数学人教版九年级上册探究四点共圆的条件

《探究四点共圆的条件》教学评价与反思
一、（1）教材只是数学活动的素材，教师根据需要进行调整。

采用“操作（观察）——猜想——验证——归纳——例题——应用与拓展”的模式展开，激发学生的探究热情，为探究活动提供动力。

（2）、经过一点、两点、三点能作几个圆？过四点呢？这并不是一个可有可无的过程，它可以培养学生一种导入、归纳的思维方法，对学生探究有一个很好铺垫和引导作用。

二、重视展现数学知识的形成过程
经历知识的形成过程，有利于学生更好地理解数学、应用数学，增强学好数学的信心。

通过探究后对“四点共圆的条件”的回答，使学生亲身感受结论的形成过程和结论的确定性。

有助于学生经历真正的“做数学”和“用数学”过程，发展学生的应用意识和推理能力。

三、为学生提供充分的探究和展示自己的机会
数学教学是数学活动2的教学，向学生提供充分的从事数学活动的机会，生生互动，师生互动，学友先回答，师傅补充，讲解，老师只在引、导,调动学生的积极性。

在活动中激发学习潜能，促使学生在探究和交流中理解和掌握数学知识、技能和思想方法，有利于教师发现学生解决问题过程中存在的问题。

更好地指导学生的学习和因材施教。

四、注意改进的方面
（1）学生的探究活动时间要得到保证，让学生真正成为学习的主人，教师只是组织者、引导者，讲在关键处。

（2）教学过程中发现少数困难生在探究活动中欠积极，教师要及时给予指导、引导、肯定和鼓励，焕起他们学习的信心和积极性。

探究四点共圆阜阳开发区一初王丽 2017/5/1一、内容和内容解析本节内容是探究四点共圆的条件。

四点共圆是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆条件的探究。

圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆。

在四点共圆条件的探究过程中，通过对特殊的四边形（矩形、等腰梯形）、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律（过对角互补的四边形的四个顶点能做一个圆），体现了特殊到一般的思想。

同时在研究过程中类比将四边形转化为三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

另外，学生经历探究四点共圆的条件这一思想活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中有利于数学活动经验的积累。

二、学情分析学生在发现问题的阶段可能会受到任意一个三角形的三个顶点做一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题。

通过画图、观察、测量分析矩形、等腰梯形、有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆与四边形的边长无关，由此联想圆内接四边形对角互补，获得猜想。

另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，而且猜想的证明对学生来说是难点。

三、教学目标：（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般转化的数学思想，积累数学活动的经验。

四、教学重难点：重点：四点共圆条件的探究。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明。

五、教学过程：I、创设情境、引入新课同学们，我们的家乡阜阳是有着悠久历史的地方，如果给我们一天的时间参加阜阳一日游活动，你会选择哪里呢？那么，今天老师就带领大家一起参观阜阳生态园。

问题1：某市公园需要经过A、B、C三个旅游景点建一个圆形快车道，如图，假如我们把A、B、C三个旅游景点抽象成点，你能设计出这个圆形轨道吗？设计意图：由学生熟知的参观阜阳生态园入手，让学生去设计不在同一直线上的三点所在的圆，即能复习前面的三点共圆知识，又能为后面的猜想做铺垫。

数学活动:探究四点共圆的条件学习目标：1、理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．2、通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．学习重点：四点共圆的条件的探究．一、复习回顾1、经过一点A可以作个圆；经过两点A、B可以作个圆,圆心在；经过不在同一直线上的三点A、B、C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，圆心是三角形三条边的.2、一个圆有多少个内接三角形，一个三角形有多少个外接圆？一个圆有多少个内接四边形，一个四边形有多少个外接圆？二、发现问题1、经过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说经过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？2、分别过平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的四个顶点能否作一个圆？三、探究问题四边形的哪些元素决定了过它的四个顶点是否可以作一个圆？你能找出一个四边形来验证你的猜想吗？四、猜想结论猜想：五、证明猜想六、获得结论结论：七、归纳反思1、本节课你学到了什么知识？学到的知识能解决什么问题？2、回顾本节课的学习过程，你是怎么得到上述的知识的？你还有什么收获？八、目标检测1、如图1，∠DCE 是四边形ABCD 的一个外角，如果∠DCE=∠A ,那么过点 A 、B 、C 、D （填“能”或“不能”）作一个圆．2、如图2，经过四边形ABCD 的四个顶点可以作一个圆若∠A =115°，则∠C 的度数为 ．3、如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°, ∠CAD =26°, 则∠ABD 的度数为 ．如图3，在四边形ABCD中，如果∠ADB=∠ACB ,那么同时过点 A 、B 、C 、D 能不能作一个圆？为什么？。

探索四点共圆的条件广州市第四十中学李立红【教学目的】1、运用课堂四步学习方式：“思、议、导、固”培养学生推理论证的能力，渗透数学的思想方法，发展形象思维。

2、利用几何画板，培养学生的直观操作和逻辑推理能力。

使学生能利用图形性质解决问题，发展学生的数学应用能力。

3、让学生体会圆与四边形的关系，建立良好的知识联系。

【教学难点】确定四点共圆的条件【教学过程】利用几何画板辅助教学一、思：提出问题：下面请大家一起来研究下列的问题，一起思考、讨论一下。

引导学生分情况讨论：【提问，学生口答】1、过平面内任意一点能作几个圆？无数个。

2、过平面内任意两点能作几个圆？无数个，圆心在两点的中垂线上。

3、过平面内任意三点能作几个圆？1) 三点在同一直线上：不能作圆。

2) 三点不在同一直线上：只能作一个圆。

此时即为作三角形的外接圆，圆心是三边中垂线的交点，半径为圆心到顶点的线段的长度。

此时，三个顶点到圆心的距离相等，满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

4、过平面内任意四点能作几个圆？1）．四点在同一直线上：不能作圆。

2）．四点不在同一直线上：三点共线，也不能作圆；任意三点不共线，可能可以作圆。

引导学生思考：把四点顺次连接起来，得到一个四边形，问题转化为是否任意一个四边形都有外接圆。

二、议：观察、探索四点共圆的条件1、观察下面的四边形，想一想，试一试，看看它们的四个顶点是否共圆？若共圆，请作出它们的外接圆？正方形矩形等腰梯形菱形平行四边形直角梯形你发现了什么？引导学生利用几何画板，实验探究、思考：连接正方形、矩形的对角线，因为对角线的交点到四个顶点的距离相等，所以满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。

对角线就是外接圆的直径，圆心为对角线的交点，可以作出它们的外接圆。

作等腰梯形一腰和一底的中垂线，两中垂线的交点到四个顶点的距离相等，也满足圆的定义：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上【板书】。

数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。

在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。

学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。

二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。

（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。

达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。

第24章活动2?探究四点共圆的条件?教学设计班级姓名座号一、课型：综合活动课二、活动目标：1、探究四边形四个顶点共圆的条件。

2、通过观察、比拟、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，开展学生合情推理和演绎推理的能力。

3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。

三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。

难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。

四、学情分析：经历?圆?的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯穿，需要加强能力方面的训练。

让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。

五、教具：多媒体设备〔含几何画板、PPT、投影展台〕六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，表达知识的普遍联系和深入开展特性，丰富学生的研究方法。

通过观察、实验操作、归纳猜测、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。

表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储藏，串联综合运用的能力猜测并加以验证。

七、课堂过程活动一、考题片段引入如图，矩形ABCD,AB23,BC 6，动点E从点B沿线段BC运动到点C停止，连结AE,以AE为边作矩形AEFG,使边FG过点D.直接写出点G所经过的路径长。

关键：点G路径是什么样的轨迹？★〔设计意图〕从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。

在完成表格二猜测一后再进行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成根本数学图形模式。

活动二、复习旧知类比迁移表格一多边形任意一个三角形有且只有个外接圆多边形名称内接三角形〔根据圆的定义〕共圆的顶点要具备的条件三个顶点到定点〔距离都等于定长〔即即：OA=OB=OC定点〔外心〕任意两边的作法任意一个四边形外接圆心〕的个顶点到定点〔心〕的〕距离都等于定长〔即〕即：OA=OB=OC=OD交点任意两边交点提醒：三角形也是任意多边形组成的根本图形单位。