA ·PB=PC ·PD ，∴PBPDPC PA =。

又∠APD=∠BPC ，∴△APD ∽△BPC 。

∴∠B=∠D ，又B ，D 在线段AC 同侧。

因此，A ，C ，B ，D 四点共圆。

(2)两线段AB ，CD 的延长线相交于P ，且PA ·PB=PC ·PD ，则A ，B ，C ，D 四点共圆(图7-44)。

相似三角形四点共圆条件哎呀，今天咱们聊聊一个有趣的话题，叫做“相似三角形四点共圆条件”。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们就把它简单化，轻松聊聊。

想象一下，你和朋友在公园里玩三角形拼图，突然你发现这三角形不仅好看，而且有个神奇的特性，那就是如果这三个三角形是相似的，那么它们的四个顶点竟然可以在同一个圆上，这可是个了不起的事情呢！先说说什么叫相似三角形。

其实就是那些形状一样但大小不同的三角形，比如你把一块比萨饼切得小一点，再切得小一点，这不就是相似三角形吗？无论你怎么缩放，这些小三角形和原来的大三角形都是“心有灵犀”的，形状上绝对不打架。

你知道吗？数学界可是很喜欢这种“心有灵犀”的关系，没事就爱研究。

然后啊，咱们再说说四点共圆条件。

这听起来就像是个数学的魔法。

想象一下，在一个圆圈里，有四个小朋友，他们拉着手，围成一个大圈，哈哈，是不是感觉特别温馨？四点共圆的意思就是，四个点能够同时在一个圆上，形成一种神奇的联系。

这个时候，你可能会想，这些点是怎么凑到一起的呢？关键就在于这些点之间的角度关系。

咱们进入核心。

你想啊，如果四个点都可以在一个圆上，那么它们之间的角度就得有个特殊的关系，才能让它们手拉手不散架。

这就需要满足一种条件：那就是如果一个三角形的内角和另一个三角形的内角相等，那么这四个点就可以共圆了。

简单说，就是这几个三角形之间的比例关系得好，才能齐心协力，找到同一个圆圈。

就像好朋友一起去旅游，得有个统一的计划，才能玩的开心！数学里还有个有趣的现象，就是这些相似三角形如果在一起聚会，它们的边长比也是一致的。

就像一群身高不一的朋友，只要他们之间的比例相同，不管个子高矮，都能一起玩得不亦乐乎！这种感觉太赞了，几何也变得生动有趣起来。

咱们可以用这个条件来推导出各种各样的结果，就像解谜一样，越解越上瘾。

你可能会好奇，这有什么实际应用呢？很多设计、建筑都离不开这个原理。

就像设计师在画图的时候，常常用相似三角形来确保结构的稳固。

专题31圆中的重要模型之四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

【答案】2【分析】首先连接OE，由角器上对应的读数．【详解】解：连接OE，A ．13B ．52∵在ABC 中，90BAC【答案】30【分析】连接AC 与BD 又易知在Rt ACD △中，【详解】解：连接AC 与∵四边形形ABCD 是矩形，12OA OB OC OD AC又∵DE BF 于E ，即是直角三角形，∴12OE BD ，∴OA OC OD OE ，∴点A B 、、，由旋转的性质可知：AF AB ，【答案】122【分析】（1）根据条件，证明AOD COD△△△△，代入推断即可.（2）通过AOG ABC证明ODF CBF△△，代入推断即可.又∵∵CE CF∴CEF CFE模型2、定边对双直角共圆模型C同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABD ACD，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。

2）定边对双直角模型（异侧型）条件：若平面上A、B、C、D四个点满足90ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。

【点睛】本题考查了圆的直径所对的圆周角为【点睛】此题主要考查圆内接四边形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质等知识点，解答此题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，求出线段．模型3、定边对定角共圆模型条件：如图1，平面上A 、B 、C 、D 四个点满足ADB ACB ，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆．条件：如图2，AC 、BD 交于H ，AH CH BH DH ，结论：A B C D 、、、四点共圆.例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上．（1）求∠BAD 的度数；（2）求证：A 、D 、B 、E 四点共圆．【答案】（1）10°；（2）见解析【分析】（1）由三角形内角和定理和已知条件求得∠C 的度数，由旋转的性质得出AC ＝AD ，即可得出∠ADC ＝∠C ，最后由外角定理求得∠BAD 的度数；（2）由旋转的性质得到∠ABC ＝∠AED ，由四点共圆的判定得出结论．【详解】解：（1）∵在Rt ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABC ＝40°，∴∠C ＝50°，∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，使D 点落在BC 边上，∴AC ＝AD ，∴∠ADC ＝∠C ＝50°，∴∠ADC ＝∠ABC +∠BAD ＝50°，∴∠BAD ＝50°－40°＝10°证明（2）∵将 ABC 绕A 点顺时针旋转得到 ADE ，∴∠ABC ＝∠AED ，∴A 、D 、B 、E 四点共圆．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、外角定理以及四点共圆的判定，解题的关键是理解旋转后的图形与原图形对应边相等，对应角相等．例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE 绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．【答案】804##4【分析】利用SAS 证明△BDC ≌△AEC ，得到∠DBC =∠EAC =20°，据此可求得∠BAF 的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB =60°，推出A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，此时线段AF 长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60°，∴∠DCB +∠ACD =∠ECA +∠ACD =60°，即∠DCB =∠ECA ，在△BCD 和△ACE 中，CD CE BCD ACE BC AC，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴∠EAC =∠DBC ，∵∠DBC =20°，∴∠EAC =20°，∴∠BAF =∠BAC +∠EAC =80°；设BF 与AC 相交于点H，如图：∵△ACE ≌△BCD ∴AE =BD ，∠EAC =∠DBC ，且∠AHF =∠BHC ，∴∠AFB =∠ACB =60°，∴A 、B 、C 、F 四个点在同一个圆上，∵点D 在以C 为圆心，3为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD ⊥BF 时，∠FBC 最大，则∠FBA 最小，∴此时线段AF 长度有最小值，在Rt △BCD 中，BC =5，CD =3，∴BD 4，即AE =4，∴∠FDE =180°-90°-60°=30°，∵∠AFB =60°，∴∠FDE =∠FED =30°，∴FD =FE ，过点F 作FG ⊥DE 于点G ，∴DG =GE =32，∴FE =DF =cos 30DG∴AF =AE -FE 80；【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D ，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点A ，C ，D 的O ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE 则180AEC D （依据1）B D ∵180AEC B点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O 上（依据2）点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD 中，12 ，345 ，则4 的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知ABC 是等腰三角形，AB AC ，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接AD ．作点C 关于AD 的对称点E ，连接EB 并延长交AD 的延长线于F ，连接AE ，DE ．①求证：A ，D ，B ，E与判定，掌握以上知识是解题的关键．模型4、对角互补共圆模型P条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足ABC ADC，结论：A、B、C、D四点共圆．条件：如图2，BA、CD的延长线交于P，PA PB PD PC，结论：A、B、C、D四点共圆.A．2B．22【答案】A【分析】先根据等腰三角形的性质可得,,,A B E D四点共圆，在以BE为直径的圆上，连接【答案】43/113【分析】过点B作BH AM交F，点A,M,B,C四点共圆，得法求解，12AMBS AM DE△【详解】解析：过点B作BH 于点，如图所示：【答案】52 2【分析】连接BD并延长，利用四点共圆的判定定理得到的性质和圆周角定理得到DBF性质解答即可得出结论．(1)求证：A ，E ，B ，D 四点共圆；(2)如图2，当AD CD 时，O 是四边形AEBD O 的切线；(3)已知1206BC ，，点M 是边BC 的中点，此时P 是四边形出圆心P 与点M 距离的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)32（3）解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交∵120AB AC BAC ，，∴B课后专项训练1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【详解】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选D．【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．，．下2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC BD列结论不一定成立的是（）A ．12B ．3=4C ．180ABC ADCD ．AC 平分BAD【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵ AB AB ，∴12 ，故A 不符合题意；B ．∵ BCBC ，∴3=4 ，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ，故C 不符合题意；D ．∵ BC 和CD不一定相等，∴BAC 和DAC 不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，3BC ，4AC ，点P 为平面内一点，且CPB A ，过C 作CQ CP 交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（）【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为【答案】DAB【分析】首先判断出点【答案】130【分析】根据题意得到四边形【详解】解：由题意得到∴四边形ABCD为圆∵∠ABC＝50°，∴∠【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．6．（2023·浙江金华·A．3B．1∵PE AB 于点E ，PD AC 于点，∴90AEP ADP ，∴180AEP ADP ，∴A 、E 、D 四点共圆，PA 是直径，在Rt PDC 中，45C ，∴△是等腰直角三角形，45APD ∴APD △也是等腰直角三角形，45PAD ，∴PED PAD ∴45AED ，∴AED C ，∵EAD CAB ，∴AED ∽设2AD x ，则2PD DC x ，22x ，如图2，取AP 的中点O 则2AO OE OP x ，∵604515EAP BAC PAD ，过E 作EM AP 于M ，则EM x，cos30OM OE ，∴36222OM x x ，∴6226222AM x x x ，由勾股定理得： 222226222AE AM EM x x ＋【答案】3632 /323 【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点【详解】解：如图旋转，连接以BC 为直径作O ，以AE 为半径作在ABD △和ACE △中AB AC AD AE BAD CAEPBC PBA ACB PBC 90BAC BPC EAD ∵，122AB ∵，A 的半径为62∴又∵90BAC EAD ，CAD，∵33BC ，OP BC∵MQ，MC与圆O相切，1QOM COM COP 【答案】(1)见详解（2）证明：如下图所示由题意可知AC 逆时针旋转90得到边AE ，90E ACB ，则90ACB ∵，AE BF ∥，90 ∵，90EFC ，，F ，E 四点共圆．．∵四边形ABCD是菱形，AC，且 GOC GCO90＝＝∵， 点90DHC DOC＝BDF OCH＝，且BF OM ∵， 点＝＝90AED AOD尝试应用如图2，点D 为等腰Rt ABC △外一点，AB AC ，BD CD ，过点A 的直线分别交DB 的延长线和CD 的延长线于点N ，M ，求证：12ABN ACM S S AN AM △△．问题拓展如图3，ABC 中，AB AC ，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，60BDA BEA ，AE ，BD ，直接写出BE 的长度（用含a ，b 的式子）∵ABC 为等腰直角三角形，∴AB AC ， 又∵BD CD ，即：=90BDC ，∴A 、B 在ABN 与ACE △中，AB AC ABN ACE BN CE，∴∴BAN BAE CAE BAE BAC ∴1122AME AMC S AE AM AN AM S S △△∴60AFB BAF ABF ，AB AF AC ，∵60BDA BEA ，∴A 、D 、E 、B 、F 五点共圆，则：13 ，24 ，60BEF AEB ，【答案】问题情境：见解析；问题解决：（1）102；（2）13522【分析】[问题情境]连结AC ，取AC 的中点O ，连结OB 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OD OA OC OB ，以此即可证明；[问题解决]（1）根据题意可得225AE AD DE ，由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、据圆周角定理以及正方形的性质可得45PDE PAE ，则PAE △为等腰直角三角形，设AP 长为a ，根据勾股定理列出方程，求解即可；（2）由[问题情境]结论可知A 、D 、E 、P 四点共圆，过点O 作OG AD 于点G ，作OH 接OB 交O 于点P ，连接PB ，根据题意可得四边形MBNP 为矩形，则要求MN 的最小值，即求值，根据平行线的性质和中点的定义可得OG 为ADE V 的中位线，得1AG ，12OG ，同理可证四边形1【翻折】(1)如图1，将DEF 沿线段AB 翻折，连接CF ，下列对所得四边形ACBF 的说法正确的是平分CBF 、CAF ，②AB 、CF 互相平分，③12ACBF S AB CF 四边形，④A 、C 、B 、F 四点共圆．AB 垂直平分CF ，故②ABC ABF ACBF S S S 四边形1122AB AB FG 12AB CG 取AB 的中点O ，连接CO FO ，ABC ABF △、△均为直角三角形，∴OB OC OA OF ，∴A 、B 、F 四点共圆，故（）沿线段向左平移，∴AB CF ，CF BE 的中点，∴BE BD BF特殊情况分析：(1)如图1，正方形ABCD 中，点P 为对角线时针旋转ADC 的度数，交直线BC 于点Q ．小明的思考如下：连接DQ ，∵AD CQ ∥，90ADC DCQ ，∴ACQ DAC ∵90DPQ ，∴180DPQ DCQ ，∴点D P Q 、、PDQ PCQ DQP PCD∵在菱形ABCD 中BC AD ∥，180ADC DCQ ，DPQ ADC ，∵180DPQ DCQ ，∴点P C Q 、、、共圆，∴DQP ACD ，ACB PDQ ，∵AC 为菱形ABCD 的对角线，ACB ACD ，∴PDQ DQP ，∴ DP PQ ；（3）解：3PQ 或3．由于点P 为对角线AC 上一个动点，分两类情况讨论如下：所示：180302ADC ACD，。

相交弦定理逆定理证明四点共圆-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分内容：相交弦定理逆定理是几何学中的重要定理，它描述了当两条弦相交时，它们与圆心的连线所夹的角相等。

而逆定理证明则是证明了当两条弦与圆心的连线所夹的角相等时，这两条弦必定相交。

本文通过推导和证明，将展示这一定理的正确性和重要性。

同时，本文还将探讨四点共圆的性质，即当一个四边形的四个顶点都在同一圆上时，该四边形被称为四点共圆。

通过相交弦定理逆定理的证明，我们可以得知四个点共圆的充要条件，这对于几何学的理解和应用具有重要意义。

在正文部分，我们将详细介绍相交弦定理和逆定理的内容及证明过程，并探讨四点共圆的相关性质。

在结论部分，我们将总结本文的主要观点，并展望相交弦定理在几何学中的应用前景。

通过本文的阐述，读者将对相交弦定理的逆定理和四点共圆有更深入的理解和认识。

1.2 文章结构文章结构部分内容：本文将分为引言、正文和结论三个部分。

在引言部分，将会对文章的主题进行概述，介绍相交弦定理和逆定理的相关概念，并说明本文的目的和意义。

在正文部分，将详细介绍相交弦定理和逆定理的证明过程，以及四点共圆的相关内容。

在结论部分，将对本文进行总结，探讨相交弦定理和逆定理的意义，并展望未来可能的研究方向。

通过这样的结构，读者可以清晰地了解本文的内容，从而更好地理解相交弦定理和逆定理证明四点共圆的相关知识。

1.3 目的目的部分的内容：本篇文章旨在探讨相交弦定理的逆定理证明，以及利用该定理证明四点共圆的问题。

通过对相交弦定理的逆定理进行证明，并且利用该逆定理证明四点共圆的方法，来深入理解几何学中的重要定理和概念。

同时，希望通过本文的研究，能够对读者加深对几何学知识的理解，提高其解题能力和逻辑推理能力。

2.正文2.1 相交弦定理相交弦定理是几何学中常用的重要定理之一，它是描述圆内部两条相交弦长度乘积等于另外两条相交弦长度乘积的几何关系。

在圆内部，如果两条相交弦AB和CD相交于点E，那么根据相交弦定理可知，AE乘以EB的长度等于CE乘以ED的长度，即AE*EB=CE*ED。

专题06四点共圆（知识解读）【专题说明】四点共圆在圆内接四边形综合问题的求解中占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有：利用四点共圆证相似，利用四点共圆求最值，这些问题大都利用转化思想，将几何问题转化为四点共圆问题，使题目能简单求解.【方法技巧】模型2：同侧等角型（1）若∠A=∠C,则A、B、C、D四点共圆（2）手拉手(双子型)中的四点共圆条件：△OCD∽△OAB结论：①△OAC∽△OBD②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共圆.模型3：直径是圆中最长的弦1.定圆中最长的弦是直径；2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,∴A、B、C、M四点共圆,∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。

【解析】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。

【模型2：同侧等角型】【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.求证：PB=PD【解析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD∴PB=PD【模型3：直径是圆中最长的弦】【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?【解析】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5(斜边上中线等于斜边一半)【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。

圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在R t A B C中，90∠A C B∠=︒，O为A B的中点，O D平分A O COF例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形A B C D 中，D A D B D C==，72BD C ∠=︒，则B A C∠的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90A B DA C D ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。

圆幂定理证明四点共圆哎呀，今天咱们来聊聊一个有趣的话题，那就是圆幂定理，这玩意儿可不是简单的几何图形那么无趣，背后可是藏着不少故事呢。

想象一下，四个点在平面上，嘻嘻哈哈的，突然有一天，它们发现自己其实在同一个圆上，真是太神奇了！这就像是那种老友重聚，大家一块儿碰撞出火花的感觉。

你要是问我，四点为什么能共圆，那我得说，关键在于它们之间的关系。

就像朋友之间总是有一种默契，四个点如果满足某种条件，就能一起跳进那个圆圈里，成就一场圆满的聚会。

这种条件就是所谓的“圆幂定理”。

听起来是不是很高大上，其实道理很简单，四个点的位置关系就是关键所在。

想象一下，有四个小伙伴，他们的名字叫 A、B、C、D。

平常的时候，它们各自在自己的地方玩耍，时不时碰个面，打个招呼，但总觉得少了点什么。

有一天，A 突然灵机一动，提议说：“我们要不要找个地方一起聚会？”其他小伙伴一听，立刻来了兴趣。

于是它们开始讨论，怎样才能找到一个完美的聚会地点。

这个地点就是一个神秘的圆。

说到这里，咱们得引入一个概念，叫做“对角线”。

你知道的，四个点之间总是可以画出几条线，这就像是朋友们之间的小秘密。

有了这些对角线，A 和 C 之间的距离，还有 B 和 D 之间的距离，都是不可忽视的。

它们之间的关系就像一根根绳子，把彼此紧紧联系在一起。

真是有趣啊！所以，我们可以做一个简单的实验。

拿一根绳子，先把A 和C 之间的距离量一量，再把 B 和 D 的距离量一量。

哇！如果这两条线的乘积等于另一个线段的乘积，那么恭喜你们，四个点就能欢快地在同一个圆上聚会了。

要是这条件不满足，那可就只能各自回家了，大家还得继续各忙各的了。

这个圆不是随便画的，而是有一定的中心和半径的。

就像是四个小伙伴在一起，一定要有一个中心点，才能让大家都围绕着它转，彼此照应。

想象一下，假如A、B、C、D 没有这个圆，他们就像四颗孤星，各自闪烁，根本没法形成美丽的星空。

再说说，为什么这个定理这么重要。

四点共圆定理中国古代数学家张丘建于《九章算术》中提出的“四点共圆定理”，是经典中的经典，也是中国学术古迹。

四点共圆定理的主体是：“任意四点在一个平面上，若这四点共线，则这四点共圆；若不共线，则这四点不共圆”。

它建立在三角形学知识的基础上，即四边形中连接任意两条边之间的角等于两角之和。

张丘建提出的四点共圆定理，表示了欧几里德引入的几何概念在中国数学史上的重大意义，作为中国古代数学的重要组成部分，它引发了中国古代数学家之间的争论以及数学研究的深入发展。

历史上，陈悉、吴文英、赵普新等著名的数学家都曾在研究四点共圆定理的道路上探索。

关于四点共圆定理，数学家们也提出了不同的解释。

陈悉认为，由于四个点不在一条直线上，所以它们不可能共圆，而吴文英认为，只要给出四点共圆的条件，就可以构建出一个圆，赵普新则认为，只要相四个点不共线，就可以满足四点共圆定理。

这些解释都深深影响了中国古代数学的发展，张丘建的定理也受到赞誉。

今天，张丘建的《九章算术》仍然是基础数学的重要教材，四点共圆定理也被许多数学普及读物中作为数学知识的介绍材料用来讲解。

张丘建的四点共圆定理不仅是中国古代数学的重要创新，更被认为是开发了几何数学的一个重要途径。

受到张丘建的大量贡献，中国古代数学研究发展迅速，几何学成为数学发展中最重要的分支。

张丘建的《九章算术》中的四点共圆定理，推动了中国数学历史的发展，为几何学的研究和发展提供了支持。

这个定理的最重要的收获是，它提出了一个新的、宽泛的概念四点共圆，它表明，任意四点在一个平面上，只要满足一定的条件，就可以构成一个圆；也就是说，它提出了一种新的、宽泛的几何概念圆，它把古典几何中圆的概念扩展到平面几何领域。

四点共圆定理也得到了由20世纪数学家爱因斯坦提出来的“相对论”的启发。

爱因斯坦认为，空间和时间是相互关联的，是一个统一的整体，而张丘建的四点共圆定理正好证明了这一点，他的定理表明，由任意四点构成的圆，实质上是一种“无穷”的统一概念，把任意四点都包含在内。

四点共圆 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为"四点共圆"。

四点共圆有三个性质： (1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等； (2)圆内接四边形的对角互补；(3)圆内接四边形的外角等于内对角。

以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。

判定定理折叠方法1: 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

(可以说成:若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆) 方法2 :把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

(可以说成:若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆)(2011全国)已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2212y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=.(I)证明：点P 在C 上；(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

解(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =-+,代入2212y x +=并化简得242210x x --= 设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则122626,44x x -+==， 1212121221,,2()2124x x x x y y x x +==-+=-++= 由题意得3123122(),()12x x x y y y =-+=-=-+=-，所以点P 的坐标为2(,1)2--. 经验证点P 的坐标2(,1)2--满足方程2212y x +=，故点P 在椭圆C 上 …6分(II)解法一【圆的定义】由P 2(1)-和题设知Q 2，PQ 的垂直平分线1l 的方程为2y x = ① 设AB 的中点为M ，则21)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为214y x =+ ② 由①、②得1l 、2l 的交点为21(,)88N -于是22221311||()(1)2888NP =-++--=, 22132||1(2)||2AB x x =+--=，32||4AM =， 22221133||()()4828MN =++-=22311||||||NA AM MN =+=||||NP NA =， 又||||NP NQ =，||||NA NB =，于是||||||||NA NP NB NQ ===,由此可知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …12分 解法二【对角互补】由(1)知2613,)42A ，22(,1),(,1)22P Q ，于是 13311122221226226244244AP AQ K K ，因此，90PAQ ，由轴对称可知90PQB 由对角互补，可知,,,A P B Q 四点共圆。

四点共圆的充要条件
申建春
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1996(000)001
【摘要】定理1 设有二次曲线
f_i:A_ix²+B_ixy+C<s ub>i</sub>y²+D_ix+E_iy+F<sub >i</sub>=0（i=1,2）。

如果f₁与f₂有四个交点,则这四点共圆的充要条件是:
【总页数】1页(P23-23)
【作者】申建春
【作者单位】湖南邵东杨塘中学 422827
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.“圆锥曲线上四点共圆充要条件”的统一证明及简单拓展 [J], 徐有祥;
2.圆锥曲线上四点共圆充要条件的研究 [J], 张乃贵
3.圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明 [J], 吴佐慧;刘合国
4.圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件 [J], 阮士杏;邹生书
5.圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件的证明及应用 [J], 张志华; 武晓
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