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数学活动探究四点共圆的条件一、内容和内容解析1．内容：四点共圆的条件．2．内容解析四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形)的探究，进行猜想，并将猜想的结果在一般性情况下进行严密的推理验证，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．二、目标和目标解析1．目标(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．2．目标解析达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．四、教学过程设计1．创设情境，发现问题引言在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．(1) (2) (3)图1问题1过平面内四点能作一个圆吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．设计意图：①体会到分类思想：平面内4点可分为四点共线；其中有三点共线；任意三点都不共线三种情况；②由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．2．合作探究获得猜想师生活动：学生分成小组，在事先准备好的练习纸上对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这几个特殊四边形进行试验探究，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．教师可以带领学生从边、角等方面进行分析。
第二十四章数学活动——活动2探究四点共圆的条件说课课题：探究四点共圆的条件说课流程：说教材说学情说教法与学法说教学过程说教学预期效果一、说教材地位与作用：本节课是新人教版九年级上册第24章《圆》数学活动2探究四点共圆的条件，是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
通过本节课的活动探究，让学生对四点共圆的问题有了个初步的认识，对某些平面几何问题能转化到圆这个模型中进行解答。
学习目标：认知目标：理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件；能力目标通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．情感目标：通过小组活动培养学生的合作交流意识。
学习重点：四点共圆的条件的探究．（根据本节课的内容和教学目标确定）学习难点：反证法证明命题.（学生用反证法证明几何命题用的很少，所以对反证法证明几何命题不熟悉，所以用反证法证明这个命题作为本节课的难点）二、说学情经过学生从七年级以来对几何的性质和判定进行了系统的学习和探究，学生已经掌握了一个几何图形的性质与判定关系的规律，具备了一定的探究几何问题的数学经验，但学生对曲边的几何问题存在畏难情绪和心理障碍。
三、说教法和学法教法：任务驱动，实践讲练结合教学法（回顾旧知，操作，猜想，验证，引导学生画图，分析，类比完成本节课的教学）学法：观察、类比、归纳、转化，自主学习和小组合作探究相结合。
四、说教学过程教学板块的设计包含如下六个环节：回顾思考、探究猜想、验证猜想、学以致用、归纳反思、能力延伸。
第一环节：复习回顾1、怎样确定一个圆？2、圆内接四边形有什么性质？设计意图：这样设计一是复习回顾，激活学生原有的认知结构，促使新旧知识结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。
二是为本节课探究猜想作好垫铺。
第二环节：探究猜想1、过不在同一条直线上的四个点，一定能确定一个圆吗？2、在你所熟知的特殊四边形中，哪些有外接圆？设计意图：第2环节我也是提出2个问题，引发学生的思考，从学生熟悉的图形出发，让学生第一认知，四点共圆是需要条件的，不是任意的四边形都有外接圆。
数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。
学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。
数学活动：《探究四点共圆的条件》导学案房县实验中学 黄 琴一.学习目标：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件,掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法．2.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合情推理和演绎推理能力.3.在探究四边形四个顶点能否共圆的活动中，进一步渗透从特殊到一般的数学思想，并能利用转化的数学思想解决问题.二.学习重点:通过活动探究四点共圆的条件.三.学习难点:对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法. 四.学习流程: (一)创设情境你玩过投圈游戏吗?四个学生正在做投圈游戏,他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人公平吗? 若不公平,你认为他们怎么站才公平呢? (二)自主探究1.前面我们已经学了圆内接四边形的性质:圆内接四边形的2.反过来,对角互补的四边形是否是圆内接四边形呢?3. 图中给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆呢？试一试！4.观察以上每个四边形的4个顶点,看它们是否都在所画的圆上?如果经过某个四边形的四个顶点能作一个圆,那么这个四边形相对两个内角之间有什么关系?由此可得出以下猜想: 猜想： 的四边形的四个顶点共圆 5.如何证明你的猜想呢?已知,在四边形ABCD 中，若∠B+∠ADC=180°,求证:A 、B 、C 、D 四点共圆. 证明:用反证法.假设A 、B 、C 、D 四点不在同一个圆上，则点D 在A 、 B 、 C 、确定的⊙0内，或者在⊙0外 经过A 、B 、C 三点作⊙0， （一）当点D 在⊙0内时,延长AD 交⊙0于点E ，连接CE 则：∠B+∠E=180°∵∠ADC >∠E ∴∠B+∠ADC >180°1.如图，直线MN 与⊙0，ABC 为⊙0的割线，分别过B、C 两点作⊙0的切线交MN 于D 、E ．求证：∠OED=这与已知条件∠B+∠ADC=180°矛盾，故假设不成立， 原结论正确，A 、B 、C 、D 四点共圆。
数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。
学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。
第24章活动2 《探究四点共圆的条件》教学设计班级姓名座号一、课型：综合活动课二、活动目标：1、探究四边形四个顶点共圆的条件。
2、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。
三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
四、学情分析：经历《圆》的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯通，需要加强能力方面的训练。
让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。
五、教具：多媒体设备（含几何画板、PPT、投影展台）六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，体现知识的普遍联系和深入发展特性，丰富学生的研究方法。
通过观察、实验操作、归纳猜想、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。
表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储备，串联综合运用的能力猜想并加以验证。
七、课堂过程活动一、考题片段引入如图，已知矩形ABCD,，动点E 从点B 沿线段BC 运动到点C 停止，连结AE,以AE 为边作矩形AEFG,使边FG 过点 D.直接写出点G 所经过的路径长。
关键：点G 路径是什么样的轨迹？★（设计意图）从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。
在完成表格二猜想一后再进行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成基本数学图形模式。
活动二、复习旧知类比迁移表格一多边形任意一个三角形任意一个四边形有且只有个外接圆外接圆多边形名称内接三角形（根据圆的定义）共圆的顶点要具备的条件三个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC=OD 定点（外心）的作法任意两边交点任意两边交点提醒：三角形也是任意多边形组成的基本图形单位。
数学活动——探究四点共圆的条件一内容和内容解析1.内容：探究四点共圆的条件2.内容解析：四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过不在同一直线上的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究。
在四点共圆的条件的探究过程中，首先学生在已学的圆相关知识基础上，对四点共圆的条件进行合理猜想：圆内接四边形对角互补，相应的，对角互补的四边形的四个顶点共圆；再利用计算机工具，对特殊的四边形（平行四边形、矩形、等腰梯形）、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形以及任意四边形等，在几何画板上进行测量检验，用实验的方法验证猜想的正确性；然后对正方形、矩形、一组对角同时等于九十度的四边形、任意对角互补的四边形四个顶点共圆进行理论推理验证，最终得出结论。
学生全程感受并经历了发现并提出问题——猜想——实验验证——理论推理验证——得出结论的活动过程，在“做”的过程和“思考”的过程中，积累数学活动的经验；在验证的过程中体现了特殊到一般的思想，同时，在研究中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：四点共圆的条件的探究。
二目标和目标分析1.目标（1）理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件。
（2）通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以做一个圆。
达成目标（2）的标志是：通过猜想，实验验证、理论推理验证得出结论，体会数学活动的完整过程，在过程中积累经验；通过几何画板画图，测量，比较，分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、直角梯形、一组对角等于九十度的四边形、一般的对角互补的四边形的四个顶点能否共圆，得到：对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论。
体会由特殊到一般的研究规律；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆，与第四个顶点之间的关系，并应用圆内接四边形对角互补的性质获得证明；在解决问题的过程中，积极思考、勇于质疑，体会发现问题、解决问题、有效的呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程。
三教学问题诊断分析学生从一开始发现问题，到后来的猜想，都是在已有知识的基础上，从已学定理：圆内接四边形对角互补出发，研究它的逆命题：对角互补的四边形四个顶点共圆。
在探究过程中鼓励学生在已学知识基础上进行合理大胆的猜想。
在验证的过程中，学生可能会联想到任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点时候在这个圆上，解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般的探究问题，通过画图、测量、比较，分析各种四边形的顶点是否共圆。
另外，在进行理论验证的过程中，要用到反证法，学生可能不知如何下手，而且猜想的证明对学生来说是难点。
关键是从过任意一个三角形的顶点能作一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法。
基于以上分析，本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的理论证明。
四教学过程设计1、自主活动，发现问题引言：师：经过了这一章圆相关知识的学习后，大家以小组为单位，利用课余时间对章末的几个数学活动进行了探究。
现在请个别小组与大家进行简单的交流分享。
生：第一小组交流第一个数学活动《车轮做成圆形的数学道理》以及活动3《设计图案》课后探究成果与心得，同时提出问题：在第二个数学活动《探究四点共圆的条件》时遇到困难，感觉无从下手。
师：其他小组有哪些要分享的？生：第二小组分享与《探究四点共圆的条件》相联系的相关知识点。
其中主要包括：（1）圆的定义；（2）点与圆的位置关系；（3）经过一个点、两个点以及不在同一直线上的三个点，分别可以做几个圆设计意图：本节属于数学活动课，主要需要学生主体经历数学活动的完整过程。
所以，首先让学生利用课余时间自主探究较为简单的活动1《车轮做成圆形的数学道理》以及活动3《设计图案》，然后在探究的过程中发现问题，带着问题接着进行探究活动，这是问题化教学的开端；同时，也帮助学生整理课上所需的相关知识点，以顺利完成课堂探究内容。
2、对比已知命题，获得初步猜想师：还有其他发现吗？生：回忆曾经学过的定理：圆内接四边形对角互补。
猜想：对角互补的四边形四个顶点共圆。
设计意图：学生在相关知识的基础上，对探究结论进行合理大胆猜想，是数学探究过程中不可缺少的部分，有了合理的猜想，接下来的探究才有明确的方向。
3、利用信息技术手段，实验验证猜想师：同学的猜想与我们今天要研究的内容是命题与逆命题的关系，这也是数学中常用的研究方法。
从命题入手，研究它的逆命题是否成立！大家在数学活动的探究过程中发现了问题并提出，然后在已有知识基础上进行了大胆合理的猜想。
那么接下来我们需要对猜想进行验证。
请思考，如何验证：四边形的四点顶点是否共圆？生：将研究四点共圆的问题转化为先研究不在同一直线上的三个点确定一个圆，再验证第四个点是否在同一个圆上。
师：又如何验证第四个点D是否在已知圆上？生：利用点与圆的位置关系。
点在圆上，点到圆心的距离等于半径。
师：老师按照同学们的方法，利用几何画板，进行测量验证。
师：这个四边形是不是所有对角互补的四边形一定共圆，而对角不互补的四边形四个顶点不共圆？需要我们一起来验证。
我们从特殊图形入手，先回忆一下学过的四边形都有哪些？生：正方形、菱形、平行四边形、梯形。
师：补充。
师：在屏幕上给出部分特殊四边形，同学们以小组为单位，按照屏幕上的任务分配分组进行验证。
并把结果展示在白板上。
生：分组进行验证。
师：观察验证过的可以共圆的四边形，他们有哪些共同特征生：从边，角等不同方面总结。
确定：对角互补的四边形四个顶点共圆。
设计意图：将研究四点共圆的问题转化为先研究不在同一直线上的三个点确定一个圆，再验证第四个点是否在同一个圆上，这是转化的数学思想的应用；在四边形的验证过程中，渗透了由特殊到一般的探究规律；学生利用现代化信息手段对猜想进行验证，既保证了实验结果的准确性，也提高了学生的探究兴趣，增强小组合作意识，丰富了数学活动探究的感受。
4、理论证明猜想，获得最终结论师：大家通过实验，验证了猜想是正确的。
但这不足以说明问题。
我们还必须对猜想进行理论推理验证。
请看学案卷。
我们还是从特殊图形入手，例1（一）已知：正方形ABCD，求证：过正方形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.生：独立动笔完成。
一名同学到前面，利用几何画板现场做辅助线讲解。
例2（二）已知：矩形ABCD，求证：过矩形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.生：独立完成。
一名同学讲解。
例题3（三）已知：四边形ABCD中，（1）若已知∠A=∠C=90°. 求证：过四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆. （2）若∠A+∠C=180°. 求证：过四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D可以做一个圆.生：独立解决，小组讨论第一问：一名同学板书；两名同学分别用不同的方法给同学讲解。
第二问：小组讨论后，询问解决情况。
师：既然原有的方法解决不了，如果假设这个点不在圆上，那会出现什么结论？生：点在圆外和点在圆内师：这种从假设出发，分析问题的方法在数学中叫反证法。
反证法怎么用呢？我们一起通过视频回忆一下反证法的相关知识。
请看微视频。
（微视频播放反证法定义、用法、以及注意事项）根据反证法的注意事项，这道题原结论的反面有几种情况？那么我们需要将这两种情况一一驳倒！生：动笔解决两名同学现场利用几何画板做辅助线，讲解不同两种情况的解决方法，点拨关键点；大屏幕展示准确的书写步骤师：经过推理验证，最终我们可以推导出对角互补的四边形四个顶点共圆。
设计意图：有了前面几何画板实验验证的过程做铺垫，这几道图形的证明对学生来说有有了证明的方向。
前两道题，基本可以轻松完成；第三题的第一问学生可以尝试多种方法验证；三题第二问是本课难点，需要引导学生使用反证法。
题型由易到难，让学生在解决时感受到有台阶可以攀登；微视频以诙谐幽默的口吻重温反证法的相关内容，同时强调注意事项，加深印象，让学生对不熟悉的内容产生亲切感。
5、学以致用，利用结论实践应用用我们的活动成果来解决几个小问题1.如图，∠DCE是四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=∠A，那么同时过点A，B，C,D_________作一个圆.2.如图，经过四边形ABCD的四个顶点可以做一个圆，若∠A=120°，则∠C的度数为______.3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=16°，则∠ABD的度数为___________.生：独立解决。
小组合作1.2题学生直接回答，点拨问题关键点即可3题一名同学到前面利用几何画板现场讲解设计意图：以上几道小题，主要考察学生对：1.能否由四边形的对角互补判定四边形四个顶点共圆；2.对圆内接四边形对角互补的掌握情况；3.利用对角互补的四边形四个顶点共圆将四边形问题转化为圆的问题，借助于圆的相关知识解决问题。
6、归纳反思，总结提升通过今天的学习，你有哪些收获？生：师：我们一起通过一段视频来回忆一下今天的内容。
播放微视频，师生共同观看设计意图：学生从自我总结中体会在知识、技能、方法等方面的收获；再通过视频总结对本节内容进行梳理，提升学生对数学思想、数学方法的认识与运用，增强学生的数学能力和对数学的积极情感。
