概率与统计
麻城一中 冯芬
一、 专题概览
“概率与统计”的引入拓宽了应用问题的取材范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算的内容都是考查实际能力的极好素材，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生的生活，注重考查基础知识和基本方法。
近三年考查情况如下：
2006年高考各地18套试题中，有15道此类型的解答题，其中有3道是关于概率计算的，一道涉及到正态分布的数据表格（湖北），其余的均为分布列和数学期望。
2007年高考试卷中涉及概率与统计的试题共有67道，其中文、理科相同的试题有7道，类似题有3道。分值超过20分的有广东文、理科（分别有24分、22分）、山东卷理（22分）、湖北卷理（22分），低于10分的有上海卷文、理（均为4分）、全国卷I 文（5分），平均每份试卷15．2分，约占全卷的10%。
2008年大纲卷15套试题中，除上海没有命制概率大题外，其他各试题都有一道大题考查概率或统计，且湖南卷位于解答题第一题，北京卷、安徽卷位于解答题第三题，全国卷I 和福建卷位于第四题，其余八个省市的试题均位于解答题中第二题。
二、 考点回顾
1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2.理解排列、组合的意义，掌握它们的计算公式并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
3.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率。
4.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
5.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。
6.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率。
7.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；
8.了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差； 9.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本； 10.会用样本频率分布估计总体分布； 11.了解正态分布的意义及主要性质； 12.了解线性回归的方法和简单应用。
三、 经典例题剖析
考点一 排列、组合的应用问题
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力,多为客观题，有时也作为概率题中求基本事件数的必要步骤出现，试题中等偏难.
例1在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )
1
212
1
1112
1212
121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n
m n m n m m
n n
m m n n m m n n m +++++
+
+
++
解析：方法1：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角
形，有C 1m C 2
n 个；第二类办法 从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O
点可构造一个三角形，有C 2m C 1
n 个；
第三类办法 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任
取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 1m C 1n 个 由加法原理共有N =C 1m C 2n +C 2m C 1n +C 1m C 1
n 个三角形
方法2 从m +n +1中任取三点共有C 31++n m 个，其中三点均在射线OA (包括O 点)，有C 31+m 个，
三点均在射线OB (包括O 点)，有C 31+n 个 所以，个数为N =C 31++n m －C 3
1+m －C 31+n 个
答案 C
点评：立体几何与排列、组合的交汇题是近几年高考试题的热门试题，需高度重视,此类问题多数情况下用间接法求解更简单.
例2四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 解析：方法1：采用处理分堆问题的方法.
分两步 先将四名优等生分成2，1，1三组，共有C 24种；而后，对三组学生安排三所学校，即进行全
排列，有33A A 33种 依乘法原理，共有N =C 243
3A =36(种)
方法2：分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的
分两步 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有A 34种；而后，再将剩余的一名学生送到
三所学校中的一所学校，有3种 值得注意的是 同在一所学校的两名学生是不考虑进入的前后顺序的 因
此，共有N =
2
1A 3
4·3=36(种) 答案36
点评：分组与分配问题是高考中排列组合题的热点问题，要学会正确区分.分配问题是指把物体分给不同的对象（如人或团体），是有顺序可言的，而分组问题只是把物件分成组（堆），组与组之间是无顺序的，
两者有明显的不同.在分组问题中，若平均分成n 组（堆），必须除以n
n A ，若部分分成m 组（堆），则必须除以m m A .
考点二 二项式定理的应用
二项式定理的考查主要涉及利用公式求展形式的特定项，利用二项式的性质求多项式的系数和，利用二项式定理进行近似计算，试题多属容易题.
例3.已知n 4)x
21
x (+的展开式前三项中的x 的系数成等差数列。
（1）求展开式里所有的x 的有理项； （2）求展开式里系数最大的项。
解析：（1）∵ )1n (n 8
1
)21(C ,2n 21C ,1C 22n 1
n 0n -==⋅
= 由题设可知08n 9n ),1n (n 8
1
12n 22=+--+=⋅
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项r
43
4r r
8r 4
r 8r
81r x 2C )x 2
()x (C T ----+⋅⋅=⋅=
据题意，4
r
34-
必为整数，从而可知r 必为4的倍数，而0≤r ≤8 ∴ r=0，4，8，故x 的有理项为41x T =，x 835
T 5=
，2
9x
2561T =
（3）设第r+1项的系数t r+1最大，显然t r+1>0，故有
r
1
r t t +≥1且1r 2r t t ++≤1
∵ r 2r 92
C 2C t t 1r 1r 8r r
8r 1t -=
⋅⋅=+---+ 由
r
2r
9-≥1得r ≤3 又∵ )1r (2r
82
C 2C t t r
r 8)1r (1
r 81r 2r +-=⋅⋅=-+-+++ 由
)
1r (2r
8+-≤1得：r ≥2
∴ r=2或r=3所求项为2
53x 7T =和4
74x 7T =
例7、设a>1，n ∈N ，且n ≥2，求证：n
1
a 1a n
-<- 证明：设x 1a n
=-，则(x+1)n
=a
欲证原不等式，即证nx<(x+1)n
-1，其中x>0
∵ 1x C 1x C x C x C )1x (1
n n 1n n 1n 1n n 0n n +>++++=+---
即(x+1)n
>nx+1，原不等式成立。
评注：由于(a+b)n
的展开式共有n+1项，故可通过对某些项的取舍来达到近似计算或证明不等式的目的。 考点三、概率
高考对概率的考查着重于等可能性事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等五类事件的含义、概率的计算，且考查得比较全面，各类事件的概率几乎无一遗漏.一般考两题，一题为选择或填空题，另一题文科为考查实际应用的解答题，理科则多为与离散型随机变量结合的解答题,主要考查学生对知识的运用能力，以基础题或中档题为主. 1. 随机事件的概率
例4（2007年辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ）
A ．
1
22
B ．
111
C ．
322
D ．
211
解析：设“取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数”为事件A ，则A 包含的有利事件有
112
33312m C C C =+=种，而从中任取两个球共有n=66212
=C 种结果，由等可能性事件的概率公式知,122().6611
m P A n =
==故选D. 点评：求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可.
2.互斥事件有一个发生的概率 例5 (2007年全国高考卷II )从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ； （2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．
解析：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故
01()()P A P A A =+212
012
()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-
于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．
（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则2
8002100C 316
()C 495
P B ==．
∴00316179
()()1()1495495
P B P B P B ==-=-= 点评:不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，要注意只有事件互斥时才能用概率的加法公式,此外，至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.
3.相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验
例5（2005年全国高考卷Ⅱ）甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(1) 前三局比赛甲队领先的概率；(Ⅱ) 本场比赛乙队以3:2取胜的概率．(精确到0.001) 解析：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4 (1)记“甲队胜三局”为事件A ，“甲队胜二局”为事件B ，则
32
23()0.60.216,()0.60.40.432P A P B C ===⨯⨯=
∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648
(2)若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。
所以，所求事件的概率为2
2240.40.60.40.138C ⨯⨯⨯=
点评：本例为比赛型试题，这类试题极富时代气息，故成为近年高考的“新宠”，解此类题的关键是仔细研究比赛规则，特别要关注最后一局的胜负情况. 4.离散型随机变量的分布、期望与方差
例6、一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数ξ的概率分布。
(1) 每次取出的产品不再放回； (2) 每次取出的产品仍然放回去；
(3) 每次取出一件次品后，再另放一件正品放回到这批产品中。
解析：（1）由于总共幼件（改为：7件）正品，3件次品，所以，ξ可取的值(改为：可能取的值)有1，2，3，4.取这些值时的概率分别为：
()1071=
=ξP ,()307
971032=∙==ξP
()120787921033=∙∙==ξP ,()120
1
7781921034=∙∙∙==ξP
所以，ξ的分布列为：
(2)由于每次取出的产品仍放回去，下次取时和前一次情况完全相同，所以，ξ可能取的值是
,,3,2,1k ，相应取值的概率为： ()1071=
=ξP ， ()100
21
1071032=∙==ξP ,
()1000
631071031033=∙∙=
=ξP , ┅
()10
71031
∙
⎪
⎭
⎫
⎝⎛==-k k P ξ. 所以，ξ的分布列为：
(3)与（1）的情况类似， ξ可能取的值有1，2，3，4.取这些值时的概率分别为：
()1071=
=ξP ， ()256
1081032=∙==ξP ,
()50027
1091021033=∙∙==ξP ,
()500
3
10101011021034=∙∙∙==ξP .
所以，ξ的分布列为：
点评：本题为一类比较典型的求解随机变量分布列的题目，解题时应注意观察提干，看清是“有放回模型”还是“无放回模型”还是“填补模型”。 例7、设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为3
4
，遇到红灯（禁止通行）的概率为
1
4
假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求： （1）ξ的概率的分布列及期望E ξ; (2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率 解析：（1）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4
用K A 表示“汽车通过第k 个路口时不停（遇绿灯）”，
则()4321,,,),4,3,2,1(4
3
A A A A k A P K 且==
独立. 故()()
4
1
01===A P P ξ，
1221233123441234313
(1)()4416
319
(2)()(),
4464
3127
(3)()(),
44256381
(4)()()42,
.
56
P P A A P P A A A P P A A A A P P A A A A ξξξξ==⋅=⨯===⋅⋅====⋅⋅⋅====⋅⋅⋅==
所以ξ的分布列为
256
2564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .
（2）256
175
256811)4(1)3(=-==-=≤ξξP P . 所以，停车时最多已通过3个路口的概率为256
175
.
点评：本题主要考查相互独立事件、对立事件以及随机变量的分布列、数学期望等概念。解题的关键是准确理解随机变量ξ的含义。
考点四 统计
统计与现实生活密切相关，其基本思想是用样本估计总体，而这又完全依赖于抽样方法,所以抽样方法的考查是本考点之重点;此外,正态分布的简单应用和线性回归已在近两年的高考卷中出现，预计今后会成为高考命题的一大热点.统计的考题以填空题居多，注重对基本概念和方法的应用，中档偏易题居多,有时也与概率综合以解答题的形式出现.
1.抽样方法
例8（2007年陕西高考卷）某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是
A ．4
B.5
C.6
D.7
解析：共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取
5
1
，故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6，选C
点评：本题主要考查分层抽样.正确找出分层抽样比是解决此类统计题的关键.
2.用样本估计总体
例9(2007年湖北高考卷)在生产过程中，测得纤维产品的纤度
（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表： （1）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布
直方图；
（2）估计纤度落在[1.381.50)
，中的概率及纤度小于1.40的概率是多
少？
（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[1.301.34)，
的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．
解析：（1） （2）纤度落在[)1.381.50，中的概率约为0.300.290.100.69++=，纤度小于 1.40的概率约为
1
0.040.250.300.442
++⨯=．
（3）总体数据的期望约为
1.320.04 1.360.25 1.400.30 1.440.29 1.480.10 1.520.02 1.4088⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
点评：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）计算数据中最大值与最小值的差，这个差通常叫做极差;(2)决定组数与组距;(3)分别计算各组的频数及频率（组距
频数
频率=
）；（4）画出频率分布直方图，并做出相应的估计。 3.正态分布
例10.(2006年湖北高考卷)在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布
(70,100)N 。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。
（1）、试问此次参赛学生总数约为多少人？
（2）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？
可供查阅的（部分）标准正态分布表00()()x P x x Φ=<
样本数据
解析:(1)设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N(70，100)，由条件知， P(ξ≥90)＝1－P （ξ<90）＝1－F(90)＝1－Φ)10
70
90(
-＝1－Φ(2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此， 参赛总人数约为
0228
.012
≈526（人）。
(2)假定设奖的分数线为x 分，则P(ξ≥x)＝1－P(ξ＜x))1070(1-Φ-=x ＝52650＝0.0951，即Φ)10
70
(-x ＝0.9049，查表得
10
70
-x ≈1.31，解得x ＝83.1. 故设奖得分数线约为83.1分。
点评：本题为表格信息题，要注意正确查阅表格中的数据，否则将前功尽弃.正态分布问题在全国卷中还未涉及，但毕竟是一个考点，2006年湖北高考作了一个尝试，也应该引起我们的重视.
四、 方法总结与2009年高考预测
（一）方法总结
1.排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题 解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法
2.概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算等内容都是考查实践能力的良好素材。由于中学数学中所学习的概率与统计内容是这一数学分支中最基础的内容，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生生活，注重考查基础知识和基本方法。
3.高考在本部分的命题中，体现文理内容上的不同和要求水平上的不同。文科试卷集中在抽样方法，总体分布的估计，总体的期望和方差；理科试卷则集中在离散型随机变量的分布列、期望和方差上。试题难度多以容易题和中档题为主。
（二）2009年高考预测
本专题内容一直是高考必考内容，也是历年高考考查的重点和热点，预计2009年高考中概率与统计仍将占较大的比重，题型分布为：选择题或填空题1~2道，解答题1道.其中客观题着重考查排列组合的应用问题、二项式定理、求各类事件的概率、抽样方法等,难度较小,解答题将注重试题的综合性和新颖性，或将概率与离散型随机变量的分布列综合求数学期望和方差，极有可能从现实社会的热点问题入为切入点来命制试题.随着新课程改革的深入，2009年高考命题也会增加试题的思维深度，增加该部分与数学其他部分的联系，如概率与数列的联系、概率与分布列和期望的综合、概率与不等式的综合，同时要关注二项式定理与不等式证明的结合.
五、 复习建议
1.回归课本.复习时要以课本概念为主，以熟练技能、巩固概念为目标，重视基础知识的理解和掌握，查找知识缺漏，不断总结规律，提高分析问题、解决问题的能力。
2. 把握基本题型.由于这部分内容在高考中的难度不大，因此只要把握基本题型，准确理解相关概念，熟记相关公式，就能解决问题.
3. 强化方法的选择.由于这部分知识多而杂，因此要对它们进行整理，使它们在大脑中构建良好的数学认知结构，形成条理化、有序化、网络化的有机体系.
4. 培养应用意识.要挖掘知识之间的内在联系，从形式结构、数学特征、图形图表的位置特点等方面进行联想和试验，找到知识的“结点”，将实际问题转化为纯数学问题，以培养应用能力.
高考数学总复习 ------排列组合与概率统计 【重点知识回顾】 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于 排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶排列与组合的主要公式 ①排列数公式：An m (n n! n(n1) (nm 1) (m ≤n) m)! A n n =n!=n(n ―1)(n ―...2)21 .· ②组合数公式：Cn m n! n(n 1) (n m 1) (m ≤n). m!(n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质：①C n m C n n m (m ≤n). ②C n 0 C n 1 C n 2 C n n 2n ③Cn 0 C n 2 C n 4 C n 1 C n 3 2 n1 2.二项式定 理 ⑴二项式定理 (a+b)n =C n 0a n +C 1 n a n －1 b+⋯+C n r a n －r b r +⋯＋C n n b n ，其中各项系数就是组合数 C n r ，展开 r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r (r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公 式。 ⑶二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两 端 “等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n ②若n 是偶数，则中间项 (第 n n 项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2 ；若n 是奇数， 1 2 则中间两项(第n 1项和第n 3 n1 n1 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2 ③所有二项式系数和等于 2n ，即C 0 n +C 1 n ＋C 2 n +⋯+C n n =2n . ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
高考数学常用结论集锦：排列组合二项式定理、概率统计（收藏） 1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =?? ?. 3.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N * ，且m n ≤)． 4.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m m n n n A A n m -=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5） 11m m m n n n A A mA -+=+. 5.组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N * ，且m n ≤). 6.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+ 7.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-; （3）11m m n n n C C m --=; （4） 11k k n n kC nC --= （5） ∑=n r r n C =n 2;（5）1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 8.排列数与组合数的关系是：m m n n A m C =?！ . 9.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 )210(n r ，，， =. 10.等可能性事件的概率()m P A n =. 11.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 12.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B). 14.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=- 16. n 个数据123,,n x x x x ,则它们的平均数为1231 ()n x x x x x n = ++++, 方差2 s = 22221231 [()()()()]n x x x x x x x x n -+-+-++- （1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体. (2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法： （1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法. (2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层. 三、两种抽样方法的区别与联系：
高中数学排列组合及概率的基本公式、概念及应用 1 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =?? ?. 2 排列数公式 ：m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=. 3 组合数公式：m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N * ，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10 =n C . 4 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++的展开式的系数关系： 012(1)n a a a a f ++++=； 012(1)(1)n n a a a a f -++ +-=-；0(0)a f =。 5 互斥事件A ，B 分别发生的概率的和：P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． n 个互斥事件分别发生的概率的和：P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 6 独立事件A ，B 同时发生的概率：P(A ·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率：P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 7 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=- 8 数学期望：1122n n E x P x P x P ξ=++++ 数学期望的性质 （1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1 ()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p ξ= . 9方差：()()()2 2 2 1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+ +-?+ 标准差：σξ=ξD . 方差的性质： (1)()2D a b a D ξξ+=； (2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ -===，则2 q D p ξ= . 方差与期望的关系：()2 2D E E ξξξ=-. 10正态分布密度函数：( )()()2 2 26,,x f x x μ-- = ∈-∞+∞， 式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差. 对于2 (,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-?? =Φ ??? . ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 11 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：
排列组合二项式定理和概率 一、知识整合 二、考试要求： 1．掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题. 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题. 4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题. 5．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 6．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 7．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 8．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. Ⅰ、随机事件的概率
例1 某商业银行为储户提供的密码有0，1，2，…，9中的6个数字组成. (1)某人随意按下6个数字，按对自己的储蓄卡的密码的概率是多少？ (2)某人忘记了自己储蓄卡的第6位数字，随意按下一个数字 进行试验，按对自己的密码的概率是多少？ 解（1）储蓄卡上的数字是可以重复的，每一个6位密码上的每一个数字都有0，1，2，…，9这10种，正确的结果有1 1，随意按下6个数字相当于随意按下610个，种，其概率为 6 10 随意按下6个数字相当于随意按下610个密码之一，其概率是 1. 6 10 (2)以该人记忆自己的储蓄卡上的密码在前5个正确的前提 下，随意按下一个数字，等可能性的结果为0，1，2，…，9 1. 这10种，正确的结果有1种，其概率为 10 例2 一个口袋内有m个白球和n个黑球，从中任取3个球，这3个球恰好是2白1黑的概率是多少？（用组合数表示） 解设事件I是“从m个白球和n个黑球中任选3个球”，要对应集合I1，事件A是“从m个白球中任选2个球，从n个黑球中任选一个球”，本题是等可能性事件问题，且Card(I1)=
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料 一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理： 分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++=Λ21 分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ???=Λ21 2．排列： 从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数)! (! )1()1(m n n m n n n A m n -=+--=Λ 3．组合： 从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= Λ； 组合数性质：m n n m n C C -=，m n m n m n C C C 11+-=+ 4．排列组合常用方法： 分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ 间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英
语书不能相邻，则有多少中排列方式？ 特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？ （二）二项式定理 1．二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)(，其中r n C 为第1 +r 项的二项式系数，=-n b a )( 2．通项公式：r r n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r Λ= 3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于 2 n 对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n 项，最大值为2n n C 当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第12 1 ++n 项，最大值为21 21+-=n n n n C C （3）二项式系数之和n n n n n C C C 210=+++Λ 奇数项与偶数项的二项式系数之和相等1 31202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ （三）概率 1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率n m 总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．
排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个 数？其排列个数1! 3!3==n . 三、组合. 1. ?组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ?组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--== ?两个公式：①; m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③
分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路： ①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果
用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类. （3）相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。（5）顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总 的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元
概率与统计 麻城一中 冯芬 一、 专题概览 “概率与统计”的引入拓宽了应用问题的取材范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算的内容都是考查实际能力的极好素材，考虑到教学实际和学生的生活实际，高考对这部分内容的考查贴近考生的生活，注重考查基础知识和基本方法。 近三年考查情况如下： 2006年高考各地18套试题中，有15道此类型的解答题，其中有3道是关于概率计算的，一道涉及到正态分布的数据表格（湖北），其余的均为分布列和数学期望。 2007年高考试卷中涉及概率与统计的试题共有67道，其中文、理科相同的试题有7道，类似题有3道。分值超过20分的有广东文、理科（分别有24分、22分）、山东卷理（22分）、湖北卷理（22分），低于10分的有上海卷文、理（均为4分）、全国卷I 文（5分），平均每份试卷15．2分，约占全卷的10%。 2008年大纲卷15套试题中，除上海没有命制概率大题外，其他各试题都有一道大题考查概率或统计，且湖南卷位于解答题第一题，北京卷、安徽卷位于解答题第三题，全国卷I 和福建卷位于第四题，其余八个省市的试题均位于解答题中第二题。 二、 考点回顾 1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列、组合的意义，掌握它们的计算公式并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 3.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率。 4.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 5.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 6.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率。 7.了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列； 8.了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望、方差； 9.会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本； 10.会用样本频率分布估计总体分布； 11.了解正态分布的意义及主要性质； 12.了解线性回归的方法和简单应用。 三、 经典例题剖析 考点一 排列、组合的应用问题 排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力,多为客观题，有时也作为概率题中求基本事件数的必要步骤出现，试题中等偏难. 例1在∠AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共m +n +1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ) 1 212 1 1112 1212 121211211C C C D.C C C C C C C.C C C C .C B C C C A.C n m n m n m m n n m m n n m m n n m +++++ + + ++ 解析：方法1：从OA 边上(不包括O )中任取一点与从OB 边上(不包括O )中任取两点，可构造一个三角 形，有C 1m C 2 n 个；第二类办法 从OA 边上(不包括O )中任取两点与OB 边上(不包括O )中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有C 2m C 1 n 个； 第三类办法 从OA 边上(不包括O )任取一点与OB 边上(不包括O )中任
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，归纳总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（） A．B．C．D．
第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方 内部 第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部 第一一章排列组合与二项式定理 1.排列数公式 成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？ 2.1. (n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足 a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式 曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一 amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质 ①cnmcnn？M 1②cnm?cnm?1?cnm??1； kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？https://www.doczj.com/doc/f119220160.html,r？cnr1.⑤NN（n？1）！？N n11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是： 分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果， 只有一种方法可以完成这项任务）， 分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事， 只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）， 有序的安排，无序的组合 如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙 型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70） ③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐 标系中 中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的
第讲排列组合和二项式定理概率(2022高考数学---新东 方内部 第十一章排列、组合和二项式定理 1.排列数公式 mAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)21。 (nm)!如①1！+2！+3！+…+n！（n4,nN某）的个位数字为；（答：3）②满足A8某6A8某2的某＝（答：8）组合数公式 mAnn(n1)(nm1)n!0Cm(mn)；规定0!1，Cn1. Amm(m1)21m!nm!mnmnm如已知CnCm1An6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质 ①CnmCnnm； 1②CnmCnm1Cnm1； kk1③kCn；nCn11④CrrCrr1Crr2CnrCnr；1⑤nn!(n1)!n!； n11⑥.(n1)!n!(n1)!2.解排列组合问题的依据是： 分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次 的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立 地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的）， 有序排列，无序组合．
如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4 台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机 各一台，则不同的取法共有种；（答：70） ③从集合1,2,3和1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角 坐标系 中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点， 连同A的 A顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形；（答：CB90） ⑥用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同 一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有D种不同 涂法；（答：480） ⑦同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种；（答：9） ⑧f是集合Ma,b,c到集合N1,0,1的映射，且f(a)f(b) f(c)，则不同的映射共有个；（答：7） 3.解排列组合问题的方法有：（1）特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位 置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。如①用
高中数学选修2-3根底知识归纳〔排列组合、概率问题〕 一．根本原理 1．加法原理：做一件事有n类方法，那么完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用根本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m〔m≤n〕个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的根本策略 〔1〕两种思路：
①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成假设干类，再由分类计数原理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 〔3〕分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成假设干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原那么是先分类，后分步。 〔4〕两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： 〔1〕穷举法〔列举法〕：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，那么共有种不同的播放方式〔结果用数值表示〕. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 解二：〔1〕分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
高中数学选修2-3基础知识归纳（排列组合、概率问题） 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为。 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：
①直接法： ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。 注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2) 特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； 例1. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公 益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）. 解：分二步：首尾必须播放公益广告的有种；中间4个为不同的商业广告有种，从而应当填＝48. 从而应填48． 例2. 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？ 解一：间接法：即 解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.
高三数学排列组合与二项式定理试题答案及解析 1.三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6,若将三张卡片并列,可得到不同的三位数(6不能 作9用)的个数为() A．8B．6C．14D．48 【答案】D 【解析】方法一:第一步,选数字.每张卡片有两个数字供选择,故选出3个数字,共有23=8(种)选法. 第二步,排数字.要排好一个三位数,又要分三步,首先排百位,有3种选择,由于排出的三位数各位上 的数字不可能相同,因而排十位时有2种选择,排个位只有一种选择.故能排出3×2×1=6(个)不同的 三位数.由分步乘法计数原理知共可得到8×6=48(个)不同的三位数. 方法二:第一步,排百位有6种选择, 第二步,排十位有4种选择, 第三步,排个位有2种选择. 根据分步乘法计数原理,共可得到6×4×2=48(个)不同的三位数. 2.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记 .若，且，则的值可以为（）A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 ，因此除的余数为，即，因此的值可以为，故选A. 【考点】1.二项式定理；2.数的整除性 3.5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有____种．【答案】150 【解析】将5名志愿者分到3个不同的地方参加义务植树，且每个地方至少有一名志愿者，则分 配至3地的人数模式只有“1、1、3”与“1、2、2”这两种模式.设这3地分别为甲、乙、丙. (1)当分配的人数模式是“1、1、3”时，即甲、乙、丙3地中有一地是3个人，其他两地都只有1人,则共有（种）.即先从三地中选一地是分配3个人的，再从5名志愿者中选三人派到该地.剩余2人再分配至其余两地. (2) 当分配的人数模式是“1、2、2”时,即甲、乙、丙3地中有一地是1个人，其他两地都有2人,则共有（种）.即先从三地中选一地是只分配1个人的，再从5名志愿者中选1人派到 该地.剩余4人再选出2人分配至其余两地中的某地，那剩余2人即是最后一地所得. 综上所述，共有60+90=150种方案. 【考点】排列与组合 4.如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现 在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依次类推，则 （1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第一个数字为2，第3行第一个数字为4，…）是；
排列组合二项式概率统计 概念： 1、排列数：! (1)(2) (1)()! m n n P n n n n m n m =---+= - 2、组合数：(1)(2)(1)!!!()!m m n n m m P n n n n m n C P m m n m ---+===-，规定0 1n C =。 3、组合数的性质：m n m n n C C -=， 11 1m m m n n n C C C ++++=， 11k k n n kC nC --=， 1121m m m m m m m m n n C C C C C ++++++++=。 4、排列与组合的关系m m m n n m P C P = 5、二项式定理： 011222 ()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=+++++ 6、1r n r r r n T C a b -+= b 的指数与组合数的上标一致。 7、 ○1二项展开式的各二项式系数之和012 2n n n n n n C C C C +++ += ○2二项展开式的奇数项之和024 n n n C C C +++=偶数项之和135 12n n n n C C C -+++ = 8、 总体平均数 121 () N x x x N μ= ++ 9、 总体中位数的意义：从小到大的次序排列，位于正当中位置的数是中位数，当N 为 偶数时，当中位置的两个数的平均数是总体中位数 10、 总体方差2222 121[]N x x x N σμμμ= -+-++-（）（）（）= 2222121 N x x x N μ=+++-（） 11、样本方差(总休标准差的点估计值) ：s = 12、随机抽样(抽签法、随机数表法): 13、系统抽样:等间隔抽样，(每一个间隔抽取一个) 14、分层抽样:按比例抽样，比例n =N n k N =样本数总体数 (一)排列与组合
第九讲、排列、组台、二项式定理 六、 统计 （一）随机抽样 1.了解随机抽样的意义。 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。 （二）总体估计 1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点。 2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差及方差。 3.能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题。 七、 概率 （一）事件与概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。 2.了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式。 （二）古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式。 2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 分类计数原理和分步计数原理 1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方 法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么 完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法2分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法， 做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有 12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法 3两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数 4两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘 法原理是“分步完成” 5原理浅释 （可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同） 分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以
高考数学二轮复习专项 排列、组合、二项式定理与概率统计（含详解） 1. 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码, 设号码为n 的球的重量为 3443 42+-n n (克). 这些球以等可能性(不受重量, 号码的影响)从袋里取出. （Ⅰ）如果任意取出1球, 求其号码是3的倍数的概率. （Ⅱ）如果任意取出1球, 求重量不大于号其码的概率; （Ⅲ）如果同时任意取出2球, 试求它们重量相同的概率. 2. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加 某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54 ，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53 .试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率； （II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 3. 设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不在放回，若以ξ和η分别表示取出次品和正品的个数。 （1）求ξ的分布列，期望及方差； （2）求η的分布列，期望及方差； 4. （1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有三天以上（含三天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问，该商场是否需要增加结算窗口？ 5. 某售货员负责在甲、乙、丙三个柜面上售货．如果在某一小时内各柜面不需要售货员照顾的概率分别为0.9,0.8，0.7．假定各个柜面是否需要照顾相互之间没有影响，求在这个小时内：（1）只有丙柜面需要售货员照顾的概率； （2）三个柜面最多有一个需要售货员照顾的概率； （3）三个柜面至少有一个需要售货员照顾的概率． 6. 某同学上楼梯的习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完。 (1)求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率； (2)记该同学连走2阶的最多步数为ζ，求随机事件ζ的分布列及其期望。 7. 甲、乙两支足球队，苦战120分钟，比分为1 ：1，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员点球命中率均为0.5. ⑴两队球员一个间隔一个出场射球，有多少种不同的出场顺序？ ⑵甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？ 8. 在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽 得两张卡片的标号分别为x、y，记 x y x- + - =2 ξ ． （Ⅰ）求随机变量 ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（Ⅱ）求随机变量 ξ的分布列和数学期望．