四点共圆的条件

四边形中任意三个点确定一个圆，则 第四点在圆内 第四点在圆外Байду номын сангаас第四点在圆上
四点不共圆 四点不共圆 四点共圆
量一量
探究四点共圆的条件
分别测量上面各四边形的内角，如果过 某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其 相对的两个内角之间有什么关系？
D
A D A
B
C
B
C
∠A＋∠C=180°
∠B＋∠D=180°
E
C
D
B
∴∠B+∠ADC >180º .
这与已知条件∠B+∠ADC=180º 矛盾，故假 设不成立，D点不在圆内. 另一种D点在圆外的情况证明同理可证. 即当四边形的两对角和是180°时，其四个顶点在同一个 圆上
A
连接AC交⊙O与点C´，连接BC´和DC´
有
∠A C´B ＞∠A C B
∠A C´D ＞∠A C D
一个条件：四点共圆的条件。
一种思想：从特殊到一般的思想。
我会做
2、如图所示，A、B、C三点在⊙O上，∠BOC= 100° ， 则∠BAC= 50 度，∠BDC= 130 度.
1、已知四边形ABCD四个顶点都在⊙O上，如果∠A= 115°， 150° ∠B= 30°，那么∠C=_____, 65° ∠D=______.
发现：这两个四边形的对角互补
探究四点共圆的条件
猜想：如果一个四边形 四个顶点位于同一圆上， 那么这个四边形对角互补。
证明猜想
猜想：如果一个四边形四个顶点位于同 一圆上，那么这个四边形对角互补。
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证： ∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º
D

所以圆内接四边形的两对角互补
思考
如果过某个四边形的四个顶点不 能作一个圆，那么∠B+∠D与180º 有何 关系？
A A O· B C E D O· B E C F D
F
∠B+∠D < 180º
∠B+∠D > 180º
证一证
假设D点在圆内 延长AD与圆交于点E，连接CE。 则：∠B+∠E=180º ∵∠ADC >∠E
∠A C´B +∠A C´D ＞ ∠ACB+ ∠ACD 所以 所以
∠BCD ＞∠B C´D ∠A+∠BC/D＞∠BCD + ∠A
A
D O·
B
E
C´ F C
又因为点Ｃ／在⊙Ｏ上
∴ ∠A + ∠B C´D = 180° ∴∠A+∠BCD＜180°
由上面的探究，你能归纳出判断过某个四边形的四个顶点能作一 个圆的条件吗？
A O
B
1 2
C
3 如图,A、B、 C、D、都是⊙O上的点,则正确的选项是（ B） （A）∠1+∠2＞∠A (B) ∠1+∠2=∠A (C) ∠1+∠2＜∠A (D)不能确定
D
对角互补的四边形的四个顶点共圆
通过我们的证明我们知道：
四边形的对角之和小于180º ， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。 四边形的对角之和大于180º ， 四边形的四个顶点 不在同一圆上。
四边形的对角之和等于180º （对角互补），四边形的四个顶 点 位于同一圆上。
这节课你有什么收获？
一个方法：类比操作的方法。
分类讨论
过任意四点能作一个圆么？
•四点在同一直线上
不能
•三点在同一条直线上，另一点不在这条 直线上 不能 •四点中任意三点都不在同一直线上
不确定
试一试
探究四点共圆的条件
图中给出了一些四边形，能 否过它们的四个顶点作一个圆？ 试一试！
D A D A D
A
B
C
B
C
B
C
思考
探究四点共圆的条件
你能用圆与点的位置关系解释这种现象么？
作一个圆需确定 圆心 和 半径
忆一忆
过一个点可以作 无数个圆 过两个点可以作 无数个圆 过三个点
分类讨论
若三点在同一直线上 若三点不在同一直线上
不能作圆
确定一个圆
回顾思考
不在同一直线上的三点确定一个圆的方法：
确定圆心 （垂直平分线的交点）
确定半径 （圆心到任意一点的长）
探究四点共圆的条件
提示：利用圆周角定理证明
A
O
C B
证明猜想
已知：四边形 ABCD 四个顶点位于同一个圆上 ． 求证：∠A+∠C=180º ∠B+∠D=180º D
证明： 连结OB、OD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
A
O
∴弧BAD和弧BCD所对圆心角之和是360°
∴
C B
∠A+∠C=180º
同理可证
B D 180